2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

房山區(qū)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期高中學(xué)業(yè)水平調(diào)研高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知，則向量的坐標(biāo)是（A）（B）（C）（D）（2）已知長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線(xiàn)與的距離是（A）（B）（C）（D）（3）已知，且∥，則的值是（A）（B）（C）（D）（4）如果空間向量不共線(xiàn)，且，那么的值分別是（A）（B）（C）（D）（5）在正方體中，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系是（A）相交 （B）平行 （C）垂直 （D）異面（6）用、、表示三條不同的直線(xiàn)，表示平面，給出下列①若∥，∥，則∥；②若⊥，⊥，則⊥；③若∥，∥，則∥；④若⊥，⊥，則∥.則正確命題是（A）①② （B）②③ （C）①④ （D）③④（7）設(shè)平面與平交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，且.則“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）如圖，空間四邊形中，．點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（A）（B）（C）（D）（9）在四面體中，分別是，的中點(diǎn).若，，，則與所成角的度數(shù)是（A）（B）（C）（D）（10）正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)分別為線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（A）⊥平面（B）平面∥平面（C）點(diǎn)到平面的距離為定值（D）直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為定值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。（11）已知空間向量，則_______.（12）若向量，，則_______.（13）設(shè)，分別是空間兩直線(xiàn)，的方向向量，則直線(xiàn)，所成角的大小為_(kāi)______.（14）如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線(xiàn)與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線(xiàn)與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線(xiàn)面對(duì)”的個(gè)數(shù)是_______.（15）已知平面和直線(xiàn)，給出條件：①；②；③；④；⑤.（i）當(dāng)滿(mǎn)足條件_______時(shí)，有；（ii）當(dāng)滿(mǎn)足條件_______時(shí)，有.（填所選條件的序號(hào)）（16）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在側(cè)面上．若點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離相等，則的最小值是_______.三、解答題：本大題共5小題，每題14分，共70分。（17）（本小題分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，過(guò)的平面與側(cè)棱的交點(diǎn)分別是.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若底面，求證：平面.（18）（本小題分）在如圖所示的幾何體中，正方形與梯形所在平交，∥，．（Ⅰ）證明：∥平面；（Ⅱ）若平面，試求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．（19）（本小題分）如圖，矩形中，，分別在線(xiàn)段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：平面平面．（20）（本小題分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線(xiàn)段上，//平面，，.(Ⅰ)求證：為的中點(diǎn)；(Ⅱ)求平面與平面所成角的大?。?1）（本小題分）如圖所示，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．(Ⅰ)求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值；(Ⅱ)在棱上是否存在一點(diǎn)，使∥平面？證明你的結(jié)論．房山區(qū)2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期高中學(xué)業(yè)水平調(diào)研高二數(shù)學(xué)答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。題號(hào)12345678910答案（B）（C）（A）（C）（A）（C）（A）（B）（D）（D）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。（11）（12）（13）（14）（15）③⑤，②⑤（16）三、解答題：本大題共5小題，每題15分，共75分。解：（17）（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫?，所?又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，，所?....................6分（Ⅱ）證明:方法1綜合法因?yàn)榈酌妫酌?，所?因?yàn)榈酌媸钦叫?，所?因?yàn)槠矫妫?，所以平?....................14分方法2：向量法（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，底面是正方形，所以?xún)蓛纱怪?以為原點(diǎn)，建設(shè)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則.直線(xiàn)的方向向量為，，.設(shè)平面的法向量為，則，，令，則，.所以.因?yàn)?，z所以平面...........14分zyyxx(18)（Ⅰ）證明：方法1：取的中點(diǎn),并連接，則.又因?yàn)?，所?又因?yàn)椤?，所以?所以四邊形為平行四邊形.所以∥，.因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以∥?.所以∥，.所以四邊形為平行四邊形.所以又因?yàn)椋?所以∥平面...........7分方法2：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?又因?yàn)椤?，且，，所?因?yàn)槠矫妫浴纹矫?..........7分（II）因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則．所以．所以直線(xiàn)的方向向量為，直線(xiàn)的方向向量為．設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為．..........14分xxyz(19)解：（Ⅰ）因?yàn)槭蔷匦危摇?，所以四邊形是矩?所以.又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫?，平?所以平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槭蔷匦危摇?，所以四邊形是矩?所以.因?yàn)槠矫?，，所以平?因?yàn)槠矫?，所?..........7分（Ⅱ）證明：因?yàn)槭蔷匦?，且∥，所以四邊形，是矩?所以∥.由（Ⅰ）可知，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，四邊形是矩形所以四邊形為正方?所以．因?yàn)槠矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面平面?.........14分（20）解：（Ⅰ）證明：設(shè)交點(diǎn)為，連接．因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)槭钦叫?，所以為的中點(diǎn)．所以為的中點(diǎn)．..........7分（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)椋裕忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)槭钦叫危裕鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是．平面的法向量為．所以．由題知平面與平面平面所成的角為銳角，所以它的大小為．..........14分(21)解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(Ⅰ)依題意，得，，，)，所以，．在正方體中，因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量．設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則．故直