結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法第八章

結(jié)構(gòu)力學(xué)

第8章位移法

第一頁，共三十三頁。主要內(nèi)容1位移法基本概念2位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程4位移法典型方程5直接利用平衡條件建立位移法方程6位移法與力法聯(lián)合應(yīng)用第二頁，共三十三頁?！?.1位移法的基本概念力法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的最基本也是歷史最悠久的方法。它是以結(jié)構(gòu)的多余力作為基本未知量，首先根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件求出多余力，然后再求出其它反力、內(nèi)力和變形。位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，以結(jié)點(diǎn)的平衡條件作為補(bǔ)充方程，首先求出結(jié)點(diǎn)位移，然后再求出其它反力、內(nèi)力。求解未知量的順序正相反。作為入門，我們先看一個(gè)簡單的例子。以便更具體地了解位移法解題的基本思路。如圖示對(duì)稱桁架，承受對(duì)稱荷載Fp作用。由于對(duì)稱，結(jié)點(diǎn)B將僅有豎向位移。在位移法中，基本未知量為。取結(jié)點(diǎn)B為隔離體如圖(b)所示，設(shè)第i根桿的受拉力為FNi，由靜力平衡條件，得(a)圖(a)Fpii圖(b)Fp第三頁，共三十三頁。另一方面，考慮任一根桿i，設(shè)其伸長量為ui，由幾何關(guān)系得iiui圖(c)(b)由虎克定律得圖(a)Fpii圖(b)Fp(a)

(c)則：(d)上式就是拉壓桿的剛度方程，它反映了桿端力FNi與桿端位移ui之間的關(guān)系。把(d)式代入(a)式得第四頁，共三十三頁。(e)上式就是位移法的基本方程，它反映了結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載之間的關(guān)系。由基本方程得(f)至此完成了位移法的關(guān)鍵一步，即在外荷載的作用下，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移求解。各桿的內(nèi)力也可以確定(g)第五頁，共三十三頁。上面簡要地介紹了位移法解題的過程，其要點(diǎn)如下位移法的基本未知量是結(jié)點(diǎn)位移；位移法的基本方程實(shí)質(zhì)是結(jié)點(diǎn)沿基本未知量方向的平衡方程；求解基本方程后，即可求出各桿的內(nèi)力。第六頁，共三十三頁?！?.2位移法的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量上節(jié)中以簡單桁架為例說明了位移法的基本要點(diǎn)，下面討論如何將位移法應(yīng)用于剛架計(jì)算。如圖(a)所示由兩根桿組成的剛架。Z112圖(b)Z1Fp31Z1圖(c)如果能求出轉(zhuǎn)角Z1，則各桿（12桿、13桿）的內(nèi)力均可按前面的力法求得。因此，在位移法中，以結(jié)點(diǎn)位移Z作為基本未知量，并以單跨超靜定梁作為基本計(jì)算單元，由此可知，用位移法分析剛架時(shí)，需要解決下面三個(gè)問題：(1)位移法的基本未知量的數(shù)目（至少要求出多少個(gè)位移未知量）(2)單跨超靜定梁分析(3)相應(yīng)于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。圖(a)123Fp第七頁，共三十三頁。在本節(jié)中，我們討論第一個(gè)問題，位移法的基本未知量的數(shù)目及相應(yīng)的位移法基本結(jié)構(gòu)。其它兩個(gè)問題，后面討論。為了將原剛架的各桿變成單跨超靜定梁，可以在原剛架的結(jié)點(diǎn)上引入某些附加約束如：附加的剛臂（阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的約束）或附加鏈桿（阻止結(jié)點(diǎn)線位移的約束），使其變成固定端或鉸支端，所得的結(jié)構(gòu)即為位移法計(jì)算時(shí)的基本結(jié)構(gòu)。而結(jié)構(gòu)獨(dú)立的基本未知量數(shù)目等于把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榛窘Y(jié)構(gòu)時(shí)所附加的剛臂和附加鏈桿數(shù)目之和。這樣，在確定了基本結(jié)構(gòu)的同時(shí)，也就確定了位移法的基本未知量的數(shù)目。如：第八頁，共三十三頁。附加剛臂一個(gè)基本未知量基本結(jié)構(gòu)附加鏈桿兩個(gè)基本未知量基本結(jié)構(gòu)三個(gè)基本未知量基本結(jié)構(gòu)第九頁，共三十三頁。基本結(jié)構(gòu)三個(gè)基本未知量EAEA兩個(gè)基本未知量基本結(jié)構(gòu)若：EA=？0個(gè)基本未知量第十頁，共三十三頁?！?.3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程（物理方程）前面曾提到，位移法分析剛架的基本計(jì)算單元為單跨超靜定梁，因此，需事先知道這種梁在桿端位移和荷載作用下的桿端內(nèi)力情況。1桿端位移引起的桿端力如圖(a)所示兩端固定梁AB，已知A端位移是vA、A，B端位移是vB、B，求該梁的桿端力MAB、QAB、MBA、QBA。圖中的位移方向均為正方向。把變形分解，首先考慮桿端彎矩作用下的桿端轉(zhuǎn)角，如圖(b)所示。(a)上式中，稱為桿的線剛度。其次，因桿端線位移引起的桿端轉(zhuǎn)角為(b)圖(a)ABxyAvABvBA’B’vAvB’’MABFQABFQBAMBAMABMBA圖(b)第十一頁，共三十三頁。則桿端的最終轉(zhuǎn)角為(c)由上式解得(d)由靜力平衡條件可求得桿端剪力為(e)為了便于后面應(yīng)用，下面討論在B端具有不同支承條件時(shí)的桿端位移與桿端力的關(guān)系。第十二頁，共三十三頁。(1)B端為鉸支，如圖(c)所示FQAB圖(c)ABxyMABFQBA此時(shí)，在(c)的第一式中，令得由平衡條件得(h)(f)(c)第十三頁，共三十三頁。(e)(d)(2)B端為定向支承，如圖(d)所示。

圖(d)ABxyMABMBA此時(shí)，,且在(e)的得由(d)式得(i)第十四頁，共三十三頁。2荷載引起的桿端力書中P117179頁表7-1給出了常見約束情況下荷載引起的桿端彎矩（順時(shí)針為正）和桿端剪力（對(duì)桿內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針矩的為正）的大小，使用時(shí)可直接查表（該表是用前面的力法求得的）桿端彎矩用MFAB、MFBA表示；桿端剪力用FFQAB、FFQBA表示。如：ABMABMBAFQABFQBAFpa/2a/2第十五頁，共三十三頁。3等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程若等截面梁同時(shí)承受已知的桿端位移和荷載共同作用，則由疊加原理易求得最終的桿端力為(1)兩端為固定

(8-1)這就是兩端固定等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。ABxMABMBAFQABFQBAy第十六頁，共三十三頁。(2)A端為固定，B端鉸支

(8-2)這就是A端為固定、B端鉸支等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。(3)A端為固定，B端定向FQABABxyMABFQBAABxyMABMBA(8-3)這就是A端為固定、B端定向等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。第十七頁，共三十三頁?！?.4位移法典型方程1無側(cè)移剛架的計(jì)算

指無結(jié)點(diǎn)線位移（不包括支座處）的剛架。

無側(cè)移剛架：首先我們來分析最簡單的無側(cè)移剛架位移法典型方程的建立。a/2EI2EI1Fpa/2a圖(a)Z1Fp1圖(b)基本結(jié)構(gòu)=

FpR1p1圖(c)約束結(jié)點(diǎn)+R11圖(d)放松結(jié)點(diǎn)1Z1顯然位移法的基本未知量僅有一個(gè)，1號(hào)結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角Z1。在1號(hào)結(jié)點(diǎn)引入剛臂得位移法基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。第一步：約束剛臂使沿Z1方向上無轉(zhuǎn)動(dòng)，在荷載的作用下，此時(shí)附加剛臂上將產(chǎn)生反力矩R1p，如圖(c)所示。第二步：使基本結(jié)構(gòu)的1結(jié)點(diǎn)發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角Z1，此時(shí)附加剛臂上的力矩為R11，如圖(d)所示。應(yīng)用疊加原理，(c)+(d)，則剛臂上的約束力矩為第十八頁，共三十三頁。設(shè)：沿Z1方向上單位轉(zhuǎn)角時(shí)，剛臂上的力矩為r11，則代入(a)式得(a)(8-4)這就是一個(gè)基本未知量時(shí)的位移法典型方程。r1111Z1Fp1圖(b)基本結(jié)構(gòu)=

FpR1p1圖(c)約束結(jié)點(diǎn)+R11圖(d)放松結(jié)點(diǎn)1Z1第十九頁，共三十三頁。對(duì)于本題：圖(e)圖32EI/a4EI/a2EI/a4EI/ar1132EI/aFpR1p1圖(f)Mp圖3Fpa/16R1p-3Fpa/16代入典型方程得求出結(jié)點(diǎn)1的轉(zhuǎn)角后，任一截面的內(nèi)力和反力由疊加原理得(8-5)第二十頁，共三十三頁。例1如圖示兩跨連續(xù)梁，做M圖(EI=常數(shù))。解：一個(gè)基本未知量Z1圖(b)基本結(jié)構(gòu)位移法基本方程為設(shè)q=2kN/mFp=20kNABC圖(a)3m3m6m圖(c)

圖4i2i3i∵圖(d)Mp圖15159930∴

第二十一頁，共三十三頁。由得最終M圖如圖(e)所示。圖(e)M圖(kN.m)11.5793016.71圖(c)

圖4i2i3i圖(d)Mp圖1515993011.5793016.71圖(e)M圖(kN.m)第二十二頁，共三十三頁。2有側(cè)移剛架的計(jì)算一般而言，剛架在結(jié)點(diǎn)處除了有角位移之外，還有結(jié)點(diǎn)線位移，這類剛架稱為有側(cè)移剛架。位移法分析有側(cè)移剛架時(shí)，基本思路與無側(cè)移剛架相同，只是分析時(shí)要復(fù)雜些，在用位移法分析有側(cè)移剛架時(shí)，應(yīng)注意基本未知量既包括角位移又包括線位移。例2如圖示剛架，做M圖(EI=常數(shù))。圖(a)ll/2l/2FpABCD圖(b)基本結(jié)構(gòu)FpABCDZ1Z2圖(c)約束結(jié)構(gòu)R1pFpR2pR2R1+=疊加(c)、(d)，注意到沿Z1、Z2方向原結(jié)構(gòu)無荷載作用，易得下面討論R1、R2的表達(dá)形式(a)Z2圖(d)放松結(jié)構(gòu)Z1第二十三頁，共三十三頁。r11r211Z1=1;Z2=04i2i3iZ1=0;Z2=1r12r2213i/l6i/l6i/l圖(f)圖(Z1=0;Z2=1)因?yàn)?a)(b)由(a)、(b)兩式得(8-6)這就是兩個(gè)基本未知量時(shí)的位移法典型方程

圖(e)圖(Z1=1;Z2=0)第二十四頁，共三十三頁。對(duì)于本題（反力互等定理）r12r2212i/l23i/l2r11r211Z1=1;Z2=04i2i3i圖(e)圖Z1=0;Z2=1r12r2213i/l6i/l6i/l圖(f)圖圖(c)Mp圖R1pFpR2pFpl/8Fpl/8Fpl/8第二十五頁，共三十三頁。代入典型方程得解之得；疊加法求任一截面的彎矩4i2i3i圖(e)圖3i/l6i/l6i/l圖(f)圖圖(g)M圖(×Fpl/552)2718366276013827183662760138圖(g)M圖(×Fpl/552)第二十六頁，共三十三頁。3位移法典型方程的一般形式

對(duì)于具有n個(gè)基本未知量的剛架，用完全相同的方法，可以得到相應(yīng)的n個(gè)基本未知量的典型方程為(8-7)寫成矩陣的形式為(8-8)上式中，{Z}為結(jié)點(diǎn)位移列向量；{Rp}為荷載列向量；[r]為剛度系數(shù)矩陣。第二十七頁，共三十三頁。注意：(1)

rij的物理意義為沿第j個(gè)位移Zj方向上單位位移（其余的位移分量全為零）時(shí)，在Zi方向上所產(chǎn)生的約束反力；(2)

rij=

rji

滿足反力互等定理；(3)

rii>0。第二十八頁，共三十三頁。例3如圖示剛架，做M圖。解：基本未知量2個(gè)，基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。位移法典型方程為令：i=EI/l

Fp圖(b)基本結(jié)構(gòu)5Fp

Z1

Z2

Fp=2kN圖(a)EIEIEI

EI=

kM

l=4m

l/2

l/2

llABCDE5Fp

圖(e)Mp圖0.57.57.5R1p

R2p

求系數(shù)已知：EI=常數(shù)，第二十九頁，共三十三頁。代入典型方程得圖(c)圖r11

r21

圖(d)

圖4i2ir12

r22

2i4i4i2i3i3i解之得；疊加法求任一截面的彎矩第三十頁，共三十三頁。最終M圖如圖(f)所示。圖(f)M圖（kN.m）0.0950.050.170.190.367.647.6410圖(c)圖2i4i4i2i3i3i圖(d)

圖4i2i圖(e)Mp圖0.57.57.5ABCDE；0.0950.050.170.190.367.647.641