關(guān)于身高的回歸分析課件

大學(xué)生統(tǒng)計(jì)報(bào)為什么我們身邊沒有巨人？

――統(tǒng)計(jì)學(xué)的父子身高回歸分析

英國(guó)著名遺傳學(xué)家弗朗西斯·高爾頓爵士（SirFrancisGalton,1822-1911）在子女與父母相像程度遺傳學(xué)研究方面，取得了重要進(jìn)展。高爾頓的學(xué)生卡爾·皮爾遜（KarlPearson,1857-1936）在繼續(xù)這一遺傳學(xué)研究的過程中，測(cè)量了1078個(gè)父親及其成年兒子的身高。他們之間的數(shù)量關(guān)系見圖1（K.PearsonandA.Lee，“Onthelawsofinheritanceinman”Biometrika，partii（1903）pp.357-462）圖中每一個(gè)點(diǎn)代表一對(duì)父子的身高關(guān)系。橫軸的X坐標(biāo)是父親的身高，縱軸的Y坐標(biāo)給出的是兒子的身高。我們看到，多數(shù)點(diǎn)子位于角平分斜線的兩側(cè)橢圓形面積之內(nèi)，落在斜線上的點(diǎn)子極少，即兒子與父親身高完全相同的極少。由點(diǎn)子落在斜線周圍還說明，高個(gè)子的父親有著較高身材的兒子，而矮個(gè)子父親的兒子身材也比較矮。同時(shí)，我們也看到一些遠(yuǎn)離斜線的點(diǎn)子，這些點(diǎn)子反映的是父親的身高與兒子的身高相差甚遠(yuǎn)的情況。比如高個(gè)子的父親有矮兒子的情況，或者矮父親有高個(gè)兒子的情況。圖1中散點(diǎn)圖給出父子身高的關(guān)系圖，但圖中給出的父親身高和兒子身高兩個(gè)變量的關(guān)系還是比較直觀的相關(guān)系數(shù)r就是對(duì)兩個(gè)變量間線性相關(guān)關(guān)系緊密程度的度量。相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為：式中分子部分為X和Y兩具變量的協(xié)方差，分母部分是X和Y兩個(gè)變量標(biāo)準(zhǔn)差的乘積。由于協(xié)方差是X和Y兩個(gè)變量與其均值離差乘積的數(shù)學(xué)期望，它受X和Y兩個(gè)變量度量單位大小的影響，因而在分母上除以X和Y兩個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，就將相關(guān)系數(shù)r轉(zhuǎn)化成從-1到1之間的相對(duì)數(shù)值。實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果為r=0.501，表明高個(gè)子的父親會(huì)有較高的兒子，矮身材的父親其兒子身體也不會(huì)很高，但這一正相關(guān)的關(guān)系并不十分明顯。那么，父子身高之間有什么規(guī)律呢？經(jīng)過對(duì)1078對(duì)父子身高數(shù)據(jù)的計(jì)算，得到：父親的平均身高=67.6英寸≈68英寸，標(biāo)準(zhǔn)差SX=2.74≈2.7英寸兒子的平均身高=68.7英寸≈69英寸，標(biāo)準(zhǔn)差SY=2.81≈2.8英寸（1英寸=2.54厘米）我們看到，兒子的平均身高比父親高一英寸，表明下一代的平均身高比上一代要高。這樣，我們會(huì)自然地猜測(cè)72英寸的父親平均會(huì)有73英寸的兒子；64英寸的父親平均會(huì)有65英寸的兒子，等等。那我們看一看圖2中的情況：要對(duì)上式求最小，微積分的知識(shí)告訴我們要求其偏導(dǎo)數(shù)并令其為零。即：整理這一聯(lián)立方程得到

Cov(XY)=r×SX×SY=0.501×2.74×2.81

=3.86父子身高的回歸方程為該回歸方程就是圖2中的回歸線（實(shí)線）。當(dāng)X1=58時(shí)，=63.8；當(dāng)X2=64時(shí)，=66.86。當(dāng)X3=72時(shí)，=70.94。這些回歸方程上的值實(shí)際上是當(dāng)Xi確定后，若干Yi的平均值。這一回歸直線和回歸方程表明，矮個(gè)子父親的兒子們平均身高會(huì)比父輩低一些，高個(gè)子父親的兒子們平均身高會(huì)比父輩低一些，即兒子們的身高會(huì)向平均值回歸。我們的讀者必然會(huì)問，現(xiàn)代人一代比一代高，為什么高個(gè)子父親的兒子們平均身高要比父輩低呢？細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)高爾頓和皮爾遜做研究時(shí)只觀察了父親和兒子的身高，并沒有考慮母親的身高。實(shí)際上，高個(gè)子父親的太太可能是較高的女性，也可能是較低的女性。反之，矮個(gè)子父親的太太可能是矮個(gè)子，也可能是較高的身材。而兒子的身高既受父親傳傳的影響，也受母親遺傳的影響，這就是為什么兒子們身高會(huì)發(fā)生“回歸”的原因。類似的回歸現(xiàn)象還有很多，比如我們連續(xù)觀察一群學(xué)生春秋兩季的考試成績(jī)，會(huì)發(fā)現(xiàn)春季考試得高分的學(xué)生在秋季考試中雖然平均分還比較高，但平均分會(huì)有所降低。反之，春季考試分?jǐn)?shù)最低的學(xué)生們秋季的平均分會(huì)有所提高。因?yàn)樵诳荚囍谐藢W(xué)生水平的高低這一主要因素影響之外，臨場(chǎng)發(fā)揮等偶然因素也會(huì)起到一定的作用。我們?cè)趹?yīng)用回歸方程時(shí)若能注意回歸效應(yīng)的特點(diǎn)，會(huì)幫助我們更好地分析和解決問題。由于已知r=0.501，SX=2.74，SY=2.81，則頻率與頻數(shù)DeweyG.統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語(yǔ)單詞中各字母出現(xiàn)的頻率，發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006從中我們看到字母E出現(xiàn)的頻率最大而字母Z出現(xiàn)的頻率最小等等結(jié)果，而且這些字母的頻率可以大致看成它們出現(xiàn)的概率。對(duì)于計(jì)算機(jī)鍵盤的設(shè)計(jì)和文字的研究，這些結(jié)果都有重要意義。編者寄語(yǔ)：有很多人說統(tǒng)計(jì)學(xué)枯燥乏味，實(shí)際運(yùn)用得很少，從我們本期報(bào)紙中，我們會(huì)看到不是我