離散-離散數(shù)學總復習

注意解題思路清論入手)分析問題,再按正向思寫出證明過程2全書知識網(wǎng)絡(luò)命題邏命題邏謂詞邏數(shù)理邏輯二元關(guān)集二元關(guān)集合初

函函<YX,~,∩,∪,－,,°,-n元運n元運形式語言與 復習重第一章命題邏輯(約聯(lián)結(jié)詞的定義(含義及真值表定義)和聯(lián)結(jié)詞全功能集會命題符號化式的證明和蘊涵式的證明,記住并能熟練應(yīng)用常用公式等價公式的證明,記住并能熟練應(yīng)用常用公式（P9基本 掌握對偶的定義、會求命題公式的（主）范式,能應(yīng)（主）范式解決問題（極大項和極小項的概念 第二章謂詞邏輯（約準確掌握有關(guān)概念會命題符號化（尤其注意特性謂詞的使用）.(如P39-例2.1-掌握常用的等價公式 蘊涵式.包括帶量詞的公式在論域內(nèi)展開式,量詞否定,量詞轄域擴充,量詞分配公式(P46§2.3).會用等價公式求謂詞公式的真值.(代換實例、公式的解釋P4例題和章后相關(guān)習題)了解掌握謂詞邏輯推理5第三章集合的基本概念與運算（約集合的表示,冪集,全集,空集集合的三種關(guān)系(包含,相等,真包含)的定義及證明集合的五種運算（交、并、相對補（差）、絕對補、對稱差）及相關(guān)性質(zhì).集合代數(shù)的算律（P61-集合中元素的計數(shù)、會應(yīng)用包含排斥原理6第四章二元關(guān)系和函數(shù)（約關(guān)系的概念,表示方法（集合、關(guān)系矩陣、關(guān)系圖二元關(guān)系的性質(zhì)的定義,熟練掌握性質(zhì)的判斷及證明關(guān)系的運算：掌握定義域、值域和域的概念、掌握關(guān)系的復合（注意：中定義的復合為左復合）,求逆及閉包運算(計算方法及有關(guān)性質(zhì))掌握等價關(guān)系的判斷,證明,求等價類和商集偏序關(guān)系的判斷,會畫Hasse圖,會求一個子集的極小(大元,最小(大)元,上界與下界,最小上界及最大下界函數(shù)的定義和性質(zhì)（單、滿、雙射會計算函數(shù)的復合(左復合),求反函數(shù).知道有關(guān)性質(zhì)7第五~論（約掌握圖的基本概念（無向圖、有向圖、有限圖、頂點、無向邊、有向邊、n階圖、零圖、平凡圖、關(guān)聯(lián)、相鄰等）。熟練掌握圖中關(guān)于結(jié)點度數(shù)的概念和定理(會應(yīng)用掌握通路、回路及其相關(guān)概念和定理（P123-124）掌握連通、強連通、距離、連通分支及連通分支數(shù)的概念和點、邊割集的概念.會求圖的矩陣（有向、無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣和有向圖的鄰接矩陣（ 的意義）、有向圖的可達矩陣）.掌握二部圖及相關(guān)概念（二部圖、匹配、極大匹配、最大匹配、完備匹配、完美匹配等）、會使用相異性條件和條件判定匹配的存在性。8會判 圖和漢密爾頓圖會判定平面圖,掌 公式會畫平面嵌入的對偶圖基本回路系統(tǒng)和基本割集系統(tǒng)、Huffman樹及編碼應(yīng)用第8章組合分析初步（約允許重復（多重集）的排列和組合（重點9 復 復各章內(nèi)容及例題選第一章命題邏定義了六個邏輯聯(lián)結(jié)詞，分別是(1)否定 (2)合取(3)析取 (4)異（排斥）或“(5)蘊涵 (6)等價要熟練掌握這五個聯(lián)結(jié)詞在自然語言中所表示的含義以及它們的真值表的定義。：否示“不∧：合取表示“不但…,而且...”“并且∨：析取表示：異或：蘊涵表示“如果…,則 可以將這六個聯(lián)結(jié)詞看成六種“運算”聯(lián)結(jié)詞的定義(包括真值表和含義 P 特別要注意“或者”的二義性,即要區(qū)分給定的“或”是“可兼取或∨”還是“不可兼取的

”“”的用法，它既表示“充分條件”也表示“必要條件”,即要弄清哪個作為前件,哪個作為后件.會命題符號化例如P:我有時間 Q:我上街 R:我在家表示P是Q的充分條件:如果p,則Q.只要P,就Q.PQ表示P是Q的必要條件:僅當P,才Q.只有P,才Q.QP如果P,則Q;否則R.(PQ)(PR)式的證明方法1.列真值表方法2.用公式的等價變換,化簡成例如證明(R(QR)(PQ))P 式證:上式(R(QR) (公式的否定公式((R(QR)) (結(jié)合律((RQ)(RR))((PP)(QP)(分配律(RQ)(QP)RQQP1(互補,同一律)001011100111001011100111 蘊涵B.方法1.列真值表方法3.假設(shè)后件假,推出前件假.(即反證法 證:假設(shè)后件(PQ)(PR)假,則PQ為1,PR為0,于是P為1,R為0,進而又得Q為1.所以QR為0,所以前件P(QR)為0.所以(P(QR))((PQ)(PR))為式 (原命題的真假性與逆否命題的真假性一致對于給定一個題,究竟是用哪種方法,原則上哪種都可以但是哪個方法簡單,要根據(jù)具體題而定 等價公式的證明,記住常用的公式方法1.列真值表方法2.用公式的等價變換例如:P(QR)(P∧Q)RP(QR)P(QR(PQ)R(PQ)∨R注意:不論是證明蘊涵式,還是證明等價公式必須一些常用的公如:蘊涵式、共同蘊含式（推理定律和推理規(guī)則）:P23-24,(等值公式):6.析取范式:A1∨A2∨...∨An(n≥1)Ai(i=1,2..n)是合取式合取范式:A1∧A2∧...∧An(n≥1)Ai(i=1,2..n)是析取式析取范式與合取范式的寫法極小極小項的性質(zhì)PQ0000010100101001001110006)極大其性質(zhì)PQ000111011011101101111110主析取范式A1∨A2∨...∨An主合取范式A1∧A2∧...∧AnAi(i=1,2..n)極小項Ai(i=1,2..n)極大項9).9)..QR求下面命題公式的范式0001方法1.列真值表00001110110110001011主析取范11110101(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R主合取范(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R方法2.用公式的等價變換主析取范式;A(P,Q,R)(P∨Q)∨R(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R主合取范式:A(P,Q,R)(P∨Q)∨R(P∨R(P∨(Q∧Q)∨R(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨Rm0,m3,m4,m5,m7求它的主合取范式.解:G的主合取范式中含有大項:M1,M2G(P∨Q∨R*范式的應(yīng)如P35習題1.141.15會用推理方法,進行邏輯推理例如:((A∧B)C)∧D∧(C∨D直接推理 前提引 前提引 前提引 拒取 等值置((A∧B)C)∧D∧(C∨D)條件（附加前提）論證適用于結(jié)論是蘊涵式A∨B 附 前提引 等值置 假言推 前提引 前提引 ((A∧B)C)∧D∧(C∨D)反證（歸謬）法 ⑴等值置 前提引 （3）假言推 前提引 前提引 （5）（6）析 合取引第二章謂詞邏準確掌握有關(guān)概念會命題符號化掌握常用的等價公式 蘊涵式.包括帶量詞的公式在論域內(nèi)展開式,量詞否定,量詞轄域擴充,量詞分配公式.會用等價公式求謂詞公式的真值了解謂詞邏輯推理第二章謂詞邏準確掌握有關(guān)概念客體量詞全 域前束范式 會命題符號化.(如P38-41例題命題的符號表達式與論域有關(guān)。當論域擴大時，需要添加用來表示客體特性的謂詞，稱此謂詞為特性謂詞特性謂詞往往就是給定命題中量詞后邊的那個名詞。如“所有自然數(shù)...”、“有些大學生...”。如何添加特性謂詞，這是個十分重要的問題，這與前邊的量詞有關(guān)。（P39***式）另外有些命題里有的客體在句中沒有明確的量詞,而在寫它的符號表達式時,必須把隱含的量詞明確的寫出來.例如⑴金子閃光,但閃光的不一定都是金子設(shè)G(x):x是金子.F(x):x閃光⑵沒有大學生不懂外語S(x):x是大學生F(x):x外語.K(x,y):x懂得⑶有些液體可以溶解所有固體F(x):x是液體.S(x):x是固體.D(x,y):x可溶解⑷每個大學生 一些文體活動 y,C(x):x是文娛活動， 掌握常用的等價公式 蘊涵式.包括帶量詞的公式在論域內(nèi)展開式,量詞否定,量詞轄域擴充,量詞分配公式.設(shè)論域為 ,an}，1). 2). 1).2).1).2).3).4).5).6).7).8).1).2).3).4).會用等價公式求謂詞公式的真值例設(shè)論域為{1,2},A(x,y):x+y=xy,求xyA(x,y)的真值xyA(x,y)(11)(10) (去xF(x,y)yG(y) xF(x,y)yG(y) (量詞否定xF(x,zyG(y) (變元換名xyu((F(x,zG(y) (轄域擴充6.了解謂詞邏輯推理注意使用ES、US、EG、UG的限制條件,特別是對于同一個客體變元，既有帶也有帶的前提，去量詞時，應(yīng)先去后去，這樣才可以特指同一個客體c.3)去量詞時，該量詞必須是公式的最左邊的量詞，且此量詞的前邊無任何符號，它的轄域作用到公式末尾下面的作法是錯誤的xP(x)→xQ(x)前提引P(c)→xQ(x)US⑴實際上x的轄域擴充量詞改成為正確作法xP(x)→xQ(x)前提引 ⑴置 ⑵置 置⑸ ⑸置下面的作法是錯誤的 前提引 實際上⑴中量詞不x而是⑴xyP(x,y)前提引⑵xP(x,c)

正確作法⑴xP(x)前提引⑵ ⑶ ⑴xyP(x,y提引 4)添加量詞時，也要加在公式的最左邊，(即新加的量詞前也無任何符號??！)且其轄域作用到公式的末尾。例如下面作法是錯誤的: ⑴xPx→Q(c)前提引入⑵xP(x)→yQ(y)第三章集合論集合的表示,冪集,全集,空集集合的三種關(guān)系(包含,相等,真包含)的定義及證明集合的五種運算及相關(guān)性質(zhì)應(yīng)用包含排斥原理第三章集合的基本概念與運基本概念:集合與元素,子集與真子集空集全集冪集,并集,交集,相對補集(差集),絕對補集(補集)集合的表示,集合的三種表示方法枚舉法:一一列出集合中的元素謂詞描述法:用謂詞描述集合中元素的性質(zhì)文氏圖用一個平面區(qū)域表示.ABx(x∈Ax∈B)A=BABBAx(x∈Ax∈B)3空集,全集冪空集φ:無元素的集合.x∈Φ 式.(空集是唯一的全集E:包含所討論所有集合的集合.(全集不唯一) 冪集:由A的所有子集構(gòu)成的集合 x∈A∩Bx∈A∧x∈BA∪B={x|x∈A∨x∈B} x∈A∪Bx∈A∨x∈BA-B={x|x∈A∧xB} x∈A-Bx∈A∧xB~A=E- A-B=A∩例1.已知全集E={Φ,{Φ}},AE,計算 解:a)因為任何集合AAA=Φ所因為ΦA(chǔ)Φ~A即Φ∈P(A)Φ∈P(~A)所P(~{{Φ}})=P({Φ})=P(E)-P(~{{Φ}}))={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}-例2證明A-B)-C=A方法1A-B)-C=(A~B)~C=A∩~B∩=A∩~(B∪C)=A-方法2.任取x∈(A-B)-x∈A∧(xB∧xC)x∈A∧(x∈A∧(x∈B∪C)x∈A∧xB∪Cx∈A-所以(A-B)-C=A例3.令全集E為信息學院的學生的集合,C表示計算機?！皩W習了離散數(shù)學和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課的學生,一定是計算機專業(yè)的非一年級的學生”.解 例5.在什么條件下，下面命題為真(A-B)∪(A-解.(A-B)∪(A-C)=A∩~(B∩C)=A-所以滿足此式的充要條件是：A∩B∩C=(A-B)∪(A-解.(A-B)∪(A-C)A-(B∩C)=Φ充要條件是：A解.(A-B)∩(A-C)A∩~(B∪C)=A 充要條件是:A(A-B)(A-解.且僅當A=B，才有AB=Φ所以滿足此式的充要條件是:A-B=A-C例6有14位學生參加考試,9位同學數(shù)學得了優(yōu);5位同學物解.令A(yù)、B、C分別表示數(shù)學、物理、化學得優(yōu)同學集合.全集為E.于是有4 9 5 4 于是得到優(yōu)的人數(shù)是10人優(yōu)的人數(shù)是14-10=4恰有兩門得優(yōu)的人數(shù):(|A∩B|-第四章二元關(guān)系與函關(guān)系的概念,表示方法二元關(guān)系的性質(zhì)的定義,熟練掌握性質(zhì)的判斷及證明掌握關(guān)系的復合,求逆及閉包運算(計算方法及有關(guān)性質(zhì)掌握等價關(guān)系的判斷,證明,求等價類和商集偏序關(guān)系的判斷,會畫Hasse圖,會求一個子集的極小(大元,最小(大)元,上界與下界,最小上界及最大下界注意本章證明題的證明過程的一.關(guān)系的概念,表示方法,三個特殊關(guān)系集合的笛卡爾積A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}|A|=m,|B|=n設(shè)A={0,1}，B={a,b}，求AB二定義1:設(shè)A、Ｂ是集合,如果ＲA×B,則稱R是一個從AB的二元關(guān)系。如果RA×A,則稱R是A上的二元關(guān)系如果|A|=m|B|=n則可以確定2mn個從A到B的不同關(guān)系.關(guān)系的表示方枚舉即將關(guān)系中所有序偶一一列舉出，寫在大括號內(nèi).如:R={<1,2>,<3,4>,<4,2>}2).(描述法)謂詞公式法即用謂詞公式描述序偶中元素的關(guān)系。有向圖法 1 R1 2 c3 c4

R2

1 4 矩陣表示法：(實際上就是圖論中的鄰接矩陣設(shè)A={a1a2am}，B={b1b2bn}是個有 若

若

空關(guān)系ΦA(chǔ)×B，(或ΦA(chǔ)×A)，即無任何元素的關(guān)系它的關(guān)系圖中只有結(jié)點,無任何邊；它的矩陣中全是0完全關(guān)系(全域關(guān)系)A×B(或A×A)本身是一個從A到B(或A上)的完全關(guān)系即含有全部序偶的關(guān)系。它的矩陣中全是1恒等關(guān)系IAA×A,且IA={<x,x>|x∈A}稱之為A上的恒等關(guān)系。例如A={1,2,3},則IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}A上的Φ、完全關(guān)系A(chǔ)×A及IA的關(guān)系圖及矩陣如下1 12

12。2。

000000

111111

MIA

100100

二.關(guān)系的性質(zhì)熟練掌握性質(zhì)的判斷及證明自反定義:設(shè)R是集合A中的關(guān)系，如果對于任意x∈A都<x,x>∈R(xRx)，則稱R是A中自反關(guān)系。即反自反定義：設(shè)R是集合A中的關(guān)系，如果對于任意的x∈A都<x,x>R，則稱R為A中的反自反關(guān)系。R是A中反自反的對稱定義:R是集合A中關(guān)系,若對任何x,y∈A,如果有xRy,必有R是A上對稱的xy((xAyAxRy)稱定義:設(shè)R為集合A中關(guān)系,若對任何x,y∈A,如果有xRy,和 稱關(guān)系。R是A 稱的xy((xAyAxRyyRx)傳遞定義R是A中關(guān)系，對任何x,y,z∈A,如果有xRy,和yRz,就有xRz則稱R為A中傳遞關(guān)系。即R在A上傳這些性質(zhì)要求會判斷,會證明這里特別要注意的是些定義都是蘊涵式以當蘊涵式當前件為假時,此蘊涵式為真,即此性質(zhì)成立!!性質(zhì)判定從關(guān)系的有從關(guān)系的矩自反每個結(jié)點都主對角線全是反自反每個結(jié)點都主對角線全是對稱不同結(jié)點間如果有邊稱的位置不會同時為傳遞或者使得前件為假判斷下面關(guān)系的性質(zhì)12。12。12。12。自反反自反對稱稱傳遞YNNYYNYNYNYNYNYYNYYY12。12。12。12。自反反自反對稱稱傳遞NYNYYNNYNNNNNNNNYYYY關(guān)系性質(zhì)當證明方法歸納:設(shè)R是A上關(guān)系證明R的自反性方法1用自反定義證：任x∈A,證出方法2用恒等關(guān)系IA證：證出IA方法3用自反閉包證：證出r(R)=R,即證明R的反自反性方法1用反自反定義證：任x∈A,證出證明R的對稱性方法1用對稱定義證x,y∈A,設(shè)<x,y>∈R,方法用求逆關(guān)系證：證出R-方法用對稱閉包證：證出即R∪R-證明R 稱性方法1用定義1證x,y∈A,設(shè)<x,y>∈R<y,x>∈R.x=y。x,y∈A,x≠y,設(shè)<x,y>∈R,證出<y,x>R.方法3用相關(guān)結(jié)論證R∩R-1IA.證明R的傳遞性方法1用傳遞定義證任取x,y,z∈A,設(shè)<x,y>∈R,<y,z>∈R,證出方法2用傳遞閉包證R∪R2∪R3∪方法3用相關(guān)結(jié)論證

Ro可以根據(jù)具體情況,選用相應(yīng)方法證明.握的是用基本定義證明:設(shè)RY×Z，SX×YR°SX×Z。R°S={<x,z>|xXzZy(yY<x,y>S<y,z>R)}(俗稱過河拆橋法⑴枚舉法⑵有向

RSa 。 。cc c

a 。 。c 。⑶矩M

=

性

R°

011

=滿足結(jié)合律 SB×CRC×D ⑴R°⑵R°R°IB=IA°R=R推論:RA×A,則R°IA=IA° (IA是運算°的幺元關(guān)系的乘冪R0 Rm°Rn=(Rm)n (m,n為非負整數(shù)關(guān)定義:設(shè)RX×Y，R的逆關(guān)系R-<y,x>∈R-1計算方 R-1R-1的有向圖:是將R的有向圖的所有邊的方向顛倒R-1的矩陣MR-1 即為R矩陣的轉(zhuǎn)性令R、S都是從X到Y(jié)的關(guān)系1).(R-1)-1=2)(R∪S)-1R-1∪S-13)(R∩S)-1R-1∩S-1(R－S)-1R-1－S-1 RSR-1S-16).(~R)-1=~R-令R是從X到Y(jié)的關(guān)系，S是YZ的關(guān)系，則(R°S)-1=S-1R-1。R是AR是對稱的，當且僅R-1⑵R 稱的，當且僅當R∩R-1IA(三).閉包運定義：給定A中關(guān)系R,若A上另一個關(guān)系R’，滿足：⑴⑵R’是自反的(對稱的、傳遞的 的關(guān)系R”,如果RR”,就有R’R”。則稱R’是R的自反(對稱、傳遞)閉包。記作r(R)、s(R)、t(R)計算方法A中關(guān)系Rs(R)=R∪R-1t(R)=R∪R2∪R3∪...閉包的運算有三種形式 RA×A r(R)=R∪IAs(R)=R∪RC ={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>.<b,b>, R

R

∪

矩陣形式

=M

R-

∨

M1(R)=R

∨R∨R3

=

∨100

=性R是A⑴R是自反的，當且僅當R是對稱的，當且僅當R是傳遞的，當且僅當R是A⑴R是自反的，則s(R)和t(R)R是對稱的，則r(R)和t(R)也對稱⑶R是傳遞的，則r(R)也傳遞*3).設(shè)R是A上關(guān)系，⑴⑵⑶四.等價關(guān)掌握等價關(guān)系的判斷,證明,求等價類和商了解集合的劃分與覆蓋的概念例 A4={{1,2},{2,3}},A1A2,A3,A4是覆蓋A1A2,A3也是劃分等價關(guān)系定義:設(shè)R是A上關(guān)系,若R是自反的、對稱的和傳，則稱R是A中的等價關(guān)系。等價關(guān)系R的有向圖:可能由若干個獨立子圖構(gòu)成的，每個獨立子圖都是完全關(guān)系圖。12。

1 2。

12等價類稱集合[a]R為由a形成的R等價類由等價關(guān)系圖求等價類：R圖中每個獨立子圖上的點構(gòu)成一個等價類。不同的等價類個數(shù)=獨立子圖個數(shù)等價類性 R是A上等價關(guān)系，任意⑴同一個等價類中的元素，彼此有等價關(guān)系R⑵[a]R∩[b]R=Φ，當且僅當<a,b>R[a]R=[b]R當且僅<a,b>∈R⑷.A中任何元素a,a必屬于且僅屬于一個等價類⑸.任意兩個等價類要么[a]R=[b]R，要么[a]R∩[b]R=Φ⑹R的所有等價類構(gòu)成的集合是A的一個劃分商集定義：R是A上等價關(guān)系，由R的所有等價類構(gòu)成的集合稱之為A關(guān)于R的商集。記作R。即{[a]Ra∈A}1按照集合的等勢關(guān)系(是等價關(guān)系)“~”對集合族S進行劃分，得到商集，進而得到基數(shù)類的概念。無元 1個元 2個元 3個元素可數(shù)集不可數(shù)集無向圖結(jié)點之間的連通關(guān)系是個等價關(guān)系令G=<V,E>是無向圖R是V上連通關(guān)系例.給定圖G如右上圖所示:

°g 圖的同構(gòu)關(guān)系≌是個等價關(guān)系 ° 令上述圖構(gòu)成的集合A={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,},求商集 .R和S都是A上等價關(guān)系,下面哪個是A上等價關(guān)系證明或舉反例說明a) b c)~R即A×A-d)R- e)R-解.a)cd0)不是請看反例b。Rb。Sb。b。b。b。b。bR∩S是等價關(guān)系證明：1明R∩S方法1用自反定義證：任x∈A,(證出因R和S都自反，所以有<x,x>∈R，<x,x>∈S<x,x>∈R∩S，所以R∩S也自反方法2用恒等關(guān)系IA證：(證出IA因R和S都自反，所IAR，IAS，所以IA所以R∩S方法3用自反閉包證(證出r(R∩S)=R∩S,(R∩S)∪IAR∩S)因R和S都自反，所以r(R)=R,r(S)=S,r(R∩S)=(R∩S)∪IA=(R∪IA)∩(S∪IA) 所以R∩S也自反證明R∩S的對稱性方法1用對稱定義證x,y∈A,設(shè)<x,y>∈R∩S,(則<x,y>∈R，<x,y>∈S，因為R和S對稱，所以<y,x>∈R，<y,x>∈S，于是<y,x>∈R∩S?！郣∩S對稱方法2用求逆關(guān)系證：((R∩S)-1=R∩S.)因為R和S對稱，所以有R-1=RS-1=S，而(R∩S)-1=R-1∩S-1=R∩SR∩S對稱。方法3用對稱閉包證(s(R∩S)=R∩S因為R和S對稱，所以s(R∩S)=(R∩S)∪(R∩S)c=(R∪R-1)∩(R∪S-1)∩(S∪S-1)∩(S∪R-=(s(R)∩(R∪S-1))∩(s(S)∩(S∪R-=(R∩(R∪S-1))∩(S∩(S∪R-1))=R∩S(吸收律∴R∩S對稱證明R∩S的傳遞性方法1用傳遞定義證：任設(shè)<x,y>∈R∩S,<y,z>∈R∩S,(證出(<x,y>∈R∧<y,z>∈R)∧(<x,y>∈S<x,z>∈R∧<x,z>∈S（因為R、S傳遞<x,z>∈R∩S e)證明.R2是等價關(guān)系方法1.如果R自反和傳遞,則R2=R,所R2也是等價關(guān)系方法2.①證R2自反任取a∈A,因為R自反,所以<a,a>∈R,根據(jù)關(guān)系的復合得<a,a>∈RR,即<a,a>∈R2,所以R2②證R2對稱 (由R對稱得Rc=R)∴R2對③證R2傳遞(d∈A∧<a,d>∈R∧<d,b>∈R)∧(e∈A∧<b,e>∈R∧<e,c>∈R)由于R傳遞,所以有<a,b>∈R,<b,c>∈R∴<a,c>∈R2所以R2傳遞。最后得R2是等價關(guān)系。g).R是A上等價關(guān)系,則R-1也是A上等價關(guān)系證明1)證R-1自反因為任取x∈A,因R自反，所以<x,x>∈R,∴<x,x>∈R-R對稱，證R-1也對稱因為R對稱，所以R-1=RR-1也對稱R傳遞，證R-1也傳遞方法1.任取x,y,z∈A且有<x,y>∈R-1,<y,z>∈R-1于<y,x>∈R,<z,y>∈R，因R傳遞，∴<z,x>∈R,于是<x,z>∈R-1，∴R-1傳遞方法2t(R-1)=R-1∪(R-1)2∪(R-=R-1∪(R2)-1∪(R3)-1∪…=(R∪R2∪R3∪…)-t(R))-1=R- 所以R-1所以R-1是A上等價關(guān)系練習2.五.設(shè)X={1,2,3}Y={1,2}在X的冪集P(X)上定義二元關(guān)系R如下:對于任何A,B∈P(X),ARB當且僅畫出關(guān)系R的有向圖R是等價關(guān)系嗎?如果是,請寫出商集P(X)/R.如果不是請解.1.關(guān)系R的有向圖

2.從R有向圖看出R有 稱和傳遞性,故是等價關(guān)五.偏序關(guān)系判斷,會畫Hasse圖,會求一個子集的極(大)元,最小(大)元,上界與下界,最小上界及最大下界 x與y是可比較的：<A,≤>是偏序集，x,y∈A，如果要么x≤y,要么y≤x,則稱x與y是可比較的。定義：<A,≤>是偏序集，任何x,y∈A，如果x與y都是可比較的，則稱≤是全序關(guān)系(線序、鏈)。偏序集Hasse圖的畫法<A,≤>是偏序集用“°”表示A中元素如果x≤y,且x≠y，則結(jié)點y要畫在結(jié)點x的上方如果x≤y,且y蓋住x，x與y之間連一直線從最下層結(jié)點(全是射出的邊與之相連，逐層向上畫，直到最上層結(jié)點(全是射入的邊與之相連)。1 。2 。６。４

1 。2 。４２ ２１ １重要元y是B的極小元(在B中沒有比y更小的元素了，y就是極小元y是B的極大元(在B中沒有比y更大的元素了，y就是極大元y是B的最小元y(y∈B∧x(x∈B(最小元y是B中元素，該元素比B中所有元素都y是B的最大元y(y∈B∧x(x∈By是B的上界y(y∈A∧x(x∈Bx≤y))(上界y是A中元素，該元素比B中所有元素都y是B的下界y(y∈A∧x(x∈B(下界y是A中元素，該元素比B中所有元素都y是B的上界，并且對B的所有上界x,都有y≤x,則稱是B的最小上界(上確界)，記作LUBB=y。(即y是上界中最小的。如果B有上確界，則是唯一稱y是B的最大下界(下確界)，記作GLBB=y(即y是下界中最大的。如果B有上確界，則是唯一例如

12

18B的極小元 極大元:

62。下確界 上確界 １ 函數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)的類型,會判斷,會證明會計算函數(shù)的復合(左復合),求逆函數(shù).知道有關(guān)性質(zhì)一.概定義：與Y集合，f是從X到Y(jié)的關(guān)系，如果任何x∈X，都存在唯一y∈Y，使得<x,y>∈,則稱f是從X到Y(jié)的函數(shù)，變換、)，記作f:XY.如果f:XX是函數(shù)也稱f是X上的函數(shù).函數(shù)相等: 從X到Y(jié)函數(shù)的集合YX：YX={f|YX：它是由所有的從X到Y(jié)函數(shù)構(gòu)成的集合特殊函常值函數(shù)：函數(shù)f:XY，如果y0∈Y使得對x∈X,有f(x)=y0,即ranf={y0},稱f是常值函數(shù)。之為恒等函數(shù)。顯然對于x∈X，有IX(x)=x。 函數(shù)的類型,會判斷,會證明滿射的：f:XYR0=Y,則稱f是滿射的。證明方法:任取y∈Y,看是否能夠找到對應(yīng)的自變元x∈X,y=f(x).映內(nèi)的：f:XY是函數(shù)，如果R0Y則稱0是映內(nèi)的入射的：f:XY是函數(shù)，如果對于任何x1,x2∈X如果x1≠x2有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),則x1=x2),則稱f是入射的，也稱f是單射的，也稱f是一對一的。證明的方法:如定義中所說雙射的：f:XY是函數(shù)，如果f既是滿射的，又是f是雙射的，也稱f是一一對應(yīng)的。雙射是個重要概念,我們 上述五個關(guān)系中，哪些是從R到R的函數(shù)。如果是函數(shù)說明它是屬于什么類型的（指滿射、入射、雙射）如果不是函數(shù)，說明理由 解.R1不是從R到R的函數(shù),x是負數(shù) 無定義,另外當x>0時,有兩個y值與之對R2是從R到R的函數(shù),是雙射的R5不是從R到R的函數(shù),因為|x|>2時,無定義.|x|<2時對應(yīng)的函數(shù)值不唯一. 79二.會計算函數(shù)復合(左復合),求逆函數(shù).知道有關(guān)性質(zhì)函數(shù)的復1)定義f:XYg:YZ是函數(shù),則定gf={<x,z>|xXzZy(yYgf為f與g的復合函數(shù)(左復合注意:這里把g寫在f的左邊了.所以叫左復合gf:XZ,即gf是X到Z的函數(shù).這樣寫是為了 :gf(x)=g(f(x)) 復合函數(shù)的計計算方法同復合關(guān)系的計算.但要注意是左復合函數(shù)復合的性滿足可結(jié)合性f:XYg:YZ,h:ZW是函數(shù),(h°g)°f=h°(g°定理5-2.2f:XYg:YZ是兩個函數(shù)a).如果f和g是滿射的，則gf也是滿射的；b).如果f和g是入射的gf也是入射的；c).如果f和g是雙射的gf也是雙⑴如果g°f是滿射的，則g是滿射的⑵如果g°f是入射的，則f是入射的⑶如果g°f是雙射的，則0是入射的和g是滿射的f:XY是函數(shù),則f°IX= 且IY°f=ff:XX是函數(shù),f°IX=IX°f=0。IX是運算“°”的幺反函定義：設(shè)f:Xy是雙射的函數(shù)，f-1:YX也是函數(shù)稱f的反函數(shù)。f-1存在，也稱f可逆。性設(shè)f:Xy是雙射的函數(shù)，則(f-1)-10設(shè)f:XY是雙射的函數(shù)，則有f-1f=IXff-1IYf:XYg:YX是兩個函數(shù)如g°f= 且f°g= ,則g=f-1f:XY,g:YX是兩個雙射函數(shù),(g°f)-1=f-1°g-第五~一.圖的概圖的定義有向邊,無向邊,平行邊,環(huán)鄰接點,鄰接邊,孤立結(jié)點有向圖無向圖,簡單圖,混合圖,零圖,平凡圖,多重圖,完全圖,子圖,生成子圖,補圖,結(jié)點的度結(jié)點的出度結(jié)點的入度,圖所有結(jié)點度數(shù)總和與邊的關(guān)系出度和與入度和關(guān)系二.路與回路,回路,跡,閉跡,通路,無向圖的連通性:連通圖,連通分支,連通分支數(shù)W(G),點割集,割點,點連通度結(jié)點間的距離,圖的直徑有向圖的連通性:可達性強連通,單側(cè)連通,弱連通強分圖,單側(cè)分圖,弱分圖.(會三.圖的矩鄰接矩陣A:結(jié)點與結(jié)點之間的鄰接關(guān)系矩陣根據(jù)鄰接矩陣判斷:各結(jié)點的度,有向圖結(jié)點出,入度.可達矩陣P:結(jié)點u到結(jié)點v的可達性的矩陣用P可以判定:各結(jié)點的度有向圖的強分圖.用M判定:各結(jié)點的 判定有 路的充要條件:無或有兩個奇數(shù)度的結(jié)點.有 回路的充要條件:所有結(jié)點度數(shù)均為偶數(shù).必要條件V的任何非空子集,有W(-充分條件:每對結(jié)點的度數(shù)和≥|=n五.平面公式:nm+r=2.平面圖的判定 基定理定理8.13G是平面圖G中不含與K5同胚的子圖也不含與K3,3同胚的子圖定理 G是平面圖G中無可收縮為K5的子圖也無可收縮為K3,3的子圖六.對偶會畫平面嵌入的對偶圖七二部握相異性條件和t條件（會應(yīng)用八、基本回路系統(tǒng)和基本割集系統(tǒng)的概念，Huffman樹的概念及應(yīng)用。練習請畫出K5的所有解K5的生成樹1邊數(shù)為4,1的度數(shù)和為 ° 今有a,b,c,d,e,0,g七個人,已知下列事 c:會講英語,意大利語和俄語d:會講日語和漢語e:會講德語和意大利 f: 語,日語,俄g: 語和德語試問能否將這七個人適當安排座位,使得每個人都能和他兩邊的人直接交談?若能,請給予安排.若不能,說明理由.解以a,b,c,d,e,f,g為結(jié)點,如果兩個從此圖中找到H回路:按照此回路坐成一個圓圈,就可

使得每個人都可以和它兩邊的人直接交談圖?哪些可能構(gòu)成漢密爾頓圖?哪些可能是完全圖哪些可能是樹?如果能.請畫出一個那樣的圖如果不能 d.(2,3,3,4,4) 解.a.(1,2,3,3)不能構(gòu)成無向連通圖的結(jié)點度數(shù)序列因為此序列中有三個奇數(shù),不附和握手定理 b.(3,3,3,3)可以是個完全圖K3,是個H圖. c.(1,1,1,1,2,4)可以是棵d.(2,3,3,4,4)構(gòu)成無向連通圖

結(jié)點度數(shù)序列,是個H圖 e.(2,3,4,4,5可構(gòu)成連通圖的結(jié)點序列.但不是簡單圖,5個結(jié)點中有一個結(jié)點度為,所以不是有環(huán),就是有平行邊. f.(2,2,2,2,4)是 圖 ° 第8合分析的復習課件另考試樣題考試樣題樣題中未包含選擇題和填空題，正式考試試卷中有這兩種題型和證明題，此外樣題覆蓋的范圍也不全面。樣題的示范作用主要體現(xiàn)在題目的難度和綜合性上。一.試將下面命題符號化僅當天不如 出差，那么小王和小兩人中要有一個出差每個大學生 一些文體活動 沒有大學生不懂外語。(S(x):x是大學生懂得yf(x):x是外語。命題公P→Q)→P取范式。三求下面謂詞公式的真值。要求有解題的過程。x(PQ(x))∨R(a),