概率計算及條件概率

§3概率的計算解：設(shè)所求事件為A.解：設(shè)A表示指定的3人排在一起。例1從0到9這十個數(shù)字中任取三個，問大小在中間的號碼恰為5的概率是多少？例29個人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!例3一批產(chǎn)品共有10個，其中有4個廢品，求：(1)這批產(chǎn)品的廢品率(2)任取3個恰有1個是廢品的概率(3)任取3個全非廢品的概率解：分別用A、A1、A0表示上述三個事件=0.4=0.5注：若是有放回地抽取，答案會不同，如=0.216概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!例4兩封信隨機地投向標號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四個郵筒。求第二個郵筒恰好被投入1封信的概率以及前兩個郵筒中各有一封信的概率。解：設(shè)A表示第二個郵筒中投入一封信。B表示前兩個郵筒各有一封信。兩封信共有42種可能的投法。A的不同投法有種B的不同投法有概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。有放回時，每人面對的簽數(shù)是相同的乙抽取時，可能與甲的抽取情況有關(guān)，但可將甲與乙的抽取同時考慮，只要乙抽到難簽即可例5(抽簽的公正性)設(shè)有3個難簽，5個易簽。甲、乙、丙依次抽取，分別在有放回與不放回的情況下計算各人抽到難簽的概率。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!(1)七個數(shù)字全不同的事件A1(2)不含1與0的事件A2(3)兩個偶數(shù)五個奇數(shù)的事件A3解：基本事件總數(shù)為107=0.06048=0.20972=0.164例7從0到9十個數(shù)字種任取一個，取后放回，再取。先后共取七個數(shù)字。求下述事件的概率。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!§4概率的加法法則解：A、B分別表示一、二等品，A+B表示產(chǎn)品合格故P(A+B)=P(A)+P(B)可以推廣為一般的加法法則：若A與B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)可以得到一些重要的推廣。例110件產(chǎn)品中有6個一等品，3個二等品，1個廢品。規(guī)定一、二等品為合格品。求合格率與一、二等品之間的關(guān)系。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)稱為廣義加法法則A+B=A+(B-A)由于A與B-A互斥故P(A+B)=P(A)+P(B-A)再由(3)得證?？梢?，只需P(AB)=0加法法則就成立。若是多個事件之和，公式會變復(fù)雜。這是因為由圖AB概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!解：分別用A2與A3表示抽到兩個與三個白球。A2與A3互斥由加法法則，所求概率為P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)例2袋中有大小相同的7個球，4個是白球，3個為黑球。從中一次取出3個，求至少有兩個是白球的概率。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!解：Ai表示有正好有i張相同。i＝0，2，3例4現(xiàn)有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。求(1)三張?zhí)柎a不同的概率。(2)三張中有相同號碼的概率。(3)三張中至多有兩張同號的概率。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!例5甲盒中有2個紅球1個白球，乙盒中有2個白球1個紅球。從甲盒中取一球放入乙盒，再從乙盒中取一球放入甲盒。求甲盒成分不變的概率。解：甲盒成分不變，包括兩種情況從甲盒中取出紅球，從乙盒中也取出紅球,記為A從甲盒中取出白球，從乙盒中也取出白球,記為BA與B互斥基本事件總數(shù)為3×4＝12A的基本事件數(shù)2×2＝4B的基本事件數(shù)1×3=3概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!例7你的班級中是否有人有相同的生日？這一事件的概率有多大？解：設(shè)人的生日在一年365天的每一天是等可能的A表示n個人組成的班級中有人生日相同?；臼录倲?shù)為365nA的基本事件數(shù)不易確定。故P(A)=1-P(ā)概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!例2市場上供應(yīng)的電風(fēng)扇中，甲廠產(chǎn)品占70％，乙廠占30％。甲廠產(chǎn)品的合格率是95％，乙廠的合格率是80％。若用事件A,ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品，試寫出有關(guān)事件的概率。解：由題設(shè)P(A)=0.7P(ā)=0.3P(B|A)=0.95P(B|ā)=0.8概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!在例3中可以觀察到它是條件概率的計算公式。要求P(A)>0,P(B)>0關(guān)于n個事件A1,A2,…,An的乘法規(guī)則是P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)定理1(乘法規(guī)則)若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!解：設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難簽。例510個考簽中有4個難簽，3人參加抽簽(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都抽到難簽，甲沒抽到難簽而乙抽到難簽以及甲乙丙都抽到難簽的概率。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!錯解：在另9個產(chǎn)品中(含3個廢品)取到廢品的概率正解：用A表示件是廢品，B表示第二件是廢品已知有一個是廢品，即表示至少有一個廢品，就是A+B若另一個也是廢品，則兩個都是廢品即AB因(A+B)AB=AB例710件產(chǎn)品中有4件廢品，任取兩件。若已知有一個是廢品，求另一個也是廢品。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!例6設(shè)有5個人，每個人以同等機會被分配在7個房間中，求恰好有5個房間中各有一個人的概率。解：設(shè)A表示恰有5個房間中各有一個人。每人進入各房間等可能基本事件總數(shù)為75個。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!例8兩人約定于早上8點至9點在校門口見面。要求先到者等20分鐘后離去。假定兩人到校門的時間相互獨立，而且在8至9點間是等可能的。問兩人能見面的概率是多少？解：以x與y分別表示兩人在8點之后到達校門口的分鐘數(shù)。則0≤x≤60,0≤y≤60兩人能見面，即|x-y|≤20即圖中的陰影部分能見面的概率為602002060概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!(1)如果n個事件A1,A2,…,An兩兩互斥，則P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)若A1,A2,…,An構(gòu)成一個完備事件組，它們的概率和為P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特別地，對立事件的概率之和為1。P(A)+P(ā)=1常用形式為 P(A)=1-P(ā)一般有P(B-A)=P(B)-P(AB)這是因為B=(B-A)+AB見右圖BA概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!P(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P((A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)其中要注意(AC)(BC)=ABC類似地，可以證明P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!例350個產(chǎn)品中有46個合格品與4個廢品，從中一次抽取3個，求其中有廢品的概率。解：用Ai表示取到i個廢品。A1,A2,A3互斥故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!(2)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)(3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2)＝1－P(A3)概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!解：A表示能被6整除。B表示能被8整除。例6從1到200中任取一數(shù)。求(1)能被6與8同時整除的概率。(2)不能被6或8整除的概率。概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!§5條件概率與乘法規(guī)則(1)取到廢品的概率。(2)已知取到的是不合格品，它是廢品的概率。解：(1)取到廢品用A表示(2)基本事件總數(shù)為5一般設(shè)P(B)>0。而P(A)稱為無條件概率。例1有100件產(chǎn)品，其中有5件是不合格品，包括3件次品與2件廢品，任取一件，求定義1在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件A在給定B下的條件概率，簡稱為A對B的條件概率，記作P(A|B)概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!例3全年級100名學(xué)生中，有男生(事件A)80人，女生20人；來自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。試寫出解：由題設(shè)＝0.8=0.2=0.4＝0.15=0.6=0.12=0.4=0.15=0.32概率計算及條件概率共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!解：甲廠生產(chǎn)的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95=0.665乙廠生產(chǎn)的合格品，即P(āB)=P(ā)P(B|ā)=0.3×0.8=0.24為什么后者不是1-P(AB)?因為AB與āB不是對立事件。例4在例1中求從市場上買一臺電風(fēng)扇是甲廠生產(chǎn)的合格品的概率以及是乙廠生產(chǎn)的合格品的概率。概率計算及條件概率共2