2020高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 21 數(shù)學(xué)歸納法 22 數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例講義 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3。1數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．（重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟．(難點(diǎn))3．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．(難點(diǎn))1．通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).2．通過利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法的定義一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題也成立的前提下，推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，那么可以斷定，這個(gè)命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立．1．判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法． ()（2）數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1． ()(3）數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可． （）[答案］(1）×(2)×（3）√2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝na1＋eq\f（nn－1，2）d時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí),公式成立，則Sk＝()A．a(chǎn)1＋（k－1)d B.eq\f(ka1＋ak,2）C．ka1＋eq\f(kk－1,2)d D．（k＋1)a1＋eq\f(kk＋1,2)d[解析]假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí),公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋eq\f（kk－1,2）d.［答案］C3．下列說法正確的是________．(填序號(hào)）①數(shù)學(xué)歸納法主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明；②證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立用到歸納假設(shè)，即n＝k（k≥n0,k∈N＊)時(shí)命題成立;③不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)．［答案]①②用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】(1）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4，2)(n∈N＋）時(shí)，第一步驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（)A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4(2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（n＋1）·(n＋2）·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1）（n∈N＋），“從k到k＋1"左端增乘的代數(shù)式為__________．[解析]（1）當(dāng)n＝1時(shí),左邊應(yīng)為1＋2＋3＋4，故選D.（2)令f(n）＝（n＋1)(n＋2）…（n＋n）,則f（k)＝（k＋1）·（k＋2)…（k＋k)，f(k＋1）＝(k＋2）（k＋3)…(k＋k)（2k＋1）(2k＋2)，所以eq\f(fk＋1，fk)＝eq\f（2k＋12k＋2，k＋1）＝2(2k＋1）．[答案］（1)D（2）2(2k＋1)數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1．驗(yàn)證是基礎(chǔ)找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1．2．遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k"到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí),等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng)．3．利用假設(shè)是核心在第二步證明n＝k＋1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立”作為條件來導(dǎo)出“n＝k＋1"，在書寫f（k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng),這是數(shù)學(xué)歸納法的核心,不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．1．下面四個(gè)判斷中,正確的是(）A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，當(dāng)n＝1時(shí)，式子的值為1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1（n∈N＋)中，當(dāng)n＝1時(shí)，式子的值為1＋kC．式子1＋eq\f（1，2)＋eq\f(1，3）＋…＋eq\f（1,2n＋1)（n∈N＋)中，當(dāng)n＝1時(shí),式子的值為1＋eq\f(1,2)＋eq\f（1，3）D．設(shè)f(n）＝eq\f（1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2）＋…＋eq\f(1,3n＋1）(n∈N＋)，則f(k＋1）＝f（k）＋eq\f（1，3k＋2)＋eq\f（1，3k＋3)＋eq\f(1，3k＋4)［解析]A中，n＝1時(shí),式子＝1＋k；B中,n＝1時(shí)，式子＝1；C中,n＝1時(shí)，式子＝1＋eq\f（1,2）＋eq\f（1,3)；D中，f(k＋1)＝f（k）＋eq\f(1，3k＋2）＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1，3k＋4)－eq\f（1,k＋1)。故正確的是C.［答案］C用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】（1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1）＋eq\f（1，n＋2）＋…＋eq\f（1，n＋n）〉eq\f(13,24)（n≥2，n∈N＋)的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是__________．(2)證明：不等式1＋eq\f（1，\r(2))＋eq\f(1,\r（3））＋…＋eq\f(1，\r(n））<2eq\r（n）(n∈N＋）．[思路探究］（1)寫出當(dāng)n＝k時(shí)左邊的式子，和當(dāng)n＝k＋1時(shí)左邊的式子，比較即可．（2)在由n＝k到n＝k＋1推導(dǎo)過程中利用放縮法，在利用放縮時(shí)，注意放縮的度．［解析］（1）當(dāng)n＝k＋1時(shí)左邊的代數(shù)式是eq\f(1,k＋2）＋eq\f（1,k＋3)＋…＋eq\f（1,2k＋1)＋eq\f（1，2k＋2），增加了兩項(xiàng)eq\f（1，2k＋1)與eq\f（1,2k＋2)，但是少了一項(xiàng)eq\f(1,k＋1)，故不等式的左邊增加的式子是eq\f（1，2k＋1)＋eq\f(1，2k＋2）－eq\f(1，k＋1)＝eq\f(1，2k＋12k＋2)。[答案］eq\f(1，2k＋12k＋2)（2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2,左邊〈右邊,不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋）時(shí),不等式成立，即1＋eq\f(1,\r（2))＋eq\f（1，\r(3))＋…＋eq\f(1，\r(k))<2eq\r（k)。則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,\r（2))＋eq\f(1，\r（3））＋…＋eq\f(1，\r（k）)＋eq\f（1，\r(k＋1)）<2eq\r（k）＋eq\f（1,\r(k＋1）)＝eq\f（2\r(k)·\r（k＋1）＋1,\r（k＋1))〈eq\f(\r(k)2＋\r(k＋1）2＋1，\r（k＋1））＝eq\f(2k＋1，\r(k＋1）)＝2eq\r(k＋1）.∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由①②可知，原不等式對(duì)任意n∈N＋都成立．試用數(shù)學(xué)歸納法證明上例(1）中的不等式．［證明]①當(dāng)n＝2時(shí),eq\f（1，2＋1）＋eq\f(1,2＋2）＝eq\f(7，12)>eq\f(13,24)。②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2且k∈N＋）時(shí)不等式成立，即eq\f（1,k＋1)＋eq\f（1,k＋2)＋…＋eq\f(1，2k）>eq\f（13,24），那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3）＋…＋eq\f(1,2k＋1）＝eq\f（1，k＋2）＋eq\f(1，k＋3)＋…＋eq\f(1，2k)＋eq\f(1，2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋eq\f（1,k＋1）－eq\f(1,k＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,k＋1)＋\f(1，k＋2）＋\f(1,k＋3）＋…＋\f(1,2k))）＋eq\f(1，2k＋1)＋eq\f(1，2k＋2）－eq\f（1，k＋1）〉eq\f（13，24)＋eq\f（1，2k＋1)＋eq\f(1，2k＋2)－eq\f(1,k＋1）＝eq\f（13，24)＋eq\f（1,2k＋1）－eq\f（1，2k＋2)＝eq\f（13,24）＋eq\f（1,22k＋1k＋1）>eq\f（13,24）。這就是說,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．由①②可知，原不等式對(duì)任意大于1的正整數(shù)都成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的2個(gè)問題1．當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立,證明時(shí)運(yùn)用歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明．運(yùn)用放縮法時(shí)，要注意放縮的“度”．歸納-—猜想—-證明【例3】已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an＝eq\f(Sn，n2n－1）且a1＝eq\f（1，3).（1）求a2，a3;(2）猜想數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式，并證明．[思路探究](1)令n＝2,3可分別求a2,a3。（2)根據(jù)a1，a2,a3的值，找出規(guī)律，猜想an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．[解]（1)a2＝eq\f（S2,22×2－1)＝eq\f（a1＋a2,6），a1＝eq\f（1，3)，則a2＝eq\f(1,15)，類似地求得a3＝eq\f（1，35）。（2）由a1＝eq\f（1，1×3）,a2＝eq\f（1,3×5），a3＝eq\f(1,5×7）,…，猜得：an＝eq\f(1,2n－12n＋1）。證明：①當(dāng)n＝1時(shí),由(1）可知等式成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)猜想成立，即ak＝eq\f(1,2k－12k＋1)，那么,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由題設(shè)an＝eq\f(Sn,n2n－1），得ak＝eq\f(Sk，k2k－1)，ak＋1＝eq\f（Sk＋1，k＋12k＋1），所以Sk＝k（2k－1）ak＝k（2k－1）eq\f(1，2k－12k＋1)＝eq\f(k,2k＋1），Sk＋1＝(k＋1)（2k＋1)ak＋1，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝（k＋1)（2k＋1）ak＋1－eq\f(k，2k＋1）.因此,k（2k＋3)ak＋1＝eq\f（k,2k＋1），所以ak＋1＝eq\f（1，2k＋12k＋3)＝eq\f(1,［2k＋1－1]［2k＋1＋1］）。這就證明了當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立．由①②可知命題對(duì)任何n∈N＋都成立．1．“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)2．“歸納—猜想—證明”的主要題型(1)已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和．（2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在．(3）給出一些簡(jiǎn)單的命題（n＝1，2,3，…）,猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題．2．已知函數(shù)y＝f(n）（n∈N＋)，設(shè)f(1）＝2,且任意的n1，n2∈N＋，有f（n1＋n2）＝f（n1）·f(n2)．（1）求f(2)，f（3）,f（4)的值；(2）試猜想f（n）的解析式,并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．[解]（1)因?yàn)閒(1)＝2,f（n1＋n2)＝f（n1)·f(n2),所以f(2)＝f（1＋1）＝f(1）·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2）·f(1）＝22·2＝23＝8。f(4）＝f（3＋1)＝f(3）·f（1)＝23·2＝24＝16.（2)猜想：f（n）＝2n（n∈N＋）．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí),f(1）＝21＝2,所以猜想正確．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)猜想正確，即f（k）＝2k，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f（k＋1)＝f(k）·f（1）＝2k·2＝2k＋1，所以,當(dāng)n＝k＋1時(shí),猜想正確．由①②知，對(duì)任意的n∈N＋,都有f(n)＝2n。用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題[探究問題]1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1?提示：不一定，如證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°時(shí)，第一個(gè)值為n0＝3.2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟之間有怎樣的聯(lián)系？提示：第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟（1）而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得出不正確的結(jié)論．因?yàn)閱慰坎襟E（1)，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)列命題是否正確，我們無法判定，同樣只有步驟（2）而缺少步驟(1)時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟（1）這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟（2)也就沒有意義了．【例4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3＋(n＋1）3＋（n＋2)3能被9整除（n∈N＋）．［思路探究］在第二步時(shí)注意根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行拼湊．[解］(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13＋23＋33＝36能被9整除，所以結(jié)論成立；(2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＋，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即k3＋（k＋1）3＋(k＋2）3能被9整除．則當(dāng)n＝k＋1時(shí),（k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3）3＝［k3＋(k＋1）3＋（k＋2)3]＋［（k＋3）3－k3］＝［k3＋(k＋1）3＋(k＋2）3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋（k＋1)3＋(k＋2)3］＋9（k2＋3k＋3)．因?yàn)閗3＋（k＋1)3＋（k＋2）3能被9整除,9(k2＋3k＋3)也能被9整除,所以(k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3也能被9整除，即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．由（1）（2)知命題對(duì)一切n∈N＋成立．與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題常用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明的關(guān)鍵在于第二步中，根據(jù)歸納假設(shè),將n＝k＋1時(shí)的式子進(jìn)行增減項(xiàng)、倍數(shù)調(diào)整等變形，使之能與歸納假設(shè)聯(lián)系起來。3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí),對(duì)式子（k＋1)3＋5（k＋1)應(yīng)變形為__________．[解析]由n＝k成立推證n＝k＋1成立時(shí)必須用上歸納假設(shè),∴（k＋1）3＋5(k＋1)＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6。［答案］（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋61．用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）π”時(shí)，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為（)A．1 B．2C．3 D．4［解析］邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n0＝3。［答案］C2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f（1－an＋2，1－a）（n∈N＋,a≠1），在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為（）A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3［解析]當(dāng)n＝1時(shí)，n＋1＝2，故左邊所得的項(xiàng)為1＋a＋a2.[答案]B3．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí),當(dāng)n＝k時(shí)，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1）2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，表達(dá)式為________．[解析]當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)將表達(dá)式1×4＋2×7＋…＋k（3k＋1)＝k（k＋1)2中的k更換為k＋1．［答案]1×4＋2×7＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1)（3k＋4)＝(k＋1）(k＋2）24．以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N＋時(shí)，2n＞n2"的過程，證明：（1)當(dāng)n＝1時(shí),21＞12（2)假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N