北京師大二附中2022年數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：12．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

fx)a2lnx0)D1,1若所有點(s,f(t(s,tD所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為e21，則a（ ）1

e eA．e

e2

C．1

e2甲乙丙三人參加某公司的面試最終只有一人能夠被該公司錄用得到面試結(jié)果以后甲說丙被錄用了乙說甲被錄用了；丙說：我沒被錄若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結(jié)論正確的是（ ）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無法確定誰被錄用了一帶一路是絲綢之路經(jīng)濟帶和“21世紀(jì)海上絲綢之路自2015一帶一路建設(shè)成果顯著如圖是2015—2019年，我國對一帶一路沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述的是( )這五年，出口比進口大這五年，2015年出口額最少這五年，2019年進口增速最快D．自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強的傳染性級政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（ ）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種已知正四面體ABCD外接球的體積為8 ，則這個四面體的表面積為（ ）A．18 3 B．16 3 C．14 3 D．12 36ay

x2a在區(qū)間2,內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）x4B．4B．3C．2D．15555Ex2

y2

b0)F

，PE上的一點，且|

2PF|.a2 b2

1 2 2 1PF2

EMPF2

的中點，則雙曲線E的漸近線方程為( )y1x3

y1x2

y2x D．y3x某校在高一年級進行了數(shù)學(xué)競賽（總分100分，下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的a為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績，運行相應(yīng)的程序，輸m，n的值，則mn（ ）iA．6 B．8 C．10 D．12若數(shù)列

滿足a

15且3a

2，則使aa

0的k的值為( )n 1 n1

k kA．21 B．22 C．23 D．24fx2sin(3x)(0x

對稱，f(x

8 3, 上的值域是（ ）A．[1,2]

8 8B．[ 3,2]

C．

222

D．[ 2,2]體育教師指導(dǎo)4個學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動作預(yù)備時個學(xué)生全部面朝正南方向站成一訓(xùn)練時每次都讓3個學(xué)生后轉(zhuǎn)”，若4個學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需向后轉(zhuǎn)的次數(shù)是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6f(x) x Ff(x) x F(x)f(x)kx R 已知函數(shù) lnx ，若函數(shù) 在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）,x x1A．(0, ) B．

1) C．1)

D．(1,1)e 2e 2ee二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。春天即將來臨，某學(xué)校開展擁抱春天，播種綠為主題的植物種植實踐體驗活動．已知某種盆栽植物每株活的概率為p各株是否成活相互獨立該學(xué)校的某班隨機領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株設(shè)X為其中成活的株數(shù)若X的方差DX2.1，P(X3)P(X7)，則p ．xy20設(shè)x、y滿足約束條件xy20，若z2xy的最小值是1，則m的值為 .ym0已知3cos4sin(

)，(，)，則sin＝ ．4 4若復(fù)數(shù)Z滿足(12i)Z1(2i)，其中i為虛數(shù)單位，則Z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)．2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標(biāo)系l中，已知直線l的直角坐標(biāo)方程為y

3x，曲線C33

xcosy1sin

（為參數(shù)，以直角坐標(biāo)系原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2

的極坐標(biāo)方程為4sin( ).3求曲線C1

和直線l的極坐標(biāo)方程；已知直線l與曲線C、C1 2

BB，1 2

，求1

的值.218（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y

2px（p0）Fxy10上，平行x于軸的兩條直線llx1 2

分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準(zhǔn)線于D，E兩點.C的方程；若F在線段AB上，P是DE的中點，證明：AP EF.19（12分2019年12毒性肺炎肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎CoronaVirusDiseas201，COVI1，簡稱新冠肺炎下圖2020115124.為了預(yù)測在未釆取強力措施下，后期的累計確診人數(shù)，建立了累計確診人數(shù)y與時間變量t的兩個回歸模型，根據(jù)115124日的數(shù)據(jù)（t1，2，…，10）ycdtyab.（ycdt與yab1.t哪一個適宜作為累計確診人數(shù)y與時間變量t（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：時間時間125日126日127日128日129日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)197527444515597471111251273（模型預(yù)測數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實數(shù)據(jù)的比值0.1則認(rèn)為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？124新冠肺炎5天后，真實數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測數(shù)據(jù)，則認(rèn)為防護措施有效，請判斷預(yù)防措施是否有效？附：對于一組數(shù)據(jù)

，u,v

，……，u,

，其回歸直線vau的斜率和截距的最小二乘估計分別為 n uu vv i

ni1

uui

，vu.參考數(shù)據(jù)：其中i

1.5ti，

110.10 ii1tty10t2ii1102ii110tyi ii110yi ii11.5111.5121.5131.5141.5155.53901938576403152515470010015022533850720（12分）已知f(x)x3ax2bxa2(a1)的圖象在x1處的切線方程為y0.ab的值；f(x)c在區(qū)間[4,1]上有兩個不同的實根，求實數(shù)c的值.x1cos21（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1

ysin

（為參數(shù)，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：2 3sin.2求曲線C1

的極坐標(biāo)方程和曲線C2

的直角坐標(biāo)方程；若直線lykx0與曲線C1

交于O，A兩點，與曲線C2

交于O，B兩點，求OB取得最大值時直線l的直角坐標(biāo)方程. 1+cos22（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1

x1cos的參數(shù)方程為 2sin (y

為參數(shù)以O(shè)x軸的正半軸為極 1cos軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為(0求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程；

(0,)，將曲線C0

向左平移2個單位長度得到曲線C.OAOB1設(shè)直線l與曲線C交于B兩點，求 1OAOB1

的取值范圍.參考答案125601、D【解析】

1

1 依題意，可得f(x)0，f(x)在e,上單調(diào)遞增，于是可得f(x)在e,上的值域為a(e2),e2a，繼而可得 1ae2e2

1 e21，解之即可. e【詳解】

2

ae2x2

x1 解：f(x)ae2 ，因為

e，a0， x x 1

(x0f(xe,1上單調(diào)遞增，e e 則f(x)在 ,1上的值域為a(e 2),e2a ，因為所有點(s,f(t))(s,tD所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為e21， 1所以ae2

e2

1 e21， e解得a e ，e2故選：D.【點睛】1本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到a(e2e2)(1ee21是關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．2、C【解析】假設(shè)若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.【詳解】若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯誤，丙的說法正確，不符合題意，若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯誤，甲的說法正確，不符合題意，綜上可得甲被錄用了，C.【點睛】本題考查了邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進行判斷即可.【詳解】對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確；對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；D項，由統(tǒng)計圖可得，20152016年出口增速是上升的，則D故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有C2種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去，有A3種4 3方法，由分步原理可知共有C2A3種.4 3【詳解】不同分配方法總數(shù)為C2A3

36種.4 3故選：C【點睛】此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】ABCDR正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積．【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長為a，如圖所示，設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則3

8 ，得R 6．因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球，則有3a=2R2 6，∴a=2 2．而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為2a=2 2 24，因此，這個正四面體的表面積為4

3a24

16 3．故選：B．【點睛】本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計算能力，屬于中檔題．6、B【解析】函數(shù)y

x2a在區(qū)間y1ax x2

x2x2

0ax2在恒成立，a4，

ay

x2a在區(qū)間2,內(nèi)單調(diào)遞增的概率是413，x 61 5故選B.7、C【解析】

4a，PF

2a，OM是△PFF

的中位線，可得OMa，在△OMF

中，利用余弦定理即2 1 1 2 2可建立a,c關(guān)系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意，點P一定在左支上.由PF2

2PF1

及PF2

PF1

2a，得PF1

2a，PF2

4a，MPF2

的中點，得PF1

MF2

2a，OM是△PF

的中位線，又OMa，且OM//PF，1 2 1PF1

與雙曲線的左支只有一個交點.在△OMF中cosMOF

a2c24a2

.——①2 2 2actanMOF2

b，得cosMOFa 2

a.cc2由①②，解得a2

5ba

2，則漸近線方程為y2x.【點睛】8、D【解析】根據(jù)程序框圖判斷出n,m的意義，由此求得m,n的值，進而求得mn的值.【詳解】由題意可得n906090m2412，mn241212.故選：D【點睛】9、C【解析】因為a a 2，所以}是等差數(shù)列，且公差d2,a15，則a 152(n1)2n47，所n1 n 3 n

3 1

3 3 3aa

0可得(2n47)(2n450

45n

47，則n23，應(yīng)選答案C．10、D

k k

3 3 3 3 2 2【解析】yAsin(x.【詳解】解：把函數(shù)f(x)2sin(3x) (0)圖象向右平移個單位長度后，8 可得y2sin 3x

的圖象；8 8 x

對稱，33

k，kZ，3 8 2fx)2sin3x.8,

73x

88

22,

8 8上，

8 2

，

sin3x

8

2,1， 故f(x)2sin3x[ 2,2]，即f(x)的值域是[ 2,2]， 8 8故選：D.【點睛】yAsin(x)11、B【解析】通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)原始狀態(tài)1次向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.【點睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】x0x0，將問題轉(zhuǎn)化為k

fxx

的零點問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【詳解】x0k

fx

1，令gx

1,g'x2

0，gx在x0是增函數(shù)，k0時，k

fxx x2

x2 x3 x有一個零點，x0k

fx

lnx

，令hx

lnx,hx12lnxx x2 x2 x3當(dāng)x(0, e)時，hh(x)在(0, e)上單調(diào)遞增，當(dāng)x( e,)時，h'(x)＜0，h(x)在( e,)上單調(diào)遞減，x

h(x取得最大值1，e2eeF(xf(xkxR3個零點，fxx0k如圖所示：

有2個零點，x所以實數(shù)k的取值范圍為(0,1)2e綜上可得實數(shù)k的取值范圍為(0,故選：B【點睛】

1)2e本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.452013、0.7【解析】X~

10p1p2.1，且PX3PX7，從而可得p值．【詳解】X~p 10p1p2.1

p2100p210PX3PX7，即

p0.5 , ∴p0.7故答案為：0.7【點睛】本題考查二項分布的實際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．14、1【解析】z2xyy2xzAm2,mz最小，m的值即可．【詳解】

xy20作出不等式組xy20所表示的可行域如下圖所示：ym0xy20，解得xm2Am2,m.ym0 ym由z2xy得y2xz，顯然當(dāng)直線y2xz過Am2,m時，該直線y軸上的截距最小，此時z最小，2m4m1，解得m1.故答案為：1．【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．1519【解析】先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得sincos

2 2，平方可得sin.3【詳解】∵3cos4sin(4

)，∴3(cossin)(cossin)2 2(cossin)，則sincos故答案為：1.9

，平方可得sin21．2 23 92 2【點睛】本題主要考查三角恒等變換，倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、0,1 2 2【解析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出z得答案．2【詳解】2

1 1 11i

11

2i2iz

i1 2 2

，z

i12

1i，12i 12i12i 2則z1i，z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為0,1，22 22 故答案為0,1. 2 2【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（17（1）2sin，（6

R).（2）1

32【解析】先將曲線C1

的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，即可代入公式化為極坐標(biāo)；根據(jù)直線的直角坐標(biāo)方程，求得傾斜角，即可得極坐標(biāo)方程.將直線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C、C1 2

1

，進而代入可得1

的值.2【詳解】（1）曲線C1

的參數(shù)方程為xcos （為參數(shù)，y sin消去x2y22y0，x2y22ysin22sin0，從而得C1

的極坐標(biāo)方程為2sin，∵直線ly

x，其傾斜角為，33 63（∴直線l的極坐標(biāo)方程為（6

R).（2）將6

代入曲線C，C1

的極坐標(biāo)方程分別得到2sin

1,

4sin(

)4，1則1

6 2 6 33.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法，極坐標(biāo)的幾何意義，屬于中檔題.18（1）y2

4x（）見解析【解析】xy10p的值，從而求得拋物線的方程；法一：設(shè)直線ll1 2

的方程分別為ya和yb且a0，，a b，可得A，B，D，E的坐標(biāo)，進而ABFAB上，可得ab4，再分別求得k

k ，即可得證；法二：設(shè)Axy，

yy

AP EF 1 1Bx,y

，則P1,1 2，根據(jù)直線AB的斜率不為0，設(shè)出直線AB的方程為x1my，聯(lián)立直線AB和拋2 2 2 物線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出k ，k ，化簡k k ，即可得證.AP EF AP EF【詳解】CF坐標(biāo)為p,0xy10上， 2 2p所以 10，解得p2，故所求拋物線C的方程為y24x2FABl

yayba0，

a2 則A ,a ，a b 1 2Bb2,b，Da，Eb.

4 4 4 ba a2ya∴直線AB的方程為

b2

xa2

4，即4xbyab0.4 4又點F1,0在線段AB上，∴ab4. ab∵P是DE的中點，∴P1, 2 aba424

aa 2 4∴k

， b a 2 .AP a2

a24 a

k k1 4 2

2 2 a AP由于AP，EF不重合，所以AP//EF

x,

，Bx,

P1,yy21211 1 2 2 AB0ABx1myx1my聯(lián)立直線AB和拋物線C的方程y2 4x

，得y24my40y

1yy yy

y

4m，y

4，

1 2 1 2

yy ，k

2.1 2 1 2

12 k APy2 4

x11

21 21x11x

EF 2yy

y

1

yx

yy x11 2 x1

y 1 4

，k kk k 1AP EF

2 2 12 x11

1 21 1

x1 1

x10 EF AP1 由于AP，EF不重合，所以AP 【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．19（）yab1.t適宜（y10201.t（?。┗貧w方程可靠（ⅱ）防護措施有效【解析】.ya設(shè)1.5t，則 ，求出bya（（?。├帽碇袛?shù)據(jù)，計算出誤差即可判斷回歸方程可靠（ⅱ）當(dāng)t15時，y10150判斷有效.【詳解】根據(jù)散點圖可知：yaby與時間變量t的回歸方程類型；yya

yy

y10y（2）設(shè)1.5t，則

，b

i1

i i i ii1154700101939020，74010192ay390201910，y10201.5t；（（ⅰ）t1時，y2010，

10i11975

2i2010197520101975

10i1

2102i當(dāng)t12時，y3010，

301030102744

0.1，45104515當(dāng)t13時，y4510， 451045154515所以（2）的回歸方程可靠：（ⅱ）當(dāng)t15y10150，10150遠(yuǎn)大于7111，所以防護措施有效.【點睛】本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，在求非線性回歸方程時，現(xiàn)將非線性的化為線性的，考查了誤差的計算以及用函數(shù)模型分析數(shù)據(jù)，屬于基礎(chǔ)題.a220（） （）c 0或c4.9【解析】（1）求出f(x)，由f(1)0,f(1)0，建立a,b方程求解，即可求出結(jié)論；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，做出函數(shù)在[4,1].【詳解】（1）f(x)3x26axb，由題意知 f(1)036ab f(1)0 1ba20a1 a2 解得 （舍去）或 3 9（2）當(dāng)a2,b9fx)3x212x93(x3)(x1)故方程f(x)0有根，根為x3或x1，xf(x)

(,3) + 0

(3,1) 1- 0

(1,)+f(x)

極大值 極小值由表可見，當(dāng)x1時，f(x)有極小值0.f(x的減函數(shù)區(qū)間為(3,1)遞增區(qū)間為(3).因為f(4)0,f(3)4,f(1)0,f(0)4，f(1)20.由數(shù)形結(jié)合可得c 0或c4.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.21（1）曲線C1

:2cos，曲線C2

:x2 y

3.（2）y 3x.3 3 x1cos xcos用 和 消去參數(shù)即得

的極坐標(biāo)方程；將2 3sin兩邊同時乘以，然后由ysin ysin 12x2y2ysin解得直角坐標(biāo)方程.0R，代入到C2cos和

2 3sin中，表示出 2 1 2OAOB即可求解.【詳解】x1cos xcos

cos1cos解：由ysin 和ysin，得sinsin cos2sin21，化簡得2cos故C2cos1將2 3sin兩邊同時乘以，得22 3sin

x2y2,ysin，所以x2y22 3y0得C的直角坐標(biāo)方程C:x2y 323.2 2（2）設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程0

,R2cos

2 ，得|OA2cos，由2 3cos，得|OB2 3sin故OAOB2cos+2 3sin4sin當(dāng)3

6 6時，OB取得最大值此時直線的極坐標(biāo)方程為：3

R，其直角坐標(biāo)方程為：y 3x.【點睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法；中檔題.22（1）C2sin24cos80y2【解析】

4(x2)（）(1, 2]2 2（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得x

cos2

2，y

2cos

2，可得曲線C的普通方程，再運用圖像的平移得依題意sin2

1sin2 2得曲線C的普通方程為，利