2022年北京市東城區(qū)五十中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，正方形ABCD的面積為ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P使PDPE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）A．2 B．4 C．6 D．8△ABC D AC AF DE S△ =1 3 2．如圖， 中，為 中點(diǎn)， ∥ ， ：S ：，則 △ABC D AC AF DE S△ =1 3 ABF 梯AFED △ABF △CDEA．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：13．計(jì)算：tan45°＋sin30°＝（）2 3 3

1 3A．2 x

2 C．2 xm7 1

2mx3 m使得關(guān)于

2x44m6x33x

有非負(fù)整數(shù)解的所有的整數(shù)的和是( )A．-8 B．-10 C．-16 D．-18如圖，⊙OAB＝8，MABOM＝3，則⊙O的半徑等于（）A．8 B．4 C．10 D．5已知關(guān)于x的方程ax2bxc0，若abc0，則該方程一定有一個(gè)根為（ ）A．-1 B．0 C．1 D．1或-1如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PBC，測(cè)得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA等于（ ）A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米8．如圖，⊙O是的外接圓，連接、OB，∠BOC＝100°，則∠A的度數(shù)為（ A．30° B．40° C．50° D．60°拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）（，） （﹣，） （﹣，﹣） （，﹣）如圖，邊長(zhǎng)都為4ABCD和正三角形EFGEF在一條直線上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．現(xiàn)將△EFG沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)F與B重合時(shí)停止在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中正方形ABCD和重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)圖象大致是（ ）A． B． C． D．11．如果A(1,y) ，B(3,

y1y

的大小關(guān)系是（ ）1yy1 2

2yy1 2

xyy1 2

1 2yy1 2下列圖形中不是中心對(duì)稱圖形的是（ ）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）將拋物y2x21向右平移3個(gè)單位，得到新的解析式．2ABCD、F、BC上.將BEFEFB恰好與邊AD的中點(diǎn)G重合，則BE的長(zhǎng)等于 ．在某市中考體考前，某初三學(xué)生對(duì)自己某次實(shí)心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行高度y（米）與水平距1 2 5離x（米）之間的關(guān)系為y12x23x3，由此可知該生此次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)米．2BCs1；BE

E

∥FB，

FEFE

DFF

s2．照此規(guī)律作下去，則1 11 11 1 1 1.等腰中，斜邊AB＝12，則該三角形的重心與外心之間的距離．已知關(guān)于x的方程x2＋3x＋2a＋1＝0的一個(gè)根是0，則a＝ 三、解答題（共78分）19（8分）解方程：（1）3x(x-2)=4(x-2);（2）2x2-4x+1=020（8分十字弦”.如：如圖，已知的“十字弦”.

OABCDAB、CD互為十字弦”AB是CD的十字弦”，CDAB若O的半徑為5，一條弦AB8，則弦AB的十字弦”CD的最大值為 ，最小值為 .若

O的弦CD恰好是OAB與CDHACAC1279，AB、CD互為十字弦”；如圖2的長(zhǎng).

O5，一條弦AB8，弦CDAB的十字弦”，連接AD，若ADC，求弦CD21（8分）如圖，在R△ABC中，∠BA＝9°，BD是角平分線，以點(diǎn)DDA為半徑的⊙D與AC相交于E.求證：BC是⊙D的切線；AB＝5，BC＝13CE的長(zhǎng)．22（10分）如圖，在平行四邊形ABCD 中，過點(diǎn)A作AEBC,垂足為E．連接DE,F為線段DE上一點(diǎn)，且AFEB．求證：ADFDEC．23（10分）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)，連接C．ABCD2，GBCEF的長(zhǎng)．24（10分）一個(gè)不透明的口袋中裝有4張卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字、－、－、外再也沒有其它區(qū)別，小芳從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片．求小芳抽到負(fù)數(shù)的概率；若小明再從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)你用樹狀圖或列表法，求小明和小芳兩人均抽到負(fù)數(shù)的概率．25（12分）如圖，在RtABC中，C9，AC6.BAC6，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE ACABEMADBMDEACFG.求CD的長(zhǎng).EFMAD

的值.26．在不透明的箱子中，裝有紅、白、黑各一個(gè)球，它們除了顏色之外，沒有其他區(qū)別．隨機(jī)地從箱子里取出一個(gè)球，則取出紅球的概率是多少？隨機(jī)地從箱子里取出1結(jié)果，并求兩次取出相同顏色球的概率．參考答案一、選擇題（4481、B【分析】由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BE，與AC的交點(diǎn)即為F，此時(shí)，F(xiàn)D+FE=BE最小，而BE是等邊三角形ABE的邊，BE=AB，由正方形面積可得AB的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果．【詳解】解：由題意可知當(dāng)點(diǎn)P位于BE與AC的交點(diǎn)時(shí)，有最小值．設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為F，連接BD，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面積為16∴AB=1∵△ABE是等邊三角形∴BE=AB=1．故選：B．【點(diǎn)睛】2、D【分析】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．【詳解】△ABC中，∵AF∥DE，∴△CDE∽△CAF，∵D為AC中點(diǎn)，∴CD：CA=1：2，△∴S△CDE：SCAF=（CD：CA）2=1：4，△∴S△CDE：S AFED=1：3，又∵S△ABF：S AFED=1：3，△∴S△ABF：SD．△【點(diǎn)睛】CAF本題考查了中點(diǎn)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出S△CDE：S△ =1：4是解題的關(guān)鍵3、CCAF【解析】代入45°角的正切函數(shù)值和30°角的正弦函數(shù)值計(jì)算即可．113【詳解】解：原式=故選C．

22【點(diǎn)睛】熟記“45°角的正切函數(shù)值和30°角的正弦函數(shù)值”是正確解答本題的關(guān)鍵．4、D【分析】根據(jù)不等式組的解集的情況，得出關(guān)于m的不等式，求得m的取值范圍，再解分式方程得出x，根據(jù)xm所有值的和．xm7x的不等式組2x44m6有解m7x52m，m752m，∴m4，1又∵分式方程

m

3有非負(fù)整數(shù)解，x33xx10m 為非負(fù)整數(shù)，4∵m4，∴m-10，-6，-26218，D．【點(diǎn)睛】5、D【詳解】解：∵OM⊥AB，∴AM=1AB=4，2AM2OMAM2OM24232故選D．6、C【分析】由題意將abc0變形為cab并代入原方程左邊，再將方程左邊因式分解即可．【詳解】解：依題意得cab原方程化為ax2bxab0，a(x1)(x1)b(x1)0，∴(x1)(axab)0，x1為原方程的一個(gè)根故選：C．【點(diǎn)睛】7、C【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長(zhǎng)度．【詳解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河寬C．【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過程是：①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．8、C【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝100°，1 1∴∠A＝∠BOC＝100=50°．2 2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．9、B【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐．【詳解】∵拋物線y=﹣(x+2)2+5，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，5)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，由函數(shù)的頂點(diǎn)式可以直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．10、C【解析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以寫出各段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)中的圖象符合題意，本題得以解決．t【詳解】解：當(dāng)0 t 2時(shí)，S

ttan602

t2，即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，有最小值(0,0) ，開口向上，3234時(shí)，S24時(shí)，S

44sin60

(4t)(4t)tan60

3 St 4 3 (4t)22 2 2下，C故選：C．【點(diǎn)睛】考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)過圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11、C

，（，y）兩點(diǎn)代入反比例函數(shù)y1中，求出y與y的值，再比較其大小即可．1 1 x 1 1【詳解】解：∵（，y，（，y）兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y1的圖象上；1 1 xy1,y 11 2 31113∴y1＞y1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．12、B【分析】在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．【詳解】A、C、D都是中心對(duì)稱圖形；不是中心對(duì)稱圖形的只有B．【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟知中心對(duì)稱圖形的定義，即可完成．二、填空題（42413、y=2(x-3)2+1y2x21的頂點(diǎn)坐標(biāo)為然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出新拋物線的解析式．y2x21，∴拋物線y2x21(0,1)(0,1)3(3,1)，∴新拋物線的解析式為y=2(x-3)2+1．故答案為y=2(x-3)2+1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，配方法，關(guān)鍵是先利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．714、5【分析】如圖，作GH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于H，EF交BG于O．利用勾股定理求出MG，由此即可解決問題.【詳解】過點(diǎn)G作GM⊥AB交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠AMG=90°，1 1∵GAD的中點(diǎn)，∴AG=2AD=22=1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB//CD，∴∠MAG=∠D=60°，∴∠AGM=30°，1 1∴AM=2AG=2，3∴MG= AG2AM2 2，設(shè)BE=x，則AE=2-x，∵EG=BE，∴EG=x，在Rt△EGM中，EG2=EM2+MG2，1 3222∴x2=(2-x+ )2+ ，22 7∴x= ，57故答案為.5【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形利用勾股定理進(jìn)行解答是關(guān)鍵.15、1x的值即可．1 2 5y12x23x30解得，x2（舍去，x10．故答案為1．【點(diǎn)睛】列出方程求解是解題關(guān)鍵．16、

324037【分析】先求出△ABC的面積，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出S1，同理求出S2，以此類推，找出規(guī)律即可得出S2019的值.【詳解】∵△ABC2，∴△ABCACsinA21∴S△ABC=22 3= 3，∵E是BC邊的中點(diǎn)，ED∥AB，∴ED是△ABC的中位線，1∴ED=2AB1

3= 32S ，△∴S△CDE=4 ABC△1同理可得S△BEF=4S△ABC1∴S= S

1 3= 3= ，1 2 △ABC 2 21 11 1 1 3 1同理可求S= S =

S = 3= ，2 2

2 4 △ABC 2 4 2 4n以此類推，S=n

11n12 2

·SABC=

31n12 2 ∴S =∴2019

31201912 2

△3△.24037【點(diǎn)睛】本題考查中位線的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)計(jì)算出S1和S2，然后找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.17、1．【分析】畫出圖形，找到三角形的重心與外心，利用重心和外心的性質(zhì)求距離即可.【詳解】如圖，點(diǎn)D為三角形外心，點(diǎn)I為三角形重心，DI為所求.∵直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，1∴CD＝2AB＝6，∵I是△ABC的重心，1∴DI＝3CD＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的重心和外心，能夠掌握三角形的外心和重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.118、－2x=0a的方程，解方程即得答案．xx2＋3x＋2a＋1＝0x=0，1∴2a＋1＝0，解得：a=－2．1故答案為：－2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19

=2，x

4= （）

2 2，x

2 2．1 2 3

1 2 2 2【分析】（1）先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．（）3（x-）=（x-，3x（x-2）-4（x-2）=0，（x-（3x-）=，x-2=0，3x-4=0，4x1=2，x2=3；（2）2x2-4x+1=0，b2-4ac=42-4×2×1=8，x4 8，22x2 2，x1 2

2 2．2【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．320（）1，）見解析（）4 3.3（1）AB的CDCD過AB點(diǎn)時(shí)最??；由其性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合90AH⊥CD，根據(jù)“十字弦”定義可得；過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)利用垂徑定理得出OE=3，由正切函數(shù)得出AH= 3DH,設(shè)DH=x，在Rt△ODF中，利用線段和差將邊長(zhǎng)用x表示，根據(jù)勾股定理列方程求解.（）當(dāng)CD為直徑時(shí)，CD最大，此時(shí)CD=1，∴弦AB的“十字弦”CD的最大值為10；CDA點(diǎn)時(shí)，CD長(zhǎng)最小，即AM的長(zhǎng)度ON,OG⊥ABAGON為矩形，∴AN=OG,∵OG⊥AB,AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM,∴AM=6，即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6.證明：如圖，連接∵AC12，DH7，CH9，AC∴CD

CHAC ∵∠C=∠C,∴△ACH∽△DCA,∴∠CAH=∠D,∵CD是直徑，∴∠CAD=90°,∴∠C+∠D=90°,∴∠C+∠CAH=90°,∴∠AHC=90°,∴AH⊥CD,∴AB、CD 互為十字弦”.OOE⊥ABOF⊥CDOEHF∴AE=4，∴由勾股定理得OE=3，∴FH=3，∵tan∠ADH=

AHHD,∴tan60°=

AH 3,HD設(shè)DH=,則AH= 3x,∴FD=3+x,OF=HE=4- 3x,在Rt△ODF中，由勾股定理得，OD2=OF2+FD2，∴(3+x)2+(4- 3x)2=52,解得，x=233,2∴FD=23

33233,2 23∴CD=2DF=2232

433CD=433【點(diǎn)睛】.1621、(1)證明詳見解析；(2)3．（）過點(diǎn)D作D⊥BC于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD=D到結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB=FB（）證明：過點(diǎn)D作D⊥BC于點(diǎn)，∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，∴AD=DF．∵AD是⊙D的半徑，DF⊥BC，∴BC是⊙D的切線；（2）解：∵∠BAC=90°．∴AB與⊙D相切，∵BC是⊙D的切線，∴AB=FB．∵AB=5，BC=13，∴CF=8，AC=1．在Rt△DFC中，設(shè)DF=DE=，則r26412r2，10解得：r= ．316∴CE= ．3考點(diǎn)：切線的判定；圓周角定理．22、詳見解析AFD+∠AFE=180°AFEB，即可得出∠AFD=∠C，進(jìn)而可證出△ADF∽△DEC【詳解】解：四邊形ABCD 是平行四邊形，AB//CD,AD//BC,BC180,ADFDEC，AFDAFE180,AFEB，AFD．∴△ADF∽△DEC.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C.23（）證明見解析（）證明見解析（）EF＝8 5．5（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)有AD=CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)有DE=DF據(jù)等角的余角相等可得，∠ADE=∠CDF，此題有多種方法可解，可以延長(zhǎng)BADEM，結(jié)合第（1）問全等三角形的結(jié)論用等角做差求得∠BAG=∠FCG，CF AB 2根據(jù)第（2）FG

BG

，在Rt△CFGCFFG再運(yùn)用勾股定理即可解出CFFGAE=CF，即可解答.1）∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE△CDFDEDF,∠ADE =∠CDF,DADC;∴△ADE≌△CDF（SAS；BAMEDM，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG．ABCD2，GBC的中點(diǎn)，∴BG＝CG＝1，1222512225∵△ABG∽△CFG，CF AB 2∴FGBG1，CF＝2FG，∵CF2+FG2＝CG2，（2FG）2+FG2＝12，∴GF＝

，CF＝ ，5255525∵△DAE≌△DCF，∴AE＝CF，25 5 85∴EF＝EA+AG+GF＝CF+AG+GF＝ +5+ ＝ ．5 5 5【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并以正確的思維靈活運(yùn)用是解答關(guān)鍵.1 124（）2（）6（1）由一個(gè)不透明的口袋中裝有4、4之外再也沒有其它區(qū)別，小芳從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片，抽到負(fù)數(shù)的