2019-2020學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2019-2020學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1?拋物線X2二8y的準(zhǔn)線方程為（）A.y=2b.y=-2c.x=-2D.x二2答案：B由拋物線方程可知，拋物線焦點在」軸正半軸，且-，所以所求準(zhǔn)線方程為v=-^=-2”2為了調(diào)查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三所中學(xué)抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知A，B，C三所學(xué)校中分別有180,270，90名教師，則從C學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.10B.12c.18D.24解：A，B，C三所學(xué)校教師總和為540，從中抽取60人，則從c學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為90x540二io人.故選:A.點評：本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.競賽獲獎的3名學(xué)生和2名指導(dǎo)老師站成一排合影，則2名老師相鄰的排法種數(shù)為（）A.12B.36c.48D.120答案：C要求2名老師相鄰，用捆綁法，合成4個元素排列.解：用捆綁法解決排列組合問題，將2名老師捆綁成1個元素，和3名同學(xué)合成4個元素排列有A4種方法，2名老師捆綁有A2種不同的方法，一共有A2A4二48種排法.4224故選：C點評：本題考查了排列組合綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.4.對于常數(shù)m、n，“mn<0”是“方程mx2+ny2二1表示的曲線是雙曲線”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件答案：C根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.解：x2y2—=1由題意，方程mx2+ny2二1，可化為11，mnx2—蘭=]則對于常數(shù)m、n，“mn<0”，可得“方程工—T—表示的曲線是雙曲線”是成立mn的；x2—2^=]反之對于常數(shù)m、n，“方程T—T—表示的曲線是雙曲線”，則“mn<0”是成立mn的，所以“mn<0”是“方程mx2+ny2二1表示的曲線是雙曲線”的充要條件故選：C.點評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)，以及充分條件、必要條件的判定，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S值為（）解：解：解：解：解：解：否是S^S^-2否是S^S^-2A．65B．64C．63D．33答案：C由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，可得答案.解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，S=3,不滿足循環(huán)條件，n=2；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，S=7,不滿足循環(huán)條件，n=3；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，S=15，不滿足循環(huán)條件，n=4；第四次執(zhí)行循環(huán)體后，S=31,不滿足循環(huán)條件，n=5；第五次執(zhí)行循環(huán)體后，S=63，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出：S63點評：本題考查了程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．將十進(jìn)制數(shù)61化成四進(jìn)制數(shù)的末位數(shù)字是（）A．1B．2C．0D．3答案：A利用“除k取余法”是將十進(jìn)制數(shù)除以4,然后將商繼續(xù)除以4,直到商為為止，然后將依次所得的余數(shù)倒序排列即得解.15一4=3...33一4=0...3故：61（4）=331，末位數(shù)字是1（4）故選：A點評：本題考查了十進(jìn)制向4進(jìn)制轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.7.對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x和歹，測得一組數(shù)據(jù)如下表所示：x24568y20406070m根據(jù)上表，利用最小二乘法得到他們的回歸直線方程為y=10.5x+L5，則m=（）A．85.5B．80C．85D．90答案：B求出橫坐標(biāo)的平均數(shù)，代入線性回歸方程，求出縱標(biāo)的平均數(shù)，解方程求出m.解：QX=5，回歸直線方程為y=10.5x+L5，??J=5454x5=20+40+60+70+mm=80故選：B點評：本題考查了線性回歸方程，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z8設(shè)（1+x）6=a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5+ax6，則a+a+a=（）0123456135A．8B．16C．32D．64答案：C根據(jù)二項展開式的通項公式可得：a+a+a=C1+C3+C5，計算結(jié)果可得.135666根據(jù)二項展開式的通項公式可得：a+a+a二C1+C3+C5=32135666故選：C點評：本題考查了二項展開式的系數(shù)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．如圖，在邊長為1的正方形中，隨機撒1000粒豆子，有200粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為（）A．B．C．D．估計陰影部分的面積為（）A．B．C．D．答案：A利用幾何概型的計算公式，豆子落在陰影部分的比例等于陰影部分和正方形的面積比，即得解.解：S2001根據(jù)題意，由幾何概型，s陰a=1000二S陰影=5正方形故選：A點評：本題考查了幾何概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生實際應(yīng)用，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人15分鐘，過時即可離去，則兩人能會面的概率是（）A．D．7A．D．716答案：D由題意知，本題為幾何概型，記6時到7時為［6,7］，甲、乙到達(dá)的事件為x，y，根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)面積比，即得解.解：由題意知，本題為幾何概型，由于試驗發(fā)生包含的所有事件對應(yīng)的集合是：0=｛（x,y）丨6<x<7,6<y<7｝，幾何對應(yīng)的面積是邊長為1的正方形的面積S=l；00而滿足條件的事件對應(yīng)的集合是：A二{(x,y)l6<x<7,6<y<7,1x-yl<4}如圖所示：建立平面直角坐標(biāo)系，A區(qū)域即圖中陰影部分，得到：S二S-2S=1-2x1x&)2二丄，a正方形三角形24167因此兩人能夠會面的概率為；716故選：D點評：本題考查了幾何概型在實際問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.11.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD所在平面內(nèi)的動點P到直線AA],BB』勺距離之和為2J2,ZAPB=60。，則點P到直線AB的距離為()A.<32B.^A.<32B.^D.答案：B=2b2tan/ape=斗在平面ABCD內(nèi)，至I」直線AA1,BB]的距離即為到點A,B的距離，可得到動點P的軌跡為以A,B為焦點的橢圓及其方程，且Z=2b2tan/ape=斗NAPB

可得解.在平面ABCD內(nèi)，到直線啓,BB］的距離即為到點A,B的距離，且動點P到直線解：解：AA1，BB］的距離之和為2J2,即動點P到點A,B的距離之和為2J2,由橢圓的定義，動點P的軌跡為以A,B為焦點的橢圓的一部分，以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為圓心建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，A(—1,0),B(1,0)因此橢圓的方程為：f+y2二1且Z且ZAPB=60。???SAAPB=2b2tanzapb=設(shè)點P到直線AB的距離為h，則—.?h33故選：B點評：本題考查了立體幾何和解析幾何綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，空間想象，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.12?雙曲線C:x2-與=1，過定點A(-1,0)的兩條垂線分別交雙曲線于P、Q兩點,直PQ恒過定點()A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)答案：c設(shè)PQ的方程為x二my+b，聯(lián)立雙曲線利用代數(shù)式恒成立即可求解PQ恒過定點時b的值，即得定點.解：x=my+b設(shè)PQ的方程為x=my+b，則由\y2?(m2-^)y2+2bmy+b2-1=0x2一亠=12〔2b2-b2-11m2一2設(shè)P(設(shè)P(&",Q(X,y_)?yy=-2212112m2一2uuuruuur又A(—1,0),AP丄AQ?AP-AQ=0，?(x1+1)(x2+1)+y1y2?(x1+1)(x2+1)+y1y21122

(my+b+l)(my+b+1)+yy=0/.(1+m2)yy+(b+l)m(y+y)+(b+1)2=0121212122bmb2一1代入yi+y2=一―T'yiy2=―1整理得：m2一_m2222(b2一1)(1+m2)一4bm(b+1)m+(2m2一1)(b+1)2=0.b2-2b-3二0.b二3或b=-1當(dāng)b=一1，直線過A(-1'0)，舍去當(dāng)b=3時，過定點(3'0)故選：C點評：本題考查了直線與圓錐曲線綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運算得能力，屬于中檔題.、填空題13.在（1+2x）5的展開式中，x3的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）答案：80由條件利用二項式展開式的通項公式求得展開式x3的系數(shù).解：解：在（1+2x乍的展開式中，x3的系數(shù)為C323=80，故答案為80．點評：本題考查了二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.14.過橢圓2514.過橢圓25+16=1右焦點F2的最短弦長為.32答案：辻過橢圓焦點的最短弦即為垂徑，計算即得解.解：由橢圓的性質(zhì)，過橢圓焦點的最短弦即為垂徑，由橢圓方程：a=5'b=4.c=3故右焦點坐標(biāo)為（3,0），令x=3，代入解得：y=±―故答案為：~5點評：本題考查了橢圓的性質(zhì)和弦長，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在平行六面體ABCD15.如圖，在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，以頂點A為頂點的三條棱的長均為2,uuuur且兩兩所成角均為60°,則IACJ=.答案：2^6uuurruuurruuurruuuurrrr設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,且IACI=la+b+cI，利用數(shù)量積運算即得解.11解：uuurruuurruuurrrrrrrrrrr設(shè)AB=a,AD=b,AA=c/.Ial=lbl=lcl=2,va,b>=<a,c>=<c,b>=60。1uuuurrrrrrrrrrrrruuuurrrrrrrrrrrrrIACI2=la+b+cl2=Ial2+Ibl2+Icl2+2a-b+2a-c+2c-b=241uuur

uuur

/lACl=故答案為：2\：6點評：本題考查了空間向量的模長，數(shù)量積運算，考查了學(xué)生空間想象，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.16?數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C:x2+y2=1+IxyI就是其中之如圖），給出下列三個結(jié)論：曲線C恰好經(jīng)過4個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；曲線c上任意一點到原點的距離都不超過^2.曲線C所圍成的“花形”區(qū)域的面積小于4.其中，所有正確結(jié)論的序號是.答案：②利用均值不等式，得到1Xy1,結(jié)合x,y均為整數(shù)，即得解；由于1xy】，故x2+y2二1+|xy1<2，故得解；構(gòu)造f(y)=y2-xy+x2-1,&二4-3x2>0，得到xe(0,1),y>0，同理有ye(01)，x>0，即第一象限部分圖像應(yīng)在y=l,x=1與坐標(biāo)軸圍成的正方形外部，分析易得解.解：x2+y2二1+Ixy1>21xyL\lxyl<1，要使得x,y均為整數(shù)，只能取-1,0,1三個數(shù)，則可得整數(shù)點有8個：(±1,±1),((±1,0),(0,±1)，故①不正確；由于1xy|<】，故x2+y2二1+IxyI<2，故曲線C上任意一點到原點的距離都不超過<2，正確；令xe(0,l),y>0y2-xy+x2-1=0記函數(shù)f(y)二y2-xy+x2-1,A=4-3x2>0，所以函數(shù)有兩個零點，又因為f(0)<0,f(1)二x2-x<0，故兩個零點一個小于0,—個大于1,

即曲線上xe(O,l),y>0，同理有ye(01),x>0即第一象限部分圖像應(yīng)在y=l,x=l與坐標(biāo)軸圍成的正方形外部，根據(jù)圖像對稱性可得面積大于4,故不正確.故答案為：②點評：本題考查了利用方程研究曲線的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.三、解答題17．為節(jié)約生活用水，某市計劃試行居民生活用水定額管理，為了較為合理地確定出居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：t），并制作了頻率分布直方圖.（1）由于某種原因頻率分布直方圖部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，請在圖中將其補充完整，并說明理由；（2）從頻率分布直方圖中估計該100位居民月均用水量的眾數(shù)，中位數(shù).答案：（1）作圖見解析，詳見解析（2）眾數(shù)為2.25；中位數(shù)為2（1）根據(jù)題意，得到1.5t-2t組頻率為0.2，補全頻率分布直方圖;（2）根據(jù)頻率分布直方圖找到眾數(shù)，中位數(shù)即可.解：（1）根據(jù)題意，l?5t-2t組頻率為1-(0.1x0.5+0.2x0.5+0.3x0.5+0.6x0.5+0.3x0.5+0.1x0.5)二0.21.5t-2t組頻率/組距=0|=0.4.頻率分布直方圖如圖所示：

頻敢組距(2)估計該100位居民月均用水量眾數(shù)為頻敢組距(2)估計該100位居民月均用水量眾數(shù)為2+2.52二2.25由0.1x0.5+0.2x0.5+0.3x0.5+0.4x0.5=0.5???估計該100位居民月均用水量中位數(shù)為2.點評：本題考查了頻率分布直方圖的畫法，以及利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在直三棱柱ABC-兔B￡中,AB=2，AC=1,CC］=￡，ZABC=30。，D為AB的中點.證明：AC］〃平面BCD；求直線DC與平面BCD所成角的正弦值.答案：(1)見解析答案：(1)見解析10(1)連接BC交BC于點E，連接DE，由矩形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理可得DEPAC］,由線面平行的判定定理可得結(jié)果；(2)先證明AC丄BC，分別以CA,CB,CC］為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得直線DC］的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求得平面BCD的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.解：

(1)連接BC交BC于點E,連接DE,因為四邊形BBCC是矩形，所以點E是BC的中點，又點D為AB的中點，所以DE是AABq的中位線，所以DEPAC^.因為DEu平面BCD，AC嚴(yán)平面BCD，所以AC所以AC】P平面BCD.(2)由AB=2，AC=1，ZABC=30°，可得AC丄BC，

分別以CA，CB，CC1為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,19．一所學(xué)校計劃舉辦“國學(xué)”系列講座.由于條件限制，按男、女生比例采用分層抽樣的方法，從某班選出10人參加活動.在活動前對所選的10名同學(xué)進(jìn)行了國學(xué)素養(yǎng)測試，這10名同學(xué)的性別和測試成績（百分制）的莖葉圖如圖.則有C(0,0,0)，BQ爲(wèi)，爲(wèi))uuuuV所以DC1=f-‘2,-X，22則有C(0,0,0)，BQ爲(wèi)，爲(wèi))uuuuV所以DC1=f-‘2,-X，22丿uuuvCB=1，C1uuuv，CD=設(shè)直線DC與平面BCD所成角為。，平面BCD的法向量為m=(x,y,z),vuuuvm-CB=01vuuuv1，即m-CD=0—x+——〔2+[3Z=0V(?」)73，令z=1，得m二、1'3，-1，1-y=02所以sin。=vuuuv

cosm,DC=14+4+3心,，3+1+12、510■點評：本題主要考查線面平行的判定定理，線面角的向量法，屬于中檔題.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.男女5646876706g￡78（1）根據(jù)這10名同學(xué)的測試成績，估計該班男、女生國學(xué)素養(yǎng)測試的平均成績；（2）若成績大于等于75分為優(yōu)良，從這10名同學(xué)中隨機選取2名男生，2名女生，求這4名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的概率.1答案：（1）估計該班男、女國學(xué)素養(yǎng)測試平均成績分別為73.75分，76分（2）5（1）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)分別計算10名同學(xué)中男女的平均成績，估計該班男、女生國學(xué)素養(yǎng)測試的平均成績即可；（2）設(shè)4名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良為事件A，分別計算從這10名同學(xué)中隨機選取2名男生，2名女生的方法數(shù)，這4名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的方法數(shù)即可.解：（1）設(shè)這（1）設(shè)這10名同學(xué)中男生平均成績?yōu)?1女生平均成績?yōu)閰[2由莖葉圖可知：X二1(64+76+77+78)二73.75,丁二1(56+70+76+79+88+87)二761426???估計該班男、女國學(xué)素養(yǎng)測試平均成績分別為73.75分，76分.（2）設(shè)4名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良為事件AP(P(A)=C2-C234C2-C246???這4名同學(xué)的國學(xué)素養(yǎng)測試成績均為優(yōu)良的概率為1.點評：本題考查了統(tǒng)計和概率綜合，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，PB與平面PAD所成角為45°,F是PB的中點，E是BC上的動點.PDC（1）證明:PE丄AF；（2）若BC=2AB，PE與PDC（1）證明:PE丄AF；（2）若BC=2AB，PE與AB所成角的余弦值為蘭17，求二面角D-PE-B的余弦值.17答案：（1）見解析；（2）—「.42（1）建立空間坐標(biāo)系得到兩直線的方向向量，進(jìn)而證得垂直關(guān)系；（2）建立坐標(biāo)系通過題干的線線角得到E（3,2,0），求兩個面的法向量，進(jìn)而得到二面角.解：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)Ap二AB二b,BE二a,，貝y.A(0,0,0),B(0,b,0),E(a,b,0),P(0,0,b),uuyz、umv(于是，PE=(a,b,—b),AF=obb]22丿uuuvuuuv則PE-AF二0，所以AF丄PE.(2)設(shè)AB=2則BC二4,,D(4,0,0),B(0,2,0),E(a,2,0),P(0,0,2),uuuvuuuvAB=(0,2,0丿,PE=(a,2,-2丿,若，則由uuvuuvABPE

uuuvuuv

ABPE=2177得a=3,E(3,2,0),ruuuvuuuv平面PDE的法向量為n=(x,y,z丿，PD=(4,0,—2丿,ED=(3,—2,0)vuuuv(n-PD=0vuuv5-PE=0vuuuv(n-PD=0vuuv5-PE=0，得：Y=2'于是n=（2,1,4乂網(wǎng)=、：'21.,而z=2xQAF丄PBC,umvuuuvAF=(0,1,1丿,|AF|=\2設(shè)二面角D-PE-B為0，則為鈍角所以,vuuvnAFCOS0=—auuvnAF1+5v''2^<25邁42點評：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，平面和平面的夾角．求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，也可以建系來做．21．某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了11月1日至11月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如表資料：日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日溫差X（。0811121310發(fā)芽數(shù)Y（顆）1625263023設(shè)農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.參考：為xy參考：為xy-n-x-YiiX—x2-n-x2ii=1為(x-X)(Y-Y)ii乞(x-X)2ii=1A=Y-Bx)1）若選取的是11月1日與11月5日的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗，請根據(jù)11月2日至11月4日的三組數(shù)據(jù)，求出Y關(guān)于X的線性回歸方程Y=Bx+A；（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？5答案：（1）Y=2X-3（2）該研究所得的線性回歸方程是可靠的利用表格中數(shù)據(jù)計算y,x，代入公式，求解線性回歸方程即可；將數(shù)據(jù)代入(1)中求得的線性回歸方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)判斷即可.解：11x=3(11+13+12)=12，y=3(25+30+26)=27￡(x—x)(y-y)=5,(x-X)2=2iiii=1i=155???b=二,a=-3.??y關(guān)于x的線性回歸方程為y=-x-3x=8時，y=17,117-16K2x=10時，y=22,122-231<2.該研究所得的線性回歸方程是可靠的.點評：本題考查了線性回歸