人教版2020高中數(shù)學 第一章1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時 排列與排列數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3

第1課時排列與排列數(shù)公式學習目標：1.理解排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列．(重點)2.理解排列數(shù)公式，能利用排列數(shù)公式進行計算和證明．(難點)［自主預習?探新知］1．排列的概念從n個不同元素中取出m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2．相同排列的兩個條件元素相同.順序相同.思考：如何理解排列的定義？［提示］可從兩個方面理解：(1)排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；⑵兩個排列相同的條件：①元素相同，②元素的排列順序也相同.排列數(shù)與排列數(shù)公式排列數(shù)定從n個不同兀素中取出m(mWn)個兀素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個義及表示不同兀素中取出m個兀素的排列數(shù)，用符號血表示n全排列的概念n個不同兀素全部取出的個排夕列階乘的概念把n?(n—1)2?1記作n!讀作：n的階乘Am=n(n—1)???(n—m+1)n排列數(shù)公式n!階乘式Am=,(n，m^N*,mWn)特殊情況An=n!，1!=1,0!=1n思考：排列與排列數(shù)有何區(qū)別？［提示］“一個排列”是指：從n個不同的元素中任取m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù).所以符號Am只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.n［基礎自測］判斷(正確的打“廠，錯誤的打“X”)兩個排列的元素相同，則這兩個排列是相同的排列.()從六名學生中選三名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，共有多少種選法屬于排列問題．()有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問題從3,5,7,9中任取兩個數(shù)進行指數(shù)運算，可以得到多少個冪屬于排列問題．從1,2,3,4中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個點屬于排列問題．［解析］(l)x因為相同的兩個排列不僅元素相同，而且元素的排列順序也相同.丁因為三名學生參賽的科目不同為不同的選法，每種選法與“順序”有關，屬于排列問題．X因為分組之后，各組與順序無關，故不屬于排列問題.V因為任取的兩個數(shù)進行指數(shù)運算，底數(shù)不同、指數(shù)不同結果不同.結果與順序有關，故屬于排列問題．V因為縱、橫坐標不同，表示不同的點，故屬于排列問題.［答案］(l)X(2)V(3)X(4)V(5)V甲、乙、丙三名同學排成一排，不同的排列方法有()A.3種B.4種C.6種D.12種C［由排列定義得，共有A;=6種排列方法.］TOC\o"1-5"\h\z3.90X91X92X???X100可以表示為()A.A10B.A11100100C.A12D.A13100100B[由排列數(shù)公式得原式為Ai0o，故選B.]A2=，A3=.43導學號：95032026】126[A判斷下列問題是否為排列問題.北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；選2判斷下列問題是否為排列問題.北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；選2個小組分別去植樹和種菜選2個小組去種菜；選10人組成一個學習小組選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；［思路探究］判斷是否為排列問題關鍵是選出的元素在被安排時，是否與順序有關.若43［合作探究?攻重難］排列的概念與順序有關，就是排列問題，否則就不是排列問題．［解］(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)屬于排列問題.［規(guī)律方法］解決本題的關鍵有兩點：一是“取出元素不重復”，二是“與順序有關”.判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題.［跟蹤訓練］1．判斷下列問題是否是排列問題同宿舍4人，每兩人互通一封信，問他們一共寫了多少封信？同宿舍4人，每兩人通一次電話，問他們一共通了幾次電話？［解］(1)是一個排列問題，相當于從4個人中任取兩個人，并且按順序排好．有多少個排列就有多少封信，共有A2=12封信.4(2)不是排列問題，“通電話”不講順序，甲與乙通了電話，也就是乙與甲通了電話從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？寫出A,B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法.【導學號：95032027】［解］(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個不同的兩位數(shù)．(2)如圖所示的樹形圖：故所有可能的站法是BACD,BADC，BCAD,BDAC，CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC，DACB,DBAC，DCAB,共12種.

［規(guī)律方法］在排列個數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列.［跟蹤訓練］2．(1)A，B，C三名同學照相留念，成“一”字形排隊，所有排列的方法種數(shù)為()A．3種B．4種C．6種D．12種種機票．(2)北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有種機票．(1)C(2)12[(1)(1)C(2)12[(1)所有的排法有：A—B—C,A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，(2)列出每一個起點和終點情況，C—B—A，共6(2)列出每一個起點和終點情況，廣州京甫京廣州f天津南京一北京天津f廣州天津如圖所示.北京p故符合題意的機票種類有：北京f廣州，北京f南京，北京f天津，廣州f南京、廣州f天津、廣州f北京，南京一天津，南京一北京，南京一廣州，天津一北京，天津一廣州，天津一南京，共12種.］哄里業(yè)排列數(shù)公式的推導與應用［探究問題］兩個同學從寫有數(shù)字1,2,3,4的卡片中選取卡片進行組數(shù)字游戲.從這4個數(shù)字中選出2個或3個分別能構成多少個無重復數(shù)字的兩位數(shù)或三位數(shù)？［提示］從這4個數(shù)字中選出2個能構成A2=4X3=12個無重復數(shù)字的兩位數(shù)；若選4出3個能構成A3=4X3X2=24個無重復數(shù)字的三位數(shù).4由探究1知A2=4X3=12，A3=4X3X2=24，你能否得出A2的意義和A2的值？44nn［提示］A2的意義：假定有排好順序的2個空位，從n個元素a,a,…，n12a中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過來，任n一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)A2?由分n步乘法計數(shù)原理知完成上述填空共有n(n—1)種填法，所以A2=n(n-1).n你能寫出Am的值嗎？有什么特征？若m=n呢？n［提示］Am=n(n—1)(n—2)???(n—m+1)(m,nWN*,mWn).n(1)公式特征：第一個因數(shù)是n,后面每一個因數(shù)比它前面一個少1,最后一個因數(shù)是n—m+1,共有m個因數(shù);

⑵全排列：當m=n時，即n個不同元素全部取出的一個排列.全排列數(shù)：An=n(n—l)(n—2)????2?l=n!(叫做n的階乘).n另外，我們規(guī)定0!=1.所以Am=n(n—1)(n—2)???(n—m+1)=n—mAn!An—m*n—m(1)計算:2A5+7A488.A8—A5'n—mAn!An—m*n—m(1)計算:2A5+7A488.A8—A5'89(2)求證：Am—Am=mAm—1.n+1nn【導學號：95032028】［思路探究］:(1)合理選用排列數(shù)的兩個公式進行展開.(2)提取公因式后合并化簡.［解］(1)2A5+7A488A8—A5892X8X7X6X5X4+7X8X7X6X58X7X6X5X4X3X2X1—9X8X7X6X58X7X6X5X8+78X7X6X5X24—9(2)證明:--..n+1!*/Am—Amn+1nn+1—m!n!n—m!n!n—m!n+1n+1—m12n!n—m!n+1—m=m?n!n+1—m=mAm—1.n［解］原方程3Ax［解］原方程3Ax=4Ax-1可化為893X8!8—x!4X9!10—x!/.Am—Am=mAm-1.n+1nn［規(guī)律方法］排列數(shù)的計算方法即4X9X8!即8—x—=10—x9—8——!化簡，得X2—19x+78=0,解得X］=6,x=13-由題意知｛xW8,x—1W9,解得xW8.所以原方程的解為x=6.［當堂達標?固雙基］1．已知下列問題：從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學和物理學習小組;從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加一項活動；從a,b，c,d四個字母中取出2個字母；從1,2,3,4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)．其中是排列問題的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個B［①是排列問題，因為兩名同學參加的活動與順序有關；②不是排列問題，因為兩名同學參加的活動與順序無關；③不是排列問題，因為取出的兩個字母與順序無關；④是排列問題，因為取出的兩個數(shù)字還需要按順序排成一列．］2.4X5X6X—X（n-1）Xn等于（）【導學號：95032029】A．A4B．An-4nnC．（n-4）!D．An-3nD［4X5X6X???X（n—l）Xn中共有n—4+l=n—3個因式，最大數(shù)為n,最小數(shù)為4,故4X5X6X???X（n—l）Xn=An-3.］n3．5本不同的課外讀物分給5位同學，每人一本，則不同的分配方法有種120［利用排列的概念可知不同的分配方法有A5=120種.］54.A6—6As+5A4=.654120[原式=A6—A6+A5=A5=5X4X3X2Xl=120.]6655A5+A45?計算：A9—T；1010［解］法TOC\o"1-5"\h\zA5+A45A4+A45+13［解］法A6—A550A4—10A450—10201010999!9!A5+A44!+5!5X9