初中數(shù)學(xué)一題多解

.@;初中數(shù)學(xué)一題多解學(xué)校：三亞市崖城中學(xué)教師：吳斌問(wèn)題：等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半已知：△ABC，AB=AC,BD⊥AC，求證：∠CBD=∠A證明一：（如圖）在△ABC中∵AB=AC∴∠ABC=∠C（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）CDAB又∵∠A+∠ABC+∠C=180°（三角形的內(nèi)角和等于18CDAB∴∠C=（180°-∠A）=90°-∠A又∵BD⊥AC∴∠BDC=90°在RT△BDC中，可知∠CBD=90°-∠C（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）∴∠CBD=90°-（90°-∠A）=90°-90°+∠A=∠A即∠CBD=∠A證明二：（如圖）CDAB∵BCDAB∴∠BDC=∠BDA=90°（垂直的定義）在RT△BDC中,可得∠CBD=90°-∠C在RT△ADB中,可得90°=∠ABD+∠A∴∠CBD=∠ABD+∠A-∠C（等量代換）又∵AB=AC∴∠ABC=∠C（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）又∵∠ABD=∠ABC-∠CBD∴∠ABD=∠C-∠CBD∴∠CBD=∠C-∠CBD+∠A-∠C（等量代換）即∠CBD=∠A點(diǎn)評(píng)：以上兩種證明都是常的證明方法，根據(jù)已知條件就可以直接推理出所要求證的問(wèn)題。證明三：（如圖）作∠BAC的平分線AE交BC于E，則有∠CAE=∠BAC∵AB=AC∴AE⊥BC（等腰三角形的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）∴△AEC為直角三角形又∵BD⊥AC，EDCBA∴EDCBA在RT△CDB中，有∠C+∠CBD=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）在RT△AEC中，有∠C+∠CAE=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）∴∠CBD=∠CAE即∠CBD=∠A證明四：（如圖）作AE⊥BC，垂足為E，可得△CEA為直角三角形EDCBA∵EDCBA∴△CDB為直角三角形又∵∠C為△CEA與△CDB的公共角∴△CEA∽△CDB(有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似)∴∠CBD=∠CAE(相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又∵AB=AC∴∠CAE=∠BAE=∠A(等腰三角形的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合)即∠CBD=∠A證明五：（如圖）在線段AC上取一點(diǎn)，作∠CBD=∠EBD∵BD⊥ACABCDE∴∠CDB=ABCDE又∵BD=BD(公共邊)∴△CBD≌△EBD（ASA）∴BC=BE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∴∠C=∠BEC(等邊對(duì)等角)又∵∠CBE=∠CBD+∠EBD∴∠CBE=2∠CBD在△CBE中，∵∠CBE+∠C+∠BEC=180°∴∠CBE=180°-2∠C∴∠CBE=2∠CBD=180°-2∠C又∵AB=AC∴∠ABC=∠C又∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴∠A=180°-(∠ABC+∠C)=180°-2∠C∴2∠CBD=∠A即∠CBD=∠A證明六：（如圖）過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB,可有∠CEA=90°∵BD⊥AC∴∠BDA=90°在△ABD和△ACE中，∵∠A=∠A（公共角）∠BDA=∠CEA=90°(已證)EDCEDCBA∴△ABD≌△ACE（AAS）∴∠ABD=∠ACE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB又∵∠ABC=∠ABD+∠CBD∠ACB=∠ACE+∠BCE∴∠CBD=∠BCE在△ABC中,∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠ACE+∠BCE=180°∴∠CBD+∠BCE=180°-(∠ABD+∠ACE)-∠A∴2∠CBD=180°-2∠ABD-∠A在RT△ABD中,∵∠ABD=90°-∠A∴2∠CBD=180°-2(90°-∠A)-∠A=∠A即∠CBD=∠A證明七：（如圖）EDCBEDCBA∴∠ABC=∠ACB在RT△BEC和RT△CDB中,∵∠CBD=90°-∠ACB∠BCE=90°-∠ABC∴∠CBD=∠BCE在RT△ABD中，有∠A+∠ABD=90°在RT△ACE中，有∠A+∠ACE=90°∴2∠A+∠ABD+∠ACE=180°在△ABC中，有∠A+∠ABD+∠CBD+∠BCE+∠ACE=∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴2∠A+∠ABD+∠ACE=∠A+∠ABD+∠CBD+∠BCE+∠ACE∠A=∠CBD+∠BCE∴∠A=2∠CBD即∠CBD=∠A證明八：（如圖）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交BD于F，則有∠BEC=90°EDCBAF在RT△BEC中，有∠BCE=9EDCBAF又∵BD⊥AC∴∠CDB=90°在RT△BDC中,∠CBD=90°-∠ACB又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠CBD=∠BCE在△BCF中,∠CBD=∠BCE=(180°-∠BFC)=90°-∠BFC又∵∠AEF+∠ADF=90°+90°=180°∴A、E、F、D四點(diǎn)共圓（如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓）∴∠A+∠EFD=180°(圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ))∴∠EFD=180°-∠A又∵∠BFC=∠EFD(對(duì)頂角相等)∴∠CBD=90°-∠BFC=90°-∠EFD=90°-(180°-∠A)=∠A即∠CBD=∠A證明九：（如圖）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,并連接ED∵AB=AC∴BE=CE(等腰三角形的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合)又∵BD⊥AC，∴△BDC為直角三角形ABCABCDE∴∠EBD=∠EDB（等邊對(duì)等角）又∵∠DEC=∠EBD+∠EDB（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和）∴∠DEC=2∠EBD∴∠EBD=∠DEC∴∠CBD=∠DEC又∵∠BEA與∠BDA有公共弧AB∴∠BEA=∠BDA又∵∠BEA、∠BDA在AB的同側(cè)，∴A、B、E、D四點(diǎn)共圓(如果兩個(gè)三角形有一條公共邊，這條邊所對(duì)的角相等，并且在公共邊的同側(cè)，那么這兩個(gè)三角形有公共的外接圓)又∵∠DEC為內(nèi)接四邊形ABED的一個(gè)外角∴∠DEC=∠BAD（圓的內(nèi)接四邊形任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角）∴∠CBD=∠BAD即∠CBD=∠A(等量代換)證明十：（如圖）取BC的中點(diǎn)E并連接AE和DE，可得BE=CE∵AB=AC∴AE⊥BC,∠BAE=∠CAE(∴∠CAE=∠BACABCDE又∵BD⊥AC，則有ABCDE∴BE=CE=DE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）因此△CDE為等腰三角形，則有∠C=∠EDC（等邊對(duì)等角）又∵∠C=∠ABC（等邊對(duì)等角）∴∠EDC=∠ABC(等量代換)因此A、B、E、D四點(diǎn)共圓又∵∠EBD與∠DAE有公共弧DE∴∠EBD=∠DAE(同弧所對(duì)的圓周角相等)∴∠E