2020高中數(shù)學 第章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 .2.1 復數(shù)的加法和減法學案 1-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。學習目標核心素養(yǎng)1．熟練掌握復數(shù)的代數(shù)形式的加減法運算法則．（重點）2．理解復數(shù)加減法的幾何意義,能夠利用“數(shù)形結合”的思想解題．(難點、易混點)通過學習復數(shù)的加法和減法，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng).一、復數(shù)代數(shù)形式的加減運算1．運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則(1）z1＋z2＝（a＋c)＋（b＋d)i;（2）z1－z2＝（a－c)＋(b－d）i.2．加法運算律交換律z1＋z2＝z2＋z1結合律（z1＋z2)＋z3＝z1＋（z2＋z3）二、復數(shù)加減法的幾何意義1．復數(shù)加法的幾何意義如圖，設復數(shù)z1，z2對應向量分別為eq\o（OZ1,\s\up6（→)),eq\o(OZ2,\s\up6（→）)，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對應的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→））.2．復數(shù)減法的幾何意義如圖所示，設eq\o（OZ1，\s\up6(→）），eq\o（OZ2，\s\up6(→））分別與復數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di對應，且eq\o(OZ1,\s\up6（→))，eq\o(OZ2,\s\up6（→））不共線，則這兩個復數(shù)的差z1－z2與向量eq\o(OZ1,\s\up6(→）)－eq\o（OZ2，\s\up6(→））（即eq\o(Z2Z1，\s\up6（→）))對應，這就是復數(shù)減法的幾何意義．這表明兩個復數(shù)的差z1－z2（即eq\o（OZ1，\s\up6(→)）－eq\o（OZ2，\s\up6(→）))與連接兩個終點Z1，Z2，且指向被減數(shù)的向量對應．1．已知復數(shù)z1＝3＋4i,z2＝3－4i,則z1＋z2＝()A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i[解析］z1＋z2＝（3＋4i)＋（3－4i）＝（3＋3）＋(4－4）i＝6.［答案］B2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，則復數(shù)z＝z1－z2對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限［解析]z＝z1－z2＝（2＋i)－(1＋2i）＝（2－1）＋(1－2）i＝1－i,對應的點為（1,－1)位于第四象限．[答案]D3．在復平面內，向量eq\o(OZ1，\s\up6（→）)對應的復數(shù)為－1－i，向量eq\o（OZ2，\s\up6(→）)對應的復數(shù)為1－i，則eq\o（OZ1，\s\up6(→))＋eq\o（OZ2，\s\up6(→)）對應的復數(shù)為________．[解析］由復數(shù)加法運算的幾何意義知，eq\o(OZ1，\s\up6(→)）＋eq\o(OZ2，\s\up6（→))對應的復數(shù)即為（－1－i)＋（1－i）＝－2i。[答案］－2i復數(shù)的加減運算【例1】計算:（1）(1＋3i)＋（－2＋i)＋（2－3i）;（2)(2－i）－(－1＋5i)＋(3＋4i)；(3)5i－［（3＋4i)－（－1＋3i）］；（4）（a＋bi）－(3a－4bi)＋5i(a,b∈R［思路探究］復數(shù)的加減運算，只需把“i”看作一個字母，完全可以按照合并同類項的方法進行．[解](1）原式＝(－1＋4i）＋(2－3i)＝1＋i.（2）原式＝（3－6i)＋（3＋4i）＝6－2i。（3）原式＝5i－(4＋i）＝－4＋4i.(4）原式＝(－2a＋5bi）＋5i＝－2a＋(51．復數(shù)運算類比實數(shù)運算，若有括號，括號優(yōu)先，若無括號,可從左到右依次進行．2．算式中出現(xiàn)字母時，首先確定其是否為實數(shù)，再提取各復數(shù)的實部與虛部,將它們分別相加．3．準確提取虛、實部,正確進行符號運算有利于提高解題的準確率．1．計算:(1）(－2＋3i)＋(5－i）；（2）（－1＋eq\r（2)i）＋(1＋eq\r（2）i)；（3)（a＋bi）－（2a－3bi）－3i(a,b∈R［解](1）(－2＋3i）＋（5－i)＝(－2＋5）＋（3－1)i＝3＋2i.(2）(－1＋eq\r(2)i）＋(1＋eq\r（2)i)＝(－1＋1）＋（eq\r（2)＋eq\r（2))i＝2eq\r（2)i。（3）（a＋bi）－(2a－3bi）－3i＝（a－2a)＋(b＋3b－3）i＝－a＋（4復數(shù)加減運算的幾何意義【例2】設eq\o(OZ1,\s\up6（→））及eq\o（OZ2，\s\up6（→））分別與復數(shù)z1＝5＋3i及復數(shù)z2＝4＋i對應,試計算z1＋z2，并在復平面內作出eq\o(OZ1,\s\up6（→)）＋eq\o(OZ2,\s\up6（→))。［思路探究]利用加法法則求z1＋z2，利用復數(shù)的幾何意義作出eq\o（OZ1,\s\up6(→））＋eq\o(OZ2，\s\up6（→)).[解］∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝（5＋3i）＋（4＋i）＝9＋4i.∵eq\o（OZ1，\s\up6（→））＝（5，3），eq\o（OZ2,\s\up6(→)）＝(4，1），由復數(shù)的幾何意義可知,eq\o（OZ1，\s\up6（→））＋eq\o(OZ2,\s\up6（→）)與復數(shù)z1＋z2對應,∴eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6（→))＝(5，3)＋(4，1)＝（9,4),作出向量eq\o(OZ1,\s\up6(→））＋eq\o(OZ2，\s\up6（→)),如圖所示．1．根據(jù)復數(shù)加減運算的幾何意義可以把復數(shù)的加減運算轉化為向量的坐標運算．2．利用向量進行復數(shù)的加減運算時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則．3．復數(shù)加減運算的幾何意義為應用數(shù)形結合思想解決復數(shù)問題提供了可能．2．復平面內三點A，B，C，A點對應的復數(shù)為2＋i，向量eq\o(BA,\s\up6（→）)對應的復數(shù)為1＋2i，向量eq\o（BC,\s\up6（→)）對應的復數(shù)為3－i，求點C對應的復數(shù)．［解］∵eq\o（BA,\s\up6(→)）對應的復數(shù)為1＋2i，eq\o(BC,\s\up6（→））對應的復數(shù)為3－i，∴eq\o(AC,\s\up6（→））＝eq\o(BC，\s\up6（→)）－eq\o（BA，\s\up6（→））對應的復數(shù)為(3－i）－（1＋2i)＝2－3i.又∵eq\o（OC,\s\up6(→)）＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（AC，\s\up6(→)），∴C點對應的復數(shù)為（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.復數(shù)加減法幾何意義的綜合應用［探究問題]1．｜z1－z2｜的幾何意義是什么？[提示］|z1－z2|表示復數(shù)z1，z2對應的兩點Z1與Z2間的距離．2．滿足條件|z－i｜＝｜3＋4i|的復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是什么曲線？［提示］∵｜z－i｜＝|3＋4i｜＝5，∴復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡是以(0,1）為圓心，5為半徑的圓．【例3】已知｜z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．[思路探究］利用復數(shù)加減法的幾何意義，以及數(shù)形結合的思想解題．[解］法一：設w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i。又｜z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w對應的點的軌跡是以(－4，5)為圓心，1為半徑的圓．如圖（1）所示，∴|w|max＝eq\r(41)＋1，|w|min＝eq\r(41）－1.圖(1）圖（2）法二：由條件知復數(shù)z對應的點的軌跡是以（－1，1)為圓心,1為半徑的圓，而｜z－3＋4i｜＝|z－(3－4i）|表示復數(shù)z對應的點到點(3，－4）的距離，在圓上與(3，－4)距離最大的點為A，距離最小的點為B，如圖(2)所示,所以|z－3＋4i|max＝eq\r（41)＋1，|z－3＋4i｜min＝eq\r（41）－1.|z1－z2｜表示復平面內z1,z2對應的兩點間的距離.利用此性質，可把復數(shù)模的問題轉化為復平面內兩點間的距離問題，從而進行數(shù)形結合,把復數(shù)問題轉化為幾何圖形問題求解.3．已知｜z|＝2，則|z＋3－4i|的最大值是________．［解析]由｜z|＝2知復數(shù)z對應的點在圓x2＋y2＝4上，圓心為O（0，0)，半徑r＝2.而|z＋3－4i|＝｜z－(－3＋4i）|表示復數(shù)z對應的點與M（－3,4)之間的距離，由于｜OM｜＝5，所以｜z＋3－4i|的最大值為|OM|＋r＝5＋2＝7。[答案]71．復數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于（）A．－1＋i B．1－iC．i D．－i[解析］（1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2）＋（－1－1＋3)i＝－1＋i。［答案］A2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，則復數(shù)z＝z2－z1對應的點位于(）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限［解析］∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－（3＋i）＝（1－3）＋（5－1)i＝－2＋4i。［答案］B3．若|z－1｜＝|z＋1|，則復數(shù)z對應的點Z()A．在實軸上 B．在虛軸上C．在第一象限 D．在第二象限［解析］設z＝x＋yi(x，y∈R)，由｜z－1｜＝|z＋1｜，得（x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化簡得x＝0.［答案]B4．在復平面內，O是原點，eq\o（OA,\s\up6（→)），eq\o（OC,\s\up6（→)),eq\o（AB，\s\up6(→））對應的復數(shù)分別為－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么eq\o（BC，\s\up6（→）)對應的復數(shù)為________．［解析］∵eq\o(BC，\s\up6(→）)＝－(eq\o(OA,\s\up6（→))－eq\o（OC，\s\up6（→））＋eq\o（AB,\s\up6（→）))，∴eq\o（BC，\s\up6（→)）對應的復數(shù)為－[(－2＋i）－(3＋2i)＋（1＋5i)］＝－［（－2－3＋1）＋(1－2＋5)i]＝－(－4＋4i）＝4－4i。[答案］4－4