初中數(shù)學(xué)競賽第十一講等腰三角形的性質(zhì)(含答案)

--PAGE9-第十一講等腰三角形的性質(zhì)角)角)角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合(，特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為60°．解與等腰三角形相關(guān)的問題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運(yùn)用等腰三角形的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算、線段相等的證明、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)，因此，重視全等三角形的運(yùn)用，又不囿于全等三角形，善于運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑．例題求解【例1】如圖AOB是一鋼架，且為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些管、、GH??添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼根．(2001年ft東省聊城市中考題)思路點(diǎn)撥通過角度的計算，確定添加鋼管數(shù)的最大值．MMAGEO F H B系，如三角形內(nèi)角和定理、內(nèi)外角關(guān)系定理．等腰三角形兩底角相等，利用這些定理可以找到隨著知識的豐富，我們分析問題、解決問題的方法和工具隨之增加，因此，在使用什么方法解決問題時，需要綜合與選擇．【例】如圖，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，則∠BAC的度數(shù)為（ A．30° D．32° C36° D．40°(2001年武漢市選拔賽試題)思路點(diǎn)撥圖中有很多相關(guān)的角BAC的代數(shù)式表示這些角的方程．ABCKBCKDEHG B F C】如圖，在△ABC為AC于E，延長AE交BC，問：當(dāng)點(diǎn)D(安徽省競賽題改編題)思路點(diǎn)撥本例是探索條件的問題，可先假定結(jié)論成立，逐步逆推過去，找到相應(yīng)的條件，若∠ADB＝∠CDF，這一結(jié)論如何用?因∠ADB與∠CDF對應(yīng)的三角形不全等，故需構(gòu)造全等三角形，而作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是等腰三角形中一條常用輔助線．中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC交BD的延長線于E，且

AE=12

BD．求證：BD是∠ABC的角平分線．(北京市競賽題)思路點(diǎn)撥AE邊上的高與∠ABC的平分線重合，聯(lián)想到等腰三角形，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．DADEC B注若巳知圖形中不存在證題所需的全等三角形，我們需要添加輔助戰(zhàn)，構(gòu)造全等三角形，使欲證的線段或角轉(zhuǎn)移位置，最終使問題得以解決．結(jié)論探索型、條件探索型、存在性判斷是探索型問題的基本形式，相應(yīng)的解題策略是：(1)通過對符合條件的特例或簡單情形的分析、觀察、猜想結(jié)果，再給出證明；(2)假設(shè)結(jié)論成立，逆推追尋相應(yīng)的條件；(3)假設(shè)在題設(shè)條件下的某一數(shù)學(xué)對象存在，進(jìn)行推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定的結(jié)論．【例5】如圖，在△ABC中，已知∠C＝60°，AC>BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等邊三角形，而點(diǎn)D在AC上，且BC＝DC(1)證明：△C′BD≌△B′DC；(2)證明：△AC′D≌△DB′A；、△ABC′、△BCA(17)ABDABDB' C A'思路點(diǎn)撥(1)是基礎(chǔ)，(2)是(1)的自然推論，(3)由角的不等，導(dǎo)出邊的不等關(guān)系，這是探索面積不等關(guān)系的關(guān)鍵．學(xué)歷訓(xùn)練如圖中，已知AD＝AC，要使AD=AE，需要添加的一個條件．(2003年濟(jì)南市中考題)等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三形底邊的長．△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，則度．DEFEA A DEFEB D E C B P C B D C（第1題） （第3題） （第4題）中，AD⊥BCD，BE⊥ACE，ADBEBF＝AC，則∠ABC的大小． (2002年煙臺市中考)△ABC的一個內(nèi)角的大小是40°，且那么的外角的大小( A．140° B．80°或100° C．100°或140° D．80°或140°已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90PBCPEPF、AC、AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③S四邊形AEPF

=1 2

ABC

；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABCP旋轉(zhuǎn)時EAB重合)，上述結(jié)論中始終正確的( )A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (2003年蘇州市中考7．如圖，在中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，則∠ECF＝( )A．60° B．45° C．30° D．不確定AEPEPEFEFFEB P C FE

B B D C（第6題） （第7題） （第8題）如圖，在等邊中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)( A．45° D．55° C．60° D．75° (2003年菏澤市中考)在△ABCABC分成兩個等腰三角形，試求厶ABC(2002)A、DDEFABCGHAD，延AD交BC，延長DA交EFN，GFDABEDAC的交點(diǎn)．(1)請寫出三個不同類型的、必須經(jīng)過至少兩步推理才能得到的正確結(jié)論（不要求寫出證明過程；(2)問FE、GH、BC有何位置關(guān)系?試證明你的結(jié)論．(2003年江西省中考題)AGHAGHDB C如圖，在Rt△ABC為DC∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F．求證：AB垂直平分DF．(2003年河南省中考題)EDEDA BF如圖為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)則的度數(shù)．(2002年河南省競賽)EDEDACBDACBDB C A'（第12題） （第13題）如圖BB′分別是、的平分線，若AA′=BB′＝AB，則度數(shù)．(2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)周長為100，邊長為整數(shù)的等腰三角形共種(第七屆“華杯賽”試)已知等腰三角形的兩邊a、b滿足2a5(2a13)2=0，則此等腰三角形的周長．如圖在△ABC中于且則的大小( A．20° B．25° C．30° D．45°EGEGFAB D C B D C（第16題） （第17題）如圖，在等腰直角中為斜邊上的高，以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線兩腰相交于、連結(jié)EF與AD相交于G，則∠AED與∠AGF的關(guān)系( )A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGF C．∠AED<∠AGF D．不能確定“學(xué)習(xí)報）公開賽試題）如圖，直線l、l 、l表示三條相交的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路1 2 3的距離相等，則可供選擇的地址( )l2l1l3一處 B．兩處 C．三處 D．四. (2000年安徽省中考)△ABC的三邊為a、ca2bc2

3.252a1.5b，則△ABC是( )2直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．以上答案都不(2002年河南省競賽)如圖，在中，AB=AC，P底邊BC上一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF ⊥AB于F．求證：PD+PE=CF；若P點(diǎn)在BC的延長線上，那么PDPE、CF?寫出你的猜想并證明．AFFDEB P C交BC于點(diǎn)，過FFG⊥CD交BE延長線于G，求證(2000年重慶市競賽)ADEGMDEGM中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO的度數(shù)． (天津市競賽)AOB CO，點(diǎn)P是