二輪復(fù)習(xí)數(shù)列

數(shù)列教學(xué)過程一、考綱解讀1.高考對于本節(jié)的考查方式:(1)選擇填空重點考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)；(2)解答題中重點考查通項公式、求和（重視求和的錯位相減法、裂項相消法）(3)遞推數(shù)列也是考察的重點，只局限于最基本的形式2.數(shù)列在歷年高考高考試題中占有重要的地位，近幾年更是有所加強(qiáng).一般情況下都是一至兩個考查性質(zhì)的客觀題和一個考察能力的解答題。文科以等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本解法為主，理科注重概念的理解和運用。分值在22分左右二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)(1)數(shù)列的概念和簡單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）.②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.③能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.(3)數(shù)列求和,求通項.與函數(shù),不等式等知識的綜合題,考查學(xué)生對知識的掌握和應(yīng)用能力.錯位相減法、裂項相消法三、知識講解考點1數(shù)列的概念和簡單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）.②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).考點2等差數(shù)列、等比數(shù)列①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.③能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.考點3綜合問題(1)求數(shù)列通項累加法,累乘法,構(gòu)造法,數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)列求和裂項相消法,錯位相減法,數(shù)學(xué)歸納法(3)與函數(shù),不等式等知識的綜合題,考查學(xué)生對知識的掌握和應(yīng)用能力.放縮法四、例題精析例1[2014全國大綱]等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前8項和等于()(A)6(B)5(C)4(D)3【規(guī)范解答】選（C）.（求解對照）由已知有在等比數(shù)列中，，，則=10所以。選（C）.【總結(jié)與反思】本題主要考查等比數(shù)列及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于容易題例2[2014重慶卷]對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是（）A．成等比數(shù)列B．成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列D．成等比數(shù)列【規(guī)范解答】由等比數(shù)列的性質(zhì)：下標(biāo)成等差，對應(yīng)項成等比，知選D.【總結(jié)與反思】本題考查等比數(shù)列的簡單性質(zhì)，屬容易題.例3[2014安徽卷]數(shù)列是等差數(shù)列，若，，構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則_______.【規(guī)范解答】由題意得 設(shè)代入上式得，故公比【總結(jié)與反思】此題等差、等比數(shù)列為背景，考察方程思想、整體思想與換元法的運用.例4[2014遼寧卷]設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A．B．C．D．【規(guī)范解答】解法1選（C）（求解對照）∵數(shù)列為遞減數(shù)列,∴，.解法2選（C）由數(shù)列為遞減數(shù)列,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知，得，或，當(dāng)時，，所以，，當(dāng)時，，所以，綜上：.【總結(jié)與反思】（1）本題涉及到等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的運算法則等基本知識點；（2）解法1、2主要步驟是根據(jù)指數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解與判斷；（3）本題涉及到了函數(shù)思想、分類討論思想等基本數(shù)學(xué)思想.例5[2014全國大綱]等差數(shù)列的前n項和為，已知，為整數(shù)，且。(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)設(shè)，求數(shù)列的前n項和?！疽?guī)范解答】解：（I）由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù)。又，故.于是解得因此.所以數(shù)列的通項公式為【總結(jié)與反思】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式與性質(zhì)，考查考生對數(shù)列知識的綜合運用，考查考生的運算求解的能力。

例6[2014全國1卷]已知數(shù)列{}的前項和為，=1，，，其中為常數(shù).(Ⅰ)證明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}為等差數(shù)列？并說明理由.【規(guī)范解答】證明：(Ⅰ)由題設(shè)，，兩式相減，由于，所以解：（Ⅱ）由題設(shè)=1，，可得，由(Ⅰ)知假設(shè){}為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，∴，解得；證明時，為等差數(shù)列：由知數(shù)列奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列令則，∴數(shù)列偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為3，公差為4的等差數(shù)列令則，∴∴（），因此，存在，使得{}為等差數(shù)列.【總結(jié)與反思】本題考查等差數(shù)列概念與定義，數(shù)列項與數(shù)列和的關(guān)系，考查學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力，屬基礎(chǔ)題。在第一小問中通過作差法證明即可；第二小問先由（Ⅰ）求得,利用從特殊到一般的思想來求。先通過成等差數(shù)列,求出的值，然后回到一般結(jié)論去證明，而往往考生會將這一步驟省略，導(dǎo)致過程不全，拿不到滿分。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，數(shù)列題一直是考試熱點內(nèi)容之一，其試題的難度分布幅度有點大，既有容易的基礎(chǔ)題和難度中等的中檔題，也可能有綜合性強(qiáng)對能力要求高的難題。例7[2014全國2卷]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1．（Ⅰ）證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：＋＋…＋＜．

【規(guī)范解答】（Ⅰ）∵a1＝1，an＋1＝3an＋1．N∈N*．∴an＋1＋＝3an＋1＋＝3（an＋）∴{an＋}是首項為，公比為3的等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an＋＝，∴an＝，＝＝1，當(dāng)n＞1時，＝＜．∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝＝（1－）＜∴＋＋…＋＜．【總結(jié)與反思】⑴本題第一問涉及了等比數(shù)列的證明（用定義證明）,⑵第二問中能找到＜是破解本題的關(guān)鍵，該問中運用了等比數(shù)列的求和公式.例8[2014浙江卷]已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前n項和為，，（1）求及；（2）求（）的值，使得【規(guī)范解答】(1)由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因為d>0，所以d＝2.從而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋k－1＝13，,k＋1＝5，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝5，,k＝4.))【總結(jié)與反思】該題考察了方程思想和估算思想。第一小題比較常規(guī)，第二小題在解答的時候要注意把65保留下來，因為它的因數(shù)比較少。挖掘一切信息來縮小可能因數(shù)的范圍是這個題目的能力要點。

例9[2014廣東卷]設(shè)數(shù)列的前項和為,且．（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式．【規(guī)范解答】（1）當(dāng)時，=1\*GB3①當(dāng)時，=2\*GB3②=3\*GB3③由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③解得(2)當(dāng)時，=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②化簡得(當(dāng)時也成立)方法1：（湊配）令，求得即令，則，即因為，故必有，即方法2：（數(shù)學(xué)歸納法）由（1），猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對：當(dāng)時，成立假設(shè)當(dāng)時成立，即有，當(dāng)時，所以，成立綜上所述，對【總結(jié)與反思】①知識點:數(shù)列基本知識、數(shù)列的前項和與的關(guān)系．②思想與方法:轉(zhuǎn)化與化歸③能力:運算求解、推理論證

例10[2014重慶卷]設(shè)（I）若，求及數(shù)列的通項公式；（II）若，問：是否存在實數(shù)使得對所有都成立？證明你的結(jié)論?！疽?guī)范解答】（I）解法一：，再由題設(shè)條件知，從而是首項為0公差為1的等差數(shù)列，故，。解法一：，可寫為，因此，猜想，下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式。當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立。假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即，則，這就是說，當(dāng)時結(jié)論也成立。所以。（II）解法一：設(shè)，則。令，即，解得。下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題<1。當(dāng)n=1時，，所以，結(jié)論成立。假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即<1，易知在上為減函數(shù)，從而即再由在上為減函數(shù)得故，因此<1。這就是說，當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立。綜上，符合條件的c存在，其中一個值為。解法二：設(shè)，則。先證：（）。①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立。假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即。易知在上為減函數(shù)，從而即，這就是說，當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立。故①成立。再證：（）。②當(dāng)n=1時，有，即n=1時②成立。假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即，由①及在上為減函數(shù)，得，。這就是說，當(dāng)n=k+1時，②成立。所以②對一切都成立。由②得即因此。③又由①、②及在上為減函數(shù)，得，即，所以解得。④綜上，由②、③、④知，存在使對所有都成立?！究偨Y(jié)與反思】①本題涉及等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)知識點。②本題第（II）問的求解關(guān)鍵是如何應(yīng)用遞推式，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)式是輔助解題的，同時也是解決問題的根本。③本題的難度較大，解法比較靈活，著重考察學(xué)生的化歸能力，抽象思維能力以及邏輯推理能力。課程小結(jié)(1)數(shù)列的概念和簡單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、