《向量基本定理》示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)人教】

向量基本定理（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的對象在高中的地位是怎樣的？問題1閱讀教材相應(yīng)內(nèi)容，思考下列問題：整體概覽（1）本節(jié)主要研究共線向量基本定理和平面向量基本定理．（2）共線向量基本定理和共面向量基本定理．這實際上是將一維的情況和二維的情況進(jìn)行了展示，呈現(xiàn)滲透了以低維研究高維的思想．三維的情況（即空間向量基本定理）將在選擇性必修的內(nèi)容中出現(xiàn)向量基本定理是引入向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，因此這一內(nèi)容非常重要，這一小節(jié)的關(guān)鍵在于怎樣理解“基本”這兩個字．新知探究問題2前面我們已經(jīng)看到，當(dāng)存在實數(shù)λ，使得時，，那么，這個結(jié)論反過來是否成立呢？結(jié)論是成立的．新知探究例1如圖所示，判斷向量

是否可以寫成數(shù)與向量

相乘．

如果可以，寫出表達(dá)式；如果不可以，說明理由．a(chǎn)bcde解：對于因為

與

的方向相同，而且||＝2||，所以

＝2；因為

與

的方向相同，而且||＝||，所以

＝

，因為

與的方向相反，而且||＝||，所以

＝．因為

與

不平行，所以

不能寫成數(shù)與向量

相乘．新知探究共線向量基本定理：如果

且

，則存在唯一的實數(shù)λ，使得．（1）時，通常稱為

能用

表示．（2）其中的“唯一”指的是，如果還有，則有λ＝μ．假設(shè)

可知，如果λ－μ≠0，則，與已知矛盾，所以λ－μ＝0即λ＝μ．新知探究由共線向量基本定理以及前面介紹過的結(jié)論可知，如果A，B，C是三個不同的點，則它們共線的充要條件是：存在實數(shù)λ，使得．新知探究對于共線向量基本定理的理解，要注意以下三點：（1）定理的前提：給定一個非零向量

；（2）定理的結(jié)論：所有與非零向量

平行的向量

均可以表示成的形式，且表示方法唯一；（3）定理的本質(zhì)：構(gòu)建了向量

與實數(shù)λ之間的一一對應(yīng)關(guān)系．新知探究問題3如果

且

，求實數(shù)λ，使得

？解：（1）當(dāng)

時才存在實數(shù)λ，使得

，而且這樣的λ可以是任意實數(shù)．（2）當(dāng)

時不存在這樣的實數(shù)．新知探究問題4共線向量基本定理的實質(zhì)是，所有共線的向量中，只要指定一個非零向量，則其他向量都可以用這個向量表示出來、那么，這個結(jié)論是否可以推廣到所有共面的向量呢？給定了向量

，

向量

可以表示成，可以表示成，但它們都不能單獨用

，表示出來，也就是說，要表示平面內(nèi)任意一個向量，只選定一個向量是不能實現(xiàn)的．baABCD新知探究問題5已知的始點相同，你能分別將寫成向量的線性運算嗎？abcdef新知探究平面向量基本定理：對于平面內(nèi)兩個向量，不共線，和非零向量

，將向量

，的始點平移到一起，假設(shè)，，將向量

的始點也平移到O點，以O(shè)A，

OB所在的直線為相鄰的邊，以O(shè)C為

對角線作平行四邊形ODCE．a(chǎn)bcabcOABCDE新知探究因為

，不共線，所以

且．又因為，因此由共線向量基本定理可得，存在唯一的x，使得

；同理，存在唯一的y，使得．又由向量加法的平行四邊形法則可知

，從而

．新知探究例2用

表示．e1e2abcdf解：由圖不難看出，

，

，

．

新知探究平面向量基本定理中，當(dāng)

與

不共線時，“唯一的實數(shù)對”指的是

用

與

表示時，表達(dá)式唯一，即如果

，那么x＝u且y＝v．新知探究問題5對于上述表達(dá)，為什么x＝u且y＝v？這是因為由

可知

，如果x－u≠0，則

．從而可知

與

共線，與已知矛盾，因此x－u＝0即x＝u同理可得y＝v．新知探究特別地，當(dāng)

與

不共線時，因為

，所以對于來說，當(dāng)x≠0或y≠0時，必定有

≠0．也就是說，當(dāng)

與

不共線時，

≠0的充要條件是x與y中至少有一個不為0．新知探究例3已知

與

不共線，而且

與共線，求x的值．因此由已知可得存在實數(shù)t，解：因為

與

不共線，所以≠0，使得，即從而解得．新知探究例4如圖所示，已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線上給定的兩點，求證：平面內(nèi)任意一點P在直線l上的充要條件是，存在實數(shù)t，使得．OlABP證明：先證必要性．設(shè)點P在直線l上，則由共線向量基本定理知，實數(shù)t，使因此所以再證充分性則因此P、A、B三點共線，即P在直線l上．從而如果，即新知探究例5在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F．若，試用基底{，}分別表示下列向量：（1）；（2）．從而

，于是OABCDEFab解：（1）由已知有

，從而（2）因為△DEF∽△BEA，而且鞏固練習(xí)練習(xí)1如圖，向量e1，e2，a的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，則向量a用基底e1，e2表示為（）解析：a＝－2e1＋e2．A．e1＋e2

B．－2e1＋e2

C．2e1－e2

D．2e1＋e2

e2e1aB鞏固練習(xí)練習(xí)2若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0，那么下面對a，b的判斷正確的是（）解析：由平面向量基本定理，可知當(dāng)a，b不共線時，k1＝k2＝0，故選B．BA．a(chǎn)與b一定共線B．a(chǎn)與b一定不共線C．a(chǎn)與b一定垂直D．a(chǎn)與b中至少有一個為0歸納小結(jié)（2）共面向量基本定理的內(nèi)容是什么？問題5（1）共線向量基本定理的內(nèi)容是什么？（1）如果

且

，則存在唯一的實數(shù)λ，使得．（2）如果平面內(nèi)兩個向量，不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量

，存在唯一的實數(shù)對（x，y），使得

．目標(biāo)檢測解析：因為6e1－8e2＝2（3e1－4e2），所以（6e1－8e2）∥（3e1－4e2），測試1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2

D．e1和e1＋e2

所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底．B目標(biāo)檢測解析：由條件得2e1＋3e2＝λ（e1＋e2）＋μ（e1－e2），測試2向量a在基底{e1，e2}下可以表示為a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示為a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，則λ＝____，μ＝____．所以解得目標(biāo)檢測解：測試3如圖所示，在△OAB中，＝a，＝b，點M是AB上靠近B的一個三等分點，點N是OA上靠近A的一個四等分點．

若OM與BN相交于點P，求．OBAMPNa

b．因為與共線，故可設(shè)＝t＝a

b．又