高中數(shù)學教案選修2-2

精品文檔文檔精品文檔高二數(shù)學上學期教學方案一、 指導思想“師者，傳道授業(yè)解惑也。〞教育的興衰維系國家之興衰，孩子的進步與徘徊事關(guān)家庭的喜怒哀樂！數(shù)學這一科有著冰凍三尺非一日之寒地學科特點，在高考中的決定性作業(yè)亦舉重非輕，夸大一點說數(shù)學是強校之本、升學之源。鑒于此，我們當舉全組之力，充分發(fā)揮團隊精神，既分工合作，立足高考，保質(zhì)保量地完成教育教學任務，在原來良好的根底上錦上添花。二、 工作目標1、全組成員精誠團結(jié)、互相關(guān)心、互相支持，弘揚一種同志加兄弟的同仁關(guān)系，力爭使我們高一數(shù)學組成為一個充滿活力的優(yōu)秀集體。2、不拘形式不拘時間地點的加強交流，互相之間取長補短、與時俱進、教學相長。3、在日常工作中，既保持和優(yōu)化個人特色，又實現(xiàn)資源共享，同類班級的相關(guān)工作做到根本統(tǒng)一。三、 工作思路本學期高二數(shù)學備課組工作總體思路是：1、認真貫徹落實學校教務處對學科備課組工作的各項要求；2、強化數(shù)學教學研究，提高全組教師的教研水平和教學能力，開展好備課組的集體備課活動；3、繼續(xù)鉆研新教材，認真領會新課標對高一數(shù)學教學的總體要求。四、 活動設想1、按時完成學校〔教誨處、教研組〕相關(guān)工作；2、輪流出題，講求命題質(zhì)量，分章節(jié)搞好集體備課；3、每周集體備課一次，每次有一個中心發(fā)言人，組織進展教學研討；4、互相聽課，一人之長補己之短，完善自我；5、認真組織好培優(yōu)輔差工作以及各類競賽的組織工作。第一章推理與證明課題：合情推理〔一〕——歸納推理課時安排：一課時課型：新授課教學目標：1、通過對已學知識的回憶，進一步體會合情推理這種根本的分析問題法，認識歸納推理的根本方法與步驟，并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)與解決中去。歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。教學重點：了解合情推理的含義，能利用歸納進展簡單的推理。教學難點：用歸納進展推理，做出猜測。教學過程：一、課堂引入：從一個或幾個命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理。見書上的三個推理案例，答復幾個推理各有什么特點？都是由“前提〞和“結(jié)論〞兩局部組成，但是推理的構(gòu)造形式上表現(xiàn)出不同的特點，據(jù)此可分為合情推理與演繹推理二、新課講解：1、蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鱷魚，海龜，蜥蜴都是爬行動物，所有的爬行動物都是用肺呼吸的。2、三角形的內(nèi)角和是180，凸四邊形的內(nèi)角和是360，凸五邊形的內(nèi)角和是540由此我們猜測：凸邊形的內(nèi)角和是(n 2)1803、221,222,221,，由此我們猜測：aam〔a,b,m均為331332333bbm正實數(shù)〕這種由某類事物的局部對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理 ,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡稱：歸納)歸納推理的一般步驟：⑴對有限的資料進展觀察、分析、歸納整理；⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜測；⑶檢驗猜測。實驗，觀察概括，推廣猜測一般性結(jié)論三、例題講解：例1已知數(shù)列an的通項公式an1(nN)，2(n1)f(n)(1a1)(1a2)(1an)，試通過計算f(1),f(2),f(3)的值，推測出f(n)的值?！緦W生討論：】〔學生討論結(jié)果預測如下〕〔1〕f(1)1a113144(11)3824)f(2)(1a1)(1a2)f(1)94936f(3)(1a1)(1a2)(1a3)f(2)(11)2155163168n 2由此猜測，f(n)2(n1)學生討論：1〕哥德巴赫猜測：任何大于 2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的之和。〕三根針上有假設干個金屬片的問題。四、穩(wěn)固練習：1、f(n)1111(nN)，經(jīng)計算:f(2)3,f(4)2,f(8)5,23n22f(16)3,f(32)7，推測當n2時，有__________________________.22、：sin230sin290sin21503，sin25sin265sin21253。22觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明之。3、觀察〔1〕tan10tan20tan20tan60tan60tan101〔2〕tan5tan10tan10tan75tan75tan51。由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論。注：歸納推理的幾個特點：歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.歸納是依據(jù)假設干的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測性.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)歷和實驗的根底之上.歸納是立足于觀察、經(jīng)歷、實驗和對有限資料分析的根底上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.五、 教學小結(jié)：1.歸納推理是由局部到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。歸納推理的一般步驟：1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些一樣的性質(zhì)。2)從的一樣性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題〔猜測〕。六、作業(yè)：教后反思：課題：類比推理●教學目標：〔一〕知識與能力：通過對已學知識的回憶，認識類比推理這一種合情推理的根本方法，并把它用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去?！捕尺^程與方法：類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠?！踩城楦袘B(tài)度與價值觀：1．正確認識合情推理在數(shù)學中的重要作用，養(yǎng)成從小開場認真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。2．認識數(shù)學在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學生學數(shù)學，用數(shù)學，完善數(shù)學的正確數(shù)學意識。●教學重點：了解合情推理的含義，能利用類比進展簡單的推理?！窠虒W難點：用類比進展推理，做出猜測。●教具準備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。●課時安排：1課時●教學過程：一．問題情境從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班〔后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師〕一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他創(chuàng)造了鋸子 .他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手 .我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？二．數(shù)學活動我們再看幾個類似的推理實例。例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜測不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜測不等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(1) a＞ba+c＞b+c;(2)a=bac=bc;(2)a＞bac＞bc;(3)a=ba2=b2;等等。(3)a＞ba2＞b2;等等。問：這樣猜測出的結(jié)論是否一定正確？例2、試將平面上的圓與空間的球進展類比 .圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓球弦←→截面圓直徑←→大圓周長←→外表積面積←→體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點的連線球心與截面圓(不是大圓)的圓點的垂直于弦連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓與球心距離相等的兩截面圓相等；心距離不等的兩弦不等，距圓心較與球心距離不等的兩截面圓不等，近的弦較長距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)切點過切點經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必過圓心經(jīng)過球心☆上述兩個例子均是這種由兩個〔兩類〕對象之間在某些方面的相似或一樣，推演出他們在其他方面也相似或一樣；或其中一類對象的某些特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理〔簡稱類比〕．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜測；⑶檢驗猜測。即觀察、比擬聯(lián)想、類推猜測新結(jié)論例3.在平面上,設ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任papbpc1hahbhc一點,P到相應三邊的距離分別為pabc我們可以得到結(jié)論:,p,p,試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論 .穩(wěn)固提高1．(2001年上海)兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,那么由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理 ,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．直角三角形3個面兩兩垂直的四面體∠C＝90°∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°3個邊的長度a，b，c4個面的面積S1，S2，S3和S2條直角邊a，b和1條斜邊3個“直角面〞S1，S2，S3和1個“斜c面〞S3．〔2004，北京〕定義“等和數(shù)列〞：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為______________，這個數(shù)列的前 n項和的計算公式為________________課堂小結(jié)教后反思：1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。2．類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)， 得出一個明確的命題〔猜測〕不等式證明一〔比擬法〕比擬法是證明不等式的一種最重要最根本的方法。比擬法分為：作差法和作商法一、作差法：假設a，b∈R，那么：a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；ab＜0a＜b它的三個步驟：作差——變形——判斷符號〔與零的大小〕——結(jié)論.作差法是當要證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時， 通過作差把定量比擬左右的大小轉(zhuǎn)化為定性判定左—右的符號， 從而降低了問題的難度。作差是化歸，變形是手段，變形的過程是因式分解〔和差化積〕或配方，把差式變形為假設干因子的乘積或假設干個完全平方的和，進而判定其符號，得出結(jié)論 .1、求證：x2+3>3x證：∵(x2+3)3x=x23x(3)2(3)23(x3)230，∴x2+3>22243x例2：a,b,m都是正數(shù)，并且a<b，求證：amabmb證：amab(am)a(bm)m(ba)，∵a,b,m都是正數(shù)，并且bmbb(bm)b(bm)a<b，∴b+m>0,ba>0∴m(ba)0即：amab(bm)bmb變式：假設a>b，結(jié)果會怎樣？假設沒有“a<b〞這個條件，應如何判斷？例3：a,b都是正數(shù)，并且ab，求證：a5+b5>a2b3+a3b2證：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)222=(a+b)(ab)(a+ab+b)22b，∴2∵a,b都是正數(shù)，∴a+b,a+ab+b>0，又∵a(ab)>0222552332∴(a+b)(ab)(a+ab+b)>0，即：a+b>ab+ab4：甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？解：設從出發(fā)地到指定地點的路程為S，甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1,t2，那么：t1mt1nS,SSt2可得：t12S,t2S(mn)222m2nmn2mn∴t1t22SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2mn2mn2(mn)mn2mn(mn)∵S,m,n都是正數(shù)，且mn，∴t1t2<0即：t1<t2從而：甲先到到達指定地點。5：是一道利用不等式解決實際問題的例題.我們先用類比列方程解應用題的步驟，然后參考列方程解應用題的步驟，分析題意，設未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系(函數(shù)關(guān)系、相等關(guān)系或不等關(guān)系)，列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，求解，作答等.整個解答過程表達了比擬法解決不等關(guān)系等實際問題中發(fā)揮著重要的作用.變式：假設m=n，結(jié)果會怎樣？二、作商法：假設a>0，b>0，那么：a＞1 a＞b；a＝1 a＝b；a＜1 abbbb它的三個步驟：作商——變形——判斷與1的大小——結(jié)論.作商法是當不等式兩邊為正的乘積形式時， 通過作商把其轉(zhuǎn)化為證明左/右與1的大小。例5、設a,bR+，求證：aabbab(ab)2abba證：先證不等式左≥中：由于要比擬的兩式呈冪的構(gòu)造，故結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，故可采用作商比擬法證明.aabbabbaa作商：b2aba2()(ab)2bab，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)ab當a=b時，(a)2ba>b>0時，ab1aba1,0,()2bab1當b>a>0時，0a1,ab0,(a)b2bab1ab即aabb(ab)2〔中≥右請自己證明，題可改為a,bR+，求證：ab1(abba)ab〕2作業(yè)補充題：1.a、bba110,求證：22abab2求證：12x4x22x33.a,bR,m,nN*,mn,求證：ambmamnbnanbmn4.c＞a＞b＞0，求證acb.cab5.a、b、c、d都是正數(shù)，且bc＞ad，求證aacc.bbdd不等式證明二〔綜合法〕一、綜合法：從條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法。〔也叫順推證法或由因?qū)Чā忱?、a,b,c是不全相等的正數(shù)，222222求證：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc分析：不等式左邊含有“a2+b2〞的形式，我們可以運用根本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和〞，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積〞，我們可以運用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.證：∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc同理：b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abca(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc當且僅當b=c,c=a,a=b時取等號，而 a,b,c是不全相等的正數(shù)∴三式不同時取等號，三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc本例證法可稱為三合一法，當要證的不等式關(guān)于字母具有對稱形式時，我們常可把其看成是由假設干個構(gòu)造一樣但所含字母較少的不等式相加或相乘而得，我們只要先把減了元的較簡單的不等式證出，即可完成原不等式的證明。例2、a,b,cR,求證：1(abc)(111)9abc23(ab1119c)(bbcca)a2abc3bccaab2證：1、法一：abc33abc,111331,兩式相乘即得。abcabc法二：左邊abcabcabc3ba)(cacbabc(bac)()abc≥3+2+2+2=92、∵abbcc2a33(ab)(bc)(ca)222111331兩式相乘即得abbcca(ab)(bc)(ca)3、由上題：(abc)(a1b11)9bcca2∴1c1a1b9，即：abc3abbcca2bccaab2例3、a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2b2c2(abc)2證明：左－右=2〔ab+bc－ac〕，∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2ac又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0bac≤acac，∴acb2∴2(abbc)2(abbcb2)2(cb)0∴a2b2c2(abc)2acba說明：此題在證明過程中運用了比擬法、根本不等式、等比中項性質(zhì)，表達了綜合法證明不等式的特點4、制造一個容積為V〔定值〕的圓柱形容器，試分別就容器有蓋及無蓋兩種情況，求：怎樣選取底半徑與高的比，使用料最省？分析：根據(jù)1題中不等式左右的構(gòu)造特征，考慮運用“根本不等式〞來證明.對于2題，抓住容積為定值，建立面積目標函數(shù)，求解最值，是此題的思路.解：設容器底半徑為 r,高為h,那么V=πr2h,h=V.r2當容器有蓋時，所需用料的面積：S=2πr2+2πrh=2πr2+2V=2πr2+V+V≥332r2VV332V2rrrrr當且僅當2πr2=V,即r=3V,h=V2=2r,取“=〞號.故r1時用料r2rh2最省.〔2〕當容器無蓋時，所需用料面積：S=πr2+2πrh=πr2+2V=πrr2+V+V≥33V2rr當且僅當πr2=V,r=3V,h=Vrr2=r.即r=h時用料最省.作業(yè)補充題：1、設a,b,cR，1求證：a2b22(ab)22求證：a2b2b2c2c2a22(abc)3假設a+b=1,求證：112ab222、設a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求證：8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).3、設a,b,c為一個不等邊三角形的三邊，求證：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).4、a,bR+，求證：(ab)3a3b3225、設a>0,b>0，且a+b=1，求證：(a1)2(b1)225ab2不等式證明三〔分析法〕當用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時，我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步分析尋求使這個不等式成立的充分條件，直至所需條件為條件或一個明顯成立的事實，從而得出要證的不等式成立，這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法。使用分析法證明時，要注意表述的標準性，當問題比擬復雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合使用，以分析法尋求證明的思路，而用綜合法進展表述，完成證明過程。例1、求證：3725證：分析法：綜合表述：∵370,250∵21<25只需證明：(37)2(25)2∴215展開得：1022120∴22110即：22110∴1022120∴215∴(37)2(25)2即：21<25〔顯然成立〕∴3725∴3725例2、設x>0，y>0，證明不等式：(x211y2)2(x3y3)3證一：〔分析法〕所證不等式即：(x2y2)3(x3y3)2即：x6y63x2y2(x2y2)x6y62x3y3即：3x2y2(x2y2)2x3y3只需證：x2y22xy3∵x2y22xy2xy成立311∴(x2y2)2(x3y3)3證二：〔綜合法〕∵(x2y2)3x6y63x2y2(x2y2)x6y66x3y3x6y62x3y3(x3y3)211∵x>0，y>0，∴(x2y2)2(x3y3)3例3、：a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤02證一：〔綜合法〕∵a+b+c=0∴(a+b+c)=0展開得：ab bc caa2 b2c22∴ab+bc+ca≤0證二：〔分析法〕要證 ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0故只需證2ab+bc+ca≤(a+b+c)即證：a2b2c2abbcca0即：1[(ab)2(bc)2(ca)2]0〔顯然〕2∴原式成立證三：∵a+b+c=0∴c=a+b∴ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab(a+b)2=a2b2ab=[(ab)23b2]024例4、ab0,ab1，求證：a2b222，并求等號成立的ab條件。分析：不等式右邊是常數(shù)，能否用平均值定理？應當可以。 〔找條件一正、二定、三相等〕如何把左邊變形為和的形式？多項式的除法或配湊！左=a2b2=(ab)22ab(ab)2ab〔看到了希望！〕ababab=a2〔ab1〕bab22(ab)2a1(62)當ab2時，由22aab1解出當1時等號成bb(62)2立。例5、a>0,b>0,且a+b=1,求證:a1b1≤2.22證明:a1b1≤2(a+1)+(b+1)+22a1b1≤4222222a1b1≤1ab+ab1≤1ab+3≤222441ab≤14ab)2=1成立，故∵a>0,b>0,且a+b=1,∴ab≤(24a1b1≤2.22作業(yè)補充題1.求證:67225.2、假設a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c2>ab；〔2〕c-c2ab<a<c+c2ab3、求證:a,b,c∈R+,求證:2(abab)3(abc3abc)234、設a,b,c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2a2b24ab43S5、0<<，證明：2sin2cot26、求證：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面〔指橫截面〕的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。不等式證明四〔反證法與放縮法〕一、反證法：有些不等式無法利用用題設的條件直接證明，我們可以間接的方法――反證法去證明，即通過否認原結(jié)論―――導出矛盾―――從而到達肯定原結(jié)論的目的。例1、假設x,y>0，且x+y>2，那么1y和1x中至少有一個小于2。xy反設1y≥2，1x≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾，xy∴原式成立2、a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0證：〔1〕設a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,那么b+c=a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0與題設矛盾〔2〕假設a=0，那么與abc>0矛盾，∴必有a>0同理可證：b>0,c>0例3、設0<a,b,c<1，求證：(1 a)b,(1 b)c,(1c)a,不可能同時大于14證：設(1 a)b>1, (1 b)c>1, (1c)a>1,444那么三式相乘： (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a>1①64(121又∵0<a,b,c<1∴0(1a)aa)a24同理：(1b)b1,(1c)c144以上三式相乘：(1a)a?(1b)b?(1c)c≤164∴(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同時大于14二、放縮法：與①矛盾.在證明不等式的時候，在直接證明遇到困難的時候,可以利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強為一個易證的不等式，即欲證A>B，我們可以適當?shù)恼乙粋€中間量C作為媒介，證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C(或把A縮小到C)的方法稱為放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對象以及放縮的尺度不易掌握,技巧性較強,這關(guān)系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過屢次的探索和試驗才能成功,因此必須多練.比擬常用的方法時把分母或分子適當放大或縮小〔減去或加上一個正數(shù)〕使不等式簡化易證。例4、假設a,b,c,dR+，求證：1abcd2abdbcacdbdac證：記m=abcda b d b c a c d b d a c∵a,b,c,dR+∴mabcd1abcdabcacdabdabcabcdmabcdd2abc∴1<m<2即原式成立例5、當n>2時，求證：logn(n1)logn(n1)1證：∵n>2∴l(xiāng)ogn(n1)0,logn(n1)0logn(n1)logn(n22logn(n1)logn(n1)1)logn(n21)22lognn221，∴n>2時,logn(n1)logn(n1)12例6、求證：11112122232n2證：∵1211)11nn(nn1n11111＋1＋1＋1＋1∴122232n2122334(n-1)n1〔11〕〔11〕〔11〕212223n1nn思考：假設把不等式的右邊改成7或61，你可以證明嗎？436例7、求證：|ab||a|b1|ab|1|a|1b證：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0,abab(abab)(課本“溶液〞例結(jié)論〕1ab1ab(abab)P22ababab〔把分母減小，使分式放大〕1ab1ab1ab1a1b.即:ababab1a1.1b作業(yè)補充題1、設0<a,b,c<2，求證：(2 a)c,(2 b)a,(2c)b,不可能同時大于1、設f(x)ax2bxc,其中a、b、cZ，并且a1.試證明:b24ac023、設f(x)x2pxq,求證：f(1)、f(2)、f(3)中至少有一個不小于4、設x>0,y>0,axy,b1xy，求證：a<b1xyx1y1211111(nR,n2)5、證明：nn1n2n26、證明：lg9?lg11<17、證明：假設a>b>c,那么1140abbcca教后反思：.w.w.k.s.5.u.c.o.m課題：數(shù)學歸納法及其應用舉例【教學目標】1．使學生了解歸納法,理解數(shù)學歸納的原理與實質(zhì)．2．掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學歸納法〞證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題．3．培養(yǎng)學生觀察,分析, 論證的能力,進一步開展學生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學思想．4．努力創(chuàng)設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氣氛，提高學生學習的興趣和課堂效率．5．通過對例題的探究，體會研究數(shù)學問題的一種方法(先猜測后證),激發(fā)學生的學習熱情，使學生初步形成做數(shù)學的意識和科學精神．【教學重點】歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析【教學難點】數(shù)學歸納法中遞推思想的理解【教學方法】類比啟發(fā)探究式教學方法【教學手段】多媒體輔助課堂教學【教學程序】第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學習情境，提供學習內(nèi)容1．創(chuàng)設問題情境，啟動學生思維不完全歸納法引例：明朝劉元卿編的?應諧錄?中有一個笑話：財主的兒子學寫字．這那么笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫,,〞的結(jié)論，用的就是“歸納法〞，不過，這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的．完全歸納法比照引例：有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了； 二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明．在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法．2．回憶數(shù)學舊知，追溯歸納意識〔從生活走向數(shù)學，與學生一起回憶以前學過的數(shù)學知識，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納．〕不完全歸納法實例：給出等差數(shù)列前四項,寫出該數(shù)列的通項公式．完全歸納法實例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況．3．借助數(shù)學史料,促使學生思辨〔在生活引例與學過的數(shù)學知識的根底上，再引導學生看數(shù)學史料，能夠讓學生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導學生進展思辨：在數(shù)學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學大家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？〕問題1an＝(n25n5)2〔∈〕，nN分別求a1；a2；a3；a4．由此你能得到一個什么結(jié)論？這個結(jié)論正確嗎？〔培養(yǎng)學生大膽猜測的意識和數(shù)學概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學認為“遷移就是概括〞，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學原理的遷移，我找的突破口就是學生的概括過程．〕問題2費馬〔Fermat〕是17世紀法國著名的數(shù)學家，他曾認為，n∈N時，22n1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉〔Euler〕卻證明了225 1＝4294967297＝67004173641，從而否認了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結(jié)論便不成立．問題3f(n) n2 n 41,當n∈N時，f(n)是否都為質(zhì)數(shù)？驗證：f〔0〕＝41，f〔1〕＝43，f〔2〕＝47，f〔3〕＝53，f〔4〕＝61，f〔5〕＝71，f〔6〕＝83，f〔7〕＝97，f〔8〕＝113，f〔9〕＝131，f〔10〕＝151，,，f〔39〕＝1601．但是f〔40〕＝1681＝412，是合數(shù)．第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知構(gòu)造4．搜索生活實例，激發(fā)學習興趣〔在第一階段的根底上，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理,提醒遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．〞興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗． 〕實例：播放多米諾骨牌錄像關(guān)鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假設某一張牌倒下,那么它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒下．搜索：再舉幾那么生活事例：推倒自行車 ,早操排隊對齊等．5．類比數(shù)學問題,激起思維浪花類比多米諾骨牌過程,證明等差數(shù)列通項公式an a1 (n1)d：當n＝1時等式成立；(2)假設當n＝k時等式成立,即aka1(k1)d,那么ak1akd=a1[(k1)1]d,即n＝k＋1時等式也成立．于是,我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d對任何n∈N*都成立．〔布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為，“有指導的發(fā)現(xiàn)學習〞強調(diào)知識發(fā)生開展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習．〕6．引導學生概括,形成科學方法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：證明當n取第一個值n0時結(jié)論正確；假設當n＝k(k∈N*，k≥n0)時結(jié)論正確,證明當n＝k＋1時結(jié)論也正確．完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從n0開場的所有正整數(shù)n都正確．這種證明方法叫做數(shù)學歸納法．第三階段：操作階段——穩(wěn)固認知構(gòu)造，充實認知過程7．蘊含猜測證明,培養(yǎng)研究意識〔本例要求學生先猜測后證明，既能穩(wěn)固歸納法和數(shù)學歸納法，也能教給學生做數(shù)學的方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力．〕例題在數(shù)列{an}中,a1＝1,an11an(n∈N*),先計算a2，ana3，a4的值，再推測通項an的公式,最后證明你的結(jié)論．8．根底反應練習,穩(wěn)固方法應用〔課本例題與等差數(shù)列通項公式的證明差不多，套用數(shù)學歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習，這樣既考慮到學生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點．練習第3題恰好是等比數(shù)列通項公式的證明，與前者是一個比照與補充．通過這兩個練習能看到學生對數(shù)學歸納法證題步驟的掌握情況．〕用數(shù)學歸納法證明：1＋3＋5＋,＋〔2n－1〕＝n2．(2)首項是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是ana1qn1．9．師生共同小結(jié),完成概括提升本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法；歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法；數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其根本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推根底不可少，歸納假設要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．10．布置課后作業(yè),穩(wěn)固延伸鋪墊在數(shù)學歸納法證明的第二步中，證明n＝k＋1時命題成立,必須要用到n＝k時命題成立這個假設．這里留一個辨析題給學生課后討論思考：用數(shù)學歸納法證明：1222232n12n1*)時,其∈N(n中第二步采用下面的證法：設n＝k時等式成立,即1222232k12k1,那么當＝nk＋1時,1222232k12k12k12k11．12你認為上面的證明正確嗎？為什么？教后反思：1．數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點不應該是方法的應用．我認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設想強化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產(chǎn)生的背景，從一開場就注意它的功能，為使用它打下良好的根底，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生開展創(chuàng)新能力的良機．2．在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強學生對教學過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開場的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題， 讓學生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展．3．運用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，兩個步驟缺一不可．理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證n＝k＋1命題成立時必須要用到n＝k時命題成立這個條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認識數(shù)學歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設計指明了思維方向．第二章變化率與導數(shù)課題平均變化率一、教學目標1．感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運用數(shù)學描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程。體會數(shù)學的博大精深以及學習數(shù)學的意義。2．理解平均變化率的意義，為后續(xù)建立瞬時變化率和導數(shù)的數(shù)學模型提供豐富的背景。二、教學重點、難點重點：平均變化率的實際意義和數(shù)學意義難點：平均變化率的實際意義和數(shù)學意義三、教學過程一、問題情境1、情境：現(xiàn)有南京市某年時間3月18日日最高氣溫3.5℃3月和4月某天日最高氣溫記載4月18日 4月20日18.6℃33.4℃.觀察：3月18日到4月18日與4月18日到4月20日的溫度變化，用曲線圖表示為：〔理解圖中A、B、C點的坐標的含義〕T(℃)C(34,33.4)30B(32,18.6)2010A(1,3.5)2t(d)0210203034問題1：“氣溫陡增〞是一句生活用語，它的數(shù)學意義是什么？〔形與數(shù)兩方面〕問題2：如何量化〔數(shù)學化〕曲線上升的陡峭程度？二、學生活動1、曲線上BC之間一段幾乎成了“直線〞，由此聯(lián)想如何量化直線的傾斜程度。2、由點B上升到C點，必須考察yC—yB的大小，但僅僅注意yC—yB的大小能否準確量化 BC段陡峭程度，為什么？3、在考察 yC—yB的同時必須考察xC—xB，函數(shù)的本質(zhì)在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變。三、建構(gòu)數(shù)學1．通過比擬氣溫在區(qū)間[1，32]上的變化率0．5與氣溫[32,34]上的變化率7．4，感知曲線陡峭程度的量化。2.一般地,給出函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率f(x2)f(x1)。x2x13．回到氣溫曲線圖中，從數(shù)和形兩方面對平均變化率進展意義建構(gòu)。4。平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不準確的〞，但應注意當x2—x1很小時，這種量化便有“粗糙〞逼近“準確〞。四、數(shù)學運用1、在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到2萬元，如何比擬和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？變：在經(jīng)營某商品中，甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比擬和評價甲，乙兩人的經(jīng)營成果？小結(jié)：僅考慮一個變量的變化是不形的。2、水經(jīng)過虹吸管沉著器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積V(t) 5 20.1t〔單位：cm3〕，計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率。注：V(10)V(0)03、函數(shù)f(x)x2，分別計算f(x)在以下區(qū)間上的平均變化率：〔1〕[1，3]；〔2〕[1，2]；〔3〕[1，1.1]；〔4〕[1，1.001]。五、課堂練習1、某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如下圖，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率。W(kg)118.66.53.536912T(月)2、函數(shù)f〔x〕=2x+1，g〔x〕=—2x，分別計算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上f〔x〕及g〔x〕的平均變化率?！舶l(fā)現(xiàn)：y=kx+b在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點？〕六、回憶反思1、平均變化率一般的，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率f(x2)f(x1)。x2x1２、平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化〞，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化〞．七、作業(yè)教后反思：課題：瞬時變化率—導數(shù)教學目標：(1)理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念(2)會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度(3)理解導數(shù)概念實際背景，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，進一步掌握在一點處的導數(shù)的定義及其幾何意義，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想一、復習引入1、什么叫做平均變化率；2、曲線上兩點的連線〔割線〕的斜率與函數(shù)f(x)在區(qū)間[xA，xB]上的平均變化率3、如何準確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？下面我們來看一個動畫。從這個動畫可以看出，隨著點P沿曲線向點Q運動，隨著點P無限逼近點Q時，那么割線的斜率就會無限逼近曲線在點Q處的切線的斜率。所以我們可以用 Q點處的切線的斜率來刻畫曲線在點Q處的變化趨勢二、新課講解1、曲線上一點處的切線斜率不妨設 P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，那么割線 PQ的斜率為kPQf(x1)f(x0)，x1x0設x1－x0=△x，那么x1=△x＋x0f(x0x)f(x0)，∴kPQx當點P沿著曲線向點Q無限靠近時，割線PQ的斜率就會無限逼近點Q處切線斜率，即當△x無限趨近于0時，kPQf(x0x)f(x0)x無限趨近點Q處切線斜率。2、曲線上任一點(x0，f(x0))切線斜率的求法：kf(x0x)f(x0)x，當△x無限趨近于0時，k值即為(x0，f(x0))處切線的斜率。3、瞬時速度與瞬時加速度(1)平均速度：物理學中，運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度(2)位移的平均變化率：s(t0t)s(t0)t(3)瞬時速度：當無限趨近于0時，s(t0t)s(t0)無限趨近于一個常t數(shù)，這個常數(shù)稱為t=t0時的瞬時速度求瞬時速度的步驟：1.先求時間改變量t和位置改變量(0t)(0)sststs2.再求平均速度vt3.后求瞬時速度：當t無限趨近于0，s無限趨近于常數(shù)v為瞬時速t度(4)速度的平均變化率：v(t0t)v(t0)t(5)瞬時加速度：當t無限趨近于0時，v(t0t)v(t0)無限趨近于一t個常數(shù)，這個常數(shù)稱為t=t0時的瞬時加速度注：瞬時加速度是速度對于時間的瞬時變化率三、數(shù)學應用例1、f(x)=x2，求曲線在x=2處的切線的斜率。變式:1.求f(x)1過點的切線方程x2(1,1)2.曲線y=x3在點P處切線斜率為k,當k=3時,P點的坐標為_________3x上的一點P(0,0)的切線斜率是否存在?3.曲線f(x)例2.一直線運動的物體，從時間s為〔〕t到tt時，物體的位移為s，那么tＡ．從時間t到tt時，物體的平均速度；瞬時速度；Ｃ．當時間為t時物體的速度；Ｂ．在t時刻時該物體的Ｄ．從時間t到tt時物體的平均速度例3.自由落體運動的位移s(m)與時間t(s)的關(guān)系為s=1gt22(1)求t=t0s時的瞬時速度(2)求t=3s時的瞬時速度(3)求t=3s時的瞬時加速度教后反思：求瞬時速度，也就轉(zhuǎn)化為求極限，瞬時速度我們是通過在一段時間內(nèi)的平均速度的極限來定義的，只要知道了物體的運動方程，代入公式就可以求出瞬時速度了.運用數(shù)學工具來解決物理方面的問題，是不是方便多了.所以數(shù)學是用來解決其他一些學科，比方物理、化學等方面問題的一種工具，我們這一節(jié)課學的內(nèi)容以及上一節(jié)課學的是我們學習導數(shù)的一些實際背景課題：導數(shù)的概念一．教學目標1、知識與技能：通過大量的實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)。2、過程與方法：①通過動手計算培養(yǎng)學生觀察、分析、比擬和歸納能力②通過問題的探究體會逼近、類比、以探求未知、從特殊到一般的數(shù)學思想方法3、情感、態(tài)度與價值觀：通過運動的觀點體會導數(shù)的內(nèi)涵，使學生掌握導數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.二、重點、難點重點：導數(shù)概念的形成，導數(shù)內(nèi)涵的理解難點：在平均變化率的根底上去探求瞬時變化率，深刻理解導數(shù)的內(nèi)涵通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點四、教學設想〔具體如下表〕教學教學內(nèi)容師生互動設計思路環(huán)節(jié)首先回憶上節(jié)課引起學生的好奇，意留下的思考題：識到平均速度只能在學生相互討論，粗略地描述物體在幻燈片創(chuàng)交流結(jié)果的根底某段時間內(nèi)的運動回憶上節(jié)課留下的思考題：設上，提出：大家狀態(tài)，為了能更準確在高臺跳水運動中，運發(fā)動相情得到運發(fā)動在這地刻畫物體運動，我對水面的高度h〔單位：m〕與景段時間內(nèi)的平均們有必要研究某個起跳后的時間t〔單位：s〕存、速度為“0〞，但我時刻的速度即瞬時在函數(shù)關(guān)系h〔t〕=－4.9t2＋引們知道運發(fā)動在速度。6.5t＋10.計算運動員在入這段時間內(nèi)并沒0t65這段時間里的平均速新49有“靜止〞。為什使學生帶著問題走度，并思考下面的問題：課么會產(chǎn)生這樣的進課堂，激發(fā)學生求〔1〕運發(fā)動在這段時間里是靜情況知欲止的嗎？呢？〔2〕你認為用平均速度描述運發(fā)動的運動狀 態(tài)有什么問題嗎？根據(jù)學生的認知水平,概念的提出問題一，組織形成分了兩個層次：學生討論，引導他理解導數(shù)的內(nèi)涵是結(jié)合跳水問題，明確瞬時速們自然地想到選本節(jié)課的教學重難度的定義取一個具體時刻點，通過層層設疑，問題一：請大家思考如何求運如t=2，研究它附把學生推向問題的發(fā)動的瞬時速度，如t=2時刻的近的平均速度變中心，讓學生動手操初 瞬時速度？化情況來尋找到作，直觀感受來突出步問題的思路，使抽重點、突破難點探象問題具體化索、展示內(nèi)問題二：請大家繼續(xù)思考，當學生對概念的認幫助學生體會從平涵t取不同值時,嘗試計算知需要借助大量h(2t)h(2)的值？均速度出發(fā)，“以已v的直觀數(shù)據(jù)，所以t知探求未知〞的數(shù)學我讓學生利用計思想方法,培養(yǎng)學生tvtv算器，分組完成問的動手操作能力-0.10.1題二，-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.00000.000011???.???.?.問題三：當t趨于0時，平均一方面分組討論，速度有怎樣的變化趨勢？上臺板演，展示計算結(jié)果，同時口數(shù)形結(jié)合，掃清了學tvtv答：在t=2時刻,生的思維障礙，更好-0.1-12.61-0.01-13.051-0.001-13.0951-00.0000-13.1099951.?.0.1-13.t趨于0時，平地突破了教學的重59均速度趨于一個難點，體驗數(shù)學的簡0.01-13.確定的值-13.1，即約美149瞬時速度，第一次0.001-13.體會逼近思想；另104一方面借助動畫9多渠道地引導學0.000-13.生觀察、分析、比1100較、歸納，第二次49體會逼近思想，為0.000-13.了表述方便,數(shù)學01100中用簡潔的符號049來表示,即??.?limh(2t)h(2)13.1t0t與舊教材相比,這里問題四：運發(fā)動在某個時刻t0引導學生繼續(xù)思不提及極限概念,而的瞬時速度如何表示呢？考:運發(fā)動在某個是通過形象生動的時刻t0的瞬時速逼近思想來定義t0度如何表示?學時刻的瞬時速度,更生意識到將t0代符合學生的認知規(guī)替2,可類比得到律,提高了他們的思limh(t0t)h(t0)維能力,表達了特殊t0t到一般的思維方法借助其它實例，抽象導數(shù)的類比之前學習的積極的師生互動能概念瞬時速度問題,引幫助學生看到知識問題五：氣球在體積v0時的瞬時導學生得到瞬時點之間的聯(lián)系，有助膨脹率如何表示呢？膨脹率的表示于知識的重組和遷limr(v0v)r(v0)移,尋找不同實際背v0v景下的數(shù)學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義在前面兩個問題引導學生舍棄具體問題六：如果將這兩個變化率的鋪墊下,進一步問題的實際意義,抽問題中的函數(shù)用f(x)來表示，提出，我們這里研象得到導數(shù)定義,由那么函數(shù)f(x)在xx0處的瞬時究的函數(shù)f(x)在淺入深、由易到難、變化率如何呢？xx0處的瞬時變由特殊到一般，幫助化率學生完成了思維的limf(x0x)f(x0)limf飛躍；同時提及導數(shù)x0xx0x即yf(x)在產(chǎn)生的時代背景，讓xx0處的導數(shù),學生感受數(shù)學文化記作的熏陶，感受數(shù)學來f(x0)limf(x0x)f(x0)源于生活，又效勞于x0x(也可記為yxx0)生活。例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對原油開展學生的應用意進展冷卻和加熱。如果在第xh識，是高中數(shù)學課程時候，原油溫度〔單位：c〕為步步設問，引導學標準所倡導的重要f(x)x27x15(0x8)生深入探究導數(shù)理念之一。在教學中〔1〕計算第2h和第6h時，原內(nèi)涵以具體問題為載體,油溫度的瞬時變化率，并說明加深學生對導數(shù)內(nèi)它的意義。涵的理解，體驗數(shù)學循〔2〕計算第3h和第5h時，原在實際生活中的應序油溫度的瞬時變化率，并說明用漸它的意義。進步驟：、①啟發(fā)學生根據(jù)導數(shù)定義，再延分別求出f(2)和f(6)伸2h和第②既然我們得到了第拓6h的原油溫度的瞬時變化率分展別為-3與5，大家能說明它的含義嗎？③大家是否能用同樣方法來解決問題二？④師生共同歸納得到，導數(shù)即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢變式練習：一個物體運動的位移〔m〕與時間t〔s〕滿足目的是讓學生學會關(guān)系S〔t〕＝-2t2+5t〔1〕求學生獨立完成，上用數(shù)學的眼光去看物體第5秒和第6臺板演，第三次體秒的瞬時速待物理模型，建立各會逼近思想度學科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變〔2〕求物體在t時刻的瞬時速化的規(guī)律度〔3〕求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動？讓學生自己小結(jié)，不1、瞬時速度的概念僅僅總結(jié)知識更重歸要地是總結(jié)數(shù)學思納2、導數(shù)的概念引導學生進展討想方法。這是一個重總論，相互補充后進組知識的過程，是一結(jié)3、思想方法：“以探求未行答復，教師評個多維整合的過程，、知〞、逼近、類比、從特殊到一析，并用幻燈片給是一個高層次的自內(nèi)般出我認識過程，這樣可化幫助學生自行構(gòu)建知知識體系，理清知識識脈絡，養(yǎng)成良好的學習習慣作〔必做〕第10頁習題A組第2、3、4題作業(yè)是學生信息的反應，能在作業(yè)安中發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的缺乏，同時排注重個體差異，因材施教、〔選做〕：思考第11頁習題B組第1板 題書板書設計清楚整潔,便于突出知識附后設目標計五、學法與教法學法與教學用具學法：1〕合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題?！踩珙}2的處理〕2〕自主學習：引導學生通過親身經(jīng)歷，動口、動腦、動手參與數(shù)學活動。〔如題3的處理〕3〕探究學習：引導學生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知?！踩缋}的處理〕教后反思：教法：整堂課圍繞“一切為了學生開展〞的教學原那么，突出①動——師生互動、共同探索。②導——教師指導、循序漸進〔1〕新課引入——提出問題,激發(fā)學生的求知欲〔2〕理解導數(shù)的內(nèi)涵——數(shù)形結(jié)合，動手計算,組織學生自主探索,獲得導數(shù)的定義〔3〕例題處理——始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識〔4〕變式練習——深化對導數(shù)內(nèi)涵的理解，穩(wěn)固新知課題：導數(shù)的幾何意義教學目的：了解平均變化率與割線之間的關(guān)系理解曲線的切線的概率通過函數(shù)的圖像理解導數(shù)的幾何意義教學重點函數(shù)切線的概念，切線的斜率，導數(shù)的幾何意義教學難點理解導數(shù)的幾何意義教學過程探究曲線的切線及切線的斜率當點，，，，)沿著曲線f(x)趨近于點，f(x0))時割線PPn變化趨勢pn(xnf(xn))(n1234P(x0是什么？割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率無限接近klimf(xn)f(x0)limf(x0x)f(x0)f'(x)x0xnx0x0x注意：〔1〕設切線的傾斜角為，那么當x0時，割線PPn的斜率為曲線在點P處的切線的斜率.〔2〕求曲線上某點的切線的斜率可以求該點的導數(shù).〔3〕切線的斜率—函數(shù)在該點的導數(shù).練習1.函數(shù)y 2x3x在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為2.假設函數(shù)f(x)2x21的圖像上一點(1，1)及附近一點(1x，1f)，那么fx一個做直線運動的物體，其位移與時間的關(guān)系是s3tt2.〔1〕求此物體的初速度；〔2〕求t 0到t 2時的平均速度 .4.函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)為11.那么limf(x0x)f(x0)xx0導數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的切線的斜率就是函數(shù)在該點時的導數(shù).曲線在某點的切線〔1〕與該點的位置有關(guān).〔2〕要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限，那么在此點有切線且唯一；假設無極限，那么不存在切線.〔3〕曲線的切線與切線并不一定只有一個交點，可以有多個甚至無數(shù)個.2練習〔〕函數(shù)1在點1，2)處的切線方程為1yx(2〔2〕y3x2x，求曲線上點A(1，2)處的斜率k導函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在xx0處求導數(shù)的過程可以看到f'(x)是一個確定的數(shù)，那么當x變化時，f'(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導函數(shù)，記作f'(x)或y'.即f'(x)y'limf(xx)f(x)x0x注意〔1〕函數(shù)在某一點處的導的比值的極限，不是變數(shù)f量.'(x)是一個定值，是函數(shù)在該點的函數(shù)該變量與自變量該變量〔2〕函數(shù)的導數(shù)：是指某一區(qū)間內(nèi)任一點x而言的.〔〕函數(shù)fx在x處的導數(shù)就是導函數(shù)f'x在xx處的函數(shù)值.3()0()0例2.求函數(shù)yx2x的導數(shù)，及在，處的斜率.1(27]作業(yè)：?習案?作業(yè)三教后反思：課題：常見函數(shù)的導數(shù)一、教學目標：掌握初等函數(shù)的求導公式；二、教學重難點：用定義推導常見函數(shù)的導數(shù)公式．一、復習1、導數(shù)的定義；2、導數(shù)的幾何意義；3、導函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導數(shù)的流程圖。1〕求函數(shù)的改變量2〕求平均變化率y f(xx)f(x)f(xx)f(x)xx〔3〕取極限，得導數(shù)y/＝f(x)limyx0x本節(jié)課我們將學習常見函數(shù)的導數(shù)。首先我們來求下面幾個函數(shù)的導數(shù)。1〕、y=x〔2〕、y=x2〔3〕、y=x3問題：y x1，y x2，yx3呢？問題：從對上面幾個冪函數(shù)求導，我們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？二、新授1、根本初等函數(shù)的求導公式：⑴(kxb)k(k,b為常數(shù))⑵(C)0(C為常數(shù))⑶(x)1⑷(x2)x2⑸(x3)3x2⑹(1)1xx2⑺(x)1由⑶~⑹你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?2x⑻(x)x1〔為常數(shù)〕⑼(ax)axln(，a0aa⑽(logax)11(a，且1)logaexlna0ax1⑾(ex)ex⑿(lnx)⒀(si)ncxos⒁x(co)sx－sinx從上面這一組公式來看，我們只要掌握冪函數(shù)、 指對數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導就可以了。例1、求以下函數(shù)導數(shù)。1〕4〕yx5〔2〕y4x〔3〕yxxxylog3x〔5〕y=sin(+x)(6)y=sin23〔7〕y=cos(2π－x)〔8〕y=f(1)2：點P在函數(shù)y=cosx上，〔0≤x≤2π〕，在P處的切線斜率大于0，求點P的橫坐標的取值范圍。例3.假設直線yx b為函數(shù)y1圖象的切線,求b的值和切點坐標.x變式1.求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程.總結(jié)切線問題：找切點求導數(shù)得斜率變式2:求曲線y=x2過點(0,-1)的切線方程變式3:求曲線y=x3過點(1,1)的切線方程變式4:直線yx1,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短.三、小結(jié)〔1〕根本初等函數(shù)公式的求導公式〔2〕公式的應用教后反思：課題：函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)教學目的：理解兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)法那么，學會用法那么求一些函數(shù)的導數(shù)．2.理解兩個函數(shù)的積的導數(shù)法那么，學會用法那么求乘積形式的函數(shù)的導數(shù)3.能夠綜合運用各種法那么求函數(shù)的導數(shù)教學重點：用定義推導函數(shù)的和、差、積、商的求導法那么教學難點：函數(shù)的積、商的求導法那么的推導．授課類型：新授課教學過程：一、復習引入：常見函數(shù)的導數(shù)公式：C'0；(kxb)'k(k,b為常數(shù))(xn)'nxn1；(ax)'axlna(a0,且a0)(ex)'ex(lnx)'1(logax)'1logae1(a0,且a0)xxxlna(sinx)'cosx；(cosx)'sinx二、講解新課：例1.求yx2x的導數(shù).法那么1兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)，即f(x)g(x)'f'(x)g'(x)法那么 2常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)．cf(x)'cf(x)'法那么3兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)證明：令yf(x)g(x)，那么yf(xx)g(xx)-f(x)g(x)f(xx)g(xx)-f(x)g(xx)+f(x)g(xx)-f(x)g(x)，yf(xx)f(x)g(xx)+f(x)g(xx)g(x)xxx因為g(x)在點x處可導，所以它在點x處連續(xù)，于是當x0時，g(xx)g(x)，從而limylimf(xx)f(x)g(xx)+f(x)lim0g(xx)g(x)x0xx0xxxf'(x)g(x)f(x)g'(x)，法那么4兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方，即f(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)g(x)g(x)2三、講解范例：例1求以下函數(shù)的導數(shù)1、y=x2+sinx的導數(shù).2、求y(2x23)(3x2)的導數(shù)．(兩種方法)t213、求以下函數(shù)的導數(shù)⑴h(x)xsinx⑵s(t)t4、y=5x10sinx－2xcosx－9，求y′25、求y=x的導數(shù).sinx變式：(1)求y=x3x23在點x=3處的導數(shù).求y=12cosx的導數(shù).x2求y=tanx的導數(shù).3求滿足以下條件的函數(shù)f(x)(1)f(x)是三次函數(shù),且f(0)3,f'(0)0,f'(1)3,f'(2)0(2)f'(x)是一次函數(shù),x2f'(x)(2x1)f(x)1變式：函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象過點P(0,2)，且在點M處(-1，f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0，求函數(shù)的解析式四、課堂練習：1.求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y=ax(2)y=x2(3)y=1ax3x21cosx五、小結(jié)：由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導法那么與導數(shù)公式求導，而不需要回到導數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導數(shù),商的導數(shù)法那么(u)′=uvv2uv(v≠v0)，如何綜合運用函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)法那么，來求一些復雜函數(shù)的導數(shù).要將和、差、積、商的導數(shù)法那么記住六、課后作業(yè)：教后反思：課題教學目標:1簡單復合函數(shù)的導數(shù)．掌握簡單復合函數(shù)的導數(shù)的推導課型新授．簡單復合函數(shù)的導數(shù)的應用教學重點:掌握簡單復合函數(shù)的導數(shù)的推導教學難點:簡單復合函數(shù)的導數(shù)的應用教學過程備課札記一、根底知識梳理：復合函數(shù)的求導數(shù)公式；二、典型例題分析：例1、求以下函數(shù)的導數(shù)；1〕、y(2x 3)32〕、y ln(5x1)練習：求以下函數(shù)的導數(shù)1〕、y(2x 3)22例2、求以下函數(shù)的導數(shù)；11〕、y13xy cos(1 2x)練習：求導數(shù)；11〕、yln〕、y (13x)32)、2〕、ye2x3〕、求曲線ysin2x在點P〔,0〕處的切線方程。例3、設f(5)5,f'(5)3,g(5)4,g'(5)1，求h(5)及h'(5)1〕、h(x)3f(x)2g(x)2〕、h(x)f(x)g(x)13〕、h(x)f(x)2g(x)四、課堂小結(jié)：教后反思：第三章導數(shù)的應用課題：函數(shù)的單調(diào)性教學目的：1.正確理解利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；2.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法教學重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教學難點：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的增函數(shù).對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈I，且當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的減函數(shù).在函數(shù)y=f(x)比擬復雜的情況下，比擬f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比擬簡單教學過程：一、復習引入：常見函數(shù)的導數(shù)公式：C'0；(xn)'nxn1；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx(lnx)'1；(logax)'1logae；(ex)'ex；(ax)'axlnaxx2.法那么1[f(x)g(x)]'f'(x)g'(x)．法那么2[f(x)g(x)]f'(x)g(x)f(x)g'(x),[cf(x)]cf'(x)f(x)''(x)g(x)f(x)g'(x)法那么3fg(x)g2(x)(g(x)0)y二、講解新課：fx=x2-4x+3函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：我們已經(jīng)知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導數(shù).從函數(shù)yx2B4x3的圖像3可以看到：O12Ay=f(x)=x2－4x+3切線的斜率f′(x)x(2，+∞)增函數(shù)正＞0(－∞，2)減函數(shù)負＜0在區(qū)間〔2，＋∞〕內(nèi)，切線的斜率為正，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而增大，即y/>0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔2，＋∞〕內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間〔－∞，2〕內(nèi)，切線的斜率為負，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即y/0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔－∞，2〕內(nèi)為減函數(shù).定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y/>0，那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y/<0，那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)2.用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x