三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

關(guān)于三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)第一頁，共七十一頁，2022年，8月28日2.任意給定一個實數(shù)x，對應(yīng)的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？問題提出1.在單位圓中，角α的正弦線、余弦線分別是什么？P（x，y）OxyMsinα=MPcosα=OM第二頁，共七十一頁，2022年，8月28日4.一個函數(shù)總具有許多基本性質(zhì)，要直觀、全面了解正、余弦函數(shù)的基本特性，我們應(yīng)從哪個方面人手？3.設(shè)實數(shù)x對應(yīng)的角的正弦值為y，則對應(yīng)關(guān)系y=sinx就是一個函數(shù)，稱為正弦函數(shù)；同樣y=cosx也是一個函數(shù)，稱為余弦函數(shù)，這兩個函數(shù)的定義域是什么？第三頁，共七十一頁，2022年，8月28日正、余弦函數(shù)的圖象第四頁，共七十一頁，2022年，8月28日知識探究（一）：正弦函數(shù)的圖象

思考1：作函數(shù)圖象最原始的方法是什么？思考2：用描點法作正弦函數(shù)y=sinx在[0，2π]內(nèi)的圖象，可取哪些點？思考3：如何在直角坐標系中比較精確地描出這些點，并畫出y=sinx在[0，2π]內(nèi)的圖象？第五頁，共七十一頁，2022年，8月28日xy1-1O2ππ思考4：觀察函數(shù)y=sinx在[0，2π]內(nèi)的圖象，其形狀、位置、凸向等有何變化規(guī)律？第六頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考5：在函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象上，起關(guān)鍵作用的點有哪幾個？x-1O2ππ1y第七頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考6：當x∈[2π，4π],[-2π，0],…時，y=sinx的圖象如何？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-π第八頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考7：函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象叫做正弦曲線，正弦曲線的分布有什么特點？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-π第九頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考8：你能畫出函數(shù)y=|sinx|，x∈[0，2π]的圖象嗎？yxOπ12π-1第十頁，共七十一頁，2022年，8月28日知識探究（二）：余弦函數(shù)的圖象

思考1：觀察函數(shù)y=x2與y=(x＋1)2

的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖象有什么內(nèi)在聯(lián)系嗎？xyo-1第十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考2：一般地，函數(shù)y=f(x＋a)(a>0)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？

向左平移a個單位.

思考3：設(shè)想由正弦函數(shù)的圖象作出余弦函數(shù)的圖象，那么先要將余弦函數(shù)y=cosx轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，你可以根據(jù)哪個公式完成這個轉(zhuǎn)化？第十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考4：由誘導(dǎo)公式可知，y=cosx與是同一個函數(shù)，如何作函數(shù)在[0，2π]內(nèi)的圖象？xyO2ππ1y=sinx-1第十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考5：函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象如何？其中起關(guān)鍵作用的點有哪幾個？xyO2ππ1-1第十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考6：函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線，怎樣畫出余弦曲線，余弦曲線的分布有什么特點？xyO1-1第十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日理論遷移

例1用“五點法”畫出下列函數(shù)的簡圖：

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；

(2)y=-cosx，x∈[0，2π].第十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日xsinx1+sinx100001-11201x-1O2ππ1y2y=1+sinx第十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日xcosx-cosx101001-1-100-1x-1O2ππ1yy=-cosx第十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例2當x∈[0，2π]時，求不等式的解集.xyO2ππ1-1第十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日小結(jié)作業(yè)1.正、余弦函數(shù)的圖象每相隔2π個單位重復(fù)出現(xiàn)，因此，只要記住它們在[0，2π]內(nèi)的圖象形態(tài)，就可以畫出正弦曲線和余弦曲線.2.作與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象，是解題的基本要求，用“五點法”作圖是常用的方法.第二十頁，共七十一頁，2022年，8月28日3.正、余弦函數(shù)的圖象不僅是進一步研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是解決有關(guān)三角函數(shù)問題的工具，這是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.作業(yè)：P34練習：2P46習題1.4A組:1第二十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日第一課時1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

第二十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日問題提出1.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何相互聯(lián)系？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx第二十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日2.世界上有許多事物都呈現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，如年有四季更替，月有陰晴圓缺.這種現(xiàn)象在數(shù)學上稱為周期性，在函數(shù)領(lǐng)域里，周期性是函數(shù)的一個重要性質(zhì).第二十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日函數(shù)的周期性第二十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日知識探究（一）：周期函數(shù)的概念

思考1：由正弦函數(shù)的圖象可知,正弦曲線每相隔2π個單位重復(fù)出現(xiàn)，這一規(guī)律的理論依據(jù)是什么？.思考2：設(shè)f(x)=sinx，則可以怎樣表示？其數(shù)學意義如何？

第二十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考3：為了突出函數(shù)的這個特性，我們把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù)，2kπ為這個函數(shù)的周期.一般地，如何定義周期函數(shù)？

對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x),

那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期.第二十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考4：周期函數(shù)的周期是否惟一？正弦函數(shù)的周期有哪些？思考5：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),則這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.那么,正弦函數(shù)的最小正周期是多少？為什么？第二十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日

正、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．思考6：就周期性而言，對正弦函數(shù)有什么結(jié)論？對余弦函數(shù)呢？第二十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日知識探究（二）：周期概念的拓展思考1：函數(shù)f(x)=sinx（x≥0）是否為周期函數(shù)？函數(shù)f(x)=sinx（x≤0）是否為周期函數(shù)？思考2：函數(shù)f(x)=sinx（x>0）是否為周期函數(shù)？函數(shù)f(x)=sinx（x≠3kπ）是否為周期函數(shù)？思考3：函數(shù)f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否為周期函數(shù)？周期函數(shù)的定義域有什么特點？第三十頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考4：函數(shù)y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？思考5：一般地，函數(shù)的最小正周期是多少?思考6：如果函數(shù)y=f(x)的周期是T，那么函數(shù)y=f(ωx＋φ)的周期是多少？第三十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日理論遷移

例1求下列函數(shù)的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；

（3）

，x∈R；（4）y=|sinx|x∈R.

例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)=0，試判斷f(x)是否為周期函數(shù)？第三十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)=f(x－1)，且當x∈[0，2]時，f(x)=x－4，求f(10)的值.第三十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日小結(jié)作業(yè)

1.函數(shù)的周期性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù)，一般以定義為依據(jù)，即存在非零常數(shù)T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.2.周期函數(shù)的周期與函數(shù)的定義域有關(guān)，周期函數(shù)不一定存在最小正周期.3.周期函數(shù)的周期有許多個，若T為周期函數(shù)f(x)的周期，則T的整數(shù)倍也是f(x)的周期.第三十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日4.函數(shù)和的最小正周期都是，這是正、余弦函數(shù)的周期公式，解題時可以直接應(yīng)用.作業(yè)：P36練習：1，2，3.第三十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

第二課時第三十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日問題提出1.周期函數(shù)是怎樣定義的？

對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x),

那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期.第三十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日2.正、余弦函數(shù)的最小正周期是多少？函數(shù)和的最小正周期是多少？3.周期性是正、余弦函數(shù)所具有的一個基本性質(zhì)，此外，正、余弦函數(shù)還具有哪些性質(zhì)呢？我們將對此作進一步探究.第三十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與最值第三十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日探究（一）：正、余弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性思考1：觀察下列正弦曲線和余弦曲線的對稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx第四十頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考2：上述對稱性反映出正、余弦函數(shù)分別具有什么性質(zhì)？如何從理論上加以驗證？正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).第四十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考3：觀察正弦曲線，正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？如何將這些單調(diào)區(qū)間進行整合？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù).第四十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考4：類似地，余弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù).xyO1-1y=cosx第四十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考5：正弦函數(shù)在每一個開區(qū)間（2kπ，＋2kπ）(k∈Z)上都是增函數(shù)，能否認為正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù)？第四十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日探究（二）：正、余弦函數(shù)的最值與對稱性思考1：觀察正弦曲線和余弦曲線，正、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分別為多少？思考2：當自變量x分別取何值時，正弦函數(shù)y=sinx取得最大值1和最小值－1？正弦函數(shù)當且僅當時取最大值1,當且僅當時取最小值-1第四十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考3：當自變量x分別取何值時，余弦函數(shù)y=cosx取得最大值1和最小值－1？余弦函數(shù)當且僅當時取最大值1,當且僅當時取最小值-1.第四十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考4：根據(jù)上述結(jié)論，正、余弦函數(shù)的值域是什么？函數(shù)y=Asinωx（Aω≠0）的值域是什么？思考5：正弦曲線除了關(guān)于原點對稱外，是否還關(guān)于其它的點和直線對稱？正弦曲線關(guān)于點（kπ，0）和直線對稱.[-|A|，|A|]第四十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考6：余弦曲線除了關(guān)于y軸對稱外，是否還關(guān)于其它的點和直線對稱？余弦曲線關(guān)于點和直線x=kπ對稱.第四十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日理論遷移

例1求下列函數(shù)的最大值和最小值，并寫出取最大值、最小值時自變量x的集合（1）y=cosx＋1，x∈R；（2）y=－3sin2x，x∈R.第四十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例3求函數(shù)，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間.

例2比較下列各組數(shù)的大小:第五十頁，共七十一頁，2022年，8月28日小結(jié)作業(yè)

1.正、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)主要指周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性和最值，它們都是結(jié)合圖象得出來的，要求熟練掌握.2.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).一般地，y=Asinωx是奇函數(shù)，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函數(shù).第五十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日作業(yè)：P40-41練習：1，2，3，5，6.3.正、余弦函數(shù)有無數(shù)個單調(diào)區(qū)間和無數(shù)個最值點，簡單復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)處理.第五十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.4.3正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)第五十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日問題提出1.正、余弦函數(shù)的圖象是通過什么方法作出的？2.正、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)包括哪些內(nèi)容？這些性質(zhì)是怎樣得到的？3.三角函數(shù)包括正、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，我們已經(jīng)研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，因此,進一步研究正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象就成為學習的必然.第五十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)第五十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日知識探究（一）：正切函數(shù)的性質(zhì)思考1：正切函數(shù)的定義域是什么？用區(qū)間如何表示？思考2：根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式，你能判斷正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？其最小正周期為多少？正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.第五十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考3：函數(shù)的周期為多少？一般地，函數(shù)的周期是什么？思考4：根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式，你能判斷正切函數(shù)具有奇偶性嗎？正切函數(shù)是奇函數(shù)第五十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考5：觀察下圖中的正切線，當角x在內(nèi)增加時，正切函數(shù)值發(fā)生什么變化？由此反映出一個什么性質(zhì)？T1OxyAT2O第五十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考6：結(jié)合正切函數(shù)的周期性，正切函數(shù)的單調(diào)性如何？正切函數(shù)在開區(qū)間都是增函數(shù)思考7：正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？正切函數(shù)會不會在某一區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？第五十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考8：當x大于且無限接近時，正切值如何變化？當x小于且無限接近時,正切值又如何變化？由此分析，正切函數(shù)的值域是什么?正切函數(shù)的值域是R.T1OxyAT2O第六十頁，共七十一頁，2022年，8月28日知識探究（一）：正切函數(shù)的圖象思考1：類比正弦函數(shù)圖象的作法，可以利用正切線作正切函數(shù)在區(qū)間的圖象，具體應(yīng)如何操作？Oxy第六十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考2：上圖中,直線和與正切函數(shù)的圖象的位置關(guān)系如何？圖象的凸向有什么特點？思考3：結(jié)合正切函數(shù)的周期性,如何畫出正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)的圖象？yOx第六十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日思考4：正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)的圖象叫做正切曲線.因為正切函數(shù)是奇函數(shù)，所以正切曲線關(guān)于原點對稱，此外，正切曲線是否還關(guān)于其它的點和直線對稱？正切曲線關(guān)于點對稱.

思考5：根據(jù)正切曲線如何理解正切函數(shù)的基本性質(zhì)？一條平行于x軸的直線與相鄰兩支曲線的交點的距離為多少？第六十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日理論遷移

例1求函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.

例2試比較tan8和tan()的大小.

例3若，求x的取值范圍