ch1-7函數(shù)連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)運算

重要極推廣x

sin(limsinxlimsinxx

1.(其中x

復(復

重要極限：im1

1)xe

(e推廣

(x

e (其中x

(

xx0

0x (x)0x 將xx0

xx,x

x x

x

公式的另一種寫法：im

x)

e推1xx xxx

1(x)(x

e.(其中x

(

將x

換成x

x,x x

x

00定義設與是同一過程中的無窮小量，即lim0，lim如果lim

0，則是比記作(如果lim

0)，則與同階無窮小如果lim

1，則與等階無窮小,記作

~x0x

C(C

0,

x

階無窮小定理(等價無窮小替換定理

,

~

x

,

limxx0

limxx0注:對于代數(shù)和中各無窮小不能分

tanxsin

x常用等價無窮

x0

sin32

x0

(2x)3當x

時

sinx

x,arcsinx~

tanx~x,arctanx~

ln(1

x)~

1cosx

1x22n1ex1n1

x)1~

(x1~xlna(a0,a

當=1/n時

1

1xn新 新第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運二、函數(shù)的間斷三、四則運算的連續(xù)一、函數(shù)的連續(xù)改變量(增量定義當自變量由初值x0變化到終x

x

xx0(x

連續(xù)的定定義1

fx)函數(shù)

U(x0

)內(nèi)有定義，果當自變量的增量

趨向于零時，對應的數(shù)的增

y也趨向于零

limy0x0limx0

f(

x)

f(x0)]

0，那末就稱函

(x)

連續(xù)

(x)的連續(xù)點yyyyf(0x0xyyf(0 x0x定義2設函數(shù)

(

在Ux0

)內(nèi)有定義,如

xx

x時的極限存在,且等于它0x0處的函0

f(

,即)x)

f(x)

f(x0那末就稱函數(shù)

x)在

x0連續(xù)定義

"

"定義

(

在Ux0

)內(nèi)有定0,

x

時

(x)

f(x0

fx)

x0連續(xù)00fx)在點x0處連續(xù)必須滿足的三f(x)

x0內(nèi)有定義；(2)

x

fx)存在

x

f(x)

f(x0

(3)式隱含(1)(2)如果上述三個條件中要有一個不滿

在點x0處不連續(xù)問極限存在是連續(xù)的必要條件f(x)在x=x0

f(x)1

f(x0試證函

f(x)

xsinx

x

在x

處連續(xù)

x試證函

f(x)

xsin1

x

在x

處連續(xù)

x證

f(x)

xsinx

f(0

f(x)

f由定義2

x)在

0fx)在x0連續(xù)，則0

fx|

2x)在x0又若0

fx|

2x)在x

fx)在x0是否連續(xù)

x)在x0

x

f(x)

f(x00

f(x)

f(x0)

f(x)

f(x0

0(x

f(x)

f(x)

f2(x)

f(x)

f(x)0x0

x

x

x 故 x)(

f2x)在x都連續(xù)

f2(x0但反之不成立0

例fx)

xx在

0不連續(xù)但

fx|

2x)在

0單側連若函數(shù)

x)在

x0內(nèi)有定義,且

(

0)

f(x0則稱

(x)在點x0若函數(shù)

b

(

0)

f(x0則稱

x)在點x0處右連續(xù)定理函數(shù)f(xx0

處連

函數(shù)f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù).即

f(x)

f(x0xx

f(x)

xx

f(x)

f(x0 例2連續(xù)性

f(x)

xxx

xx

x

f(x)

lim(x2)

f

f(x)

lim(

2)

2

f右連續(xù)但不左連續(xù)故函

fx)在點

0處不連練習

f(x)

xasin1x

x

x)

1

x連續(xù)的a,b值 (即作業(yè)本P17二連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū),b,b)在(,b如果函數(shù)在開區(qū)間(,bxa處右連續(xù) 在右端點xb處左連續(xù),則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線二、

隱含:定義4設f(x)在點x0的某個領域或去心領定義,若x0f(x)的連續(xù)點,則x0

(x)的間斷點如果函數(shù)yf(x)在點x0處有下列三種x0

(x)(1)

(x)在點x0無定義但在點x0的去心領域(2)

(x)在點x0有定義,但

f(x)

f(x在

x0有定義

f(x)

存在但

f(x)

f(x03

(x)

在x1

1

(x)

在x1

1處沒有定義(x=1的去心領域內(nèi)有定

(x)

在x1

1處間斷思函數(shù)

(x)

x

的間斷點x -x24x第一類間斷⑴.跳躍間斷如果

fx)在點x0處左

存在,但

(

0)

f(

則稱點

0fx)的跳躍間斷點0例4討論函數(shù)

f(x)

x在

0處的連續(xù)性1x,

xy解f

f(0

1f(00)

f(0

x

0為函數(shù)的跳躍間斷 ⑵.可去間斷點

fx)在點x0處的極限存在但x

f(x)A

f(x0

fx)在點

0義則稱點x00

fx)的可去間斷點例5討論函數(shù) x,

0

y12f(x)

x

y 1在x

1

f(10)

f(10)

f

f(x)

∴x1注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例5中

若令f fx)

x,1

0x

在x

1處連續(xù)

跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類特點函數(shù)在點x0處的左、右極限都存在第二類間斷

x)在點x0處的左、右極限至少有一個不存在

則稱點x0為函數(shù)fx)的第二類間斷點1

x例6討論fx)

在x

0處的連續(xù)性yoxyox

x解f

f(0

∴x0為函數(shù)的第二類間斷點這種情況稱為無窮間斷點例7討論

f(x)

1在x

0處的連續(xù)性在

0且當x0時,函數(shù)值在-1和+1之間無限次變動,故limsinx0

x

0為第二類間斷ysinx這種情況稱ysinx判斷下列間斷點類型yy (另:作業(yè)本P115P12

三、四則運算的連續(xù)定理

若函

f(

g(x)在點x0處連續(xù)fx

g(

f(x)

g(

f(x)

(g(

)g(x) 在點x0處也連續(xù)f(x)

g(x)

(,為常數(shù))在點x0處也連續(xù)例如

x在(,)故

x,cot

x,csc

在其定義域內(nèi)連三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)補取最值函補yff(x)g(x)o

yff(x)g(x)o

f(

g(例fx

yyyyx2yo12x由右

x2

x可

0xxx2x

x設函數(shù)

f(

g(x)在點x0處連續(xù),那么函數(shù)(x)(x)

f(x),g(f(x),g(在點x0處也連續(xù)

f(x),g(x)}f(x),g(x)}

1[21[2

(x)(x)

g(x)g(x)

f(x)f(x)

g(x)]g(x)]fx)在x0連續(xù)

f(x)

在x0是否連續(xù)四、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)定理2嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連例如

y

2

,]上單調(diào)增加且連續(xù),y

[1,1]上也是單調(diào)增

arccos

[1,1]上單調(diào)減少且連yarctanx,

x[,]反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)定理

設函數(shù)u

ux)在點x

x0連續(xù),u(x0)

y

f(u)在點u

u0連續(xù)則復合函數(shù)

f[u(x)]在點x

x0也連續(xù)說明:連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的x

u(x)

u(x0

u0

f(u)

f(u0x

f[u(x)]

f(u)f(

f[u(x0f[

極限符號可以與函數(shù)符號互換

xR*ysinysinx

xR*

上連續(xù)對

f(x)

f(x0)

f(lim limlnxlimlnxlnlimxlna(axaxalimaaxx0 limx0xx0(a0,a五、初等函數(shù)的連續(xù)定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是★指數(shù)函數(shù)

ax

(a

a在(,)內(nèi)單調(diào)對數(shù)函數(shù)

loga

(a

aa在(0,)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)a★yx

aloga

yau

ulog

)內(nèi)連

(均在其定義域內(nèi)連續(xù)定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 例如

y

D:

在這些孤立點的去心鄰域內(nèi)沒有定義在x2(xx2(x

D:

及x在點x=0的去心鄰域內(nèi)沒有定義函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)間斷點的分類與判別間斷

第二類間斷點:無窮型,振蕩型

(見下圖

y跳躍oxfxy跳躍ox

或

y可去oxf(x)y可去oxf(x)Af(x0 o0x o0x斷

振蕩f(

無窮

x0 ⒋連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性⒌反函數(shù)的連續(xù)性⒍復合函數(shù)的連續(xù)性⒎初等函數(shù)的連續(xù)性

個定理 兩點意義 x2

課后 y

x(x

x

間斷點在x 可在x 無

f(x)

lim1

x2n

x

1x2nx,f(x)

xxx

x1和

1為跳躍間斷

一、填空題

x21 yx

3x

x

是 類斷點

x

是 類間斷點2 y

x2

x

是第 類間x(x2斷點

x

是 類間斷點；

x是 類間斷點二、研究函的圖

f(x)

x,1,

的連并畫出函1.1、

(x)

x1x1

xR3x,x2、

(x)

,在xRx四、討論函數(shù)f( )lim1

x

的連續(xù)性，若有點，判斷其類

1x

ex五、試確

a,

f(x)

(xa)(

（1）有無窮間斷點

0（2）練習題二答一、1、一類,二類；2、一

x)在(,1)與(1,)內(nèi)連續(xù)

1為跳躍三、1、x1為第一類間斷點2、

k

為可去間斷點2x

0)為第二類間斷 ,xk,kf1(x)

tan x(k

,xk,kf2(x)

tan0,x

k2

2

四、

(x)

x,x0,x

x1

x1為第一類間斷點. x,x五、

0,b

1,be一、填空題1、xx

練習題三x2x23x2、x0

1 x3、limln(2cos2262

4、

2cosx x4e

tan25、t2

f(x)

ex,x

,當a

xax,x(

,

f(x)

x4x

x2x cosx,

8

f(x)

21,

x2

f(

;x1

f(

1、li