Chapter31(矢勢及其微分方程)解讀課件

第三章靜磁場1第三章靜磁場1主要內(nèi)容超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效應(yīng)磁多極矩磁標(biāo)勢矢勢及其微分方程2主要內(nèi)容超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-B本章重點(diǎn)：1、矢勢的引入和它滿足的微分方程、靜磁場的能量2、引入磁標(biāo)勢的條件及磁標(biāo)勢滿足的方程與靜電勢方程的比較3、了解A-B效應(yīng)和超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束本章難點(diǎn)：利用磁標(biāo)勢解決具體問題3本章重點(diǎn)：機(jī)動目錄上頁下頁返回§1矢勢及其微分方程4§1矢勢及其微分方程4在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過來又激發(fā)附加的磁場。磁化電流和磁場互相約制。與解決靜電學(xué)問題一樣，求微分方程邊值問題的解。5在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解磁場問題的基礎(chǔ)。1、矢勢6恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合，可以引入標(biāo)勢來描述。靜磁場則是有旋無源場，磁感應(yīng)線總是閉合曲線，一般可以引入另一個矢量來描述。由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。7靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合則B可表為另一矢量的旋度若根據(jù)矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢8則B可表為另一矢量的旋度若根據(jù)矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界的曲面S積分9矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界設(shè)S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則10設(shè)S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則10這正是B的無源性的表示。因?yàn)槭菬o源的，在S1和S2所包圍的區(qū)域內(nèi)沒有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒有磁感應(yīng)線終止，B線連續(xù)的通過該區(qū)域，因而通過曲面S1的磁通量必須等于通過曲面S2的磁通量。這磁通量由矢勢A對S1或S2的邊界的環(huán)量表示。11這正是B的無源性的表示。因?yàn)槭菬o源的，在S1和S2所包圍的區(qū)因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的值沒有直接的物理意義。12因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回其中B0為常量。例：設(shè)有沿Z軸方向的均勻磁場13其中B0為常量。例：設(shè)有沿Z軸方向的均勻磁場13由定義式14由定義式14有解另一解15有解另一解15因?yàn)槿我夂瘮?shù)的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應(yīng)于同一個磁場B。A的這種任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A本身沒有直接的物理意義。16因?yàn)槿我夂瘮?shù)的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應(yīng)于同由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即輔助條件對于上式總可以找到一個A適合17由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即證明：設(shè)有某一解不滿足上式另取一解18證明：設(shè)有某一解不滿足上式另取一解18A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。19A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條2、矢勢微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B=H和B=A代入式H=J，得矢勢A的微分方程202、矢勢微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B=H和B=A代由矢量分析公式若取A滿足規(guī)范條件A=0，得矢勢的微分方程21由矢量分析公式若取A滿足規(guī)范條件A=0，得矢勢的微分方A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同22A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同22對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點(diǎn),x’為場點(diǎn)，r為由x’到x的距離。上式也是第一章中由畢奧－薩伐爾定律導(dǎo)出的公式從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程的解。23對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點(diǎn),x’為場點(diǎn)，r把磁場的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢A，由A的方程獲得特解，即可求得B。24把磁場的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢A，由過渡到線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換JdVIdl，得這就是畢奧－薩伐爾定律。25過渡到線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換JdVId3、矢勢邊值關(guān)系當(dāng)全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。對于電流和磁場互相制約的問題，則必須解矢勢微分方程的邊值問題。263、矢勢邊值關(guān)系當(dāng)全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系，對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢的邊值關(guān)系為在兩介質(zhì)分界面上磁場的邊值關(guān)系為27磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系，對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢在分界面兩側(cè)取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分?；芈范踢呴L度趨于零上述邊值關(guān)系式也可以用較簡單的形式代替。28在分界面兩側(cè)取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分?；芈范踢呌捎诨芈访娣e趨于零，有因此29由于回路面積趨于零，有因此29若取規(guī)范A=0，可得即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢A是連續(xù)的。所以30若取規(guī)范A=0，可得即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢A是連續(xù)的4、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B=A磁場的總能量314、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把A

J/2看作能量密度，因?yàn)槲覀冎滥芰糠植加诖艌鰞?nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。32則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把AJ/2看在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發(fā)的。如果我們要計算某電流分布J在給定外磁場中的相互作用能量，以Ae表示外磁場的矢勢，Je表示產(chǎn)生該外磁場的電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場矢勢為A+Ae。33在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發(fā)的。如果我們要計算某電流此式減去J和Je分別單獨(dú)存在時的能量之后，得電流J在外場中的相互作用能34此式減去J和Je分別單獨(dú)存在時的能量之后，得電流J在外場中的由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為35由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為35例1無窮長直導(dǎo)線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。36例1無窮長直導(dǎo)線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R,電流元Idz到P點(diǎn)的距離為積分是發(fā)散的。計算兩點(diǎn)的矢勢差值可以免除發(fā)散。解利用得37設(shè)P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R,電流元Idz到P點(diǎn)的距離為積分若取R0點(diǎn)的矢勢為零，計算可得38若取R0點(diǎn)的矢勢為零，計算可得38取A的旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度39取A的旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度39例2半徑為a的導(dǎo)線園環(huán)載電流I，求矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度40例2半徑為a的導(dǎo)線園環(huán)載電流I，求矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度解線圈電流產(chǎn)生的矢勢為41解線圈電流產(chǎn)生的矢勢為41用球坐標(biāo)(R,θ,)，由對稱性可知A只有分量，A只依賴于R,θ,而與無關(guān)。因此我們可以選定在xz面上的一點(diǎn)P來計算，在該點(diǎn)上A=

Ay

。取y分量。由于42用球坐標(biāo)(R,θ,)，由對稱性可知A只有分量，A則得上式的積分可用橢園積分表示。當(dāng)時，可以較簡單的計算出近似結(jié)果。43則得上式的積分可用橢園積分表示。當(dāng)時，可以較簡單的計算出近把根式對若我們要計算B(R,)到二級近似。則A需要算到三級項(xiàng)。展開。在積分表達(dá)式中展開式的偶次項(xiàng)對’積分為零，因此只需保留奇次項(xiàng)。44把根式對若我們要計算B(R,)到二級近似。則A需要算到三包括遠(yuǎn)場此式的適用范圍是和近軸場45包括遠(yuǎn)場此式的適用范圍是和近軸場45我們計算近軸場。這種情況下用柱坐標(biāo)(,,z)較為方便。展開式實(shí)際上是對取至3項(xiàng)，有取A的旋度，得

的展開式。46我們計算近軸場。這種情況下用柱坐標(biāo)(,,z)較為方便。上式對任意z處的近軸場成立。若求近原點(diǎn)處的場,z<<a，可把上式再對z/a展開，得47上式對任意z處的近軸場成立。若求近原點(diǎn)處的場,z<<a，第三章靜磁場48第三章靜磁場1主要內(nèi)容超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效應(yīng)磁多極矩磁標(biāo)勢矢勢及其微分方程49主要內(nèi)容超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)阿哈羅夫－玻姆(Aharonov-B本章重點(diǎn)：1、矢勢的引入和它滿足的微分方程、靜磁場的能量2、引入磁標(biāo)勢的條件及磁標(biāo)勢滿足的方程與靜電勢方程的比較3、了解A-B效應(yīng)和超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束本章難點(diǎn)：利用磁標(biāo)勢解決具體問題50本章重點(diǎn)：機(jī)動目錄上頁下頁返回§1矢勢及其微分方程51§1矢勢及其微分方程4在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過來又激發(fā)附加的磁場。磁化電流和磁場互相約制。與解決靜電學(xué)問題一樣，求微分方程邊值問題的解。52在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解磁場問題的基礎(chǔ)。1、矢勢53恒定電流磁場的基本方程J是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合，可以引入標(biāo)勢來描述。靜磁場則是有旋無源場，磁感應(yīng)線總是閉合曲線，一般可以引入另一個矢量來描述。由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。54靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合則B可表為另一矢量的旋度若根據(jù)矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢55則B可表為另一矢量的旋度若根據(jù)矢量分析的定理A稱為磁場的矢勢矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界的曲面S積分56矢勢A的意義：通過曲面S的磁通量把B對任一個以回路L為邊界設(shè)S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則57設(shè)S1和S2是兩個有共同邊界L的曲面，則10這正是B的無源性的表示。因?yàn)槭菬o源的，在S1和S2所包圍的區(qū)域內(nèi)沒有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒有磁感應(yīng)線終止，B線連續(xù)的通過該區(qū)域，因而通過曲面S1的磁通量必須等于通過曲面S2的磁通量。這磁通量由矢勢A對S1或S2的邊界的環(huán)量表示。58這正是B的無源性的表示。因?yàn)槭菬o源的，在S1和S2所包圍的區(qū)因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的值沒有直接的物理意義。59因此，矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回其中B0為常量。例：設(shè)有沿Z軸方向的均勻磁場60其中B0為常量。例：設(shè)有沿Z軸方向的均勻磁場13由定義式61由定義式14有解另一解62有解另一解15因?yàn)槿我夂瘮?shù)的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應(yīng)于同一個磁場B。A的這種任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A本身沒有直接的物理意義。63因?yàn)槿我夂瘮?shù)的梯度的旋度恒為零，故有即A+與A對應(yīng)于同由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即輔助條件對于上式總可以找到一個A適合64由A的這種任意性，為了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即證明：設(shè)有某一解不滿足上式另取一解65證明：設(shè)有某一解不滿足上式另取一解18A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。66A’的散度為取為泊松方程的一個解，就得證。對A所加的輔助條2、矢勢微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B=H和B=A代入式H=J，得矢勢A的微分方程672、矢勢微分方程在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把B=H和B=A代由矢量分析公式若取A滿足規(guī)范條件A=0，得矢勢的微分方程68由矢量分析公式若取A滿足規(guī)范條件A=0，得矢勢的微分方A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同69A的每個直角分量Ai滿足泊松方程形式與靜電場的方程相同22對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點(diǎn),x’為場點(diǎn)，r為由x’到x的距離。上式也是第一章中由畢奧－薩伐爾定律導(dǎo)出的公式從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程的解。70對比靜電場的解得矢勢方程的特解式中x是源點(diǎn),x’為場點(diǎn)，r把磁場的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢A，由A的方程獲得特解，即可求得B。71把磁場的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢A，由過渡到線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換JdVIdl，得這就是畢奧－薩伐爾定律。72過渡到線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換JdVId3、矢勢邊值關(guān)系當(dāng)全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。對于電流和磁場互相制約的問題，則必須解矢勢微分方程的邊值問題。733、矢勢邊值關(guān)系當(dāng)全空間的電流分布J給定時，可以計算磁場。磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系，對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢的邊值關(guān)系為在兩介質(zhì)分界面上磁場的邊值關(guān)系為74磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系，對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢在分界面兩側(cè)取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分?；芈范踢呴L度趨于零上述邊值關(guān)系式也可以用較簡單的形式代替。75在分界面兩側(cè)取一狹長回路，計算A對此狹長回路的積分。回路短邊由于回路面積趨于零，有因此76由于回路面積趨于零，有因此29若取規(guī)范A=0，可得即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢A是連續(xù)的。所以77若取規(guī)范A=0，可得即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢A是連續(xù)的4、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B=A磁場的總能量784、靜磁場的能量在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由B則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把A

J/2看作能量密度，因?yàn)槲覀冎滥芰糠植加诖艌鰞?nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。79則和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把AJ/2看在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發(fā)的。如果我們要計算某電流分布J在給定外磁場中的相互作用能量，以Ae表示外磁場的矢勢，Je表示產(chǎn)生該外磁場的電流分布，則總電流分布為J+Je，總磁場矢勢為A+Ae。80在上式中，矢勢A是電流分布J本身激發(fā)的。如果我們要計算某電流此式減去J和Je分別單獨(dú)存在時的能量之后，得電流J在外場中的相互作用能81此式減去J和Je分別單獨(dú)存在時的能量之后，得電流J在外場中的由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為82由于因此電流J在外場Ae中的相互作用能量為35例1無窮長直導(dǎo)線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。83例1無窮長直導(dǎo)線載電流I，求磁場的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R,電流元Idz到P點(diǎn)的距離為積分是發(fā)散的。計算兩點(diǎn)的矢勢差值可以免除發(fā)