切線長定理和三角形的內(nèi)切圓2

24.2.2直線與圓的位置關(guān)系(3)復(fù)習(xí)回顧切線的判定定理:1、和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線2、和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線3、經(jīng)過半徑外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線1.切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn).2.切線和圓心的距離等于半徑.3.切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.4.經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn).5.經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心.切線的性質(zhì)：··oo′p1.連結(jié)OP2.以O(shè)P為直徑作⊙O′，與⊙O交于A、B兩點(diǎn)。AB即直線PA、PB為⊙O的切線如圖，已知⊙O外一點(diǎn)P，你能用尺規(guī)過點(diǎn)P作⊙O的切線嗎？通過作圖你能發(fā)現(xiàn)什么呢？觀察實(shí)驗(yàn)1.過圓外一點(diǎn)作圓的切線可以作兩條2.點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線OP對(duì)稱說明經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長是一條線段·opAB如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)。如果連結(jié)OA、OB、OP，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？探究∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點(diǎn)∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO結(jié)論切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角?！pAB符號(hào)語言∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點(diǎn)∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如圖，若連接AB，則OP與AB有什么關(guān)系？分析∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點(diǎn)∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD歸納從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線垂直平分切點(diǎn)所成的弦；平分切點(diǎn)所成的弧。AD與BD相等嗎？⌒⌒例1已知，如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).直線OP交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半徑OA的長.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)設(shè)OA=xcm,則PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半徑OA的長為3cm.利用切線長定理進(jìn)行計(jì)算·P·OABc如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，

PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2

，求⊙O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角。解：連接OA、AC，則OA⊥AP在Rt△AOP中，設(shè)OA＝x則OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4

在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切線∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半徑為2，兩切線的夾角為60°利用切線長定理進(jìn)行證明·ABCDEO21例2如圖，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓交AB于點(diǎn)E，交AC與點(diǎn)D。求證：DE∥OC證明：連接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ為⊙Ｏ的半徑∴ＣＢ是⊙Ｏ的切線∵ＡＢ是⊙Ｏ的切線，Ｄ是切點(diǎn)∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直徑∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ∴ＤＥ∥ＯＣ

如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？ABC三角形的內(nèi)切圓的定義：ABC和三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形叫圓的外切三角形定義思考：如圖，是是一張三三角形的的鐵皮，，如何在在它上面面截下一一塊圓形形的用料料，并且且使圓的的面積盡盡可能大大呢？ICABDEF⊙I與△ABC的三邊相切于點(diǎn)D、E、F.因此ID=IE=IF=⊙⊙I的半徑r.問題１：：作圓的關(guān)關(guān)鍵是什什么？問題２：：怎樣確定定圓心的的位置？？問題３：：圓心的位位置確定定后怎樣樣確定圓圓的半徑徑？ABC（確定圓圓心和半半徑）（作兩條條角平分分線，其其交點(diǎn)就就是圓心心的位置置）（過圓心心作三角角形一邊邊的垂線線，垂線線段的長長就是圓圓的半徑徑）作圓，使使它和已已知三角角形的各各邊都相相切已知：△△ABC（如圖））求作：和和△ABC的各邊都都相切的的圓問題４:在這塊三三角形材材料上還還能裁下下更大的的圓嗎?（不能能）任何一個(gè)個(gè)三角形形都只有有一個(gè)內(nèi)內(nèi)切圓思考：如何作出出這個(gè)圓圓？（尺尺規(guī)作圖圖）ICABEDF與三角形形的各邊邊都相切切的圓叫叫做三角角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓圓的圓心心是三角角形三條角平平分線的的交點(diǎn)，叫做三三角形的的內(nèi)心。三角形的的內(nèi)心到到三角形形三邊的的距離相相等。3、以I為圓心，，ID為半徑作作⊙I，⊙I就是所求求的圓.例1作圓，使使它和已已知三角角形的各各邊都相相切已知：△△ABC（如圖））求作：和和△ABC的各邊都都相切的的圓ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分線線BM和CN，交點(diǎn)為為I.2、過點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為為D.三角形內(nèi)內(nèi)切圓的的圓心叫叫三角形形的內(nèi)心②三角形的的內(nèi)心到到三邊的的距離相相等①三角形的的內(nèi)心是是三角形形角平分分線的交交點(diǎn)③三角形的的內(nèi)心一一定在三三角形的的內(nèi)部三角形內(nèi)心的性質(zhì)定義：和和多邊形形各邊都都相切的的圓叫做，這個(gè)多邊形叫叫做。多邊形的的內(nèi)切圓圓圓的外切切多邊形形內(nèi)切外切如上圖，，四邊形形DEFG是⊙O的四邊形，，⊙O是四邊形形DEFG的圓，DEFG.O思考:我們所學(xué)學(xué)的平行行四邊形形，矩形形，菱形形，正方方形，等腰腰梯形中中，哪些些四邊形形一定有有內(nèi)切圓圓？(菱形，正正方形一一定有內(nèi)內(nèi)切圓)定義義明確1.一個(gè)三角角形有且且只有一一個(gè)內(nèi)切切圓；2.一個(gè)圓有有無數(shù)個(gè)個(gè)外切三三角形；；3.三角形的的內(nèi)心就就是三角角形三條條內(nèi)角平平分線的交交點(diǎn)；4.三角形的的內(nèi)心到到三角形形三邊的的距離相相等。名稱確定方法圖形性質(zhì)

內(nèi)心心（三角形形內(nèi)切圓圓的圓心心）三角形三三邊中垂垂線的交交點(diǎn)三角形三三條角平分線線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC(2)外心不一一定在三三角形的的內(nèi)部．．（1）到三邊邊的距離離相等；；（2）OA、OB、OC分別平分分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）內(nèi)心在在三角形形內(nèi)部．．外心心(三角形外接圓的的圓心)例3如圖,ABC的內(nèi)切圓圓⊙O與BC、CA、AB分別相切切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm,求AF、BD、CE的長度。。例題：OCABFDE例2如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是內(nèi)心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度數(shù)ABCO（2）若∠A=80°,則∠BOC=度。（3）若∠BOC=100°，則∠A=度?！唷螧OC=180°-（∠ABC＋∠ACB）12

=180°－60°=120°同理∠OCB=∠OCA=12∠ACB=35°解（1）∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠ABC=25°∴∠OBC=

∠OBA=12試探討∠BOC與∠A之間存在在怎樣的的數(shù)量關(guān)關(guān)系？請(qǐng)說明理理由．4、如圖，，△ABC中，∠ABC=500,∠ACB=750,點(diǎn)O是內(nèi)心，，求∠BOC的度數(shù)。。鞏固：CABO例1△ABC的內(nèi)切圓圓⊙O與BC、CA、AB分別相切切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長.解:設(shè)AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O與△ABC的三邊都都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD則有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9思考：如果△ABC的周長為為m,面積為s，那么內(nèi)內(nèi)切圓的的半徑r是多少？？ABCDEF如果已知知△ABC的BC=a，CA=b，AB=c，內(nèi)切圓圓I和BC、AC、AB分別相切切于點(diǎn)D、E、F，AF、BD、CE分別等于于多少？？.Ixyzy+z=ax+z=bx+y=c分析：設(shè)AF=x，BD=y，CE=z例4如圖,ABC的內(nèi)切圓圓⊙O與BC、CA、AB分別相切切于點(diǎn)D、E、F，且AB=c,BC=a，CA=b,求AF、BD、CE的長度。。例題：OCABFDE5、△ABC中的內(nèi)切切圓半徑徑為r，△ABC的周長為為l，求△ABC的面積S。CABOFDE6、已知三三角形的的內(nèi)切圓圓半徑為為3，三角形形的周長長為20，則該三三角形的的面積為為。CABO7、Rt△ABC中，斜邊邊AB=10cm，AC=6cm，則內(nèi)切切圓半徑徑為.ABCO面積法8、如圖,△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，求△ABC的外接圓圓半徑r和內(nèi)切圓圓半徑R.CABDOI長度。直角三角角形的內(nèi)內(nèi)切圓已知:如圖,⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓圓,∠C是直角,∠AC=3,BC=4.求⊙O的半徑r.●ABC●┏O●┗┓ODEF┗典型例題題這個(gè)結(jié)論論可敘述述為“直角三角角形內(nèi)切切圓的直直徑等于于兩直角角邊的和和減去斜斜邊”.直角三角角形的內(nèi)內(nèi)切圓已知:如圖,⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓圓,∠C是直角,三邊長分分別是a,b,c.求⊙O的半徑r.ABC●┗┏┓ODEF┗三角形的的內(nèi)切圓圓已知:如圖,△ABC的面積S=4cm2,周長等于于10cm.求內(nèi)切圓圓⊙O的半徑r.●ABC●O●┗┓ODEF┗老師提提示:△ABC的面積積=△AOB的面積積+△BOC的面積積+△AOC的面積積.三角形形的內(nèi)內(nèi)切圓圓已知:如圖,△ABC的面積積為S,三邊長長分別別為a,b,c.求內(nèi)切切圓⊙O的半徑徑r.●ABC●O●┗┓ODEF┗這個(gè)結(jié)結(jié)論可可敘述述為:三角形形的面面積等等于其其周長長與內(nèi)內(nèi)切圓圓半徑徑乘積積的一一半.三角形形的內(nèi)內(nèi)切圓圓已知:如圖,⊙O是Rt△△ABC的內(nèi)切切圓,∠C是直角角,BC=5,r=2.求△ABC的周長長.ABC●┗┏┓ODEF┗（A）梯形形（（B）菱形形（C）矩形形（（D）平行行四邊邊形1、下列列圖形形中，，一定定有內(nèi)內(nèi)切圓圓的四四邊形形是（（））2、如圖圖，△△ABC中，E是內(nèi)心心，∠∠A的平分分線和和△ABC的外接接圓相相交于于點(diǎn)D.求證：：DE＝DB練習(xí)習(xí)3、如圖圖，菱菱形ABCD中，周周長為為40，∠ABC=120°，則內(nèi)內(nèi)切圓圓的半半徑為為（））（A）

（B）

（C）

（D）

4、如圖圖，⊙⊙O是△ABC的內(nèi)切切圓，，D、E、F是切點(diǎn)點(diǎn)，∠∠A=50°°，∠C=60°°，則∠∠DOE=（））（A）70°（B）110°（C）120°（D）130°5、等邊邊三角角形的的內(nèi)切切圓半半徑、、外接接圓的的半徑徑和高高的比比為（（））（A）1∶∶

（B）1∶2∶

（C）1∶∶2

（D）1∶2∶3

6、存在在內(nèi)切切圓和和外接接圓的的四邊邊形一一定是是（））（A）矩形形（（B）菱形（C）正方形形（（D）平行四四邊形7、畫一個(gè)個(gè)邊長為為3cm的等邊三三角形，，在畫出出它的內(nèi)內(nèi)切圓．．1、本節(jié)課從從實(shí)際問問題入手手，探索索得出三三角形內(nèi)內(nèi)切圓的的作法.2、通過類類比三角角形的外外接圓與與圓的內(nèi)內(nèi)接三角角形概念念得出三角形的的內(nèi)切圓圓、圓的的外切三三角形概概念，并并介紹了了多邊形形的內(nèi)切圓、、圓的外外切多邊邊形的概概念。3、學(xué)習(xí)時(shí)時(shí)要明明確“接接”和““切”的的含義、、弄清““內(nèi)心””與“外心””的區(qū)別別，4、利用三三角形內(nèi)內(nèi)心的性性質(zhì)解題題時(shí)，要要注意整整體思想想的運(yùn)用，在解解決實(shí)際際問題時(shí)時(shí)，要注注意把實(shí)實(shí)際問題題轉(zhuǎn)化為為數(shù)學(xué)問問題。歸納總結(jié)結(jié)9、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。12月月-2212月月-22Thursday,December8,202210、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。09:54:3309:54:3309:5412/8/20229:54:33AM11、以我我獨(dú)沈沈久，，愧君君相見見頻。。。12月月-2209:54:3309:54Dec-2208-Dec-2212、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。09:54:3309:54:3309:54Thursday,December8,202213、乍見見翻疑疑夢(mèng)，，相悲悲各問問年。。。12月月-2212月月-2209:54:3309:54:33December8,202214、他他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生生白白發(fā)發(fā)，，舊舊國國見見青青山山。。。。08十十二二月月20229:54:33上上午午09:54:3312月月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月229:54上上午12月-2209:54December8,202216、行動(dòng)出成果果，工作出財(cái)財(cái)富。。2022/12/89:54:3309:54:3308December202217、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時(shí)時(shí)，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點(diǎn)的的射線線向前前。。。9:54:33上上午9:54上上午午09:54:3312月月-229、沒沒有有失失敗敗，，只只有有暫暫時(shí)時(shí)停停止止成成功功??！。。12月月-2212月月-22Thursday,December8,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒沒有有。。。。09:54:3309:54:3309:5412/8/20229:54:33AM11、成功就就是日復(fù)復(fù)一日那那一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小努努力的積積累。。。12月-2209:54:3309:54Dec-2208-Dec-2212、世間間成事事，不不求其其絕對(duì)對(duì)圓滿滿，留留一份份不足足，可可得無無限完完美。。。09:54:3309:54:3309:54Thursday,December8,202213、不知知香積積寺，，數(shù)里里入云云峰。。。12月-2212月-2209:54:3309:54:33December8,202214、意志堅(jiān)強(qiáng)的的人能把世界界放在手中像像泥塊一樣任任意揉捏。08十二月月20229:54:33上午09:54:3312月-2215、楚塞三湘接接，荊門九派派通。。。十二月229:54上上午12月-2209:54December8,202216、少年十五二二十時(shí)，步行行奪得胡馬騎騎。。2022/12/89:54:3309:54:3308December202217、空山新雨雨后，天氣氣晚來秋。。。9:54:34上上午9:54上上午09:54:3412月-229、楊楊柳柳散散和和風(fēng)風(fēng)，，青青山山澹澹吾吾慮慮。。。。12月月-2212月月-22Thu