北航金融計量學(xué)第五章

第五章

一元時間序列的分析方法及應(yīng)用1主要內(nèi)容5.1時間序列分析方法的特點與平穩(wěn)性的提出5.2重要的時間序列5.3時間序列的平穩(wěn)性檢驗5.4一元時間序列分析方法的應(yīng)用25.1時間序列分析方法的特點

與平穩(wěn)性的提出所謂時間序列，就是各種社會、經(jīng)濟、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標按照時間次序排列起來的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。一元時間序列分析方法的基本原理是在解釋一個變量的變化或預(yù)測其未來時，不再使用一組與之有相關(guān)關(guān)系的其他變量組成回歸模型，而是依據(jù)變量本身的變化規(guī)律，讓變量自身的過去值及誤差項來解釋。時間序列分析分析模型分為確定性時間序列分析模型和隨機時間序列分析模型兩大類。3確定性時間序列分析模型主要通過簡單的外推技術(shù)，如移動平均、指數(shù)平滑等進行預(yù)測，不反映時間序列的隨機性質(zhì)。隨機時間序列分析模型將時間序列數(shù)據(jù)看作一個隨時間變化的隨機變量在不同時點取值的結(jié)果。如對一個具體的時間序列X1，X2，…，XT，可將其看作某個隨機變量Xt在t＝1，2，…，T的一個可能結(jié)果或?qū)崿F(xiàn)。利用隨機過程的一個實現(xiàn)去推斷該隨機過程的統(tǒng)計特征，并用于未來的預(yù)測。4平穩(wěn)時間序列1對于任意t，

（常數(shù)）2方差

（常數(shù)）

3任何兩個時期之間的協(xié)方差只依賴于該兩時期之間的距離。5若一時間序列變量Xt平穩(wěn)，其一個樣本為X1，X2，…，XT，T為序列的樣本容量，則其主要統(tǒng)計特性的計算方法分別為：（1）期望值（2）方差（3）

協(xié)方差6考慮時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，主要有兩個原因：1只有序列平穩(wěn)，才可把根據(jù)數(shù)據(jù)推測出來的關(guān)于序列的統(tǒng)計特征應(yīng)用于對序列未來時期變化的預(yù)測，從而為預(yù)測奠定有效的基礎(chǔ)。2“虛假回歸”現(xiàn)象：即使兩個序列互相獨立，在經(jīng)濟意義上無任何相關(guān)關(guān)系，但若兩個序列非平穩(wěn)，則用傳統(tǒng)的回歸方法及顯著性檢驗時，仍可能會顯示出兩者在統(tǒng)計上有較高的相關(guān)關(guān)系。75.2重要的時間序列5.2.1白噪聲過程對于隨機過程

{t}，如果期望為零，方差為固定值，且不同時點之間的協(xié)方差為0，則稱{t}為白噪聲。白噪聲是其他各類時間序列的重要組成部分。85.2.2一階自回歸過程AR(1)：Xt=Φ1Xt-1+t，其中，t為白噪聲，E(t)=0,var(t)=9若能確定,即隨機過程Xt是平穩(wěn)的AR(1)過程時,可直接用最小二乘法,求出系數(shù)Φ1的估計值,并且可以應(yīng)用傳統(tǒng)的t檢驗或F檢驗.AR(1)過程可擴展為p階自回歸過程,記為AR(p).模型表示為:Xt=Φ1Xt-1+Φ2Xt-2+…+ΦpXt-p+t105.2.3趨趨勢平穩(wěn)過過程許多時間序列列數(shù)據(jù)，特別別是宏觀經(jīng)濟濟數(shù)據(jù)，常常常顯示出明顯顯的時間趨勢勢，如GNP大致隨時間間遞增，這種種趨勢特征可可歸結(jié)為技術(shù)術(shù)進步、勞動動力及其素質(zhì)質(zhì)的增長等。。非平穩(wěn)過程11可見,序序列的期望值值是時間t的函數(shù)。根據(jù)據(jù)定義,序序列為非平平穩(wěn)時間序列列。之所以稱稱之為趨勢平平穩(wěn)，是因為為模型中Xt減掉趨勢項+t后，是一個平平穩(wěn)過程?？煽梢宰C明該模模型滿足經(jīng)典典回歸假設(shè)，，用普通最小小二乘法對參參數(shù)和進行回歸及檢檢驗都是有效效的或漸進有有效的。125.2.4隨隨機游走過過程非平穩(wěn)過程可見,隨隨機游走過程程的方差隨時時間推移而變變得越來越大大。13含位移項的隨隨機游走過程程同時含趨勢項項和位移項的的隨機游走過過程14趨勢平穩(wěn)過程程及帶位移項項的隨機游走走過程，期望望值都是時間間t的函數(shù)，，即序列的走走勢都包含了了確定的時間間趨勢。其背后的統(tǒng)計意義和經(jīng)濟意義不同：對于趨勢平穩(wěn)穩(wěn)過程，t時時刻的干擾項項只對序列值值Xt產(chǎn)生影響；對于隨機游走走過程，則序序列值Xt除受t時刻的的干擾項t影響之外，前前期的干擾項項都對其發(fā)生生作用。155.2.5單單位根過程程非平穩(wěn)過程單位根過程只只要求干擾項項為一平穩(wěn)過過程，不要求求不同時點的的協(xié)方差為0。隨機游走過程程是單位根過過程的一個特特例。單位根過程經(jīng)經(jīng)過一階差分分后，為平穩(wěn)穩(wěn)序列，即單單位根過程為為一階單整。。如果一個序序列在成為穩(wěn)穩(wěn)定序列之前前必須經(jīng)過d次差分，則該該序列被稱為為d階單整。16[金融相關(guān)點點5-1]經(jīng)濟周期與沖沖擊的持久性性175.3時間間序列的平穩(wěn)穩(wěn)性檢驗5.3.1利利用自相相關(guān)函數(shù)及相相關(guān)圖進行平平穩(wěn)性檢驗自相關(guān)函數(shù)（（ACF,autocorrelationfunctions）反映序序列兩個相鄰鄰數(shù)據(jù)點之間間存在多大程程度的相關(guān)性性。間隔k期的數(shù)據(jù)點之之間的相關(guān)系系數(shù)，稱為k階自相關(guān)系數(shù)數(shù),記為k18往往表現(xiàn)為k=1時對應(yīng)應(yīng)的一階樣本本自相關(guān)函數(shù)數(shù)比較高，然然后隨著k的的增加而下降降。樣本的自相關(guān)關(guān)函數(shù)(ACF)：k為第k個自相關(guān)系數(shù)數(shù)。顯然并且任意過程程的0階自相相關(guān)系數(shù)0=119以k為橫坐標、為為縱縱坐標，描繪繪出對對階數(shù)k的關(guān)系圖形，，稱為樣本相相關(guān)圖。往往表現(xiàn)為k=1時對應(yīng)應(yīng)的一階樣本本自相關(guān)函數(shù)數(shù)比比較高，然然后隨著k的的增加，下下降。。20對于p階自回回歸過程，當當k≤p時，，偏相關(guān)系數(shù)數(shù)不為0；當當k>p時，，偏相關(guān)系數(shù)數(shù)為0，即截截尾特征。偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)(PartialAutocorrelationFunction,PACF)：21檢驗時間序列列是否平穩(wěn)的的簡單辦法是是考察樣本自自相關(guān)函數(shù)的的變化。平穩(wěn)時間序列列的樣本自相相關(guān)函數(shù)隨著著階數(shù)的增加加而迅速下降降為0，非平平穩(wěn)時間序列列的自相關(guān)函函數(shù)則衰減得得十分緩慢。?？梢宰C明，如如果總體Xt服從標準正態(tài)態(tài)分布，則k階自相關(guān)函函數(shù)的樣本估估計近似服從從均值為0，，方差為1/T的正態(tài)分分布，T為時時間序列的樣樣本容量。22Box-Pierce-Q統(tǒng)計量，，或Ljung-Box統(tǒng)統(tǒng)計量，可以證明，這這兩個統(tǒng)計量量均近似服從從于自由度為為k的2分布。23Q檢驗統(tǒng)計量量可以檢驗?zāi)衬骋粫r間序列列其1至k階階的自相關(guān)函函數(shù)是是否同時為0的聯(lián)合假設(shè)設(shè)，即零假設(shè)設(shè)：備備選假假設(shè)為中中至少有一個個顯著不為零零。這一方法法可用于對白白噪聲過程的的近似檢驗。。由于白噪聲過過程的任意階階自相關(guān)函數(shù)數(shù)為0，為此此可以設(shè)定一一較大的滯后后階數(shù)，如k=20，按按公式計算出出統(tǒng)計量若若計計算出的統(tǒng)計計量大大于于顯著性水平平為自由度為20的分分布布的臨界值，，即拒絕原假假設(shè)，意味著著對應(yīng)的序列列不是白噪聲聲過程，反之之，則接受原原假設(shè)。24許多計量經(jīng)濟濟軟件在給出出自相關(guān)函數(shù)數(shù)和Q統(tǒng)計量量之外，還會會給出偏自相相關(guān)函數(shù)PACF，可以以加以利用來來輔助判斷自自回歸階數(shù)。。與自相關(guān)函數(shù)數(shù)的樣本估計計的的分布相同，，在自回歸過過程階數(shù)為p的假設(shè)條件件下，p+1以及更高階階偏自相關(guān)函函數(shù)估計量（（k>p）近似的的服從均值為為0，方差為為1/T的正正態(tài)分布。25[實證案例5-1]上證A股指數(shù)數(shù)的自相關(guān)函函數(shù)及自相關(guān)關(guān)圖265.3.2時時間序列平平穩(wěn)性的單位位根檢驗（unitroottest）問題的提出迪克－福勒方方法（DF檢檢驗）增廣的迪克－－福勒方法（（ADF檢驗驗）菲利普斯－配配榮方法（PP檢驗）總結(jié)27問題的提出時間序列平穩(wěn)穩(wěn)性檢驗的重重要性對于一階自回回歸過程=1：隨機游走過過程，非平穩(wěn)穩(wěn)；||<1：：平穩(wěn)穩(wěn)序列列需要對對單位位根假假設(shè)作作檢檢驗對于具具有明明顯時時間趨趨勢的的序列列，要要判斷斷是由由趨勢勢平穩(wěn)穩(wěn)過程程，還還是含含位移移項的的隨機機游走走過程程產(chǎn)生生此時傳統(tǒng)統(tǒng)的t檢驗驗不再適適用，需需要采用用新的檢檢驗方法法。28迪克(Dickey)－福勒勒(Fuller)方方法（（DF檢檢驗）情況一真實的數(shù)數(shù)據(jù)產(chǎn)生生過程：：回歸模型型：其中是是白噪聲聲過程（非平穩(wěn)穩(wěn)）（平穩(wěn)））29迪克－福福勒方法法（DF檢驗））統(tǒng)計量：：DF的統(tǒng)計量＝＝DF的統(tǒng)計量＝＝其中：T為樣本本容量，，和和是是用OLS得得到的的估計值值及其標標準差。。注：當零零假設(shè)為為真時，，最小二二乘估計計和和t統(tǒng)計計量有非非標準和和非對稱的的極限分分布，此此時的t統(tǒng)計量量不是通通常意義義下的t分分布，而是是服從下下述漸近近分布301976年迪克克和福勒勒模擬計計算了DF統(tǒng)計計量的臨臨界值，，見附表表5（統(tǒng)計量））和6（（統(tǒng)計量））判斷規(guī)則則：DF統(tǒng)計計量>相相應(yīng)臨界界值，接接受，，序列非非平穩(wěn)；；DF統(tǒng)計計量<相相應(yīng)臨界界值，拒拒絕，，序列平平穩(wěn)。若DF檢檢驗表明明序列非非平穩(wěn)，，且至少少為一階階單整，，則進一一步對序序列的一一階差分分序列重重復(fù)以上上的檢驗驗過程。。31迪克－福福勒方法法（DF檢驗））實際應(yīng)用用回歸式可可寫成其中此時：DF統(tǒng)計計量：和和（Eviews軟件中中給出的的檢驗統(tǒng)統(tǒng)計量））實證案例例：上上證指數(shù)數(shù)的DF檢驗在情況一一下分別別對水平平序列和和一階差差分序列列進行檢檢驗注：Eviews軟件件中給出出的臨界界值稱為為麥金農(nóng)農(nóng)臨界值值（Mackinnoncriticalvalue），是是麥金農(nóng)農(nóng)教授用用模擬方法計算算所得。。32迪克－福福勒方法法（DF檢驗））情況二真實的數(shù)數(shù)據(jù)產(chǎn)生生過程：：回歸模型型：DF統(tǒng)計計量計算算方法與與判斷規(guī)規(guī)則與情情況1相相同，臨臨界值見見相應(yīng)附附表。33迪克－福福勒方法法（DF檢驗））對于聯(lián)合假設(shè)設(shè)，可用OLS計算算F統(tǒng)計計量其中和和分分別為為有約束束的和無無約束的的殘差平平方和，，此時對應(yīng)應(yīng)的臨界界值不是是標準的的F分布布表，也也是極限限分布的的模擬計計算值，，見附表表7。判斷：若若大于臨臨界值，，則拒絕絕零假設(shè)設(shè)，序列列平穩(wěn)。。在Eviews軟件中中給出F統(tǒng)計量量及其p值。34迪克－福福勒方法法（DF檢驗））與情況一一類似，，回歸模模型也可可變?yōu)榇藭r假設(shè)設(shè)變?yōu)镕檢驗的的聯(lián)合假假設(shè)DF統(tǒng)計計量也相相應(yīng)地變變化。實例35迪克－福福勒方法法（DF檢驗））情況三真實的數(shù)數(shù)據(jù)產(chǎn)生生過程：：回歸模型型：假設(shè)：F檢驗的的聯(lián)合假假設(shè)：與前兩種種情況類類似，回回歸模型型可變?yōu)闉榱慵僭O(shè)設(shè)和DF統(tǒng)統(tǒng)計量量也發(fā)發(fā)生相相應(yīng)變變化。。實例36增廣的的迪克克－福福勒檢檢驗(ADF檢檢驗)原理：：在上上述DF檢檢驗的的三種種情況況中，，假定定干擾擾項為為白噪噪聲，，無序序列相相關(guān)；；如果放放松這這一假假設(shè)，，允許許其序序列相相關(guān)，，在原原DF方法法中加加入滯滯后的的自回回歸項項，可可消除除模型型中可可能存存在的的序列列相關(guān)關(guān)給估估計值值帶來來的有有偏的的影響響，即即為ADF檢驗驗。37增廣的的迪克克－福福勒檢檢驗(ADF檢檢驗)情況一一回歸模型：：假設(shè)：統(tǒng)計量＝統(tǒng)計量＝臨界值分布布見附表，，判斷規(guī)則則同DF檢檢驗。38增廣的迪克克－福勒檢檢驗(ADF檢驗)同樣，模型型也可變?yōu)闉榇藭r零假設(shè)設(shè)：統(tǒng)計量變?yōu)闉閷嵗?9增廣的迪克克－福勒檢檢驗(ADF檢驗)情況二回歸模型假設(shè)F檢驗的聯(lián)聯(lián)合假設(shè)ADF統(tǒng)計計量和F統(tǒng)統(tǒng)計量臨界界值見附表表。同樣，模型型也可變?yōu)闉?0增廣的迪克克－福勒檢檢驗(ADF檢驗)情況三回歸模型假設(shè)F檢驗的聯(lián)聯(lián)合假設(shè)同樣模型可可變?yōu)?1增廣的迪克克－福勒檢檢驗(ADF檢驗)注：ADF檢驗中滯滯后差分項項的個數(shù)p的選選擇應(yīng)在盡盡量小的情情況下，消消除干擾項項中存在的的自相關(guān)。。當p取某某個值時，，ADF回回歸式中DW統(tǒng)計量量較低，則則說明存在在自相關(guān)，，此時應(yīng)增增加p值，，直至干擾擾項的自相相關(guān)消失。。另外，在在進行DF檢驗時，，若發(fā)現(xiàn)殘殘差項存在在自相關(guān)，，則應(yīng)進行行相應(yīng)模型型的ADF檢驗。42菲利普斯－－配榮檢驗驗(PP檢檢驗)PP檢驗針針對的是回回歸模型的的干擾項存存在異方差差或序列相相關(guān)的現(xiàn)象象?；貧w模型的的三種情況況及檢驗規(guī)規(guī)則與DF檢驗相同同情況一：情況二：情況三：43菲利普斯－－配榮檢驗驗(PP檢檢驗)PP檢驗統(tǒng)統(tǒng)計量的計計算是在DF檢驗統(tǒng)統(tǒng)計量的形形式上加以以修正。與與DF統(tǒng)計量對應(yīng)應(yīng)的是PP的統(tǒng)計量Z，與DF統(tǒng)計量對應(yīng)應(yīng)的是PP的統(tǒng)計量Z。臨界值分分布表與DF檢驗對對應(yīng)情況的的分布表一一樣。在Eviews軟件中中給出了對對應(yīng)的臨界界值。實例44總結(jié)對三種檢驗驗方法的小小結(jié)DF檢驗、、ADF檢檢驗和PP檢驗都是是基于統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的極極限分布。。DF方法適適用于干擾擾項為白噪噪聲過程的的情況，ADF與PP方法分分別適用于于干擾項存存在序列相相關(guān)以及異異方差的情情況。在ADF和和PP方法法之間不存存在一般的的選擇原則則。在實際際中，常根根據(jù)模型的的結(jié)構(gòu)選擇擇。如果在在模型中包包含滯后差差分項，用用ADF較較合理，如如果模型只只描述了Xt和Xt-1的關(guān)系，對對隨機干擾擾項只作了了較一般的的假設(shè)，則則可選用PP方法。。45總結(jié)結(jié)對三三種種回回歸歸模模型型的的選選擇擇一般般地地，，如如果果待待檢檢驗驗序序列列在在0均均值值上上下下波波動動，，則則應(yīng)應(yīng)選選擇擇情情況況一一的的回回歸歸模模型型，，如如果果序序列列具具有有非非零零均均值值，，則則應(yīng)應(yīng)采采用用情情況況二二的的模模型型（（包包含含位位移移項項）），，如如果果序序列列有有明明顯顯的的時時間間趨趨勢勢，，則則可可采采用用情情況況三三（（包包含含位位移移項項和和趨趨勢勢項項））。。另另外外，，還還要要從從經(jīng)經(jīng)濟濟學(xué)學(xué)的的角角度度考考慮慮數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)生生成成過過程程可可能能有有的的形形式式，，如如果果在在經(jīng)經(jīng)濟濟意意義義上上得得不不出出明明確確的的結(jié)結(jié)論論，，則則應(yīng)應(yīng)采采用用較較為為一一般般的的回回歸歸模模型型進進行行單單位位根根檢檢驗驗。。465.4一一元元時時間間序序列列分分析析方方法法的的應(yīng)應(yīng)用用：：市市場場弱弱式式有有效效假假說說的的檢檢驗驗市場場弱弱式式有有效效，，指指現(xiàn)現(xiàn)行行的的股股票票價價格格已已經(jīng)經(jīng)充充分分反反應(yīng)應(yīng)了了歷歷史史交交易易數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)所所蘊蘊含含的的信信息息，，即即在在t時時刻刻的的股股票票價價格格包包含含了了t時時刻刻及及以以前前的的所所有有信信息息。。而而t到到t+1時時刻刻的的新新信信息息是是隨隨機機的的，，因因此此t+1時時刻刻的的價價格格等等于于t時時刻刻的的股股價價水水平平加加上上一一個個隨隨機機擾擾動動項項，，即即：：為白白噪噪聲聲過過程程47由于于弱弱式式有有效效市市場場假假說說強強調(diào)調(diào)證證券券價價格格的的變變化化是是一一個個隨隨機機的的、、不不可可預(yù)預(yù)測測的的過過程程，，因因此此無無法法用用過過去去的的股股價價來來預(yù)預(yù)測測未未來來的的股股價價，，對對于于該該假假說說的的檢檢驗驗通通常常用用下下面面的的兩兩個個方方面面著著手手進進行行：：（1））以以價價格格為為研研究究對對象象檢檢驗驗獨獨立立性性（2））以以收收益益率率為為研研究究對對象象檢檢驗驗獨獨立立性性485.4.1直直接接以以價價格格為為研研究究對對象象檢檢驗驗獨獨立立性性從統(tǒng)統(tǒng)計計檢檢驗驗的的角角度度看看，，就就是是看看股股價價序序列列在在不不同同時時點點是是否否存存在在自自相相關(guān)關(guān)性性，，如如果果存存在在自自相相關(guān)關(guān)性性，，那那么么過過去去的的股股價價就就對對未未來來的的股股價價有有影影響響，，存存在在這這種種股股價價序序列列的的市市場場就就不不是是弱弱式式有有效效市市場場。。對股票價格序序列相關(guān)性檢檢驗又可分為為三種方法：：49方法一：計算算并檢驗相隔隔k期的股價價的自相關(guān)系系數(shù)相隔k期的股股價的自相關(guān)關(guān)系數(shù)依次檢驗零假假設(shè)，，k=1，2，…，，m當時時，接受零假假設(shè)，即顯顯著著為0；否則則拒絕原假設(shè)設(shè)，認為前后后期股價存在在相關(guān)性，市市場不符合弱弱式有效的特特征。50方法二：建立立股價序列自自回歸模型，，檢驗系數(shù)的的顯著性如建立m階自自回歸模型：：若市場是弱式式有效的，則則股價未來價價格與歷史價價格不存在相相關(guān)性，也就就是說上式中中的參數(shù)與零零相比不應(yīng)該該有統(tǒng)計意義義上的顯著性性。方法三：價格格序列進行單單位根檢驗，，判斷是否符符合隨機游走走若市場是弱式式有效的，則則股價序列呈呈隨隨機游走特征征，也就是說說為為一階單整過過程。51例證：以2004年上證證指數(shù)的日收收盤價為研究究對象驗證上上海股市的弱弱式有效性1）用自相關(guān)關(guān)模型我們得到的自自相關(guān)模型參參數(shù)估計值為為：從上表看出，，在顯著水平平為0.05時，2004年上證指指數(shù)基本上不不存在顯著的的自相關(guān)性，，這表明上海海股票市場基基本上具備了了弱式有效性性。名稱滯后1天滯后2天滯后3天上證指數(shù)0.034632-0.0007310.04666152具體操作：打開EVIEWS軟件，，打開建好的的工作文件然后打開需要要的時間序列列點擊時間序列列窗口上的““Quick”在下拉菜單中中選取“EquationSpecification”在彈出的窗口口中輸入：“DP=C(1)*DP(-1)+C(2)*DP(-2)+C(3)*DP(-3)”回車即可532）用單位根根檢驗我們用單位根根檢驗，得到到的水平序列列與一階差分分序列的ADF值如下表表：上證指數(shù)序列列的單位根檢檢驗結(jié)果表明明，在10％％、5％和1％的顯著性性水平下，ADF值大于于所有的臨界界值，也就是是說上證指數(shù)數(shù)存在單位根根。我們進一一步對一階差差分序列進行行ADF檢驗驗，ADF值值小于所有的的臨界值，因因此認為一階階差分序列是是平穩(wěn)的。由由這兩個檢驗驗得出上證指指數(shù)是一階單單整，這表明明上海股票市市場達到了弱弱式有效。變量ADF1%5%10%D.W水平序列-1.0368-2.5742-1.9410-1.61642.0064一階差分序列-10.627-2.5743-1.9410-1.61641.999754具體操作：打開EVIEWS軟件，，打開建好的的工作文件然后打開需要要的時間序列列點擊時間序列列窗口上的““View””在下拉菜單中中選取“UnitRootTest”在彈出的窗口口中選擇合適適的參數(shù)，回回車即可555.4.2以以收益率為為研究對象檢檢驗獨立性除了對股票價價格或股票指指