二邏輯函數及其簡化課件

第二章邏輯函數及其簡化2.1邏輯代數2.1.1基本邏輯2.1.2基本邏輯運算2.1.3真值表與邏輯函數2.1.4邏輯函數相等2.1.5三個規(guī)則2.1.6常用公式2.1.7邏輯函數的標準形式2.2邏輯函數的簡化2.2.1公式化簡法2.2.2卡諾圖化簡法第二章邏輯函數及其簡化2.1邏輯代數作業(yè)：補2.1、補2.2、 2.1(1)(2)(3)、2.2(1)(2)、2.3(1)~(4)、2.4(1)(2)、2.5(1)(3)(10)、2.6(1) 2.7(1)、2.8(1)(3)(5) 2.9(1)~(8) 作業(yè)：第2章邏輯函數及其化簡布爾代數：

1849年，英國數學家喬治·布爾首先提出了描述客觀事物邏輯關系的數學方法.開關代數：

1938年，克勞德·香農將布爾代數應用到繼電器開關電路的設計。邏輯代數：隨著數字技術的發(fā)展，布爾代數成為數字邏輯電路的分析與設計的基礎。第2章邏輯函數及其化簡布爾代數：本章主要內容簡單介紹邏輯代數的基本公式、重要定理、常用公式。介紹邏輯函數及其表示方法。重點講述：應用邏輯代數簡化邏輯函數的方法－－代數法和卡諾圖法。本章主要內容簡單介紹邏輯代數的基本公式、重要定理、常用公式。2.1邏輯代數2.1.1基本邏輯在二值邏輯中，最基本的邏輯：與邏輯（邏輯乘)或邏輯、(邏輯加)、非邏輯。(邏輯反)、2.1邏輯代數2.1.1基本邏輯、定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。1、與邏輯FE

AB定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。1、與邏輯

真值表111100010000ABF功能表ABF斷斷滅斷閉滅閉斷滅閉閉亮FE

AB與邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A·B

真值表11110例：與邏輯關系可以得出這樣一種因果關系：只有當決定某一事件（如燈亮）的條件（如開關合上）全部具備時，這一事件（如燈亮）才會發(fā)生。這種因果關系稱為：與邏輯關系例：與邏輯關系圖與門的邏輯符號

實現與邏輯的單元電路稱為與門，其邏輯符號如圖所示。實現了F=A·B的功能。圖與門的邏輯符號實現與邏輯的單元電滅為0。定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈F

EAB2、或邏輯滅為0。定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈FEA111101011000ABF真值表亮亮亮功能表ABF斷斷斷閉閉斷閉閉滅F

EAB或邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A+B

1111010110或邏輯關系可得因果關系：只要在決定某一事件（如燈亮）的各種條件（如開關合上）中，有一個或幾個條件具備時，這一事件（如燈亮）就會發(fā)生。或邏輯關系

或門的邏輯符號

實現或邏輯的單元電路稱為或門，其邏輯符號如圖所示。實現了F=A+B的功能?；蜷T的邏輯符號實現或邏輯的單元電路稱為或門3、非邏輯FEAR1001AF真值表功能表AF斷亮閉滅非邏輯的邏輯表達式為通常稱A為原變量，為反變量。3、非邏輯FEAR1001AF真值表功能表A非邏輯關系可得因果關系：事件（如燈亮）發(fā)生的條件（如開關合上）具備時，事件（如燈亮）不會發(fā)生；反之，事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。非邏輯關系圖2-8非門邏輯符號

實現非邏輯的單元電路稱為非門，其邏輯符號如圖所示。實現了的功能。圖2-8非門邏輯符號實現非邏輯的單元電路上述三種基本邏輯可用邏輯代數來描述在邏輯代數中，用字母A、B、C、P…來表示邏輯變量，如：開關、燈這些邏輯變量在二值邏輯中只有0和1兩種取值，以代表邏輯變量的兩種不同的邏輯狀態(tài)。（表示開關的斷/開，燈的滅/亮）上述三種基本邏輯可用邏輯代數來描述2.1.2基本邏輯運算最基本的邏輯運算有三種：邏輯加、邏輯乘、邏輯非1.邏輯加（或運算）P=A+B意義：A或者B只要有一個為1，則函數值P就為1表示或邏輯關系，電路上用或門實現或運算2.1.2基本邏輯運算最基本的邏輯運算有三種：運算規(guī)則：0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝1一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A邏輯加的運算和二進制加法規(guī)則是不同的邏輯變量:用字母等標識符表示輸入取值：邏輯0和邏輯1僅表示相互對立的兩種邏輯狀態(tài)；不代表數值大小，運算結果：只有邏輯0、邏輯1兩種可能邏輯加運算規(guī)則：邏輯加的運算和二進制加法規(guī)則是不同的邏輯變量:用字2.邏輯乘（與運算）P=A·B意義：只有A和B都為1時，P才為1表示與邏輯關系，電路上用與門實現與運算2.邏輯乘（與運算）運算規(guī)則：一般形式：0·0＝0A·1=A0·1=0A·0=01·0=0A·A=A1·1=1邏輯乘運算規(guī)則：一般形式：邏輯乘3.邏輯非（非運算）意義：函數值為輸入變量的反表示非邏輯關系，電路上用非門實現非運算運算規(guī)則：一般形式：3.邏輯非（非運算）4.復合邏輯運算（1）與非邏輯表達式：先“與”運算，再“非”運算真值表：由真值表可見：只要輸入變量中有一個為0，輸出就為14.復合邏輯運算邏輯符號邏輯符號（2）或非邏輯表達式：先“或”，后“非”真值表：由真值表可見：只有輸入變量全為0，輸出才為1（2）或非邏輯（3）與或非邏輯(p18)表達式：順序：A、B“與”，C、D“與”，再“或”，“非”真值表：（3）與或非邏輯(p18)（4）同或邏輯和異或邏輯同或：A和B的值相同時，P才為1表達式：真值表：⊙（4）同或邏輯和異或邏輯⊙運算規(guī)則：一般形式：0⊙0=1A⊙0=0⊙1=0A⊙1=A1⊙0=0A⊙=01⊙1=1A⊙A=1同或邏輯運算規(guī)則：一般形式：同或邏輯異或：A和B取值相異時，P才為1表達式：真值表：異或：運算規(guī)則：一般形式：異或邏輯運算規(guī)則：一般形式：異或邏輯由上分析可見：同或與異或邏輯正好相反，因此：A⊙B=同或邏輯稱為：異或非由上分析可見：對于兩變量來說，若原變量相同，則取非后的反變量也相同，反之亦然。A⊙B=⊙對于兩變量來說，若原變量相同，則取非后的反變量也相同，反之亦若A和B相同，則必與B相異（A與相異），反之亦然。A⊙B=⊙B=A⊙若A和B相同，則必與B相異（A與相異），反之亦ABP001010111001表2-1-12

樓道燈開關狀態(tài)表和真值表開關A燈cdbdbcaa亮滅滅亮開關BabcdAB～圖2-1-6樓道燈開關示意圖求解給定邏輯命題的邏輯函數表達式。第一步：由邏輯命題列真值表。（0）（0）（0）（1）（1）（1）2.1.3真值表與邏輯函數(P20)ABP001010111001表2-1-12樓道燈開關狀態(tài)輸入變量取值為1用反變量表示;取值為0用原變量表示*方法一:(P21)挑出函數值為1的項將每個函數值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項將這些乘積項作邏輯加稱為與－或表達式方法二:(P21)挑出函數值為0的項將每個函數值為0的輸入變量取值組合寫成一個或項將這些或項作邏輯乘稱為或－與表達式ABP001010111001輸入變量取值為1用原變量表示;取值為0用反變量表示第二步：由真值表寫邏輯函數表達式。輸入變量取值為1用反變量表示;取值為0用原變量表示*方法一:例2-1(P22)

有A、B、C３個輸入信號，當３個輸入信號中有兩個或兩個以上為高電平時，輸出高電平，其余情況下，均輸出低電平。列出下列問題的真值表，并寫出描述該問題的邏輯函數表達式。表2-1-13

例2-1

真值表11111011110100011110001001000000PCBA解：根據題意可得到如表2-1-13所示的真值表：

“與-或”式:(取1值)“或-與”式：(取0值)例2-1(P22)例2-1(P22)有A、B、C３個輸2.1.4邏輯函數相等定義：如果函數F和函數G的任一組狀態(tài)組合都相同則稱：F和G是等值的/相等的記為：F=G2.1.4邏輯函數相等設有F1(A1A2……An)F2(A1A2……An)如果對應A1A2……An的任一組取值，F1和F2的值都相等，則稱F1和F2相等。計為F1＝F2。判斷兩個邏輯表達式是否相等的方法有：1、列表法（P23）

若邏輯函數F和G的真值表相同，則F＝G；反之，若F＝G，則它們具有相同的真值表。2、利用邏輯代數的公理；定理和規(guī)則證明。設有F1(A1A2……An)F2(A1A2……An)如例2－2設試證明：F=G所以：F=G即證明了：例2－2設F和G所具有的邏輯功能完全相同，但邏輯電路的結構形式不同。F和G所具有的邏輯功能完全相同，但邏輯電路的結構形式不同。邏輯代數中最基本的公式邏輯代數中最基本的公式二邏輯函數及其簡化課件二邏輯函數及其簡化課件二邏輯函數及其簡化課件以此推廣得到摩根律的一般形式:以此推廣得到摩根律的一般形式:調換律：同或、異或邏輯的特點還表現在變量的調換律同或調換律為：若A⊙B=C則必有:A⊙C=B,B⊙C=A異或調換律為:若則必有調換律：同或、異或邏輯的特點還表現在變量的調換律2.1.5三個規(guī)則1代入規(guī)則任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現變量A的地方都代之以一個邏輯函數F，則等式仍然成立因為邏輯函數和邏輯變量一樣，只有兩種可能的取值（0和1）所以代入規(guī)則是正確的。2.1.5三個規(guī)則1代入規(guī)則作用：可將基本等式中的變量用某一邏輯函數來替代，從而擴大了等式的應用范圍。例2－3已知等式A(B+E)=AB+AE，試證明將所有出現E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。注意：所有出現被代替變量的地方都代之以同一函數作用：2反演規(guī)則/互補規(guī)則/德·摩根定理將邏輯函數F中所有的

可得原函數F的反函數或稱為：補函數意義：運用反演規(guī)則可以較方便地求出反函數例2－4/例2－5（P26）注意：運算符號的先后順序互換+0110+2反演規(guī)則/互補規(guī)則/德·摩根定理互換+011例1：例2：(直接去掉反號)不屬于單個變量上的非號應保持不變。其實反演規(guī)則就是摩根律的推廣。例3：按反演規(guī)則可直接寫出：例1：例2：(直接去掉反號)不屬于單個變量上的非號應保持不變若用摩根律則先對原函數兩邊取非，得：二邏輯函數及其簡化課件3.對偶規(guī)則將邏輯函數F中所有的

可得原變量F的對偶式例如：注意：F的對偶式和F的反函數是不同的，求對偶式時不需要將原變量和反變量互換。注意：運算符號的先后順序互換0110++變量不變3.對偶規(guī)則互換0110++變量不變如果函數F=G，則F*=G*例如：F=A(B+C)G=AB+AC由式（2－1－35），可知F=G根據對偶規(guī)則，有F*=A+BCG*=(A+B)(A+C)由式（2－1－35’），可知:F*=G*本節(jié)式（2－1－25）～式（2－1－42）與式（2－1－25’）～式（2－1－42’）互為對偶式。因此，這些公式只需記憶一半即可。如果函數F=G，則F*=G*2.1.6常用公式證明：稱為：吸收律意義：如果兩個乘積項，除了公有因子（如A）外，不同因子恰好互補則這兩個乘積項可合并為一個由公有因子組成的乘積項根據對偶規(guī)則，有：2.1.6常用公式證明：意義：如果兩個乘積項，其中一個乘積項的部分因子（如AB中的A）恰好是另一個乘積項（如A）的全部，則該乘積項（AB）是多余的根據對偶規(guī)則，有：證明：證明：意義：如果兩個乘積項，其中一個乘積項恰好是另一個乘積項的補（如A），則該乘積項是多余的。根據對偶規(guī)則，有：證明：推論：意義:如果兩個乘積項中的部分因子恰好互補而這兩個乘積項中的其余因子（如B和C）都是第三乘積項中的因子，則這個第三乘積項是多余的。根據對偶規(guī)則，有：證明：推論：證明：2.1.7邏輯函數的標準形式1.最小項表達式邏輯函數的表達式不是唯一的如：p28:2-1-48式相同點：都是與－或表達式不同點：下式中每一個乘積項都包含了全部輸入變量，每個輸入變量或以原變量形式或以反變量形式在乘積項中出現，并且僅僅出現一次。這種包含了全部輸入變量的乘積項稱為：最小項2.1.7邏輯函數的標準形式1.最小項表達式最小項？包含了全部輸入變量的乘積項，只有一組變量取值才能使該乘積項的值為1，其余任何變量的取值都使該乘積項的值為0。即：包含了全部輸入變量的乘積項等于“1”的機會最小。例如：最小項？全部由最小項相加構成的與－或表達式稱為：最小項表達式標準與－或式標準積之和式

全部由最小項相加構成的與－或表達式稱為：包含n個變量的函數，共有2n個不同取值組合，有2n個最小項。例如：3個變量有23個最小項包含n個變量的函數，共有2n個不同取值組合，有2n個最小項。ABC最小項編號111m7

110m6

101m5

100m4

011m3

010m2

001m1

000m0

例如：3個變量有23個最小項ABC最小項編號111為了便于敘述和使用函數最小項表達式，對最小項編號：記為：mi給每個變量賦予一個二進制的位權值2i根據各個變量的位權值和變量取值求出對應的十進制號碼mi因此，函數的最小項表達式書寫起來將十分方便例如：為了便于敘述和使用函數最小項表達式，對最小項編號：記為：mi任何一個函數都可以變換成最小項表達式通常采用的方法是：將非標準與－或式中的每一個乘積項，利用將所缺的變量逐步補齊，展開成最小項表達式例補充：由真值表求最小項表達式例：任何一個函數都可以變換成最小項表達式ABCF00000010010101101001101111011110根據真值表可得：ABCF0000如果函數表達式不是一個簡單的與－或式則首先將其變換成與－或表達式，再展開成最小項表達式。如果函數表達式不是一個簡單的與－或式2.最大項表達式又稱為：標準或－與式標準和之積式最大項：包含全部變量的和項，每個變量僅出現一次（原變量或反變量）。例如：2.最大項表達式最大項？包含全部輸入變量的和項，只有一組變量取值才能使該和項的值為0，其余任何變量的取值都使該和項的值為1。即：最大項（和項）等于“1”的機會最大。例如：最大項？ABC

最小項編號最大項編號111m7M7110m6M6101m5M5100m4M4011m3M3010m2M2001m1M1000m0M0如：3變量的最大項ABC最小項編號最大項n個變量的函數，共有2n個最大項。只有一組變量取值使其為0，而對于其余(2n-1)組變量取值均使最大項為1n個變量的函數，共有2n個最大項。為了便于敘述和使用函數最大項表達式可以對最大項編號，記為：Mi對最大項編號？給每個變量賦予一個二進制的位權值2i根據各個變量的位權值和變量取值求出對應的十進制號碼。例如：因此，函數的最大項表達式書寫起來將十分方便。例如：為了便于敘述和使用函數最大項表達式任何一個函數都可以變換成最大項表達式通常采用的方法是：將非標準或－與式中的每一個和項，將所缺的變量逐步補齊，展開成最大項表達式任何一個函數都可以變換成最大項表達式如果函數表達式不是一個簡單的或－與式則首先將其變換成或－與表達式，再展開成最大項表達式例如：補充：由真值表求最大項表達式例如：如果函數表達式不是一個簡單的或－與式

真值表ABCF00000101001110010111011111001100最大項表達式是真值表中使函數值為0的各個最大項相與。

結論：任一個邏輯函數可用最小項表達式表示，也可以用最大項表達式表示。若將一個n變量函數的最小項表達式改寫為最大項表達式時，其最大項的編號都不是最小項的編號。

真值表ABCF0001最大2.最小項與最大項之間的關系

變量數相同，編號相同的最小項和最大項之間存在互補關系，即例如：2.最小項與最大項之間的關系變量數相同，編

2.2邏輯函數的簡化P32化簡的目的:降低成本；提高可靠性；提高工作速度。最簡:(1)乘積項(或邏輯相加項)最少。(2)每項中變量數最少化簡方法:(1)公式法(利用公理;定理和規(guī)則)(2)卡諾圖法(3)列表法2.2邏輯函數的簡化P32化簡的目的:降低成本；提高2.2.1公式法（代數法）運用邏輯代數的基本公式和常用公式化簡邏輯函數1.合并項法：2.吸收法：3.消去法：4.配項法：2.2.1公式法（代數法）運用邏輯代數的基本公式和常用公式一、與或式化簡1、合并項法，利用定理例1：例2：3、消去法，利用定理例32、吸收法，利用定理一、與或式化簡1、合并項法，利用定理例1：例2：3、消去法，4、配項法，利用及例4：例5:4、配項法，利用及例4：例5:例1:

二、或與式化簡P33例1:二、或與式化簡P33例2:例2:2.2.2圖解法（卡諾圖法）1.什么是卡諾圖卡諾圖：將真值表轉換成方格圖的形式,用卡諾圖表示最小項變量的取值組合按循環(huán)碼的規(guī)律來排列?？ㄖZ圖法：利用卡諾圖對邏輯函數進行化簡2.2.2圖解法（卡諾圖法）1.什么是卡諾圖將n變量的全部最小項各用一個小方格表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。一、用卡諾圖表示最小項F1BA001m0m2m1m31F2CAB01101101m0m2m4m6m1m3m5m7000和1組成的二進制數對應最小項的編號將n變量的全部最小項各用一個小方格表示，并使具有邏輯相鄰的最

CDABF30001000110101111m0m4m8m12m1m5m9m13m2m6m10m14m3m7m11m15CDABF30001000110101111m0CDABF40001111000011110m0m8m16m24m2m10m18m26m4m12m20m28m6m14m22m30CDABF40001111000011110m1m7m15m23m3m9m17m25m5m11m19m27m7m13m21m31E=0E=1CDABF40001111000011110m0m8m16mF5DEABC00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m4m20m24m28m8m5m9m13m17m21m25m29m6m10m14m18m22m26m30m16m7m11m15m19m23m27m31m12F5DEABC000111100000010110101102.用卡諾圖表示邏輯函數的方法（1）把邏輯函數表達式變換成最小項表達式再填圖將構成邏輯函數的最小項在卡諾圖上相應的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數的卡諾圖。（2）直接觀察法填圖：2.用卡諾圖表示邏輯函數的方法（2）直接觀察法填圖：例1:0001101101A1111BC例1:0001101101A1111BCABCD0000010111111010111111111F例2:直接觀察法填圖：ABCD0000010111111010111111111F3.利用卡諾圖合并最小項的規(guī)律由于卡諾圖變量取值組合按循環(huán)碼的規(guī)律排列，使處在相鄰位置的最小項都只有一個變量取值不同，因此，在卡諾圖中處于相鄰位置的最小項均可以合并成一項，合并項由沒有變化的那些變量組成3.利用卡諾圖合并最小項的規(guī)律用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟：（1）作出所要化簡函數的卡諾圖（2）圈出所有沒有相鄰項的孤立1格主要項（3）找出只有一種圈法，即只有一種合并可能的1格，從它出發(fā)把相鄰1格圈起來（包括2i個1格），構成主要項（4）余下沒有被覆蓋的1格均有兩種或兩種以上合并的可能，可以選擇其中一種合并方式加圈合并，直至使所有1格無遺漏地都至少被圈一次，而且總圈數最少。用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟：圖2-19最小項合并規(guī)律圖2-19最小項合并規(guī)律0001101101ABCF4111110001101101ABCF4111110001101101BCAF31111110001101101BCAF31111110001101101ABCF61111110001101101ABCF6111111ABCD0000010111111010111111111F例2:ABCD0000010111111010111111111F0001101101ABCF711111111F7=10001101101ABCF711111111F7=1

ABCDF8000100011010111111111111ABCDF8000100011010111111111

CDAB000100011010111111111111F9CDAB00010001101011111111111

CDAB000100011010111111111111F10CDAB00010001101011111111111【例2-2】

求的最簡與或式。

解：①畫出F的K圖。如圖2-21所示。圖2-21例2-2的卡諾圖【例2-2】求的最簡與或式。解：①②畫圈化簡函數。③寫出最簡與或式。本例有兩種圈法，都可以得到最簡式。按圖2-21(a)圈法：按圖2-21(b)圈法：該例說明，邏輯函數的最簡式不是惟一的。②畫圈化簡函數。按圖2-21(b)圈法：該例說明，幾個概念主要項/素項/本原蘊含項：定義：在卡諾圖中，將2i個相鄰1格進行合并，合并圈不能再擴大，這樣圈得的合并項稱為主要項。幾個概念舉例：舉例：必要項/實質素項/實質本原蘊含項：定義：主要項圈中至少有一個“特定”的1格沒有被其他主要項覆蓋。舉例：必要項/實質素項/實質本原蘊含項：多余項/冗余項：定義：主要項圈中所包含的1格均被其他的主要項所覆蓋。舉例：多余項多余項/冗余項：多余項用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟：（1）作出要化簡函數的卡諾圖（2）圈出所有沒有相鄰項的孤立1格主要項（3）找出只有一種圈法，即只有一種合并可能的1格，從它出發(fā)把相鄰1格圈起來（包括2i個1格），構成主要項（4）余下沒有被圈的1格均有兩種或兩種以上合并的可能，可以選擇其中一種合并方式加圈合并，直至使所有1格無遺漏地都至少被圈一次，而且總圈數最少。用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟：畫圈合并時，應遵循以下原則（化簡準則）：（1）每個圈盡可能大，圈內包含的1格數應為2i（2）所有1格至少被圈過一次（3）每個圈中至少有一個1格為本圈所獨有（不被其他圈所覆蓋）畫圈合并時，應遵循以下原則（化簡準則）：在不同的圈法中，應選取采用最少的圈數、將余下的最小項全部圈入的圈法。在不同的圈法中，應選取采用最少的圈數、將余下的最小項全部圈入對卡諾圖中所有的0格進行加圈合并，可以得到：最簡或－與式。原理和化簡方法及步驟與圈1格方法相同。區(qū)別為：由2i個0格構成的圈，由圈內取值不變的變量相或（相加項）來表示（以原變量表示變量取值0，以反變量表示變量取值1）所有的相加項圈相與（乘），構成最簡或－與式。對卡諾圖中所有的0格進行加圈合并，可以得到：最簡或－與式。CDAB00000101111110101111111110000000F(A,B,C,D)=∏M(3,7,11,12,13,14,15)解:例：求函數F的最簡或－與式CDAB00000101111110101111111110(2)、圈“0”所得的邏輯函數表達式

ABCDF1300010001101011111111111100000000(2)、圈“0”所得的邏輯函數表達式ABCDF1300非完全描述的邏輯函數：具有任意項的函數合理地利用任意項，常能使邏輯函數的表達式進一步簡化。在化簡時，任意項可以作為1格，也可以作為0格?；嗊^程中，已對任意項賦予了確定的輸出值。例2－17化簡函數(p43)非完全描述的邏輯函數：××××××111000111100001cdab111110111000111100001cdab×11××1110×××(a)

不利用任意項(b)

利用任意項解填寫卡諾圖，畫包圍圈化簡結果為：××××××111000111100001cdab11111合理利用任意項，能使邏輯函數的表達式進一步化簡。說明：任意項產生的輸出在原函數中沒有定義。但化簡后，任意項的輸出均有了定義：圈過的×輸出定義為1，沒圈的×輸出定義為0。由于任意項的輸入不會出現，所以對函數結果沒有影響。合理利用任意項，能使邏輯函數的表達式進一步化簡。說明：任意

第二章邏輯函數及其簡化2.1邏輯代數2.1.1基本邏輯2.1.2基本邏輯運算2.1.3真值表與邏輯函數2.1.4邏輯函數相等2.1.5三個規(guī)則2.1.6常用公式2.1.7邏輯函數的標準形式2.2邏輯函數的簡化2.2.1公式化簡法2.2.2卡諾圖化簡法第二章邏輯函數及其簡化2.1邏輯代數作業(yè)：補2.1、補2.2、 2.1(1)(2)(3)、2.2(1)(2)、2.3(1)~(4)、2.4(1)(2)、2.5(1)(3)(10)、2.6(1) 2.7(1)、2.8(1)(3)(5) 2.9(1)~(8) 作業(yè)：第2章邏輯函數及其化簡布爾代數：

1849年，英國數學家喬治·布爾首先提出了描述客觀事物邏輯關系的數學方法.開關代數：

1938年，克勞德·香農將布爾代數應用到繼電器開關電路的設計。邏輯代數：隨著數字技術的發(fā)展，布爾代數成為數字邏輯電路的分析與設計的基礎。第2章邏輯函數及其化簡布爾代數：本章主要內容簡單介紹邏輯代數的基本公式、重要定理、常用公式。介紹邏輯函數及其表示方法。重點講述：應用邏輯代數簡化邏輯函數的方法－－代數法和卡諾圖法。本章主要內容簡單介紹邏輯代數的基本公式、重要定理、常用公式。2.1邏輯代數2.1.1基本邏輯在二值邏輯中，最基本的邏輯：與邏輯（邏輯乘)或邏輯、(邏輯加)、非邏輯。(邏輯反)、2.1邏輯代數2.1.1基本邏輯、定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。1、與邏輯FE

AB定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。1、與邏輯

真值表111100010000ABF功能表ABF斷斷滅斷閉滅閉斷滅閉閉亮FE

AB與邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A·B

真值表11110例：與邏輯關系可以得出這樣一種因果關系：只有當決定某一事件（如燈亮）的條件（如開關合上）全部具備時，這一事件（如燈亮）才會發(fā)生。這種因果關系稱為：與邏輯關系例：與邏輯關系圖與門的邏輯符號

實現與邏輯的單元電路稱為與門，其邏輯符號如圖所示。實現了F=A·B的功能。圖與門的邏輯符號實現與邏輯的單元電滅為0。定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈F

EAB2、或邏輯滅為0。定義：開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈FEA111101011000ABF真值表亮亮亮功能表ABF斷斷斷閉閉斷閉閉滅F

EAB或邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A+B

1111010110或邏輯關系可得因果關系：只要在決定某一事件（如燈亮）的各種條件（如開關合上）中，有一個或幾個條件具備時，這一事件（如燈亮）就會發(fā)生。或邏輯關系

或門的邏輯符號

實現或邏輯的單元電路稱為或門，其邏輯符號如圖所示。實現了F=A+B的功能?；蜷T的邏輯符號實現或邏輯的單元電路稱為或門3、非邏輯FEAR1001AF真值表功能表AF斷亮閉滅非邏輯的邏輯表達式為通常稱A為原變量，為反變量。3、非邏輯FEAR1001AF真值表功能表A非邏輯關系可得因果關系：事件（如燈亮）發(fā)生的條件（如開關合上）具備時，事件（如燈亮）不會發(fā)生；反之，事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。非邏輯關系圖2-8非門邏輯符號

實現非邏輯的單元電路稱為非門，其邏輯符號如圖所示。實現了的功能。圖2-8非門邏輯符號實現非邏輯的單元電路上述三種基本邏輯可用邏輯代數來描述在邏輯代數中，用字母A、B、C、P…來表示邏輯變量，如：開關、燈這些邏輯變量在二值邏輯中只有0和1兩種取值，以代表邏輯變量的兩種不同的邏輯狀態(tài)。（表示開關的斷/開，燈的滅/亮）上述三種基本邏輯可用邏輯代數來描述2.1.2基本邏輯運算最基本的邏輯運算有三種：邏輯加、邏輯乘、邏輯非1.邏輯加（或運算）P=A+B意義：A或者B只要有一個為1，則函數值P就為1表示或邏輯關系，電路上用或門實現或運算2.1.2基本邏輯運算最基本的邏輯運算有三種：運算規(guī)則：0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝1一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A邏輯加的運算和二進制加法規(guī)則是不同的邏輯變量:用字母等標識符表示輸入取值：邏輯0和邏輯1僅表示相互對立的兩種邏輯狀態(tài)；不代表數值大小，運算結果：只有邏輯0、邏輯1兩種可能邏輯加運算規(guī)則：邏輯加的運算和二進制加法規(guī)則是不同的邏輯變量:用字2.邏輯乘（與運算）P=A·B意義：只有A和B都為1時，P才為1表示與邏輯關系，電路上用與門實現與運算2.邏輯乘（與運算）運算規(guī)則：一般形式：0·0＝0A·1=A0·1=0A·0=01·0=0A·A=A1·1=1邏輯乘運算規(guī)則：一般形式：邏輯乘3.邏輯非（非運算）意義：函數值為輸入變量的反表示非邏輯關系，電路上用非門實現非運算運算規(guī)則：一般形式：3.邏輯非（非運算）4.復合邏輯運算（1）與非邏輯表達式：先“與”運算，再“非”運算真值表：由真值表可見：只要輸入變量中有一個為0，輸出就為14.復合邏輯運算邏輯符號邏輯符號（2）或非邏輯表達式：先“或”，后“非”真值表：由真值表可見：只有輸入變量全為0，輸出才為1（2）或非邏輯（3）與或非邏輯(p18)表達式：順序：A、B“與”，C、D“與”，再“或”，“非”真值表：（3）與或非邏輯(p18)（4）同或邏輯和異或邏輯同或：A和B的值相同時，P才為1表達式：真值表：⊙（4）同或邏輯和異或邏輯⊙運算規(guī)則：一般形式：0⊙0=1A⊙0=0⊙1=0A⊙1=A1⊙0=0A⊙=01⊙1=1A⊙A=1同或邏輯運算規(guī)則：一般形式：同或邏輯異或：A和B取值相異時，P才為1表達式：真值表：異或：運算規(guī)則：一般形式：異或邏輯運算規(guī)則：一般形式：異或邏輯由上分析可見：同或與異或邏輯正好相反，因此：A⊙B=同或邏輯稱為：異或非由上分析可見：對于兩變量來說，若原變量相同，則取非后的反變量也相同，反之亦然。A⊙B=⊙對于兩變量來說，若原變量相同，則取非后的反變量也相同，反之亦若A和B相同，則必與B相異（A與相異），反之亦然。A⊙B=⊙B=A⊙若A和B相同，則必與B相異（A與相異），反之亦ABP001010111001表2-1-12

樓道燈開關狀態(tài)表和真值表開關A燈cdbdbcaa亮滅滅亮開關BabcdAB～圖2-1-6樓道燈開關示意圖求解給定邏輯命題的邏輯函數表達式。第一步：由邏輯命題列真值表。（0）（0）（0）（1）（1）（1）2.1.3真值表與邏輯函數(P20)ABP001010111001表2-1-12樓道燈開關狀態(tài)輸入變量取值為1用反變量表示;取值為0用原變量表示*方法一:(P21)挑出函數值為1的項將每個函數值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項將這些乘積項作邏輯加稱為與－或表達式方法二:(P21)挑出函數值為0的項將每個函數值為0的輸入變量取值組合寫成一個或項將這些或項作邏輯乘稱為或－與表達式ABP001010111001輸入變量取值為1用原變量表示;取值為0用反變量表示第二步：由真值表寫邏輯函數表達式。輸入變量取值為1用反變量表示;取值為0用原變量表示*方法一:例2-1(P22)

有A、B、C３個輸入信號，當３個輸入信號中有兩個或兩個以上為高電平時，輸出高電平，其余情況下，均輸出低電平。列出下列問題的真值表，并寫出描述該問題的邏輯函數表達式。表2-1-13

例2-1

真值表11111011110100011110001001000000PCBA解：根據題意可得到如表2-1-13所示的真值表：

“與-或”式:(取1值)“或-與”式：(取0值)例2-1(P22)例2-1(P22)有A、B、C３個輸2.1.4邏輯函數相等定義：如果函數F和函數G的任一組狀態(tài)組合都相同則稱：F和G是等值的/相等的記為：F=G2.1.4邏輯函數相等設有F1(A1A2……An)F2(A1A2……An)如果對應A1A2……An的任一組取值，F1和F2的值都相等，則稱F1和F2相等。計為F1＝F2。判斷兩個邏輯表達式是否相等的方法有：1、列表法（P23）

若邏輯函數F和G的真值表相同，則F＝G；反之，若F＝G，則它們具有相同的真值表。2、利用邏輯代數的公理；定理和規(guī)則證明。設有F1(A1A2……An)F2(A1A2……An)如例2－2設試證明：F=G所以：F=G即證明了：例2－2設F和G所具有的邏輯功能完全相同，但邏輯電路的結構形式不同。F和G所具有的邏輯功能完全相同，但邏輯電路的結構形式不同。邏輯代數中最基本的公式邏輯代數中最基本的公式二邏輯函數及其簡化課件二邏輯函數及其簡化課件二邏輯函數及其簡化課件以此推廣得到摩根律的一般形式:以此推廣得到摩根律的一般形式:調換律：同或、異或邏輯的特點還表現在變量的調換律同或調換律為：若A⊙B=C則必有:A⊙C=B,B⊙C=A異或調換律為:若則必有調換律：同或、異或邏輯的特點還表現在變量的調換律2.1.5三個規(guī)則1代入規(guī)則任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現變量A的地方都代之以一個邏輯函數F，則等式仍然成立因為邏輯函數和邏輯變量一樣，只有兩種可能的取值（0和1）所以代入規(guī)則是正確的。2.1.5三個規(guī)則1代入規(guī)則作用：可將基本等式中的變量用某一邏輯函數來替代，從而擴大了等式的應用范圍。例2－3已知等式A(B+E)=AB+AE，試證明將所有出現E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。注意：所有出現被代替變量的地方都代之以同一函數作用：2反演規(guī)則/互補規(guī)則/德·摩根定理將邏輯函數F中所有的

可得原函數F的反函數或稱為：補函數意義：運用反演規(guī)則可以較方便地求出反函數例2－4/例2－5（P26）注意：運算符號的先后順序互換+0110+2反演規(guī)則/互補規(guī)則/德·摩根定理互換+011例1：例2：(直接去掉反號)不屬于單個變量上的非號應保持不變。其實反演規(guī)則就是摩根律的推廣。例3：按反演規(guī)則可直接寫出：例1：例2：(直接去掉反號)不屬于單個變量上的非號應保持不變若用摩根律則先對原函數兩邊取非，得：二邏輯函數及其簡化課件3.對偶規(guī)則將邏輯函數F中所有的

可得原變量F的對偶式例如：注意：F的對偶式和F的反函數是不同的，求對偶式時不需要將原變量和反變量互換。注意：運算符號的先后順序互換0110++變量不變3.對偶規(guī)則互換0110++變量不變如果函數F=G，則F*=G*例如：F=A(B+C)G=AB+AC由式（2－1－35），可知F=G根據對偶規(guī)則，有F*=A+BCG*=(A+B)(A+C)由式（2－1－35’），可知:F*=G*本節(jié)式（2－1－25）～式（2－1－42）與式（2－1－25’）～式（2－1－42’）互為對偶式。因此，這些公式只需記憶一半即可。如果函數F=G，則F*=G*2.1.6常用公式證明：稱為：吸收律意義：如果兩個乘積項，除了公有因子（如A）外，不同因子恰好互補則這兩個乘積項可合并為一個由公有因子組成的乘積項根據對偶規(guī)則，有：2.1.6常用公式證明：意義：如果兩個乘積項，其中一個乘積項的部分因子（如AB中的A）恰好是另一個乘積項（如A）的全部，則該乘積項（AB）是多余的根據對偶規(guī)則，有：證明：證明：意義：如果兩個乘積項，其中一個乘積項恰好是另一個乘積項的補（如A），則該乘積項是多余的。根據對偶規(guī)則，有：證明：推論：意義:如果兩個乘積項中的部分因子恰好互補而這兩個乘積項中的其余因子（如B和C）都是第三乘積項中的因子，則這個第三乘積項是多余的。根據對偶規(guī)則，有：證明：推論：證明：2.1.7邏輯函數的標準形式1.最小項表達式邏輯函數的表達式不是唯一的如：p28:2-1-48式相同點：都是與－或表達式不同點：下式中每一個乘積項都包含了全部輸入變量，每個輸入變量或以原變量形式或以反變量形式在乘積項中出現，并且僅僅出現一次。這種包含了全部輸入變量的乘積項稱為：最小項2.1.7邏輯函數的標準形式1.最小項表達式最小項？包含了全部輸入變量的乘積項，只有一組變量取值才能使該乘積項的值為1，其余任何變量的取值都使該乘積項的值為0。即：包含了全部輸入變量的乘積項等于“1”的機會最小。例如：最小項？全部由最小項相加構成的與－或表達式稱為：最小項表達式標準與－或式標準積之和式

全部由最小項相加構成的與－或表達式稱為：包含n個變量的函數，共有2n個不同取值組合，有2n個最小項。例如：3個變量有23個最小項包含n個變量的函數，共有2n個不同取值組合，有2n個最小項。ABC最小項編號111m7

110m6

101m5

100m4

011m3

010m2

001m1

000m0

例如：3個變量有23個最小項ABC最小項編號111為了便于敘述和使用函數最小項表達式，對最小項編號：記為：mi給每個變量賦予一個二進制的位權值2i根據各個變量的位權值和變量取值求出對應的十進制號碼mi因此，函數的最小項表達式書寫起來將十分方便例如：為了便于敘述和使用函數最小項表達式，對最小項編號：記為：mi任何一個函數都可以變換成最小項表達式通常采用的方法是：將非標準與－或式中的每一個乘積項，利用將所缺的變量逐步補齊，展開成最小項表達式例補充：由真值表求最小項表達式例：任何一個函數都可以變換成最小項表達式ABCF00000010010101101001101111011110根據真值表可得：ABCF0000如果函數表達式不是一個簡單的與－或式則首先將其變換成與－或表達式，再展開成最小項表達式。如果函數表達式不是一個簡單的與－或式2.最大項表達式又稱為：標準或－與式標準和之積式最大項：包含全部變量的和項，每個變量僅出現一次（原變量或反變量）。例如：2.最大項表達式最大項？包含全部輸入變量的和項，只有一組變量取值才能使該和項的值為0，其余任何變量的取值都使該和項的值為1。即：最大項（和項）等于“1”的機會最大。例如：最大項？ABC

最小項編號最大項編號111m7M7110m6M6101m5M5100m4M4011m3M3010m2M2001m1M1000m0M0如：3變量的最大項ABC最小項編號最大項n個變量的函數，共有2n個最大項。只有一組變量取值使其為0，而對于其余(2n-1)組變量取值均使最大項為1n個變量的函數，共有2n個最大項。為了便于敘述和使用函數最大項表達式可以對最大項編號，記為：Mi對最大項編號？給每個變量賦予一個二進制的位權值2i根據各個變量的位權值和變量取值求出對應的十進制號碼。例如：因此，函數的最大項表達式書寫起來將十分方便。例如：為了便于敘述和使用函數最大項表達式任何一個函數都可以變換成最大項表達式通常采用的方法是：將非標準或－與式中的每一個和項，將所缺的變量逐步補齊，展開成最大項表達式任何一個函數都可以變換成最大項表達式如果函數表達式不是一個簡單的或－與式則首先將其變換成或－與表達式，再展開成最大項表達式例如：補充：由真值表求最大項表達式例如：如果函數表達式不是一個簡單的或－與式

真值表ABCF00000101001110010111011111001100最大項表達式是真值表中使函數值為0的各個最大項相與。

結論：任一個邏輯函數可用最小項表達式表示，也可以用最大項表達式表示。若將一個n變量函數的最小項表達式改寫為最大項表達式時，其最大項的編號都不是最小項的編號。

真值表ABCF0001最大2.最小項與最大項之間的關系

變量數相同，編號相同的最小項和最大項之間存在互補關系，即例如：2.最小項與最大項之間的關系變量數相同，編

2.2邏輯函數的簡化P32化簡的目的:降低成本；提高可靠性；提高工作速度。最簡:(1)乘積項(或邏輯相加項)最少。(2)每項中變量數最少化簡方法:(1)公式法(利用公理;定理和規(guī)則)(2)卡諾圖法(3)列表法2.2邏輯函數的簡化P32化簡的目的:降低成本；提高2.2.1公式法（代數法）運用邏輯代數的基本公式和常用公式化簡邏輯函數1.合并項法：2.吸收法：3.消去法：4.配項法：2.2.1公式法（代數法）運用邏輯代數的基本公式和常用公式一、與或式化簡1、合并項法，利用定理例1：例2：3、消去法，利用定理例32、吸收法，利用定理一、與或式化簡1、合并項法，利用定理例1：例2：3、消去法，4、配項法，利用及例4：例5:4、配項法，利用及例4：例5:例1:

二、或與式化簡P33例1:二、或與式化簡P33例2:例2:2.2.2圖解法（卡諾圖法）1.什么是卡諾圖卡諾圖：將真值表轉換成方格圖的形式,用卡諾圖表示最小項變量的取值組合按循環(huán)碼的規(guī)律來排列?？ㄖZ圖法：利用卡諾圖對邏輯函數進行化簡2.2.2圖解法（卡諾圖法）1.什么是卡諾圖將n變量的全部最小項各用一個小方格表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。一、用卡諾圖表示最小項F1BA001m0m2m1m31F2CAB01101101m0m2m4m6m1m3m5m7000和1組成的二進制數對應最小項的編號將n變量的全部最小項各用一個小方格表示，并使具有邏輯相鄰的最

CDABF30001000110101111m0m4m8m12m1m5m9m13m2m6m10m14m3m7m11m15CDABF30001000110101111m0CDABF40001111000011110m0m8m16m24m2m10m18m26m4m12m20m28m6m14m22m30CDABF40001111000011110m1m7m15m23m3m9m17m25m5m11m19m27m7m13m21m31E=0E=1CDABF40001111000011110m0m8m16mF5DEABC00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m4m20m24m28m8m5m9m13m17m21m25m29m6m10m14m18m22m26m30m16m7m11m15m19m23m27m31m12F5DEABC000111100000010110101102.用卡諾圖表示邏輯函數的方法（1）把邏輯函數表達式變換成最小項表達式再填圖將構成邏輯函數的最小項在卡諾圖上相應的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數的卡諾圖。（2）直接觀察法填圖：2.用卡諾圖表示邏輯函數的方法（2）直接觀察法填圖：例1:0001101101A1111BC例1:0001101101A1111BCABCD0000010111111010111111111F例2:直接觀察法填圖：ABCD0000010111111010111111111F3.利用卡諾圖合并最小項的