第5章-數值積分-計算方法-《代碼優(yōu)化》課件

第5章數值積分§1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式§2復合求積公式§3龍貝格(Romberg)積分方法第5章數值積分§1牛頓―柯特斯(Newton

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式

在一元函數的積分學中,我們已經熟知,若函數f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原?函數為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式

(5―1)

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式來求定積分。公式(5―1)雖然在理論上或在解決實際問題中都起了很大的作用,?但它并不能完全解決定積分的計算問題。因為定積分的計算常常會碰到以下三種?情況:(1)被積函數f(x)的原函數F(x)不易找到。許多很簡單的函?數,例如等,其原函數都不能用初等函數表示成有限形式。來求定積分。公式(5―1)雖然在理論(2)被積函數f(x)沒有具體的解析表達式。其函數關系由表格或圖形表?示,無法求出原函數。(3)盡管f(x)的原函數能表示成有限形式但其表達式相當復雜。例如定?積分的被積函數的原函數就比較復雜,從數值計算角度來?看,計算量太大。

(2)被積函數f(x)沒有具體的解析表如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊梯形,則得到左矩形公式

同樣可得到右矩形公式(5―2)(5―3)如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊圖5.1圖5.1如圖5.2,若用梯形的面積近似地代替曲邊梯形的面積,則得到計算定積分?的梯形公式(5―4)如圖5.3,若用拋物線代替曲線f(x),則可得到拋物線公式(?或辛普生公式)(5―5)如圖5.2,若用梯形的面積近似地代圖5.2圖5.3圖5.2圖5.31.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立數值積分公式最基本的思想是選取一個既簡單又有足夠精度的函數φ(x),?用φ(x)代替被積函數f(x),于是有現用第四章介紹的插值多項式Pn(x)來代替被積函數f(x),即有

取基點為等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b

1.1牛頓―柯特斯(Newto利用拉格朗日插值多項式(5―6)其中(5―7)利用拉格朗日插值多項式(5―6)其中(5―7這里yi=f(xi),對式(5―6)兩邊積分得這里yi=f(xi),對式(5―6)兩邊積分得為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f)為牛頓―柯特斯求積公式的余項。令x=x0+sh,0≤s≤n(5―8)(5―9)(5―10)我們稱為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f(5―11)(5―11)稱C(n)i為柯特斯求積系數。很顯然,當n=1時,可算得此時式(5―10)為(5―12)稱C(n)i為柯特斯求積系數。此時式(5―10這是梯形公式。當n=2時,可得于是(5―13)這是梯形公式。于是(5―13)這是拋物線公式。當n=3時,這是拋物線公式。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)類似地可分別求出n=4,5,…時的柯特斯系數,從而建立相應的求積公式。具體結果見表5―1。從表中可以看出,當n≤7時,柯特斯系數為正;從n≥8開始,柯特斯系數有正有負。因此,當n≥8時,誤差有可能傳播擴大,牛頓―柯特斯求積公式不宜采用。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)柯特斯系數C(n)i僅與n和i有關,與被積函數f(x)無關,且滿足(5―15)事實上,式(5―10)對f(x)=1是準確成立的?？绿厮瓜禂礐(n)i僅與n和i有關,例1試分別用梯形公式和拋物線公式計算積分解利用梯形公式利用拋物線公式例1試分別用梯形公式和拋物線公式計算積原積分的準確值原積分的準確值表5―1表5―11.2誤差估計現對牛頓―柯特斯求積公式所產生的誤差作一個分析。由式(5―9),牛頓―柯特斯求積公式的余項為易知,牛頓―柯特斯求積公式(5―10)對任何不高于n次的多項式是準確成立的。這是因為f(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡01.2誤差估計一般說來,若某個求積公式對于次數不高于m的多項式都準確成立(即Rn(f)≡0),而對于某一次數為m+1的多項式并不準確成立(即Rn(f)0),則稱這一求積公式的代數精確度為m。

牛頓―柯特斯求積公式的代數精確度至少為n。通常在基點個數相等的情況下,代數精確度愈高,求積公式就愈精確。定理1(梯形公式的誤差)設f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導數,則梯形求積公式的誤差為

一般說來,若某個求積公式對于次數不高由于ω1(x)=(x-a)(x-b)

證由式(5―9)知,梯形公式的余項為(5―16)由于證由式(5―9)知,梯形公式的余項為(在區(qū)間(a,b)內不變號,f″(ξ)是x的函數且在［a,b］上連續(xù),故根據積分第二中值定理參見有關《數學分析》教材中“一元函數積分學第二中值定理”。知,存在某一η∈(a,b)使在區(qū)間(a,b)內不變號,f″(定理2(拋物線公式的誤差)設f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導數,則拋物線公式的誤差為(5―17)證由式(5―9)知定理2(拋物線公式的誤差)設f(§2復合求積公式2.1復合梯形公式對于定積分(5―1),將積分區(qū)間［a,b］分成n個相等的子區(qū)間［xi,xi+1］,這里步長在每一個子區(qū)間［xi,xi+1］上使用梯形公式,則§2復合求積公式2.1復合梯相加后得(5―18)(5―19)若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得相加后得(5―18)(5―19)因而于是得到復合梯形公式(5―21)其余項為因而于是得到復合梯形公式(5―21)其余例2若用復合梯形公式計算積分問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數字解由余項(5―21)式則當0＜x＜1時,有因為又故例2若用復合梯形公式計算積分則當由于原積分的準確值具有一位整數,因此要使近似積分值有五位有效數字,只需取n滿足兩邊取對數得整理后得到由于原積分的準確值具有一位整數,因此2.2復合拋物線公式類似復合梯形公式的做法,把區(qū)間［a,b］分成n個相等的子區(qū)間［x2i,x2i+2］(i=0,1,…,n-1),設每個子區(qū)間上的中點為x2i+1(i=0,1,…,n-1),且

在每一個子區(qū)間［x2i,x2i+2］上利用拋物線公式得(5―22)2.2復合拋物線公式(5―22)相加后得(5―23)相加后得(5―23)圖5.4圖5.4圖5.4圖5.4若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則從而得到復合拋物線公式(5―24)若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則其余項為(5―25)復合拋物線公式的計算框圖見5.4。例3根據給出的函數的數據表5―2,分別用復合梯形公式和復合拋物線公式計算其余項為(5―25)復合拋物線公式的計算框圖見表5―2表5―2解用復合梯形公式,這里解用復合梯形公式,這里用復合拋物線公式可得而I的準確值為0.9460831…,可見用復合拋物線公式比用復合梯形公式精確。用復合拋物線公式可得而I的準確2.3變步長公式前面介紹的復合梯形公式和復合拋物線公式的步長都是預先確定的。它的主要缺點是事先很難估計出n的大小(或步長h的大小),使結果達到預先給定的精度。在實際計算中,我們常常借助于計算機來完成積分步長h的自動選擇,即采用變步長求積公式。具體地講,就是將步長逐次折半,反復利用復合求積公式,直到滿足精度要求為止。2.3變步長公式下面介紹變步長復合拋物線公式(變步長復合梯形公式留給讀者作為練習)。逐次將區(qū)間［a,b］分成21,22,…,2m等分,并按復合拋物線公式逐次計算積分得到S1,S2,…,Sm,而(5―26)其中再把每個子區(qū)間分成兩半,用下面介紹變步長復合拋物線公式(變步長圖5.5圖5.5圖5.5圖5.5作步長,按復合拋物線公式計算出積分的近似值S2m。對于相鄰兩次的積分近似值Sm、S2m,考察當｜S2m｜＜1當｜S2m｜≥1(5―27)設預先給定的精度為ε,若｜d｜＜ε則以S2m作為所要求的積分近似值,否則繼續(xù)將區(qū)間分半,利用復合拋物線公式求積分,直到滿足預給的精度為止。作步長,按復合拋物線公式計算出積分的§3龍貝格(Romberg)積分方法我們已經知道,當被積函數f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)時,要使得復合梯形公式或復合拋物線公式比較精確地代替定積分可將分點(即基點)加密,也就是將區(qū)間［a,b］細分,然后利用復合梯形公式或復合拋物線公式求積?！?龍貝格(Romberg)積分方法若用Tm表示把［a,b］作m等分并按復合梯形公式求積的結果,將每一小段再對分,令新的小段的長h′=h/2,則T2m與Tm之間有如下關系:(5―28)其中若用Tm表示把［a,b］作m等分并按另外,若用Sm表示把［a,b］分成m(偶數)個小段按復合拋物線公式計算的結果,那么只要把Sm中的m改為2m,h改為h′就有從Tm的定義可得到關系式(5―29)另外,若用Sm表示把［a,b］分成m我們再舉一個計算上半單位圓面積的例子(它的準確面積為π/2)?，F用內接正多邊形的逼近方法來計算。如圖5.6,圖(a)、圖(b)是用同樣的內接正多邊形計算上半單位圓的面積。圖(a)是用梯形方法計算其面積,圖(b)是用三角形方法計算其面積。我們再舉一個計算上半單位圓面積的例子圖5.6圖5.6設正多邊形邊數為n=2k,則由圖(b)利用三角形公式算得面積為同理設正多邊形邊數為n=2k,則由圖(b如果組合一下,就會得到更精確的結果,即同理如果組合一下,就會得到更精確的結果,再以類似方法組合得這樣繼續(xù)下去,其值越來越接近上半單位圓面積π/2。這種方法可以用到計算定積分再以類似方法組合得這樣繼續(xù)下為了推廣公式(5―29)和上述計算上半單位圓面積的組合方法,我們引進龍貝格求積算法。龍貝格求積算法本來是利用所謂外推法構造出的一種計算積分的方法。為了避免從外推引入而帶來理論上的麻煩,我們將直接從構造一個T數表開始。首先將［a,b］依次作20,21,22,…等分,記為了推廣公式(5―29)和上述計算上按復合梯形公式(5―20)算得的值相應地記為T(k)0(k=0,1,2,…);把按式(5―29)算得的S2m依次記為T(k)1(k=0,1,2,崐…),而這每一個S2m又理解為由T2m與Tm的線性組合得到的改進值,即我們可按照類似的方法繼續(xù)進行改進,也即由S2m與Sm的線性組合得到改進值,依次記為T(k)2(k=0,1,2,…),即

按復合梯形公式(5―20)算得的值這樣就可構造出一個數表(5-30)這樣就可構造出一個數表(5-30)其中除第0列(即最左一列)的T(k)0是按復合梯形公式計算外,其余各列都按下述規(guī)則(對m)(5―31)遞推地計算出來。箭頭表示計算流程。其計算步驟為:(1)將區(qū)間［a,b］等分為20,用梯形公式計算T(0)0,即其中除第0列(即最左一列)的T(k)(2)將區(qū)間［a,b］等分為21,用梯形公式算出T(1)0,即再由T(0)0,T(1)0根據公式(5―31)算出T(0)1,即若｜T(0)1-T(0)0｜＜ε,(ε為預給的精度)則停止計算;否則繼續(xù)往下計算;(2)將區(qū)間［a,b］等分為21,用梯形公(3)依次分別算出T(2)0,T(1)1,T(0)2,…,這一行地往下推算,每一行算完,就得驗證T(0)m(m=1,2,…)是否滿足預給的精度,即若則停止計算;否則繼續(xù)進行下一行。為了便于在計算機上實現,可運用下列公式編制程序:(3)依次分別算出T(2)0,T(1第5章--數值積分-計算方法-《代碼優(yōu)化》課件圖5.7圖5.7圖5.7圖5.7例4計算積分精確到10-4。解例4計算積分精確到10-4。第5章--數值積分-計算方法-《代碼優(yōu)化》課件第5章--數值積分-計算方法-《代碼優(yōu)化》課件第5章--數值積分-計算方法-《代碼優(yōu)化》課件于是由于實際上于是由于實際上第5章數值積分§1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式§2復合求積公式§3龍貝格(Romberg)積分方法第5章數值積分§1牛頓―柯特斯(Newton

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式

在一元函數的積分學中,我們已經熟知,若函數f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原?函數為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式

(5―1)

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式來求定積分。公式(5―1)雖然在理論上或在解決實際問題中都起了很大的作用,?但它并不能完全解決定積分的計算問題。因為定積分的計算常常會碰到以下三種?情況:(1)被積函數f(x)的原函數F(x)不易找到。許多很簡單的函?數,例如等,其原函數都不能用初等函數表示成有限形式。來求定積分。公式(5―1)雖然在理論(2)被積函數f(x)沒有具體的解析表達式。其函數關系由表格或圖形表?示,無法求出原函數。(3)盡管f(x)的原函數能表示成有限形式但其表達式相當復雜。例如定?積分的被積函數的原函數就比較復雜,從數值計算角度來?看,計算量太大。

(2)被積函數f(x)沒有具體的解析表如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊梯形,則得到左矩形公式

同樣可得到右矩形公式(5―2)(5―3)如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊圖5.1圖5.1如圖5.2,若用梯形的面積近似地代替曲邊梯形的面積,則得到計算定積分?的梯形公式(5―4)如圖5.3,若用拋物線代替曲線f(x),則可得到拋物線公式(?或辛普生公式)(5―5)如圖5.2,若用梯形的面積近似地代圖5.2圖5.3圖5.2圖5.31.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立數值積分公式最基本的思想是選取一個既簡單又有足夠精度的函數φ(x),?用φ(x)代替被積函數f(x),于是有現用第四章介紹的插值多項式Pn(x)來代替被積函數f(x),即有

取基點為等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b

1.1牛頓―柯特斯(Newto利用拉格朗日插值多項式(5―6)其中(5―7)利用拉格朗日插值多項式(5―6)其中(5―7這里yi=f(xi),對式(5―6)兩邊積分得這里yi=f(xi),對式(5―6)兩邊積分得為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f)為牛頓―柯特斯求積公式的余項。令x=x0+sh,0≤s≤n(5―8)(5―9)(5―10)我們稱為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f(5―11)(5―11)稱C(n)i為柯特斯求積系數。很顯然,當n=1時,可算得此時式(5―10)為(5―12)稱C(n)i為柯特斯求積系數。此時式(5―10這是梯形公式。當n=2時,可得于是(5―13)這是梯形公式。于是(5―13)這是拋物線公式。當n=3時,這是拋物線公式。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)類似地可分別求出n=4,5,…時的柯特斯系數,從而建立相應的求積公式。具體結果見表5―1。從表中可以看出,當n≤7時,柯特斯系數為正;從n≥8開始,柯特斯系數有正有負。因此,當n≥8時,誤差有可能傳播擴大,牛頓―柯特斯求積公式不宜采用。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)柯特斯系數C(n)i僅與n和i有關,與被積函數f(x)無關,且滿足(5―15)事實上,式(5―10)對f(x)=1是準確成立的。柯特斯系數C(n)i僅與n和i有關,例1試分別用梯形公式和拋物線公式計算積分解利用梯形公式利用拋物線公式例1試分別用梯形公式和拋物線公式計算積原積分的準確值原積分的準確值表5―1表5―11.2誤差估計現對牛頓―柯特斯求積公式所產生的誤差作一個分析。由式(5―9),牛頓―柯特斯求積公式的余項為易知,牛頓―柯特斯求積公式(5―10)對任何不高于n次的多項式是準確成立的。這是因為f(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡01.2誤差估計一般說來,若某個求積公式對于次數不高于m的多項式都準確成立(即Rn(f)≡0),而對于某一次數為m+1的多項式并不準確成立(即Rn(f)0),則稱這一求積公式的代數精確度為m。

牛頓―柯特斯求積公式的代數精確度至少為n。通常在基點個數相等的情況下,代數精確度愈高,求積公式就愈精確。定理1(梯形公式的誤差)設f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導數,則梯形求積公式的誤差為

一般說來,若某個求積公式對于次數不高由于ω1(x)=(x-a)(x-b)

證由式(5―9)知,梯形公式的余項為(5―16)由于證由式(5―9)知,梯形公式的余項為(在區(qū)間(a,b)內不變號,f″(ξ)是x的函數且在［a,b］上連續(xù),故根據積分第二中值定理參見有關《數學分析》教材中“一元函數積分學第二中值定理”。知,存在某一η∈(a,b)使在區(qū)間(a,b)內不變號,f″(定理2(拋物線公式的誤差)設f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導數,則拋物線公式的誤差為(5―17)證由式(5―9)知定理2(拋物線公式的誤差)設f(§2復合求積公式2.1復合梯形公式對于定積分(5―1),將積分區(qū)間［a,b］分成n個相等的子區(qū)間［xi,xi+1］,這里步長在每一個子區(qū)間［xi,xi+1］上使用梯形公式,則§2復合求積公式2.1復合梯相加后得(5―18)(5―19)若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得相加后得(5―18)(5―19)因而于是得到復合梯形公式(5―21)其余項為因而于是得到復合梯形公式(5―21)其余例2若用復合梯形公式計算積分問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數字解由余項(5―21)式則當0＜x＜1時,有因為又故例2若用復合梯形公式計算積分則當由于原積分的準確值具有一位整數,因此要使近似積分值有五位有效數字,只需取n滿足兩邊取對數得整理后得到由于原積分的準確值具有一位整數,因此2.2復合拋物線公式類似復合梯形公式的做法,把區(qū)間［a,b］分成n個相等的子區(qū)間［x2i,x2i+2］(i=0,1,…,n-1),設每個子區(qū)間上的中點為x2i+1(i=0,1,…,n-1),且

在每一個子區(qū)間［x2i,x2i+2］上利用拋物線公式得(5―22)2.2復合拋物線公式(5―22)相加后得(5―23)相加后得(5―23)圖5.4圖5.4圖5.4圖5.4若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則從而得到復合拋物線公式(5―24)若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則其余項為(5―25)復合拋物線公式的計算框圖見5.4。例3根據給出的函數的數據表5―2,分別用復合梯形公式和復合拋物線公式計算其余項為(5―25)復合拋物線公式的計算框圖見表5―2表5―2解用復合梯形公式,這里解用復合梯形公式,這里用復合拋物線公式可得而I的準確值為0.9460831…,可見用復合拋物線公式比用復合梯形公式精確。用復合拋物線公式可得而I的準確2.3變步長公式前面介紹的復合梯形公式和復合拋物線公式的步長都是預先確定的。它的主要缺點是事先很難估計出n的大小(或步長h的大小),使結果達到預先給定的精度。在實際計算中,我們常常借助于計算機來完成積分步長h的自動選擇,即采用變步長求積公式。具體地講,就是將步長逐次折半,反復利用復合求積公式,直到滿足精度要求為止。2.3變步長公式下面介紹變步長復合拋物線公式(變步長復合梯形公式留給讀者作為練習)。逐次將區(qū)間［a,b］分成21,22,…,2m等分,并按復合拋物線公式逐次計算積分得到S1,S2,…,Sm,而(5―26)其中再把每個子區(qū)間分成兩半,用下面介紹變步長復合拋物線公式(變步長圖5.5圖5.5圖5.5圖5.5作步長,按復合拋物線公式計算出積分的近似值S2m。對于相鄰兩次的積分近似值Sm、S2m,考察當｜S2m｜＜1當｜S2m｜≥1(5―27)設預先給定的精度為ε,若｜d｜＜ε則以S2m作為所要求的積分近似值,否則繼續(xù)將區(qū)間分半,利用復合拋物線公式求積分,直到滿足預給的精度為止。作步長,按復合拋物線公式計算出積分的§3龍貝格(Romberg)積分方法我們已經知道,當被積函數f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)時,要使得復合梯形公式或復合拋物線公式比較精確地代替定積分可將分點(即基點)加密,也就是將區(qū)間［a,b］細分,然后利用復合梯形公式或復合拋物線公式求積?！?龍貝格(Romberg)積分方法若用Tm表示把［a,b］作m等分并按復合梯形公式求積的結果,將每一小段再對分,令新的小段的長h′=h/2,則T2m與Tm之間有如下關系:(5―28)其中若用Tm表示把［a,b］作m等分并按另外,若用Sm表示把［a,b］分成m(偶數)個小段按復合拋物線公式計算的結果,那么只要把Sm中的m改為2m,h改為h′就有從Tm的定義可得到關系式(5―29)另外,若用Sm表示把［a,b］分成m我們再舉一個計算上半單位圓面積的例子(它的準確面積為π/2)?，F用內接正多邊形的逼近方法來計算。如圖5.6,圖(a)、圖(b)是用同樣的內接正多邊形計算上半單位圓的面積。圖(a)是用梯形方法計算其面積,圖(b)是用三角形方法計算其面積。我們再舉一個計算上半單位圓面積的例子圖5.6圖5.6設正多邊形邊數為n=2k,則由圖(b)利用三角形公式算得面積為同理