2023屆河北省滄州市部分學校高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆河北省滄州市部分學校高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式，求出，從而求出補集.【詳解】，解得：，所以，因為，所以．故選：D2．已知向量，，且，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【分析】利用平面向量共線的坐標表示，列式計算作答.【詳解】向量，，因，則，解得，所以．故選：A3．設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由對數(shù)運算法則進行計算.【詳解】．故選：A4．鯨是水棲哺乳動物，用肺呼吸，一般分為兩類：須鯨類，無齒，有鯨須；齒鯨類，有齒，無鯨須，最少的僅具1枚獨齒．已知甲是一頭鯨，則“甲的牙齒的枚數(shù)不大于1”是“甲為須鯨”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要性的定義及題設(shè)描述，判斷條件間的關(guān)系.【詳解】“甲的牙齒的枚數(shù)不大于1”，即甲無齒或有1枚獨齒，故甲可為須鯨類或齒鯨類，充分性不成立；“甲為須鯨”，即甲無齒，故甲的牙齒的枚數(shù)不大于1，必要性成立；所以“甲的牙齒的枚數(shù)不大于1”是“甲為須鯨”的必要不充分條件.故選：B5．復(fù)數(shù)的實部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘方運算、除法運算求出復(fù)數(shù)z即可作答.【詳解】因，則，所以的實部為．故選：D6．現(xiàn)有一個圓柱形空杯子，盛液體部分的底面半徑為2cm，高為8cm，用一個注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容積V（單位：ml）關(guān)于時間（單位：s）的函數(shù)解析式為，不考慮注液過程中溶液的流失，則當時，杯中溶液上升高度的瞬時變化率為（

）A．4cm/s B．5cm/sC．6cm/s D．7cm/s【答案】C【分析】由題設(shè)可得溶液上升高度，求導并代入求值即可.【詳解】由題設(shè)，杯子底面積為，則溶液上升高度，所以，則cm/s.故選：C7．設(shè)函數(shù)，給出下列結(jié)論：①若，，則；②存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱；③若在上有且僅有4個零點，則的取值范圍為；④，在上單調(diào)遞增.其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式化簡得，根據(jù)最值與周期的關(guān)系可判斷①,根據(jù)平移可判斷②，根據(jù)零點問題可判斷③,根據(jù)整體法驗證可判斷④.【詳解】因為，所以的最小正周期為.對于①，因為，故分別為最大、最小值，由于，所以的最小正周期，所以.故①錯誤；對于②，圖象變換后所得函數(shù)為，若其圖象關(guān)于原點對稱，則，，解得，，當時，，故②正確；對于③，當時，，因為在上有且僅有4個零點，所以，解得，故③正確；對于④，當時，，因為，所以，，所以在上單調(diào)遞增.故④正確.綜上，正確的個數(shù)為3.故選：C8．設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前19項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式采用累加法求得，可得的通項公式，采用裂項求和法，即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，則，故數(shù)列數(shù)列的前19項和為：，故選：D二、多選題9．命題，．命題q：每個大于2的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)．關(guān)于這兩個命題，下列判斷正確的是（

）A．p是真命題 B．，C．q是真命題 D．：存在一個大于2的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)【答案】ACD【分析】舉出例子，得到p是真命題，A正確；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改成任意，把結(jié)論否定，B正確；顯然C正確；全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定，D正確.【詳解】若，則，所以p是真命題，A正確；，，B錯誤；每個大于2的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，q是真命題，C正確；：存在一個大于2的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)，D正確.故選：ACD10．函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先根據(jù)當時，，時，，排除C，再舉出適當?shù)牡闹?，分別得到ABD三個圖象.【詳解】由題意知，則，當時，，，，當時，，，，所以的大致圖象不可能為C，而當為其他值時，A，B，D均有可能出現(xiàn)，不妨設(shè)，定義域為，此時A選項符合要求；當時，定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以B選項符合要求，當時，定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項符合要求.故選：ABD11．某正四棱臺的上、下底面邊長分別為和，若該四棱臺所有的頂點均在表面積為的球面上，則該四棱臺的體積可能為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出球的半徑，畫出直觀圖，分球心在正四棱臺的內(nèi)部和外部，兩種情況，求出正四棱臺的高，利用臺體體積公式求出答案.【詳解】設(shè)球的球心為，半徑為，則，解得：，上底面正方形的中心為，下底面正方形的中心為，若球心在四棱臺的內(nèi)部，連接，則為四棱臺的高，，，同理：，由勾股定理得：，，所以四棱臺的高，此時四棱臺的體積；若球心在四棱臺的外部，則四棱臺的高，此時四棱臺的體積．故選：BD12．已知定義在上的函數(shù)滿足：，，.當時，.則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得的圖像關(guān)于點對稱且時，，在結(jié)合性質(zhì)求解相應(yīng)選項的函數(shù)值即可得答案.【詳解】解：因為知定義在上的函數(shù)滿足：，，令得，解得，令得，所以，，的圖像關(guān)于點對稱，因為當時，，所以當時，，所以，，，.故選：ACD.三、填空題13．展開式中的常數(shù)項為______．【答案】【分析】根據(jù)二項式定理直接計算特定項即可.【詳解】展開式中的通項為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為，故答案為：.14．已知，若的最小值大于7，寫出滿足條件的一個a的值：__________．【答案】4（答案不唯一，只要即可）.【分析】根據(jù)基本不等式求出的最小值，得到不等式，得到，寫出一個符合要求的a的值即可.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，由，得．故答案為：4（答案不唯一，只要即可）.15．1796年，年僅19歲的高斯發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，要用尺規(guī)作出正十七邊形就要將圓十七等分，高斯墓碑上刻著如圖所示的圖案．設(shè)將圓十七等分后每等份圓弧所對的圓心角為，則的值為__________．【答案】【分析】利用正弦二倍角公式化簡得到，代入，結(jié)合誘導公式求出答案.【詳解】，因為，所以．故答案為：16．數(shù)學中處處存在著美，機械學家菜洛發(fā)現(xiàn)的菜洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.已知，點為上一點，則的最小值為______.【答案】【分析】利用平面向量的線性運算及向量數(shù)量積的運算用所求式子將表示為，再利用三角形的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)為的中點，為的中點，如圖所示，所以因為，所以，的最小值為.故答案為：四、解答題17．現(xiàn)有7位老師（含甲、乙）隨意排成一排拍照留念．(1)求甲、乙不相鄰的概率；(2)求甲、乙之間所隔人數(shù)為2的不同排法的種數(shù)．【答案】(1)；(2)960.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用不相鄰問題插空法，結(jié)合古典概率求解作答.（2）根據(jù)給定條件，取除甲乙外的2人排在甲乙之間，再利用相鄰問題列式計算作答.【詳解】（1）7位老師（含甲、乙）隨意排成一排拍照留念的試驗有個基本事件，它們等可能，甲、乙不相鄰的的事件A含有的基本事件數(shù)為，所以甲、乙不相鄰的概率.（2）從除甲乙外的5位老師中任取2人排在甲乙之間有種，排在甲乙之間的兩位老師與甲乙一起視為一個整體，同余下3位老師作全排列有種，甲乙的排列有種，由分步乘法計數(shù)原理得,所以甲、乙之間所隔人數(shù)為2的不同排法的種數(shù)為960．18．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點．(1)求EF的長度；(2)求直線EF與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出的坐標和，從而求出EF的長度；（2）求出平面的法向量，利用公式求出直線EF與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，故，故．（2）因為，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．因為，設(shè)直線與平面所成角為，所以．故直線與平面所成角的正弦值為．19．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程．(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由導數(shù)求出斜率、切點坐標可得答案；（2）求出，分，，討論可得答案.【詳解】（1）當時，，則，∴，∴，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，,當時，由得或，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，由恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，由得或，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上可知：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；20．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求，并求數(shù)列的最大項．【答案】(1)證明見解析；(2)，274.【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用等差數(shù)列的定義計算、推理作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合錯位相減法求出，再借助數(shù)列單調(diào)性求解作答.【詳解】（1）依題意，，，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，則，則，于是得，則，所以，令，則，當時，，當時，，則當時，，所以數(shù)列的最大項為274．21．“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設(shè)霍爾頓在一塊平面四邊形的麥田里成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，都為一個定值，請你證明霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值；(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關(guān)關(guān)系，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值．【答案】(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）在和中，利用余弦定理即可計算推理作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積定理列出函數(shù)關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)最值求解作答.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，即，在中，，即，因此，即，所以．（2）顯然，，于是得，由（1）知，因此，在中，，在中，，則，由，得，即有，從而當時，，所以的最大值是．22．已知函數(shù).(1)若的最大值為，求；(2)若存在，使得函數(shù)有3個零點，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，確定最值，即可求得答案；（2）設(shè)，求出其導數(shù)，分類討論a的取值范圍，說明當時不合題意，當時，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，說明存在，使得函數(shù)有3個零點，進而求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題意的定義域為，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，故的最大值為，故，解得；（2）設(shè)，則，設(shè)，則，若，則，方程至多有2個不相等的實數(shù)解，不符合題意．若，則在上單調(diào)遞減，取時，，而，故不妨設(shè)，則當時，，遞增，當時，，遞減，此時方程至多有2個不相等的實數(shù)解，不符合題意；若，令，解得，當時，，遞增，當時，，遞減，由，解得，當時，因為，所以存在唯一實數(shù)使得，令，當時，，遞增，當時，，遞減，故，即，則，所以存在唯一的使得，此時，