行列式的來(lái)源及應(yīng)用

YibinUniversity本科生畢業(yè)論文題 目 行列式的來(lái)源及應(yīng)用二級(jí)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名 謝艷紅 學(xué)號(hào) 年級(jí)2010級(jí)指導(dǎo)教師 劉敏職稱(chēng)教授教務(wù)處制表2014年5月3日行列式的來(lái)源及應(yīng)用作者:謝艷紅(宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院10級(jí)勵(lì)志班四川宜賓644000)

指導(dǎo)老師:劉敏摘要:本文從行列式的來(lái)源及行列式的應(yīng)用兩個(gè)方面展開(kāi)探討.本文首先根據(jù)歷史上各位數(shù)學(xué)家對(duì)行列式進(jìn)行研究的先后順序,介紹了行列式的來(lái)源和行列式的發(fā)展歷史;然后通過(guò)例題展示了行列式在解線性方程組,向量空間相關(guān)理論,特征值與特征向量的求法,微分中值定理以及解析幾何等方面的應(yīng)用.關(guān)鍵字:線性方程組向量空間解析幾何范得蒙行列式引言:行列式是高等代數(shù)課程中重要的內(nèi)容之一,而且它作為一個(gè)基礎(chǔ)工具,在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.從古至今,有許多位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家對(duì)行列式以及行列式的應(yīng)用進(jìn)行了嘔心瀝血的研究,取得了令人矚目的成就,這在行列式的發(fā)展史上具有重要意義.本文重點(diǎn)展示了行列式的應(yīng)用.行列式的應(yīng)用十分廣泛,在高等代數(shù)課程中有許多內(nèi)容與行列式有關(guān),許多問(wèn)題更是需要借助行列式這一基礎(chǔ)工具才能解決.而行列式在初等代數(shù),數(shù)學(xué)分析以及解析幾何中的應(yīng)用也越來(lái)越多,運(yùn)用行列式可以更為方便和快速的解決部分難題.對(duì)于考研的同學(xué)來(lái)說(shuō),清楚而靈活地掌握行列式應(yīng)用方法,可以在考研過(guò)程中達(dá)到事半功倍的效果.1、行列式的來(lái)源行列式和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性線性方程組研究而引入和發(fā)展的.行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來(lái)的,他在1683年寫(xiě)了一部叫做《解伏題之法》的著作,意思是”解行列式問(wèn)題的方法”,書(shū)里對(duì)行列式的概念和它的展開(kāi)已經(jīng)有了清楚的敘述.歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國(guó)數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一-萊布尼茲(Leibnitz,1693年).他在研究線性方程組的解法時(shí),開(kāi)始用指標(biāo)的系統(tǒng)集合來(lái)表示線性方程組的系數(shù),并得到現(xiàn)在稱(chēng)為結(jié)式的一個(gè)行列式.大約在1729年馬克勞林開(kāi)始用行列式的方法解含有24個(gè)未知數(shù)的線性方程組,還使用了現(xiàn)在所稱(chēng)的克萊姆法則.克萊姆在1750年發(fā)表了《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》，把這個(gè)法則表示出來(lái),這是解線性方程組的重要基本公式.1764年，貝祖(Bezout)證明了系數(shù)行列式等于零是方程組有非零解的條件.這些關(guān)于行列式的早期工作大都是為了解方程組而利用行列式,以求得緊湊簡(jiǎn)單的表達(dá)式.對(duì)行列式理論做專(zhuān)門(mén)研究(不單純作為工具)的第一人是范德蒙德(Vandermonde).1772年,他建立了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的方法,就對(duì)行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而言,他是這門(mén)理論的奠基人.拉普拉斯在1772年的論文《對(duì)積分和世界體系的探討》中,證明了范德蒙德提出的一些規(guī)則,并推廣了他的展開(kāi)行列式的方法,用第r行中所含的元素和它們的余子式的集合來(lái)展開(kāi)行列式,這個(gè)方法現(xiàn)在仍以他的名字來(lái)命名.這就是關(guān)于行列式著名的拉普拉斯展開(kāi)定理?德國(guó)數(shù)學(xué)家雅克比(Jacobi)也于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論.另一個(gè)研究行列式的是法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家柯西,他大大發(fā)展了行列式的理論,他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法,與此同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改造并證明了拉普拉斯的展開(kāi)定理.2、行列式的應(yīng)用行列式在解線性方程組中的應(yīng)用我們知道行列式最早來(lái)源于解線性方程組,那么在解線性方程組時(shí)就不得不提到一個(gè)重要的法則一克萊姆法則?克萊姆法則給出了僅用行列式解n元線性方程組的方法，在理論上有重要價(jià)值.用克萊姆法則解線性方程組如果n元線性方程組ax+axH Fax=b111 122 Inn1ax+axH Fax=bv21 1 22 2 2nn2的系數(shù)行列式ax的系數(shù)行列式axHaxH…Hax=bn1 1n2 2nnnnaa ?…a1112Inaa ?…aD=2i222n豐0aa ?…an1n2nn則方程組存在唯一解x.=善,j=1,2,…,n,其中Dj(j=1,2,…,n)是將D的第j列的元D=16=12D=16=12豐02764a…aba …aii1,j-1 .1 1,j+1 InD=:ja::::…aba …anln,j-1 n n,j+1 nn例1[1]求解線性方程組xHxHxHx=1,1234xH2x+3x+4x=1,v1234xH4x+9x+16x=1,1234xH8x+27x+64x=1.1234素?fù)Q成彳,勺，…,匕的行列式，即:解這個(gè)方程組的方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等,且有1111所以可以用克萊姆法則求解,計(jì)算得到16=12,D=16=12,D=D=D2342764所以x=1,x=x=x=0.1 2 3 4應(yīng)用行列式來(lái)判斷齊次線性方程組解的情況對(duì)于n元齊次線性方程組ax+axH Fax=0111 122 1nnax+axF Fax=0v211 222 2nnax+axF Fax=0n11 n22 nnn①齊次線性方程組G）必有解，這是因?yàn)橹辽俅嬖谝唤M零解x=x=…=x=0,1 2 n②當(dāng)系數(shù)行列式D豐0時(shí)，齊次線性方程組6）僅有唯一零解,③當(dāng)系數(shù)行列式D=0時(shí)，齊次線性方程組6）有無(wú)數(shù)個(gè)解（非零解）.例2切九取何值時(shí)，線性方程組"G-九）x-2x+4x=0,v2x1+（3-九”+x3=0, 有非零解，有唯一解?x+x+6-=0,1 2 3解該方程組的系數(shù)行列式1-X-2 41-XX-3 41-XX-34D=2 3-X1c+(-1〉-J2 12 1-X1r+(-2)k2 301-X2X-11 1 1-X1 0 1-X101-X=(1-X)3F(X-3)2九-1)-4(1-X)=-X(X-2)X-3)①當(dāng)X=0或X=2或X=3時(shí)，D=0.此時(shí)方程組有非零解.②當(dāng)k豐0且Xh2且Xh3時(shí)，D豐0.此時(shí)方程組有唯一零解.例3□證明齊次線性方程組TOC\o"1-5"\h\z3x+4x-5x+7x=0,

v1 2 3 4vv2x-3xF3x-2x=0,< 12 3 4v4xF11x-13xF16x=0,

12347x-2x+x+3x=0.1 2 3 4有非零解.證明:該齊次線性方程組的系數(shù)行列式A34-573-1-573-1-510-40-60IA=2-33-2203-220302030=0411-13164-2-13164-2-1320-10-1507-2137-1137-11107-1110

所以該齊次線性方程組有非零解.小結(jié):當(dāng)線性方程組的方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)相等且系數(shù)行列式不等于零時(shí),可以運(yùn)用行列式這一重要的工具通過(guò)各種靈活多樣的方法來(lái)求解,代替了原來(lái)通過(guò)消元法求解的復(fù)雜性和局限性,降低了解題的難度.行列式在證明向量組的線性相關(guān)性中的應(yīng)用向量的線性相關(guān)性在高等代數(shù)中有十分重要的地位,一般按照定義法來(lái)判定比較麻煩,難度較高,轉(zhuǎn)換為與向量組相聯(lián)系的系數(shù)行列式,通過(guò)求行列式的值,即可判斷向量組的線性相關(guān)性.2.2.1向量組的線性相關(guān)性當(dāng)a,a，…,a是Rn中的向量時(shí)，要判斷一個(gè)向量組a,a，…,a線性相關(guān)還是無(wú)關(guān),即判斷2s12s以x,x,…,x為未知量的方程組xa+xa+…+xa二0是否有非零解，也就是以12s1122ssa,a，…,a為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組是否只有零解.即a,a，…,a線性相關(guān)12s12sor（a,a，…，a）<s1 2s例4b］已知向量組（2,1,1,1）（2,1,a,a）（3,2,1,a）（4,3,2,1）線性相關(guān)，并且a豐1,求a.解:因?yàn)檫@四個(gè)向量線性相關(guān),所以以他們?yōu)榱邢蛄康男辛惺綖榱?1因?yàn)椋?2a11因?yàn)椋?2a1=（a—1）2a—1）=02又因?yàn)閍豐1,所以a=2.2.2.2向量組的線性無(wú)關(guān)性 （ ）例5田設(shè)t,t，…,t是互不相同的數(shù),r<n.證明：a=1,t，…,tn-1?i=1,2，…,r12r iii是線性無(wú)關(guān)性的.證明:假設(shè)ka+ka+???+ka二0,則有11 22 rrk+k+ +k=01 2 rtk+1k+?…+1k=0 /\J11 22 rr ???（3丿tn—ik+1n—ik+ +1n—ik=01 1 2 2 rr當(dāng)r=n時(shí),方程組（3）的未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同,且系數(shù)行列式11…1D=t1t2?…tr是范德蒙行列式.tn—11tn—12???tn—1r

又t,t，…,t互不相同，所以由范得蒙行列式的性質(zhì)知D主0.從而方程組（3）有唯一零解.12r即a,a，…,a線性無(wú)關(guān).12r當(dāng)r<n時(shí)，即a,a，…,a線性無(wú)關(guān).12r當(dāng)r<n時(shí)，令1111P=(,t,t2,…,tr-Jrrrr由上面方法可以證明P1，卩2,…,卩「線性無(wú)關(guān)P=(,t,t2,…,tr-Jrrrr由上面方法可以證明P1，卩2,…,卩「線性無(wú)關(guān)，又a,a,12…,a是卩，卩，…,卩的延長(zhǎng)向量,r1 2r所以a,a，…,a線性無(wú)關(guān).1 2r例6M設(shè)向量組a,a,a線性無(wú)關(guān),則（）也線性無(wú)關(guān).123（A）a+a,a+a,a-a1 2 2 3 3 1(B)a+a,a+a,a+2a+a1 2 2 3 1 2 3(C)a+2a,2a+3a,3a+a1 2 2 3 3 1(D)a+a+a,2a-3a+22a,3a+5a-5a1 2 3 1 2 3 1 2 3解:首先a）選項(xiàng)第二個(gè)向量減去第一個(gè)向量就得到第三個(gè)向量，所以線性相關(guān).6）選項(xiàng)第一、二個(gè)向量相加得到第三個(gè)向量,所以線性相關(guān)?所以排除（A）、（B），只需判斷（C）選項(xiàng)是否線性相關(guān).(a+2a,2a+3a,3a+a)=1(a,a,a123101100220=22-2=12豐003303 3(1所以2L01[0可逆于是r(a+2a,2a+3a,3a+a)=1 2 2 3 3 13丿!■/2W「嘰3=3,所以Q組向量線性無(wú)關(guān).小結(jié):判斷一個(gè)向量組是否線性相關(guān)有很多種方法,有時(shí)可利用行列式來(lái)判斷其系數(shù)組成的齊次線性方程組解的情況,可以間接得出向量組的線性相關(guān)性.行列式在求解特征值與特征向量中的應(yīng)用利用行列式可以快速求得一個(gè)矩陣的特征值與特征向量.例7【例7【4]求矩陣A=-43100的特征值與特征向量.2丿-1-九 1解:A-1-九 1解:A的特征多項(xiàng)式為IA-九日=—4 3—九1 000 =（2—九）（一九》2—九'-310'(100、當(dāng)九1=2時(shí)，解方程組（A-2E）x=0,由A-2E=-410T010i1 0 0丿i1 0 0丿所以A的特征值為九廣2,九2巳二1（0['-210、(101、1時(shí)，解方程組(A-E)x=0,由A-E=-420T012i1 0 1丿、0 0 0丿得基礎(chǔ)解系P=0.所以cp（c豐0）是對(duì)應(yīng)于九=2的全部特征向量.11111當(dāng)九=九23得基礎(chǔ)解系p=2得基礎(chǔ)解系p=2(-1]—2?所以c2pl1丿2（c2豐0）是對(duì)應(yīng)于y二1的全部特征向量.例8例8[4]求矩陣A=-3 5l3 -33的特征值與特征向量.-1丿333 =-6+九)2—九》-1-九-1-九3解:A的特征多項(xiàng)式為|A-^E\= —3 5―九3 -3所以A的特征值為九1=-1，九2"3=2(0 3 3'(1-1 0、當(dāng)九1=-1時(shí)，解方程組(A+E)x=0,由A+E=-3 6 3T011、3 -30?、00 0丿

得基礎(chǔ)解系p=1.所以cp（C豐0）是對(duì)應(yīng)于九=-1的全部特征向量11111<-1丿'-33r11112時(shí)，解方程組（A-2E）x=0,由A-2E=-3331丿3T000<3-3-3丿<000丿當(dāng)九=九23（11得基礎(chǔ)解系（11得基礎(chǔ)解系p=1210丿p=0.所以cp+cp（cC為不同時(shí)為零的常數(shù)）是對(duì)應(yīng)于九=九九=九23二2的全部特征向量.設(shè)81，82,83,84是四維線性空間卜的一組基?線性變換a在這組基下的矩陣為:r5-2r5-2-431-3I-10-1123-3I-10-1123-392112丿-5-2-7丿G)求a在基耳=8+28+8+8耳=281+382+8耳33=83^4=84.下的矩陣.6）求a的特征值與特征向量.解:G）因?yàn)榻薪?G）因?yàn)榻?^4）=（81，82,83，84）01丿0丿丿0丿1丿(8,8,8,8)X1'-32001r5-2-431r12001r006-512-1003-1-32230000-54-3125=00731-110111029-22-2<3-201丿廠10311-7丿<1001丿<005-2丿12X-1AX==B（2）因?yàn)榫€性變換a的特征多項(xiàng)式為所以線性變換a在基⑴小川4下的矩陣為:|XE-|XE-B=-65九-72

-55-432

九+2所以線性變換◎的特征值為九=九=0,九=1,九=2.12342線性變換◎的屬于特征值0的線性無(wú)關(guān)的特征向量為￡=28+38+8,g=-8-￡+￡TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 3 2 1 2 4.線性變換◎的屬于特征值1的線性無(wú)關(guān)的特征向量為￡=38+8+8-28.3 1 2 3 4線性變換◎的屬于特征值1的線性無(wú)關(guān)的特征向量為￡=-48-28+8+68.4 1 2 3 4小結(jié):求出基礎(chǔ)解系后,并不代表全部特征向量,特征向量是基礎(chǔ)解系的非零線性組合.行列式在微分中值定理中的應(yīng)用微分中值定理是數(shù)學(xué)分析的重要知識(shí)點(diǎn),行列式在拉格朗日中值定理以及柯西中值定理中的應(yīng)用可以幫助我們更好的掌握該部分的內(nèi)容.行列式在拉格朗日中值定理中的應(yīng)用例9【4］設(shè)函數(shù)f滿(mǎn)足條件：1f在閉區(qū)間ta,b］上連續(xù)(2)f在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)￡，使得f'《)='b-a證明：我們可以構(gòu)造行列式輔助型函數(shù)來(lái)證明定理因fC)在L,b］上連續(xù)，在(a,b因fC)在L,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)設(shè)0(x)=bf(b)1xf(x)1a0'(x)=b1f(a)ff'((b￡))所以,0(x)在L,b］上連續(xù),在a0'(x)=b1f(a)ff'((b￡))f抵)-fQ0,所以廣住)=f第-f“)“0行列式在柯西中值定理中的應(yīng)用例10【4］若G)函數(shù)f與g都在閉區(qū)間L,b］上連續(xù),6)函數(shù)f與g都在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f'與g'都在(a,b)內(nèi)不同時(shí)為零,gQhg(b)gOfo證明:設(shè)0'gOfo證明:設(shè)0'O=g(a)f(a)g(b)f(b)由于0(x)是f(x)g(x)的多項(xiàng)式函數(shù)，從而在la,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且利用行列式的性質(zhì)易見(jiàn)Q(a)=?(b)，故由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)gg(a,b)g'(x)f'(x)使得0'￡)=0,0'Cx)=g(a)f(a)g(b)f(b)行列式在解析幾何中的應(yīng)用行列式在平面幾何和三維空間幾何中都有十分廣泛的應(yīng)用,下面將分別從這兩方面來(lái)探討行列式的應(yīng)用.2.5.1行列式在平面幾何中的應(yīng)用三線共點(diǎn):對(duì)于平面內(nèi)三條互不平行的直線,我們可以利用行列式判斷它們是否共點(diǎn).L:ax+L:ax+by+c=0i i iL:ax+by+c=0相交于2 2 2L:ax+by+c=03 3 3 3a1點(diǎn)的充要條件是a2a3b1b2b3=0三點(diǎn)共線:我們還可以利用行列式判斷平面內(nèi)三點(diǎn)是否共線.平面內(nèi)三點(diǎn)PWP，Qgy2)，Rgy3)在一條直線的充要條件是x1x1x2x3y

y

y3例11［4］平面上給出三條不重合的直線:L:ax+by+c=0TOC\o"1-5"\h\z1 1 1L:ax+by+c=02 2 2L:ax+by+c=03 3 3a1a2a3c1a1a2a3c1c2c3=0,則這三條直線不能組成三角形.證明:設(shè)的交點(diǎn)為叫,y1),因?yàn)閍1a2ab1b2b3c1c2=0，將第一列乘以t，第二列乘以y］，全都加到a1第三列，得a2a3b1ba1第三列，得a2a3b1b2b3ax+by+c11111ax+by+c21 21 2ax+by+c31 31 3=0因?yàn)榻?在L1,L2上，所以ax+by+ciiiii+c=02x+byi3iab0aiii=ab0a2222abax+by+c333i 3i 3a1a2b=0b2an-

a2L1丄2平行，若a3%+b3叮c3二山P(^1，yi)也在L3上,所以L,L,L交于一點(diǎn),無(wú)論何種情形,L,L,L這三條直線都不能組成三角形.1 2 3 1 2 3例12[4]設(shè)A(x,y),B(x,y)是平面上兩個(gè)不同的點(diǎn)，證明經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B的直線方程是1122xyxyixy2證明:設(shè)直線方程為：ax+ay+a二0…（4）i23這里ai，a2,a3不全為零?由于A，B在直線上，故它們滿(mǎn)足方程(4)，帶入得:ax+ay+a=0ii2i3ax+ay+a=0i2 22 3將(4)，(5)將(4)，(5)合并得到方程組<ax+ay+a=0…幺）ii2i3ax+ay+a=0i2 22 3這是一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)ai，a2,篤的齊次線性方程組?由于ai，a2,a3不全為零，所以◎有非零解.于是方程組(于是方程組(6)的系數(shù)行列式等于零，即xyixiyii=0?..（7）x2y2i凡在直線上的點(diǎn)必滿(mǎn)足G)，反之，所有滿(mǎn)足G)的點(diǎn)必在經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線上.因此經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,Bxyi的直線方程是 xiyii=0.xyi22

行列式在三維空間幾何中的應(yīng)用例13⑷設(shè)A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z)是幾何空間中不在同一直線上的三點(diǎn)，證111222333明經(jīng)過(guò)A,B,C的平面方程為xyz1xyz1111=0xyz1222x3y3z31證明:設(shè)平面方程為 罕+a2y+a3Z+a4-0…這里ai,a2,a3,a4不全為零由于A，BC在平面上故它們滿(mǎn)足方程3帶入得ax+ay+az+a=0TOC\o"1-5"\h\z11 21 31 4<ax+ay+az+a=0…12 22 32 4ax+ay+az+a=012 22 33