機(jī)械CAD-CAM(第二版)機(jī)械CAD-CAM(第二版)第4章三維建模技術(shù)課件

第4章三維建模技術(shù)4.1概述4.2線框建模4.3曲面建模4.4實(shí)體建模4.5特征建模第4章三維建模技術(shù)4.1概述4.1概述

1．幾何建模

拓?fù)湫畔⑹侵敢粋€(gè)物體的拓?fù)湓兀旤c(diǎn)、邊和表面）的數(shù)量、類型以及相互之間的鄰接關(guān)系。拓?fù)湓刂g可以采用九種拓?fù)潢P(guān)系表示，如圖4-1所示。4.1概述

1．圖4-1拓?fù)潢P(guān)系圖4-1拓?fù)潢P(guān)系2．幾何建模技術(shù)的發(fā)展

在三維造型階段，幾何建模技術(shù)經(jīng)歷了三次技術(shù)革命。20世紀(jì)60年代，在二維造型基礎(chǔ)上引入三維造型，CAD系統(tǒng)只是極為簡(jiǎn)單的線框造型系統(tǒng)。這種初期的線框造型系統(tǒng)只能表達(dá)基本的幾何信息，不能有效地表達(dá)幾何數(shù)據(jù)間的拓?fù)潢P(guān)系。由于缺乏形體的表面信息，CAE及CAM均無(wú)法實(shí)現(xiàn)。2．幾何建模技術(shù)的發(fā)展

在三維造型階段，幾何建模4.2線框建模

1．線框建模原理

線框建模是CAD/CAM發(fā)展中應(yīng)用得最早的三維建模方法。線框模型通過(guò)點(diǎn)、線（直線、曲線）描述物體的外形、交線和棱線，并在計(jì)算機(jī)內(nèi)生成二維和三維圖像，如圖4-2所示。線框模型在計(jì)算機(jī)內(nèi)存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)共有兩個(gè)表：一為頂點(diǎn)表（如表4-1所示），記錄各點(diǎn)坐標(biāo)值；另一個(gè)為棱線表（如表4-2所示），記錄每條棱線所連接的兩頂點(diǎn)。4.2圖4-2物體的線框模型圖4-2物體的線框模型表4-1頂點(diǎn)表

表4-2棱線表

2．線框建模的優(yōu)缺點(diǎn)

三維線框建模在計(jì)算機(jī)內(nèi)部以邊表、點(diǎn)表來(lái)描述和表達(dá)物體，因而線框模型的數(shù)據(jù)量較少，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，占用CPU時(shí)間短，存儲(chǔ)方面開(kāi)銷低；同時(shí)構(gòu)造模型時(shí)操作簡(jiǎn)便，用戶幾乎無(wú)需培訓(xùn)，系統(tǒng)的使用猶如人工繪圖的延伸。2．線框建模的優(yōu)缺點(diǎn)

三維線框建模在計(jì)算機(jī)內(nèi)部以由于線框建模缺少面的信息，因而有以下缺點(diǎn)：

（1）存在二義性（如圖4-3所示），即使用一種數(shù)據(jù)表示的一種圖形，有時(shí)也可能看成另外一種圖形。由于線框建模缺少面的信息，因而有以下缺點(diǎn)：

圖4-3線框模型的二義性圖4-3線框模型的二義性（2）由于沒(méi)有面的信息，不能消除隱藏線和隱藏面。（3）線框模型給出的不是連續(xù)的幾何信息（只有頂點(diǎn)和棱邊），不能明確地定義給定的點(diǎn)與形體之間的關(guān)系（點(diǎn)在形體內(nèi)部、外部和表面上）。因此，不能用線框模型處理計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和CAD中的多數(shù)問(wèn)題，如剖切、消隱、渲染、物性分析、干涉檢查、加工處理等。（2）由于沒(méi)有面的信息，不能消除隱藏線和隱藏面。4.3曲面建模

1．曲面建模原理

曲面建模是通過(guò)對(duì)物體的各個(gè)表面或曲面進(jìn)行描述而構(gòu)

成曲面的一種建模方法。如果說(shuō)線框模型是用“鐵絲”構(gòu)造物體的話，則曲面建模就是拿一張張的表皮對(duì)這些“鐵絲”進(jìn)行

蒙皮。建模時(shí)，先將復(fù)雜的外表面分解成若干個(gè)基本曲面元素，再通過(guò)這些基本曲面元素的拼接構(gòu)成所要的曲面。圖

4-4所示為曲面的拼接過(guò)程。4.3曲面建模

1．曲面建模原理圖4-4曲面的拼接過(guò)程圖4-4曲面的拼接過(guò)程中常用曲面生成方法可以分為以下幾種類型：

(1)基本曲面。一般有圓柱面、圓錐面、球面、環(huán)面等，有些造型系統(tǒng)提供這些基本曲面，有些造型系統(tǒng)則不提供，而是通過(guò)拉伸、回轉(zhuǎn)、掃描等造型方法生成這些基本

曲面。中常用曲面生成方法可以分為以下幾種類型：

(1)(2)規(guī)則曲面。常見(jiàn)的有平面、直紋面、回轉(zhuǎn)面、柱狀面等。平面常用三點(diǎn)定義，常用來(lái)作剖切平面。直紋面如圖4-5所示，它的導(dǎo)線是兩條不同的空間曲線，母線是直線，其端點(diǎn)必須沿著導(dǎo)線移動(dòng)，可表示非扭曲的曲面。造型系統(tǒng)中用專門的命令生成直紋面?；剞D(zhuǎn)面如圖4-6所示，先繪制一平面線框圖，再繞一軸線旋轉(zhuǎn)生成。柱狀面如圖4-7所示，先繪制一平面曲線，然后沿垂直于該面的方向拉伸而成。柱狀面具有相同的截面。(2)規(guī)則曲面。常見(jiàn)的有平面、直紋面、回轉(zhuǎn)面、圖4-5直紋面圖4-5直紋面圖4-6回轉(zhuǎn)面圖4-6回轉(zhuǎn)面圖4-7柱狀面圖4-7柱狀面(3)自由曲面。常見(jiàn)的自由曲面有Bézier曲面、B樣條曲面、Coons曲面等。Bézier曲面如圖4-8所示，它是一組空間輸入點(diǎn)的近似曲面，但并不通過(guò)給定的點(diǎn)，不具備局部控制功能。B樣條曲面如圖4-9所示，它也是一組輸入點(diǎn)的近似曲面，但可局部控制。Coons曲面如圖4-10所示，它由封閉的邊界曲線構(gòu)成。(3)自由曲面。常見(jiàn)的自由曲面有Bézier曲面、圖4-8Bézier曲面圖4-8Bézier曲面圖4-9B樣條曲面圖4-9B樣條曲面圖4-10Coons曲面圖4-10Coons曲面(4)派生曲面。派生曲面包括圓角曲面(如圖4-11所示)、等距曲面(如圖4-12所示)、過(guò)渡曲面等。派生曲面是在已經(jīng)存在的曲面或?qū)嶓w上生成的曲面，在造型系統(tǒng)中由專門的命令生成這些曲面。(4)派生曲面。派生曲面包括圓角曲面(如圖4-11圖4-11圓角曲面圖4-11圓角曲面圖4-12等距曲面圖4-12等距曲面2．曲面建模特點(diǎn)

表面模型是在線框模型的基礎(chǔ)上，增加有關(guān)面邊（環(huán)邊）信息以及表面特征、棱邊的連接方向等內(nèi)容，從而可以滿足面面求交，線、面消隱，明暗色彩圖，數(shù)控加工等應(yīng)用問(wèn)

題的需要。

表面建模可用于二維工程圖的表達(dá)形式、三維實(shí)體或曲面的草圖輸入記錄，或者作為某些線框網(wǎng)格的輸出記錄。圖4-13所示為表面模型的一個(gè)例子。2．曲面建模特點(diǎn)

表面模型是在線框模型的基礎(chǔ)上，圖4-13表面模型應(yīng)用舉例圖4-13表面模型應(yīng)用舉例曲面模型與線框模型相比，多了一個(gè)面表，記錄了邊與面之間的拓?fù)潢P(guān)系，但仍舊缺乏面與體之間的拓?fù)潢P(guān)系，無(wú)法區(qū)別面的哪一側(cè)是體內(nèi)還是體外。它的缺點(diǎn)是只能表示物體的表面及其邊界，還不是實(shí)體模型。因此，曲面模型不能實(shí)行剖切，不能計(jì)算物性，不能檢查物體間的碰撞和干涉等。曲面模型與線框模型相比，多了一個(gè)面表，記錄了邊與面之3．常見(jiàn)的曲線、曲面模型

1）Bézier曲線與曲面

1971年，法國(guó)雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bézier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。同期，法國(guó)雪鐵龍（Citroen）汽車公司的德·卡斯特里奧（deCastelijau）

也獨(dú)立地研究出與Bézier類似的方法。3．常見(jiàn)的曲線、曲面模型

1）Bézier曲（1）Bézier曲線的定義。

Bézier曲線的構(gòu)造方法是：用兩個(gè)端點(diǎn)和若干個(gè)不在曲線上但能夠決定曲線形狀的點(diǎn)來(lái)定義曲線。給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bézier參數(shù)曲線上

各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是（4-1）（1）Bézier曲線的定義。

Bézier曲線其中，Pi構(gòu)成該Bézier曲線的特征多邊形，Bi，n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：

（4-2）Bézier曲線實(shí)例如圖4-14所示。其中，Pi構(gòu)成該Bézier曲線的特征多邊形，Bi，圖4-14三次Bézier曲線圖4-14三次Bézier曲線（2）Bézier曲線的性質(zhì)。

①端點(diǎn)性質(zhì)：Bézier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。Bézier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。

②對(duì)稱性：Bézier曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。

③凸包性：Bézier曲線的形狀由特征多邊形確定，它總落在由特征多邊形的各控制點(diǎn)形成的凸包內(nèi)，如圖4-15所示。（2）Bézier曲線的性質(zhì)。

①端點(diǎn)性質(zhì)：圖4-15Bézier曲線的凸包性圖4-15Bézier曲線的凸包性④幾何不變性:Bézier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi(i=0，1，…，n)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。⑤不具有局部控制能力：修改特征多邊形一個(gè)頂點(diǎn)或改變頂點(diǎn)數(shù)量時(shí)，將影響整條曲線，對(duì)曲線要全部重新計(jì)算。④幾何不變性:Bézier曲線的位置與形狀與其特（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲線的討論可以方便地給出Bézier曲面的定義和性質(zhì)，Bézier曲線的一些算法也可以很容易地?cái)U(kuò)展到Bézier曲面的情況。

給定(n+1)×(m+1)個(gè)排成網(wǎng)格的控制頂點(diǎn)Pij（i=0，1，…，n;j=0，1，…，m），利用基函數(shù)Bi，n(u)、

Bj，m(v)可構(gòu)造一張曲面片：（4-3）（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲線的式中:稱該曲面為n×m次Bézier曲面。當(dāng)n=m=3時(shí)，雙三次Bézier曲面由16個(gè)控制網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)造（如圖4-16所示）：(4-4)式中:稱該曲面為n×m次Bézier曲面。(4-4)Bézier曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bézier曲面：

①Bézier曲面特征網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是Bézier曲面的四個(gè)角點(diǎn)，即

②Bézier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bézier曲面的四條邊界。

③幾何不變性。

④對(duì)稱性。

⑤凸包性。Bézier曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bézier曲面：圖4-16雙三次Bézier曲面及邊界信息圖4-16雙三次Bézier曲面及邊界信息2）B樣條曲線與曲面

（1）B樣條曲線的定義。

B樣條曲線是在Bézier曲線基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的樣條曲線。樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定連續(xù)條件。該類曲線在汽車車身設(shè)計(jì)、飛機(jī)表面設(shè)計(jì)以及船殼設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用。2）B樣條曲線與曲面

（1）B樣條曲線的定義B樣條曲線采用特征多邊形及權(quán)函數(shù)定義曲線。權(quán)函數(shù)是B樣條基函數(shù)，局部可方便修改。已知n+1個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0，1，…，n)（也稱為特征多邊形的頂點(diǎn)），k階B樣條曲線的表達(dá)式是

（4-5）B樣條曲線采用特征多邊形及權(quán)函數(shù)定義曲線。權(quán)函數(shù)是B樣式中，Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為式中,ti是節(jié)點(diǎn)值，T=［t0,t1,…,tL+2k－1］構(gòu)成了k階B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量。式中，Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照B樣條曲線具有下列特點(diǎn)：

①B樣條曲線形狀比Bézier曲線更接近于它的控制多邊形?？刂贫噙呅蔚母黜旤c(diǎn)構(gòu)成的凸包區(qū)域比同一組頂點(diǎn)定義的Bézier曲線凸包區(qū)域要小，具有更強(qiáng)的凸包性。B樣條曲線恒位于它的凸包內(nèi)。B樣條曲線具有下列特點(diǎn)：

①B樣條曲線形狀比B②B樣條曲線的首尾端點(diǎn)不通過(guò)控制多邊形的首末兩個(gè)

端點(diǎn)。

③局部調(diào)整性。k次B樣條曲線上一點(diǎn)只被相鄰的k個(gè)頂點(diǎn)所控制，與其它控制點(diǎn)無(wú)關(guān)；一個(gè)控制點(diǎn)的移動(dòng)只會(huì)影響該曲線的k個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間，對(duì)整個(gè)曲線的其它部分沒(méi)有影響。②B樣條曲線的首尾端點(diǎn)不通過(guò)控制多邊形的首末兩個(gè)

端點(diǎn)（2）B樣條曲面。

B樣條曲面也可視為由B樣條曲線網(wǎng)格繪制而成。通用B樣條曲面方程為

雙三次B樣條曲面方程為（4-6）（4-7）（2）B樣條曲面。

B樣條曲面也可視為由B樣條曲3）NURBS曲線與曲面

（1）NURBS方法的提出及其特點(diǎn)。

NURBS即非均勻有理B樣條（NonUniformRationalBSpline），這種方法的提出是為了找到與描述自由型曲線與曲面的B樣條方法相統(tǒng)一的、又能精確表示二次曲線弧與二次

曲面的數(shù)學(xué)方法。NURBS方法主要有以下四個(gè)特點(diǎn)：3）NURBS曲線與曲面

（1）NURBS方法①NURBS不僅可以表示自由曲線和曲面，還可以精確地表示圓錐曲線和規(guī)則曲線。所以,NURBS為計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述方法。

②NURBS具有影響曲線、曲面形狀的權(quán)因子，故可以設(shè)計(jì)相當(dāng)復(fù)雜的曲線和曲面形狀，若運(yùn)用恰當(dāng)，更便于設(shè)計(jì)者實(shí)現(xiàn)自己的設(shè)計(jì)意圖。①NURBS不僅可以表示自由曲線和曲面，還可以精③NURBS方法是非有理B樣條方法在四維空間的直接推廣，多數(shù)非有理B樣條曲線和曲面的性質(zhì)及其相應(yīng)的計(jì)算方法可直接推廣到NURBS曲線和曲面。

④計(jì)算穩(wěn)定且快速。

（2）NURBS曲線的定義。

一條k次NURBS曲線定義為（4-8）③NURBS方法是非有理B樣條方法在四維空間的直接推廣其中,ωi(i=0,1,…,n)稱為權(quán)，與控制頂點(diǎn)di(i=0,1,…,n)相關(guān)聯(lián)。ω0、ωn>0,ωi≥0(i=1,2,…,n－1)可防止分母為零、保留凸包性質(zhì)及曲線不致退化。di(i=0,1,…,n)為控制頂點(diǎn)。Ni,k(u)是由節(jié)點(diǎn)U=［u0,u1,…,un+k+1］決定的k次B樣條基函數(shù)。對(duì)于非周期NURBS曲線，兩端點(diǎn)的重復(fù)度可取為k+1，即u0=u1=…=uk,un+1=un+2=…=un+k+1，且在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，節(jié)點(diǎn)值分別取為0與1，因此，有曲線定義域u∈［uk,un+1］=［0,1］。其中,ωi(i=0,1,…,n)稱為權(quán)，與控制頂（3）NURBS曲面的定義。

由雙參數(shù)變量分段有理多項(xiàng)式定義的NURBS曲面為（4-9）這里控制頂點(diǎn)dij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)呈拓?fù)渚匦侮嚵?，形成一個(gè)控制網(wǎng)格。（3）NURBS曲面的定義。

由雙參數(shù)變量分段有4.4實(shí)體建模

1．實(shí)體建模原理

實(shí)體建模技術(shù)是20世紀(jì)70年代后期、80年代初期逐漸發(fā)展完善并推向市場(chǎng)的。實(shí)體建模是利用一些基本體素，如長(zhǎng)方體、圓柱體、球體、錐體、圓環(huán)體以及掃描體、放樣體、

旋轉(zhuǎn)體、拉伸體等，通過(guò)集合運(yùn)算（拼合或布爾運(yùn)算，如求和、求差、求交）生成復(fù)雜形體的一種建模技術(shù)。4.4實(shí)體建模

1．實(shí)體建模2．三維實(shí)體表示方法

1）實(shí)體幾何構(gòu)造法（CSG，ConstructiveSolidGeometry）CSG法是一種用體素拼合構(gòu)成物體的方法，是目前最常見(jiàn)、最重要的方法之一。用CSG法表示一個(gè)物體可用二叉樹(shù)的形式加以表達(dá)，如圖4-17所示。2．三維實(shí)體表示方法

1）實(shí)體幾何構(gòu)造法（CS圖4-17中，CSG樹(shù)的樹(shù)葉分為兩種：一種是基本體素，如長(zhǎng)方體、圓柱等；另一種是體素作運(yùn)動(dòng)變換時(shí)的參數(shù)，如平移參數(shù)Δx等。圖中節(jié)點(diǎn)表示某種運(yùn)算。有兩類運(yùn)算子：一類是運(yùn)動(dòng)運(yùn)算子，如平移、旋轉(zhuǎn)等；另一類是集合運(yùn)算子，指并、交及差，分別用記號(hào)∪*、∩*、-*表示。圖4-17中，CSG樹(shù)的樹(shù)葉分為兩種：一種是基本體圖4-17定義形體的CSG樹(shù)圖4-17定義形體的CSG樹(shù)CSG表示的優(yōu)點(diǎn)有：

（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)量比較小，內(nèi)部數(shù)據(jù)的管理比較容易。

（2）CSG表示可方便地轉(zhuǎn)換成邊界（Brep）表示。

（3）CSG方法表示的形體的形狀比較容易修改。CSG表示的優(yōu)點(diǎn)有：

（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單CSG表示的缺點(diǎn)有：

（1）對(duì)形體的表示受體素的種類和對(duì)體素操作種類的限制，也就是說(shuō)，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。（2）對(duì)形體的局部操作不易實(shí)現(xiàn)，例如，不能對(duì)基本體素的交線倒圓角。

（3）由于形體的邊界幾何元素（點(diǎn)、邊、面）是隱含地表示在CSG中的，故顯示與繪制CSG表示的形體需要較長(zhǎng)的時(shí)間。CSG表示的缺點(diǎn)有：

（1）對(duì)形體的表示受體2）邊界表示法（BRep，BoundaryRepresentation）

邊界表示也稱為BR表示或B-Rep表示，是幾何造型中最

成熟、無(wú)二義的表示法。一個(gè)物體可以表達(dá)為它的有限數(shù)量的邊界表面的集合，表面可能是平面，也可能是曲面，每個(gè)表面又可用它邊界的邊及頂點(diǎn)加以表示，如圖4-18所示。2）邊界表示法（BRep，BoundaryRe圖4-18邊界表示法模型圖4-18邊界表示法模型B-Rep法的主要優(yōu)點(diǎn)是：

（1）對(duì)形體的點(diǎn)、邊、面等幾何元素是顯式表示的，使得繪制B-Rep表示的形體的速度較快，而且比較容易確定幾何元素間的連接關(guān)系。

（2）容易支持對(duì)物體的各種局部操作，比如進(jìn)行倒角時(shí)，不必修改形體的整體數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而只需提取被倒角的邊和與它相鄰兩面的有關(guān)信息，即可進(jìn)行倒角運(yùn)算。

（3）便于在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上附加各種非幾何信息，如精度、表面粗糙度等。B-Rep法的主要優(yōu)點(diǎn)是：

（1）對(duì)形體的點(diǎn)、B-Rep法的缺點(diǎn)是：

（1）B-Rep數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要大量的存儲(chǔ)空間，維護(hù)內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的程序比較復(fù)雜。

（2）修改形體的操作與CSG表示法相比難以實(shí)現(xiàn)。

（3）B-Rep表示不一定對(duì)應(yīng)一個(gè)有效形體，需要有專門的程序來(lái)保證B-Rep形體的有效性和正則性。B-Rep法的缺點(diǎn)是：

（1）B-Rep數(shù)據(jù)結(jié)3）CSG與B-Rep混合表示模型

通過(guò)上面的介紹可知，上述實(shí)體構(gòu)造方法各有優(yōu)缺點(diǎn)：形體表示以特征表示和構(gòu)造的實(shí)體幾何表示（CSG）最為方便，但是從計(jì)算機(jī)對(duì)形體的管理和操作運(yùn)算角度看，以邊

界表示（B-Rep）最為實(shí)用。所以，近年來(lái)大型CAD系統(tǒng)都采用多種模型表示的方法。圖4-19所示為一混合模型的典型架構(gòu)。3）CSG與B-Rep混合表示模型

通過(guò)上面的介圖4-19混合表示模型的典型架構(gòu)圖4-19混合表示模型的典型架構(gòu)4）掃描表示法

圖4-20給出了用平移掃描產(chǎn)生實(shí)體的例子。圖4-20（a）所示的是一圓環(huán)，通過(guò)平移操作產(chǎn)生如圖4-20（b）所示的空心管。使用這種方法，用戶建立任意的二維圖形以后，可用

平移掃描產(chǎn)生各種等截面的物體。4）掃描表示法

圖4-20給出了用平移掃描產(chǎn)生實(shí)圖4-20平移掃描圖4-20平移掃描圖4-21所示是用旋轉(zhuǎn)掃描產(chǎn)生一實(shí)體的例子。可以先定義一個(gè)平面圖形，然后令此圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)新的物體。用旋轉(zhuǎn)掃描可以產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)對(duì)稱體。圖4-21所示是用旋轉(zhuǎn)掃描產(chǎn)生一實(shí)體的例子?？梢韵榷x圖4-21旋轉(zhuǎn)掃描圖4-21旋轉(zhuǎn)掃描圖4-22廣義掃描圖4-22廣義掃描廣義掃描將一個(gè)平面區(qū)域（該區(qū)域可以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按一定的規(guī)則變化）沿任意的空間軌跡線移動(dòng)，生成一個(gè)三維物體，如圖4-22所示。廣義掃描的造型能力很強(qiáng)，它完全包

含平移掃描和旋轉(zhuǎn)掃描，但由于廣義掃描的集合構(gòu)造算法非常復(fù)雜，因此仍把平移掃描和旋轉(zhuǎn)掃描從廣義掃描中獨(dú)立出來(lái)，單獨(dú)處理。廣義掃描將一個(gè)平面區(qū)域（該區(qū)域可以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按一定的規(guī)4.5特征建模

1．特征建模的特點(diǎn)

與傳統(tǒng)的幾何造型相比，它有著十分顯著的優(yōu)點(diǎn)：

（1）特征建模著眼于更好地表達(dá)產(chǎn)品的完整技術(shù)和生產(chǎn)信息，為建立產(chǎn)品的集成信息模型服務(wù)。4.5特征建模

1．特征建模（2）它使產(chǎn)品設(shè)計(jì)工作在更高的層次上進(jìn)行，設(shè)計(jì)人員操作的對(duì)象是產(chǎn)品的功能要素，其可以將更多的精力用于創(chuàng)造性構(gòu)思上。

（3）特征建模有助于加強(qiáng)產(chǎn)品設(shè)計(jì)、分析、工藝準(zhǔn)備、加工、檢驗(yàn)各部門之間的聯(lián)系，為開(kāi)發(fā)新一代的基于統(tǒng)一產(chǎn)品信息模型的CAD/CAPP/CAM集成系統(tǒng)創(chuàng)造條件。（2）它使產(chǎn)品設(shè)計(jì)工作在更高的層次上進(jìn)行，設(shè)計(jì)人員2．特征定義

隨著特征技術(shù)由工藝規(guī)劃向設(shè)計(jì)、檢驗(yàn)和工程分析方面拓展，特征定義趨向于更一般化，例如：用于描述零件和裝配體的語(yǔ)義組，它將功能、設(shè)計(jì)和制造信息組合在一起；一個(gè)幾何形狀或形體要素，它至少具有一種CIM功能；產(chǎn)品信息的載體，它可以在設(shè)計(jì)和制造或者其它工程任務(wù)之間輔助設(shè)計(jì)或進(jìn)行通信；任何用于設(shè)計(jì)、工程分析和制造的推理的客觀對(duì)象等。2．特征定義

隨著特征技術(shù)由工藝規(guī)劃向設(shè)計(jì)、檢驗(yàn)3．特征的構(gòu)成體系

（1）造型特征：零件上有一定拓?fù)潢P(guān)系的一組幾何元素所構(gòu)成的一個(gè)特定形狀，具有特定的功能及特定的加工方法集。形狀特征可以分為基本特征和附加特征。其中基本特征用于構(gòu)造零件的主體形狀（如圓柱體、圓錐體等），附加特征用于對(duì)基本特征進(jìn)行局部修飾（如倒角、鍵槽、退刀槽、中心孔等）。3．特征的構(gòu)成體系

（1）造型特征：零件上有（2）精度特征：用于表達(dá)零件各要素尺寸公差、形狀公差、位置公差和表面粗糙度等精度要求信息。需特別指出的是，一般形位公差除公差項(xiàng)目名、公差值、基準(zhǔn)外，還應(yīng)包含公差檢測(cè)原則（如包容原則、最大實(shí)體原則等）。精度特征是形成零件質(zhì)量指標(biāo)的主要依據(jù)。（2）精度特征：用于表達(dá)零件各要素尺寸公差、形狀公（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如標(biāo)題欄中的設(shè)計(jì)者、批量、件數(shù)、零件編碼及與其它產(chǎn)品的借用與通用關(guān)系、日期、零件生產(chǎn)管理中MRPⅡ所需信息，設(shè)計(jì)過(guò)程管理(包括版本管理，使用者權(quán)限設(shè)定與管理，審定等)，并為PDM提供所需的信息。（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如標(biāo)題欄中（4）技術(shù)要求特征：用于描述零件的性能、功能等相關(guān)信息，說(shuō)明外觀要求、搬運(yùn)要求等無(wú)法在圖紙上標(biāo)注的要求，零件運(yùn)行過(guò)程中的工況條件（常規(guī)、極限），載荷與約束條件，為CAE提供模擬信息，為性能實(shí)驗(yàn)、分析計(jì)算、優(yōu)化、有限元前處理提供條件。（4）技術(shù)要求特征：用于描述零件的性能、功能等相關(guān)（5）材料特征：用于描述零件材料的類型、理化指標(biāo)及熱處理等特殊要求、表面處理的信息集合。

（6）裝配特征：用于表達(dá)零件在裝配過(guò)程中所需用的信息，如與其它零件之配合、配作等關(guān)系，裝配尺寸鏈信息、父項(xiàng)子項(xiàng)的信息。例如，組成產(chǎn)品的零部件之間在裝配中的關(guān)系可分為層次關(guān)系和裝配關(guān)系。（5）材料特征：用于描述零件材料的類型、理化指標(biāo)及4．特征建模系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)模式

特征識(shí)別：首先建立一個(gè)幾何模型，然后用程序處理這個(gè)幾何模型，自動(dòng)地發(fā)現(xiàn)并提取特征。

基于特征的設(shè)計(jì)：直接用特征來(lái)定義零件的幾何結(jié)構(gòu)，幾何模型可以由特征生成。圖4-23所示為兩種方法的示意圖。4．特征建模系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)模式

特征識(shí)別：首先建立圖4-23特征建模方法示意圖圖4-23特征建模方法示意圖1）特征識(shí)別

許多應(yīng)用程序(如工藝規(guī)劃、NC編程、成組技術(shù)編碼等)所要求的輸入信息包含幾何構(gòu)造和特征兩方面?，F(xiàn)已開(kāi)發(fā)出各種技術(shù)方法，可以直接從幾何模型數(shù)據(jù)庫(kù)中獲得這些輸入信息。這些方法常被看做特征識(shí)別，它將幾何模型的某部分與預(yù)定義的特征相比較，進(jìn)而識(shí)別出相匹配的特征實(shí)例。1）特征識(shí)別

許多應(yīng)用程序(如工藝規(guī)劃、NC特征識(shí)別常包含以下幾個(gè)過(guò)程：

（1）搜尋特征庫(kù)，以匹配拓?fù)?幾何模式。

（2）從數(shù)據(jù)庫(kù)中提取已識(shí)別的特征。

（3）確定特征參數(shù)（如孔直徑、槽深度等）。

（4）完成特征的幾何模型（如邊/面延展、封閉等）。（5）將簡(jiǎn)單的特征組合，以獲得高層特征。特征識(shí)別常包含以下幾個(gè)過(guò)程：

（1）搜尋特征2）基于特征的設(shè)計(jì)

在基于特征的設(shè)計(jì)方法中，特征從一開(kāi)始就加入在產(chǎn)品模型中，特征的定義被放入一個(gè)庫(kù)中，通過(guò)定義尺寸、位置參數(shù)和各種屬性值可以建立特征實(shí)例。

兩種主要的基于特征的設(shè)計(jì)方法是特征分割造型和特征合成法。2）基于特征的設(shè)計(jì)

在基于特征的設(shè)計(jì)5．基于特征的參數(shù)化建模系統(tǒng)

基于上述應(yīng)用背景，國(guó)內(nèi)外對(duì)參數(shù)化設(shè)計(jì)做了大量的研究。目前，參數(shù)化技術(shù)大致可分為如下三種方法：①基于幾何約束的數(shù)學(xué)方法；②基于幾何原理的人工智能方法；③基

于特征模型的建模方法。5．基于特征的參數(shù)化建模系統(tǒng)

基于上述應(yīng)用背景，6．變量化設(shè)計(jì)

變量化設(shè)計(jì)是一種設(shè)計(jì)方法，該方法采用約束驅(qū)動(dòng)方式來(lái)改變由幾何約束和工程約束混合構(gòu)成的幾何模型。變量化設(shè)計(jì)可以用于公差分析、運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)協(xié)調(diào)、設(shè)計(jì)優(yōu)化、初步方案設(shè)計(jì)選型等，尤其適合在概念設(shè)計(jì)階段使用。6．變量化設(shè)計(jì)

變量化設(shè)計(jì)是一種設(shè)計(jì)方法，7.基于Pro/E的產(chǎn)品造型設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例

1)Pro/E軟件簡(jiǎn)介

Pro/EngineerWildfire(簡(jiǎn)稱Pro/E)是美國(guó)PTC公司推出的一套包含從設(shè)計(jì)到制造全過(guò)程的機(jī)械自動(dòng)化軟件。Pro/E軟件以參數(shù)化著稱，是參數(shù)化技術(shù)的最早應(yīng)用者，在目前的三維造型軟件領(lǐng)域中占據(jù)著重要地位，廣泛應(yīng)用于電子、機(jī)械、汽車、家電等行業(yè)，它集零件設(shè)計(jì)、產(chǎn)品裝配、模具開(kāi)發(fā)、NC加工、鈑金設(shè)計(jì)等功能于一體。7.基于Pro/E的產(chǎn)品造型設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例

1)Pro/E采用了模塊方式，可以分別進(jìn)行草圖繪制、零件制作、裝配設(shè)計(jì)、鈑金設(shè)計(jì)、加工處理等，保證用戶可以按照自己的需要進(jìn)行選擇使用。其主要特性有參數(shù)化設(shè)計(jì)、基于

特征建模、單一數(shù)據(jù)庫(kù)。

Pro/E的形狀特征主要有實(shí)體特征、曲面特征、輔助特征、修飾特征、用戶自定義特征和鈑金特征等。Pro/E采用了模塊方式，可以分別進(jìn)行草圖繪制、零件2）Pro/E軟件建模實(shí)例

以圖4-24所示管接頭為例，其三維建模主要步驟如下：（1）使用【拉伸特征】工具創(chuàng)建水平圓柱，如圖4-25

所示。

（2）使用【平面】工具設(shè)置基準(zhǔn)平面DTM1，使用【拉伸特征】工具創(chuàng)建45°斜圓柱，如圖4-26所示。2）Pro/E軟件建模實(shí)例

以圖4-24所示管圖4-24管接頭零件參考尺寸圖4-24管接頭零件參考尺寸圖4-25創(chuàng)建水平圓柱圖4-25創(chuàng)建水平圓柱圖4-26設(shè)置基準(zhǔn)平面DTM1并創(chuàng)建45°斜圓柱圖4-26設(shè)置基準(zhǔn)平面DTM1并創(chuàng)建45°斜圓柱（3）使用【拉伸特征】工具創(chuàng)建水平方向f18圓柱，

如圖4-27所示。使用類似方法創(chuàng)建另外兩個(gè)f18圓柱，如圖

4-28所示。（3）使用【拉伸特征】工具創(chuàng)建水平方向f18圓柱，

圖4-27創(chuàng)建f18圓柱1圖4-27創(chuàng)建f18圓柱1圖4-28創(chuàng)建f18圓柱2圖4-28創(chuàng)建f18圓柱2（4）使用【拉伸】工具創(chuàng)建12×12×16“凸臺(tái)”，如圖

4-29所示。圖4-29創(chuàng)建的“凸臺(tái)”（4）使用【拉伸】工具創(chuàng)建12×12×16“凸臺(tái)”，（5）使用【孔】工具創(chuàng)建孔，如圖4-30所示。圖4-29創(chuàng)建的“凸臺(tái)”（5）使用【孔】工具創(chuàng)建孔，如圖4-30所示。圖4（6）使用【倒角】工具，在三個(gè)端接頭創(chuàng)建“2×60°”、“2×45°”倒角，如圖4-31所示。

（7）使用【倒圓角】工具，在端口邊緣、管分支處建立圓角。

（8）保存文件，完成管接頭三維建模。（6）使用【倒角】工具，在三個(gè)端接頭創(chuàng)建“2×60°圖4-31創(chuàng)建的倒角圖4-31創(chuàng)建的倒角第4章三維建模技術(shù)4.1概述4.2線框建模4.3曲面建模4.4實(shí)體建模4.5特征建模第4章三維建模技術(shù)4.1概述4.1概述

1．幾何建模

拓?fù)湫畔⑹侵敢粋€(gè)物體的拓?fù)湓兀旤c(diǎn)、邊和表面）的數(shù)量、類型以及相互之間的鄰接關(guān)系。拓?fù)湓刂g可以采用九種拓?fù)潢P(guān)系表示，如圖4-1所示。4.1概述

1．圖4-1拓?fù)潢P(guān)系圖4-1拓?fù)潢P(guān)系2．幾何建模技術(shù)的發(fā)展

在三維造型階段，幾何建模技術(shù)經(jīng)歷了三次技術(shù)革命。20世紀(jì)60年代，在二維造型基礎(chǔ)上引入三維造型，CAD系統(tǒng)只是極為簡(jiǎn)單的線框造型系統(tǒng)。這種初期的線框造型系統(tǒng)只能表達(dá)基本的幾何信息，不能有效地表達(dá)幾何數(shù)據(jù)間的拓?fù)潢P(guān)系。由于缺乏形體的表面信息，CAE及CAM均無(wú)法實(shí)現(xiàn)。2．幾何建模技術(shù)的發(fā)展

在三維造型階段，幾何建模4.2線框建模

1．線框建模原理

線框建模是CAD/CAM發(fā)展中應(yīng)用得最早的三維建模方法。線框模型通過(guò)點(diǎn)、線（直線、曲線）描述物體的外形、交線和棱線，并在計(jì)算機(jī)內(nèi)生成二維和三維圖像，如圖4-2所示。線框模型在計(jì)算機(jī)內(nèi)存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)共有兩個(gè)表：一為頂點(diǎn)表（如表4-1所示），記錄各點(diǎn)坐標(biāo)值；另一個(gè)為棱線表（如表4-2所示），記錄每條棱線所連接的兩頂點(diǎn)。4.2圖4-2物體的線框模型圖4-2物體的線框模型表4-1頂點(diǎn)表

表4-2棱線表

2．線框建模的優(yōu)缺點(diǎn)

三維線框建模在計(jì)算機(jī)內(nèi)部以邊表、點(diǎn)表來(lái)描述和表達(dá)物體，因而線框模型的數(shù)據(jù)量較少，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，占用CPU時(shí)間短，存儲(chǔ)方面開(kāi)銷低；同時(shí)構(gòu)造模型時(shí)操作簡(jiǎn)便，用戶幾乎無(wú)需培訓(xùn)，系統(tǒng)的使用猶如人工繪圖的延伸。2．線框建模的優(yōu)缺點(diǎn)

三維線框建模在計(jì)算機(jī)內(nèi)部以由于線框建模缺少面的信息，因而有以下缺點(diǎn)：

（1）存在二義性（如圖4-3所示），即使用一種數(shù)據(jù)表示的一種圖形，有時(shí)也可能看成另外一種圖形。由于線框建模缺少面的信息，因而有以下缺點(diǎn)：

圖4-3線框模型的二義性圖4-3線框模型的二義性（2）由于沒(méi)有面的信息，不能消除隱藏線和隱藏面。（3）線框模型給出的不是連續(xù)的幾何信息（只有頂點(diǎn)和棱邊），不能明確地定義給定的點(diǎn)與形體之間的關(guān)系（點(diǎn)在形體內(nèi)部、外部和表面上）。因此，不能用線框模型處理計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和CAD中的多數(shù)問(wèn)題，如剖切、消隱、渲染、物性分析、干涉檢查、加工處理等。（2）由于沒(méi)有面的信息，不能消除隱藏線和隱藏面。4.3曲面建模

1．曲面建模原理

曲面建模是通過(guò)對(duì)物體的各個(gè)表面或曲面進(jìn)行描述而構(gòu)

成曲面的一種建模方法。如果說(shuō)線框模型是用“鐵絲”構(gòu)造物體的話，則曲面建模就是拿一張張的表皮對(duì)這些“鐵絲”進(jìn)行

蒙皮。建模時(shí)，先將復(fù)雜的外表面分解成若干個(gè)基本曲面元素，再通過(guò)這些基本曲面元素的拼接構(gòu)成所要的曲面。圖

4-4所示為曲面的拼接過(guò)程。4.3曲面建模

1．曲面建模原理圖4-4曲面的拼接過(guò)程圖4-4曲面的拼接過(guò)程中常用曲面生成方法可以分為以下幾種類型：

(1)基本曲面。一般有圓柱面、圓錐面、球面、環(huán)面等，有些造型系統(tǒng)提供這些基本曲面，有些造型系統(tǒng)則不提供，而是通過(guò)拉伸、回轉(zhuǎn)、掃描等造型方法生成這些基本

曲面。中常用曲面生成方法可以分為以下幾種類型：

(1)(2)規(guī)則曲面。常見(jiàn)的有平面、直紋面、回轉(zhuǎn)面、柱狀面等。平面常用三點(diǎn)定義，常用來(lái)作剖切平面。直紋面如圖4-5所示，它的導(dǎo)線是兩條不同的空間曲線，母線是直線，其端點(diǎn)必須沿著導(dǎo)線移動(dòng)，可表示非扭曲的曲面。造型系統(tǒng)中用專門的命令生成直紋面?；剞D(zhuǎn)面如圖4-6所示，先繪制一平面線框圖，再繞一軸線旋轉(zhuǎn)生成。柱狀面如圖4-7所示，先繪制一平面曲線，然后沿垂直于該面的方向拉伸而成。柱狀面具有相同的截面。(2)規(guī)則曲面。常見(jiàn)的有平面、直紋面、回轉(zhuǎn)面、圖4-5直紋面圖4-5直紋面圖4-6回轉(zhuǎn)面圖4-6回轉(zhuǎn)面圖4-7柱狀面圖4-7柱狀面(3)自由曲面。常見(jiàn)的自由曲面有Bézier曲面、B樣條曲面、Coons曲面等。Bézier曲面如圖4-8所示，它是一組空間輸入點(diǎn)的近似曲面，但并不通過(guò)給定的點(diǎn)，不具備局部控制功能。B樣條曲面如圖4-9所示，它也是一組輸入點(diǎn)的近似曲面，但可局部控制。Coons曲面如圖4-10所示，它由封閉的邊界曲線構(gòu)成。(3)自由曲面。常見(jiàn)的自由曲面有Bézier曲面、圖4-8Bézier曲面圖4-8Bézier曲面圖4-9B樣條曲面圖4-9B樣條曲面圖4-10Coons曲面圖4-10Coons曲面(4)派生曲面。派生曲面包括圓角曲面(如圖4-11所示)、等距曲面(如圖4-12所示)、過(guò)渡曲面等。派生曲面是在已經(jīng)存在的曲面或?qū)嶓w上生成的曲面，在造型系統(tǒng)中由專門的命令生成這些曲面。(4)派生曲面。派生曲面包括圓角曲面(如圖4-11圖4-11圓角曲面圖4-11圓角曲面圖4-12等距曲面圖4-12等距曲面2．曲面建模特點(diǎn)

表面模型是在線框模型的基礎(chǔ)上，增加有關(guān)面邊（環(huán)邊）信息以及表面特征、棱邊的連接方向等內(nèi)容，從而可以滿足面面求交，線、面消隱，明暗色彩圖，數(shù)控加工等應(yīng)用問(wèn)

題的需要。

表面建?？捎糜诙S工程圖的表達(dá)形式、三維實(shí)體或曲面的草圖輸入記錄，或者作為某些線框網(wǎng)格的輸出記錄。圖4-13所示為表面模型的一個(gè)例子。2．曲面建模特點(diǎn)

表面模型是在線框模型的基礎(chǔ)上，圖4-13表面模型應(yīng)用舉例圖4-13表面模型應(yīng)用舉例曲面模型與線框模型相比，多了一個(gè)面表，記錄了邊與面之間的拓?fù)潢P(guān)系，但仍舊缺乏面與體之間的拓?fù)潢P(guān)系，無(wú)法區(qū)別面的哪一側(cè)是體內(nèi)還是體外。它的缺點(diǎn)是只能表示物體的表面及其邊界，還不是實(shí)體模型。因此，曲面模型不能實(shí)行剖切，不能計(jì)算物性，不能檢查物體間的碰撞和干涉等。曲面模型與線框模型相比，多了一個(gè)面表，記錄了邊與面之3．常見(jiàn)的曲線、曲面模型

1）Bézier曲線與曲面

1971年，法國(guó)雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bézier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。同期，法國(guó)雪鐵龍（Citroen）汽車公司的德·卡斯特里奧（deCastelijau）

也獨(dú)立地研究出與Bézier類似的方法。3．常見(jiàn)的曲線、曲面模型

1）Bézier曲（1）Bézier曲線的定義。

Bézier曲線的構(gòu)造方法是：用兩個(gè)端點(diǎn)和若干個(gè)不在曲線上但能夠決定曲線形狀的點(diǎn)來(lái)定義曲線。給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bézier參數(shù)曲線上

各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是（4-1）（1）Bézier曲線的定義。

Bézier曲線其中，Pi構(gòu)成該Bézier曲線的特征多邊形，Bi，n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：

（4-2）Bézier曲線實(shí)例如圖4-14所示。其中，Pi構(gòu)成該Bézier曲線的特征多邊形，Bi，圖4-14三次Bézier曲線圖4-14三次Bézier曲線（2）Bézier曲線的性質(zhì)。

①端點(diǎn)性質(zhì)：Bézier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。Bézier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。

②對(duì)稱性：Bézier曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。

③凸包性：Bézier曲線的形狀由特征多邊形確定，它總落在由特征多邊形的各控制點(diǎn)形成的凸包內(nèi)，如圖4-15所示。（2）Bézier曲線的性質(zhì)。

①端點(diǎn)性質(zhì)：圖4-15Bézier曲線的凸包性圖4-15Bézier曲線的凸包性④幾何不變性:Bézier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi(i=0，1，…，n)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。⑤不具有局部控制能力：修改特征多邊形一個(gè)頂點(diǎn)或改變頂點(diǎn)數(shù)量時(shí)，將影響整條曲線，對(duì)曲線要全部重新計(jì)算。④幾何不變性:Bézier曲線的位置與形狀與其特（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲線的討論可以方便地給出Bézier曲面的定義和性質(zhì)，Bézier曲線的一些算法也可以很容易地?cái)U(kuò)展到Bézier曲面的情況。

給定(n+1)×(m+1)個(gè)排成網(wǎng)格的控制頂點(diǎn)Pij（i=0，1，…，n;j=0，1，…，m），利用基函數(shù)Bi，n(u)、

Bj，m(v)可構(gòu)造一張曲面片：（4-3）（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲線的式中:稱該曲面為n×m次Bézier曲面。當(dāng)n=m=3時(shí)，雙三次Bézier曲面由16個(gè)控制網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)造（如圖4-16所示）：(4-4)式中:稱該曲面為n×m次Bézier曲面。(4-4)Bézier曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bézier曲面：

①Bézier曲面特征網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是Bézier曲面的四個(gè)角點(diǎn)，即

②Bézier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bézier曲面的四條邊界。

③幾何不變性。

④對(duì)稱性。

⑤凸包性。Bézier曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bézier曲面：圖4-16雙三次Bézier曲面及邊界信息圖4-16雙三次Bézier曲面及邊界信息2）B樣條曲線與曲面

（1）B樣條曲線的定義。

B樣條曲線是在Bézier曲線基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的樣條曲線。樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定連續(xù)條件。該類曲線在汽車車身設(shè)計(jì)、飛機(jī)表面設(shè)計(jì)以及船殼設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用。2）B樣條曲線與曲面

（1）B樣條曲線的定義B樣條曲線采用特征多邊形及權(quán)函數(shù)定義曲線。權(quán)函數(shù)是B樣條基函數(shù)，局部可方便修改。已知n+1個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0，1，…，n)（也稱為特征多邊形的頂點(diǎn)），k階B樣條曲線的表達(dá)式是

（4-5）B樣條曲線采用特征多邊形及權(quán)函數(shù)定義曲線。權(quán)函數(shù)是B樣式中，Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為式中,ti是節(jié)點(diǎn)值，T=［t0,t1,…,tL+2k－1］構(gòu)成了k階B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量。式中，Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照B樣條曲線具有下列特點(diǎn)：

①B樣條曲線形狀比Bézier曲線更接近于它的控制多邊形。控制多邊形的各頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包區(qū)域比同一組頂點(diǎn)定義的Bézier曲線凸包區(qū)域要小，具有更強(qiáng)的凸包性。B樣條曲線恒位于它的凸包內(nèi)。B樣條曲線具有下列特點(diǎn)：

①B樣條曲線形狀比B②B樣條曲線的首尾端點(diǎn)不通過(guò)控制多邊形的首末兩個(gè)

端點(diǎn)。

③局部調(diào)整性。k次B樣條曲線上一點(diǎn)只被相鄰的k個(gè)頂點(diǎn)所控制，與其它控制點(diǎn)無(wú)關(guān)；一個(gè)控制點(diǎn)的移動(dòng)只會(huì)影響該曲線的k個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間，對(duì)整個(gè)曲線的其它部分沒(méi)有影響。②B樣條曲線的首尾端點(diǎn)不通過(guò)控制多邊形的首末兩個(gè)

端點(diǎn)（2）B樣條曲面。

B樣條曲面也可視為由B樣條曲線網(wǎng)格繪制而成。通用B樣條曲面方程為

雙三次B樣條曲面方程為（4-6）（4-7）（2）B樣條曲面。

B樣條曲面也可視為由B樣條曲3）NURBS曲線與曲面

（1）NURBS方法的提出及其特點(diǎn)。

NURBS即非均勻有理B樣條（NonUniformRationalBSpline），這種方法的提出是為了找到與描述自由型曲線與曲面的B樣條方法相統(tǒng)一的、又能精確表示二次曲線弧與二次

曲面的數(shù)學(xué)方法。NURBS方法主要有以下四個(gè)特點(diǎn)：3）NURBS曲線與曲面

（1）NURBS方法①NURBS不僅可以表示自由曲線和曲面，還可以精確地表示圓錐曲線和規(guī)則曲線。所以,NURBS為計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述方法。

②NURBS具有影響曲線、曲面形狀的權(quán)因子，故可以設(shè)計(jì)相當(dāng)復(fù)雜的曲線和曲面形狀，若運(yùn)用恰當(dāng)，更便于設(shè)計(jì)者實(shí)現(xiàn)自己的設(shè)計(jì)意圖。①NURBS不僅可以表示自由曲線和曲面，還可以精③NURBS方法是非有理B樣條方法在四維空間的直接推廣，多數(shù)非有理B樣條曲線和曲面的性質(zhì)及其相應(yīng)的計(jì)算方法可直接推廣到NURBS曲線和曲面。

④計(jì)算穩(wěn)定且快速。

（2）NURBS曲線的定義。

一條k次NURBS曲線定義為（4-8）③NURBS方法是非有理B樣條方法在四維空間的直接推廣其中,ωi(i=0,1,…,n)稱為權(quán)，與控制頂點(diǎn)di(i=0,1,…,n)相關(guān)聯(lián)。ω0、ωn>0,ωi≥0(i=1,2,…,n－1)可防止分母為零、保留凸包性質(zhì)及曲線不致退化。di(i=0,1,…,n)為控制頂點(diǎn)。Ni,k(u)是由節(jié)點(diǎn)U=［u0,u1,…,un+k+1］決定的k次B樣條基函數(shù)。對(duì)于非周期NURBS曲線，兩端點(diǎn)的重復(fù)度可取為k+1，即u0=u1=…=uk,un+1=un+2=…=un+k+1，且在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，節(jié)點(diǎn)值分別取為0與1，因此，有曲線定義域u∈［uk,un+1］=［0,1］。其中,ωi(i=0,1,…,n)稱為權(quán)，與控制頂（3）NURBS曲面的定義。

由雙參數(shù)變量分段有理多項(xiàng)式定義的NURBS曲面為（4-9）這里控制頂點(diǎn)dij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)呈拓?fù)渚匦侮嚵校纬梢粋€(gè)控制網(wǎng)格。（3）NURBS曲面的定義。

由雙參數(shù)變量分段有4.4實(shí)體建模

1．實(shí)體建模原理

實(shí)體建模技術(shù)是20世紀(jì)70年代后期、80年代初期逐漸發(fā)展完善并推向市場(chǎng)的。實(shí)體建模是利用一些基本體素，如長(zhǎng)方體、圓柱體、球體、錐體、圓環(huán)體以及掃描體、放樣體、

旋轉(zhuǎn)體、拉伸體等，通過(guò)集合運(yùn)算（拼合或布爾運(yùn)算，如求和、求差、求交）生成復(fù)雜形體的一種建模技術(shù)。4.4實(shí)體建模

1．實(shí)體建模2．三維實(shí)體表示方法

1）實(shí)體幾何構(gòu)造法（CSG，ConstructiveSolidGeometry）CSG法是一種用體素拼合構(gòu)成物體的方法，是目前最常見(jiàn)、最重要的方法之一。用CSG法表示一個(gè)物體可用二叉樹(shù)的形式加以表達(dá)，如圖4-17所示。2．三維實(shí)體表示方法

1）實(shí)體幾何構(gòu)造法（CS圖4-17中，CSG樹(shù)的樹(shù)葉分為兩種：一種是基本體素，如長(zhǎng)方體、圓柱等；另一種是體素作運(yùn)動(dòng)變換時(shí)的參數(shù)，如平移參數(shù)Δx等。圖中節(jié)點(diǎn)表示某種運(yùn)算。有兩類運(yùn)算子：一類是運(yùn)動(dòng)運(yùn)算子，如平移、旋轉(zhuǎn)等；另一類是集合運(yùn)算子，指并、交及差，分別用記號(hào)∪*、∩*、-*表示。圖4-17中，CSG樹(shù)的樹(shù)葉分為兩種：一種是基本體圖4-17定義形體的CSG樹(shù)圖4-17定義形體的CSG樹(shù)CSG表示的優(yōu)點(diǎn)有：

（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)量比較小，內(nèi)部數(shù)據(jù)的管理比較容易。

（2）CSG表示可方便地轉(zhuǎn)換成邊界（Brep）表示。

（3）CSG方法表示的形體的形狀比較容易修改。CSG表示的優(yōu)點(diǎn)有：

（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單CSG表示的缺點(diǎn)有：

（1）對(duì)形體的表示受體素的種類和對(duì)體素操作種類的限制，也就是說(shuō)，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。（2）對(duì)形體的局部操作不易實(shí)現(xiàn)，例如，不能對(duì)基本體素的交線倒圓角。

（3）由于形體的邊界幾何元素（點(diǎn)、邊、面）是隱含地表示在CSG中的，故顯示與繪制CSG表示的形體需要較長(zhǎng)的時(shí)間。CSG表示的缺點(diǎn)有：

（1）對(duì)形體的表示受體2）邊界表示法（BRep，BoundaryRepresentation）

邊界表示也稱為BR表示或B-Rep表示，是幾何造型中最

成熟、無(wú)二義的表示法。一個(gè)物體可以表達(dá)為它的有限數(shù)量的邊界表面的集合，表面可能是平面，也可能是曲面，每個(gè)表面又可用它邊界的邊及頂點(diǎn)加以表示，如圖4-18所示。2）邊界表示法（BRep，BoundaryRe圖4-18邊界表示法模型圖4-18邊界表示法模型B-Rep法的主要優(yōu)點(diǎn)是：

（1）對(duì)形體的點(diǎn)、邊、面等幾何元素是顯式表示的，使得繪制B-Rep表示的形體的速度較快，而且比較容易確定幾何元素間的連接關(guān)系。

（2）容易支持對(duì)物體的各種局部操作，比如進(jìn)行倒角時(shí)，不必修改形體的整體數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而只需提取被倒角的邊和與它相鄰兩面的有關(guān)信息，即可進(jìn)行倒角運(yùn)算。

（3）便于在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上附加各種非幾何信息，如精度、表面粗糙度等。B-Rep法的主要優(yōu)點(diǎn)是：

（1）對(duì)形體的點(diǎn)、B-Rep法的缺點(diǎn)是：

（1）B-Rep數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要大量的存儲(chǔ)空間，維護(hù)內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的程序比較復(fù)雜。

（2）修改形體的操作與CSG表示法相比難以實(shí)現(xiàn)。

（3）B-Rep表示不一定對(duì)應(yīng)一個(gè)有效形體，需要有專門的程序來(lái)保證B-Rep形體的有效性和正則性。B-Rep法的缺點(diǎn)是：

（1）B-Rep數(shù)據(jù)結(jié)3）CSG與B-Rep混合表示模型

通過(guò)上面的介紹可知，上述實(shí)體構(gòu)造方法各有優(yōu)缺點(diǎn)：形體表示以特征表示和構(gòu)造的實(shí)體幾何表示（CSG）最為方便，但是從計(jì)算機(jī)對(duì)形體的管理和操作運(yùn)算角度看，以邊

界表示（B-Rep）最為實(shí)用。所以，近年來(lái)大型CAD系統(tǒng)都采用多種模型表示的方法。圖4-19所示為一混合模型的典型架構(gòu)。3）CSG與B-Rep混合表示模型

通過(guò)上面的介圖4-19混合表示模型的典型架構(gòu)圖4-19混合表示模型的典型架構(gòu)4）掃描表示法

圖4-20給出了用平移掃描產(chǎn)生實(shí)體的例子。圖4-20（a）所示的是一圓環(huán)，通過(guò)平移操作產(chǎn)生如圖4-20（b）所示的空心管。使用這種方法，用戶建立任意的二維圖形以后，可用

平移掃描產(chǎn)生各種等截面的物體。4）掃描表示法

圖4-20給出了用平移掃描產(chǎn)生實(shí)圖4-20平移掃描圖4-20平移掃描圖4-21所示是用旋轉(zhuǎn)掃描產(chǎn)生一實(shí)體的例子?？梢韵榷x一個(gè)平面圖形，然后令此圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)新的物體。用旋轉(zhuǎn)掃描可以產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)對(duì)稱體。圖4-21所示是用旋轉(zhuǎn)掃描產(chǎn)生一實(shí)體的例子?？梢韵榷x圖4-21旋轉(zhuǎn)掃描圖4-21旋轉(zhuǎn)掃描圖4-22廣義掃描圖4-22廣義掃描廣義掃描將一個(gè)平面區(qū)域（該區(qū)域可以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按一定的規(guī)則變化）沿任意的空間軌跡線移動(dòng)，生成一個(gè)三維物體，如圖4-22所示。廣義掃描的造型能力很強(qiáng)，它完全包

含平移掃描和旋轉(zhuǎn)掃描，但由于廣義掃描的集合構(gòu)造算法非常復(fù)雜，因此仍把平移掃描和旋轉(zhuǎn)掃描從廣義掃描中獨(dú)立出來(lái)，單獨(dú)處理。廣義掃描將一個(gè)平面區(qū)域（該區(qū)域可以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中按一定的規(guī)4.5特征建模

1．特征建模的特點(diǎn)

與傳統(tǒng)的幾何造型相比，它有著十分顯著的優(yōu)點(diǎn)：

（1）特征建模著眼于更好地表達(dá)產(chǎn)品的完整技術(shù)和生產(chǎn)信息，為建立產(chǎn)品的集成信息模型服務(wù)。4.5特征建模

1．特征建模（2）它使產(chǎn)品設(shè)計(jì)工作在更高的層次上進(jìn)行，設(shè)計(jì)人員操作的對(duì)象是產(chǎn)品的功能要素，其可以將更多的精力用于創(chuàng)造性構(gòu)思上。

（3）特征建模有助于加強(qiáng)產(chǎn)品設(shè)計(jì)、分析、工藝準(zhǔn)備、加工、檢驗(yàn)各部門之間的聯(lián)系，為開(kāi)發(fā)新一代的基于統(tǒng)一產(chǎn)品信息模型的CAD/CAPP/CAM集成系統(tǒng)創(chuàng)造條件。（2）它使產(chǎn)品設(shè)計(jì)工作在更高的層次上進(jìn)行，設(shè)計(jì)人員2．特征定義

隨著特征技術(shù)由工藝規(guī)劃向設(shè)計(jì)、檢驗(yàn)和工程分析方面拓展，特征定義趨向于更一般化，例如：用于描述零件和裝配體的語(yǔ)義組，它將功能、設(shè)計(jì)和制造信息組合在一起；一個(gè)幾何形狀或形體要素，它至少具有一種CIM功能；產(chǎn)品信息的載體，它可以在設(shè)計(jì)和制造或者其它工程任務(wù)之間輔助設(shè)計(jì)或進(jìn)行通信；任何用于設(shè)計(jì)、工程分析和制造的推理的客觀對(duì)象等。2．特征定義

隨著特征技術(shù)由工藝規(guī)劃向設(shè)計(jì)、檢驗(yàn)3．特征的構(gòu)成體系

（1）造型特征：零件上有一定拓?fù)潢P(guān)系的一組幾何元素所構(gòu)成的一個(gè)特定形狀，具有特定的功能及特定的加工方法集。形狀特征可以分為基本特征和附加特征。其中基本特征用于構(gòu)造零件的主體形狀（如圓柱體、圓錐體等），附加特征用于對(duì)基本特征進(jìn)行局部修飾（如倒角、鍵槽、退刀槽、中心孔等）。3．特征的構(gòu)成體系

（1）造型特征：零件上有（2）精度特征：用于表達(dá)零件各要素尺寸公差、形狀公差、位置公差和表面粗糙度等精度要求信息。需特別指出的是，一般形位公差除公差項(xiàng)目名、公差值、基準(zhǔn)外，還應(yīng)包含公差檢測(cè)原則（如包容原則、最大實(shí)體原則等）。精度特征是形成零件質(zhì)量指標(biāo)的主要依據(jù)。（2）精度特征：用于表達(dá)零件各要素尺寸公差、形狀公（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如標(biāo)題欄中的設(shè)計(jì)者、批量、件數(shù)、零件編碼及與其它產(chǎn)品的借用與通用關(guān)系、日期、零件生產(chǎn)管理中MRPⅡ所需信息，設(shè)計(jì)過(guò)程管理(包括版本管理，使用者權(quán)限設(shè)定與管理，審定等)，并為PDM提供所需的信息。（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如標(biāo)題欄中（4）技術(shù)要求特征：用于描述零件的性能、功能等相關(guān)信息，說(shuō)明外觀要求、搬運(yùn)要求等無(wú)法在圖紙上標(biāo)注的要求，零件運(yùn)行過(guò)程中的工況條件（常規(guī)、極限），載荷與約束條件，為C