小波分析全章節(jié)講解課件

小波分析全章節(jié)講解課件1小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。

小波變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過(guò)物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地。一、小波的發(fā)展小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)2

小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如：在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識(shí)別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：3傅里葉（Fourier)分析是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信號(hào)處理的出發(fā)點(diǎn)。它將信號(hào)分析從時(shí)間域變換到了頻率域。泛函分析是20世紀(jì)初開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它是以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析手段，它用更加抽象的概念來(lái)描述熟知的對(duì)象。傅里葉（Fourier)分析是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信4小波理論是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之一。小波變換是對(duì)傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換的發(fā)展，為信號(hào)分析、圖像處理、量子物理及其他非線性科學(xué)的研究域帶來(lái)革命的影響。小波理論是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之51、傅里葉變換（1）傅里葉（FT）定義

其中，式（1.2）稱為傅里葉反變換（IFT)

（1.1）

（1.2）

二、傅里葉分析(連續(xù))1、傅里葉變換（1）傅里葉（FT）定義其中，式（1.2）稱為6(2)FT的性質(zhì)1.對(duì)偶性利用對(duì)偶性可以方便地得到一些函數(shù)的傅里葉變換或反變換公式，即

(2)FT的性質(zhì)1.對(duì)偶性72.位移時(shí)域位移將導(dǎo)致信號(hào)頻譜增加一個(gè)附加相位，但是幅頻特性不變，即2.位移83.卷積卷積特性分為時(shí)域卷積和頻域卷積，即3.卷積94.Parseval定理（內(nèi)積定理）它表明兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域和頻域中的內(nèi)積之間的關(guān)系，即

特別當(dāng)時(shí)，有

上式實(shí)際上給出了信號(hào)的能量關(guān)系。在時(shí)域和頻域的總能量是相等的，故也稱為能量守恒定理。

4.Parseval定理（內(nèi)積定理）特別當(dāng)10信號(hào)在一個(gè)域內(nèi)的伸縮會(huì)導(dǎo)致在

另一個(gè)域的相反方向上的伸縮。5.尺度伸縮在小波分析中，有著大量涉及信號(hào)在時(shí)域和頻域的伸縮和變尺度分析。信號(hào)在一個(gè)域內(nèi)的伸縮會(huì)導(dǎo)致在

另一個(gè)域的相反方向上的伸縮。511傅里葉變換(離散)時(shí)域離散信號(hào)也可以根據(jù)是否為周期性，分為離散時(shí)間序列傅里葉變換（DTFT）和離散傅里葉變換（DFT）。1.DTFT

傅里葉變換(離散)時(shí)域離散信號(hào)也可以根據(jù)是否為周期性，分為離122.DFT小波分析全章節(jié)講解課件13三、泛函分析1.函數(shù)空間（1）線性空間例：平方可積函數(shù)空間

（2）賦范線性空間例：

三、泛函分析1.函數(shù)空間14（3）巴拿赫（Banach)空間（4）希爾伯特（Hilbert）空間例1：對(duì)于線性空間，定義內(nèi)積為例2：在n維歐氏空間中，，定義內(nèi)積為

（3）巴拿赫（Banach)空間例2：在n維歐氏空間中152.基底及展開(kāi)（1）由函數(shù)序列張成的空間設(shè)為函數(shù)序列，令集合為即為函數(shù)序列的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合，則稱為序列張成的線性空間，簡(jiǎn)記為2.基底及展開(kāi)16（2）基底若序列線性無(wú)關(guān)，則，式中的系數(shù)的取值是惟一的。此時(shí)，就稱為空間的一組基底。（3）正交（直交）設(shè)x,y為內(nèi)積空間中的兩個(gè)元素，若內(nèi)積，則稱x,y相互正交，簡(jiǎn)記為。（2）基底（3）正交（直交）17（4）規(guī)范正交基若內(nèi)積空間中的基底滿足則稱為中的規(guī)范正交基（標(biāo)準(zhǔn)正交基）。故都可以展開(kāi)成為

并且有Parseval等式，即（4）規(guī)范正交基18（5）雙正交基對(duì)于不滿足規(guī)范正交條件的基底來(lái)說(shuō)，如果存在另一組對(duì)偶基底使得對(duì)應(yīng)的傅里葉展開(kāi)式為

規(guī)范正交性存在于原基底與對(duì)偶基底之間，展開(kāi)式也相應(yīng)的由原基底和對(duì)偶基底構(gòu)成，這種基稱為雙正交基，與互為對(duì)偶基底。（5）雙正交基19（6）框架設(shè)H為Hilbert空間，為H中的一個(gè)函數(shù)序列，若，都存在實(shí)數(shù)A,B使得則稱為框架，其中A,B分別稱為框架的上、下界。當(dāng)A=B時(shí)，此框架稱為緊框架；尤其當(dāng)A=B=1時(shí)，此緊框架就變?yōu)橐?guī)范正交基。（6）框架203.從泛函角度描述傅里葉變換（1）用內(nèi)積表示傅里葉變換內(nèi)積空間中的函數(shù)，其傅里葉變換可用內(nèi)積表示為

（2）用基底表示函數(shù)的展開(kāi)3.從泛函角度描述傅里葉變換21三、窗口傅里葉變換（傅里葉→小波）由于傳統(tǒng)傅里葉分析只適用于平穩(wěn)信號(hào)，在進(jìn)行非平穩(wěn)信號(hào)的分析時(shí)通常采用時(shí)頻處理方法，它將一維時(shí)域信號(hào)分解為二維時(shí)域—頻域聯(lián)合分布表示。傳統(tǒng)傅里葉分析不適用于時(shí)變信號(hào)的分析，但是可以在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行加窗處理，窗內(nèi)的信號(hào)認(rèn)為是準(zhǔn)平穩(wěn)的，對(duì)它們可以采用平穩(wěn)信號(hào)的分析方法，如頻譜分析和功率譜分析。這就是窗口傅里葉變換。三、窗口傅里葉變換（傅里葉→小波）由于傳統(tǒng)傅里葉分析只適22為了彌補(bǔ)Fourier變換不能時(shí)空定位的不足，工程技術(shù)領(lǐng)域長(zhǎng)期以來(lái)一直采用D.Gabor開(kāi)發(fā)的窗口Fourier變換（短時(shí)Fourier變換），來(lái)對(duì)時(shí)空信號(hào)進(jìn)行分段或分塊的時(shí)空-頻譜分析（時(shí)頻分析）。窗口Fourier變換：其中，g為窗口函數(shù)（參見(jiàn)圖10-3）。為了彌補(bǔ)Fourier變換不能時(shí)空定位的不足，工程技術(shù)領(lǐng)23小波分析全章節(jié)講解課件24小波分析全章節(jié)講解課件25雖然窗口Fourier變換能部分解決Fourier變換時(shí)空定位問(wèn)題，但由于窗口的大小是固定的，對(duì)頻率波動(dòng)不大的平穩(wěn)信號(hào)還可以，但對(duì)音頻、圖像等突變定信號(hào)就成問(wèn)題了。本來(lái)對(duì)高頻信號(hào)應(yīng)該用較小窗口，以提高分析精度；而對(duì)低頻信號(hào)應(yīng)該用較大窗口，以避免丟失低頻信息；而窗口Fourier變換則不論頻率的高低，都統(tǒng)一用同樣寬度的窗口來(lái)進(jìn)行變換，所以分析結(jié)果的精度不夠或效果不好。迫切需要一種更好的時(shí)頻分析方法。雖然窗口Fourier變換能部分解決Fourier變換時(shí)空定26窗口傅里葉變換的方法時(shí)頻分析時(shí)域-頻域聯(lián)合分加窗時(shí)頻分析窗口傅里葉變換的方法時(shí)頻分析27（1)傳統(tǒng)傅里葉分析的局限性傳統(tǒng)的傅里葉分析在平穩(wěn)信號(hào)的分析和處理中具有重要作用。它將時(shí)間域內(nèi)復(fù)雜信號(hào)的分析轉(zhuǎn)換為頻率域內(nèi)的具有簡(jiǎn)單參數(shù)的頻譜密度的分析，或者分解為頻域內(nèi)的具有簡(jiǎn)單形狀的信號(hào)之和。這種從一個(gè)分析域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)分析域的方法是信號(hào)分析中的常用方法。但是現(xiàn)實(shí)世界中的很多信號(hào)，例如，腦電波信號(hào)、地震信號(hào)、語(yǔ)音信號(hào)等，都是非平穩(wěn)的。這些信號(hào)的頻率是時(shí)變的。對(duì)于這種信號(hào)的準(zhǔn)確描述，必須使用具有局部性能的時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示，或者說(shuō)必須提取特定時(shí)間段和頻率段內(nèi)的信號(hào)特性。這時(shí)，傳統(tǒng)的傅里葉分析就顯得無(wú)能為力了。傅里葉變換所描述的是整個(gè)時(shí)間段內(nèi)頻率的特性，或者說(shuō)它是一種全局的變換而沒(méi)有刻畫出特定時(shí)間段或頻率段的特性。（一）時(shí)頻分析（1)傳統(tǒng)傅里葉分析的局限性（一）時(shí)頻分析28對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析，一種有效的方法是時(shí)域-頻域二維聯(lián)合分析。信號(hào)從一維時(shí)域表示分解為時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示，用以描述信號(hào)在不同時(shí)刻的頻率分布情況。常用的時(shí)頻分析手段有窗口傅里葉變換、小波變換和Wigner-Ville分布等。(2)時(shí)域-頻域聯(lián)合分析(2)時(shí)域-頻域聯(lián)合分析29雖然時(shí)變信號(hào)的頻率特性隨著時(shí)間而改變，但是這種改變是漸變的而非突變的，也就是說(shuō)，在一個(gè)特定的足夠小的區(qū)間（窗）內(nèi)，可以認(rèn)為信號(hào)的特性是不變的，信號(hào)是局部穩(wěn)定的或準(zhǔn)平穩(wěn)的。雖然時(shí)變信號(hào)的頻率特性隨著時(shí)間而改變，但是這種改30（二）加窗時(shí)頻分析1.時(shí)窗處理將信號(hào)在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行分段，等效于用位置不同的窗函數(shù)與原信號(hào)相乘的結(jié)果，如下圖所示。在時(shí)域內(nèi)，時(shí)間函數(shù)一般選取具有能量局部化的函數(shù)。先選定一個(gè)基本窗函數(shù)，然后將沿時(shí)間軸平移得到一組窗函數(shù)，其中為時(shí)間位移。平移后的窗函數(shù)分別與原信號(hào)相乘，其結(jié)果就等效于提取了原信號(hào)的不同時(shí)間段內(nèi)的信息而屏蔽了段外的信號(hào)。（二）加窗時(shí)頻分析1.時(shí)窗處理310ttt000ttt0032最簡(jiǎn)單的時(shí)間窗是矩形窗函數(shù)，如上圖所示。但是也可以根據(jù)需要選擇其他的窗函數(shù)，如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函數(shù)具有非常良好的時(shí)域局部化性質(zhì)：（1）具有時(shí)域緊支集。（2）窗內(nèi)信號(hào)保持原樣。（3）窗外信號(hào)完全衰減為0，完全地屏蔽了窗外信號(hào)。（4）窗的過(guò)渡帶為“陡”的階躍跳變，因此，沒(méi)有平滑的衰減過(guò)渡帶和窗拖尾。根據(jù)常用傅里葉變換，矩形窗函數(shù)的頻譜為sinc函數(shù)，它有著很長(zhǎng)的拖尾。這就引入了帶外頻譜干擾，或者說(shuō)在頻域內(nèi)的局部化特性不夠好，給帶內(nèi)信號(hào)的分析帶來(lái)了干擾。最簡(jiǎn)單的時(shí)間窗是矩形窗函數(shù)，如上圖所示。但是也可332.頻窗處理加頻窗處理實(shí)際上是將信號(hào)通過(guò)濾波器組，或者說(shuō)將信號(hào)分別與多個(gè)頻窗相乘。頻窗是由低通濾波器在頻率軸上的平移而形成的一系列帶通濾波器，其中為頻率位移。帶通濾波器組的作用就是提取信號(hào)在特定頻率段（頻帶）內(nèi)的信息而屏蔽頻帶外信號(hào)。2.頻窗處理34（三）窗口傅里葉變換的基本思想1946年，Gabor提出了窗口傅里葉:變換在傳統(tǒng)的傅里葉分析之前，對(duì)信號(hào)進(jìn)行了加窗處理。這里的窗函數(shù)的選擇有些特殊：首先，它時(shí)實(shí)對(duì)稱函數(shù)；其次，它在某個(gè)小區(qū)間內(nèi)衰減很小，而在區(qū)間外迅速衰減為0。Gabor在最初的處理中采用的時(shí)Gauss窗作為基本窗函數(shù)，通過(guò)在時(shí)間軸上平移得到一組窗函數(shù)。（三）窗口傅里葉變換的基本思想1946年，Gab35Gabor變換的定義如下：設(shè)，即，且為實(shí)對(duì)稱函數(shù)，則信號(hào)的窗口傅里葉變換（Gabor)變換定義為其中，稱為基本窗函數(shù)，其能量集中于附近，在遠(yuǎn)離區(qū)域，它迅速衰減為0。Gabor變換的定義如下：36保留了信號(hào)在附近的信息而屏蔽了遠(yuǎn)區(qū)信息。是將窗函數(shù)平移到，因此，保留的是附近的信號(hào)信息。故，實(shí)際上分析了附近的頻率特性。保留了信號(hào)在附近的信息而屏蔽37（四）時(shí)窗、頻窗和時(shí)頻窗窗函數(shù)的中心和寬度，分別表征窗函數(shù)的位置和集中程度的度量信息。1.時(shí)窗與其度量（1）基本定義在窗函數(shù)滿足，即下，定義時(shí)窗中心為（四）時(shí)窗、頻窗和時(shí)頻窗窗函數(shù)的中心和寬度，分別38定義時(shí)窗寬度為通常情況下，要求窗函數(shù)具有歸一化能量，即故有：定義時(shí)窗寬度為392.數(shù)學(xué)和物理解釋將認(rèn)為是一種概率分布，那么和實(shí)際上就是對(duì)自變量的期望和方差，或者說(shuō)是一階和二階矩，即根據(jù)定義，時(shí)窗函數(shù)的窗口定義為2.數(shù)學(xué)和物理解釋40根據(jù)矩的性質(zhì)，一階矩表征了信號(hào)的集中位置，二階矩表征了信號(hào)的擴(kuò)展程度。因此，可以理解為信號(hào)的平均時(shí)間或中心位置的定義；可以作為信號(hào)在時(shí)間軸上所占有的有效寬度的度量。從這個(gè)意義上講，Gabor變換表征了信號(hào)在以為中心、左右各為的局部時(shí)間內(nèi)的頻率特性。窗口寬度為，它決定了時(shí)域分辨率。從物理意義上講，可以看成是重心，看成是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。根據(jù)矩的性質(zhì)，一階矩表征了信號(hào)的集中位置，二階矩表41三、小波變換三、小波變換42小波變換在前面我們談到，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析不能依靠傅里葉變換，但可以采用時(shí)頻分析的方法，其中加窗傅里葉變換是最簡(jiǎn)單的一種。但是，它有很大的局限性：當(dāng)基本窗函數(shù)一旦取定，窗口的時(shí)窗寬度和頻窗寬度就固定了，不會(huì)隨時(shí)域和頻域的位移而變化。在實(shí)際應(yīng)用中，這種固定的時(shí)頻窗結(jié)構(gòu)往往不是最佳的，而希望在低頻部分的頻窗比較窄，在高頻部分的頻窗比較寬。為了適應(yīng)這種需求，提出了一種

“自適應(yīng)變化”的時(shí)頻窗結(jié)構(gòu)，便產(chǎn)生了小波變換理論。小波變換在前面我們談到，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析不能依43小波的基本概念小波：指小的波，即是小波，滿足小波特點(diǎn)：由于在整個(gè)實(shí)直線R上是可積的，所以在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)定等于0，也就是說(shuō)，當(dāng)t→±∞時(shí)，衰減到0，由，可看出的圖像與X軸所夾的上半平面中的面積和下半平面積是相等的也就是說(shuō)t變動(dòng)時(shí)候，它是上下波動(dòng)的，這就是小波的來(lái)源。小波的基本概念小波：指小的波，即是小波，滿足小波特點(diǎn)44小波函數(shù)小波變換與傅立葉變換比較，它們的變換核不同：傅立葉變換的變換核為固定的虛指數(shù)函數(shù)（復(fù)三角函數(shù)）e-jwx,而小波變換的變換核為任意的母小波。前者是固定的，而后者是可選的，實(shí)際上母小波有無(wú)窮多種，只要滿足下列條件即可。絕對(duì)可積且平方可積，即正負(fù)部分相抵，即（）滿足允許條件，即為的傅立葉變換小波函數(shù)絕對(duì)可積且平方可積，即正負(fù)部分相抵，即45常見(jiàn)的小波函數(shù)有：Haar小波(AlfredHaar，1910年)：

Haar小波函數(shù)及其Fourier變換常見(jiàn)的小波函數(shù)有：Haar小波(AlfredHaar，1946墨西哥草帽(Mexicanhat)小波：

墨西哥草帽小波函數(shù)及其Fourier變換墨西哥草帽(Mexicanhat)小波：墨西哥草帽小波函47Morlet小波(JeanMorlet，1984年)：

Morlet小波函數(shù)(C=5)及其Fourier變換那小波到底怎么構(gòu)成的呢？Morlet小波(JeanMorlet，1984年)：M48一、連續(xù)小波變換1、母小波（基本小波或小波母函數(shù)）1.1數(shù)學(xué)定義設(shè)，其傅里葉變換為，如果滿足則稱為基本小波或母小波。（1.1.1）式（1.1.1）稱為小波的容許條件，它表明了函數(shù)成為小波的首要條件。一、連續(xù)小波變換1、母小波（基本小波或小波母函數(shù)）（1.1.49在工程應(yīng)用中利用小波分析具體信號(hào)時(shí)，往往優(yōu)先采用現(xiàn)成的性質(zhì)較好的經(jīng)典小波（例如，Morlet小波、Meyer小波和樣條小波等）作為母小波，也可以通過(guò)特定的構(gòu)造算法（例如，緊支集正交小波構(gòu)造算法）生成小波基函數(shù)。小波母函數(shù)特性（1）帶通性質(zhì)（2）零均值和波動(dòng)性（3）“小”特性—時(shí)頻局部化

在工程應(yīng)用中利用小波分析具體信號(hào)時(shí)，往往優(yōu)先采用現(xiàn)成502.連續(xù)小波基函數(shù)將母小波進(jìn)行某種伸縮和平移，就可以得到很多個(gè)與母小波形狀相似但“胖瘦”和“位置”不同的副本，比如按下列式的方式進(jìn)行伸縮和平移，即通常，稱為小波基函數(shù)，其中稱為尺度因子或伸縮因子，稱為平移因子，它們都是連續(xù)變化的量。因此也稱為連續(xù)小波基函數(shù)。2.連續(xù)小波基函數(shù)51系數(shù)的作用是使拉伸變形后函數(shù)的能量保持不變，即或系數(shù)的作用是使拉伸變形后函數(shù)的能量保持不變，即52除了Haar小波外，其他緊支集小波都不是初等函數(shù)，有的小波函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)/積分或微分方程/積分方程來(lái)定義，有的小波用其傅立葉變換定義，有的小波甚至沒(méi)有解析表達(dá)式，而只是一些數(shù)字解，很多小波為復(fù)函數(shù)，所以不太直觀。除了Haar小波外，其他緊支集小波都不是初等函數(shù)，有的小波函533.連續(xù)小波變換的定義有了連續(xù)小波基函數(shù)，就可以將這些函數(shù)作用于能量有限信號(hào)，或者說(shuō)將在這些小波基函數(shù)下進(jìn)行投影分解，這就是連續(xù)小波變換。定義：，函數(shù)的內(nèi)積為定義為函數(shù)的連續(xù)小波變換，簡(jiǎn)稱CWT。變換結(jié)果稱為小波變換系數(shù)。3.連續(xù)小波變換的定義544.連續(xù)小波變換的性質(zhì)假設(shè)信號(hào)矢量和為能量有限信號(hào)，即，其連續(xù)小波變換（CWT）分別表示為和，令，為任意常數(shù)。（1）線性疊加性（2）時(shí)不變性（3）尺度變換（4）內(nèi)積定理（Moyal定理）（5）能量關(guān)系4.連續(xù)小波變換的性質(zhì)555.連續(xù)小波變換5.連續(xù)小波變換56連續(xù)小波變換的過(guò)程連續(xù)小波變換的過(guò)程57二、離散小波變換連續(xù)小波變換必須進(jìn)行離散化最主要原因在于：連續(xù)小波變換系數(shù)是高度冗余的，要試圖通過(guò)離散化，最大程度上消除和降低冗余性。離散小波變換（DWT）是相對(duì)于連續(xù)小波變換（CWT）的變換方法，本質(zhì)上是對(duì)自變量和進(jìn)行離散化處理。1.尺度-位移參數(shù)的離散化（1）將尺度因子按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即二、離散小波變換連續(xù)小波變換必須進(jìn)行離散化最主要原因在于58（2）在同一尺度下，位移因子均勻離散化，即。其中，為大于0的實(shí)常數(shù)，為整數(shù)。離散化后的小波基函數(shù)和小波變換分別為（2）在同一尺度下，位移因子均勻離散化，即59實(shí)際應(yīng)用中，通常取常數(shù)為并簡(jiǎn)記為則離散后的小波變換可以表示為這是一種性質(zhì)較好的二進(jìn)離散方案，其機(jī)理：當(dāng)時(shí)，。小波基函數(shù)均勻地覆蓋了整個(gè)時(shí)間軸，相鄰的小波基函數(shù)之間間隔為1。實(shí)際應(yīng)用中，通常取常數(shù)為并簡(jiǎn)記為60為了不丟失信息，要求此時(shí)的采樣間隔必須滿足Nyquist采樣定理。每當(dāng)m增加1，尺度增加1倍，對(duì)應(yīng)的頻帶減小1/2，根據(jù)Nyquist采樣定理，此時(shí)的采樣頻率可以降低1/2而不丟失任何信息，對(duì)應(yīng)時(shí)域就是采樣間隔可以大1倍。因此，當(dāng)m=1時(shí)，采樣間隔可以取為{0，2，4，6，8，…}；當(dāng)m=2時(shí)，采樣間隔可以取為{0，4，8，12，…}；采樣間隔的通式為。這種離散方案的采樣間隔示意圖如下圖所示。為了不丟失信息，要求此時(shí)的采樣間隔必須滿足Nyqui61

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小波分析全章節(jié)講解課件622.小波框架如果函數(shù)族滿足如下性質(zhì)，即則稱小波基函數(shù)族構(gòu)成了一個(gè)小波框架。上式稱為小波框架條件，它可以表示為等價(jià)的頻域形式，即關(guān)于小波框架，需要說(shuō)明幾點(diǎn)：（1）由小波框架的定義可以知道，并非任何函數(shù)族都能構(gòu)成一個(gè)小波框架。比如當(dāng)尺度-位移因子的乘積時(shí)，就不能構(gòu)成小波框架。（2）小波函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)也構(gòu)成了另一個(gè)框架，且上、下界分別為和.2.小波框架63（3）離散小波變換仍然具有冗余度，但是與連續(xù)小波變換相比，這種冗余度大大降低。3.離散小波逆變換將連續(xù)小波變換進(jìn)行離散化處理后，會(huì)很自然地引申出兩個(gè)問(wèn)題：（1）離散小波變換系數(shù)是否完全表征了原信號(hào)的全部信息，或者說(shuō)，能否從離散小波變換系數(shù)精確地恢復(fù)原信號(hào)。（2）是否任何信號(hào)都可以分解表示為離散小波基的線性組合，而且其中的組合系數(shù)如何求取。（3）離散小波變換仍然具有冗余度，但是與連續(xù)小波變換相比，這64上式兩個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)問(wèn)題。離散小波變換相比于連續(xù)小波變換，其中逆變換要稍微復(fù)雜些，需要借助小波框架和對(duì)偶小波的概念。（I）對(duì)偶小波用于信號(hào)重構(gòu)如果上述第（1）個(gè)問(wèn)題能滿足，通過(guò)適當(dāng)選擇小波母函數(shù)并對(duì)和進(jìn)行適當(dāng)?shù)仉x散處理得到，那么一定存在與相對(duì)應(yīng)的一個(gè)序列，它使得反變換（重建）公式可以表示為此時(shí)，稱為的對(duì)偶。相應(yīng)地，稱為母小波的對(duì)偶母小波。通過(guò)伸縮和平移可以得到對(duì)偶小波基，即上式兩個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)問(wèn)題。離散小波變換相比于連65（II）小波框架如果離散小波基函數(shù)滿足框架定義，根據(jù)框架理論，可以分為以下4種情況進(jìn)行重構(gòu)：（1）當(dāng)A=B=1，框架退化為規(guī)范正交基，對(duì)偶小波與原小波恰好相等，即此時(shí)，離散小波變換的逆變換可以表示為（2）當(dāng)，即為緊框架時(shí)，其對(duì)偶小波與原小波僅相差一個(gè)比例參數(shù)，表示為（II）小波框架66則離散小波變換的逆變換可以表示為（3）當(dāng)，但A與B比較接近時(shí)，可以取一階近似為這種框架稱為幾乎緊框架，則離散小波變換的逆變換可以表示為小波分析全章節(jié)講解課件67（4）當(dāng)，但A與B相差甚遠(yuǎn)時(shí)，反變換一般不能直接應(yīng)用，而必須先求出才能代入標(biāo)準(zhǔn)公式，即但是對(duì)偶小波的求取方法比較復(fù)雜，因此，這種處理方法在實(shí)際應(yīng)用中不常見(jiàn)。（4）當(dāng)，但A與B相差甚遠(yuǎn)時(shí)，反變換一般不能直接68三、多分辨率分析（多尺度分析）作用：將信號(hào)分解成不同空間的部分，另外，它也提供了一種構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，還能提供數(shù)字信號(hào)分解與重構(gòu)的快速算法。切入點(diǎn)：將從函數(shù)空間出發(fā)，通過(guò)濾波器組和函數(shù)空間。三、多分辨率分析（多尺度分析）作用：將信號(hào)分解成不同空間的部69濾波器組法函數(shù)空間法小波分解樹(shù)雙通道濾波過(guò)程濾波器組法函數(shù)空間法小波分解樹(shù)70離散小波變換可以用來(lái)分析或者叫做分解信號(hào)，這個(gè)過(guò)程叫做分解或者叫做分析。把分解的系數(shù)還原成原始信號(hào)的過(guò)程叫做小波重構(gòu)或者叫做合成，數(shù)學(xué)上叫做逆離散小波變換。

在使用濾波器做小波變換時(shí)包含濾波和降采樣兩個(gè)過(guò)程，在小波重構(gòu)時(shí)要包含升采樣和濾波過(guò)程。小波重構(gòu)的方法如圖所示，圖中的符號(hào)表示升采樣。離散小波變換可以用來(lái)分析或者叫做分解信號(hào)，這個(gè)過(guò)程叫做分解或71小波重構(gòu)頻域構(gòu)造法時(shí)域構(gòu)造法小波重構(gòu)頻域構(gòu)造法72小波變換的應(yīng)用一、小波變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用1基本理論小波是指函數(shù)空間中滿足下述條件的一個(gè)函數(shù)或者信號(hào)這里，表示非零實(shí)數(shù)全體．對(duì)于任意的函數(shù)或者信號(hào)f()，其小波變換定義為因此，對(duì)任意的函數(shù)f()，它的小波變換是一個(gè)二元函數(shù)．小波變換的應(yīng)用一、小波變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用1基本理論73小波分析全章節(jié)講解課件74小波分析全章節(jié)講解課件75小波分析全章節(jié)講解課件76小波分析全章節(jié)講解課件77小波分析全章節(jié)講解課件78變換實(shí)例小波圖像分解與重構(gòu)示意圖利用小波變換，用戶可以按照應(yīng)用要求獲得不同分辨率的圖像。如圖下圖所示，其中，(a)表示原始的Lena圖像，(b)表示通過(guò)一級(jí)(level)小波變換可得到1/4分辨率的圖像，(c)表示通過(guò)二級(jí)小波變換可得到1/8分辨率的圖像，(d)表示通過(guò)三級(jí)小波變換可得到1/16分辨率的圖像。變換實(shí)例小波圖像分解與重構(gòu)示意圖利用小波變換，用戶可以按照應(yīng)79使用小波分解產(chǎn)生多種分辨率圖像使用小波分解產(chǎn)生多種分辨率圖像80閾值處理可用于去除圖像中的噪聲。在取不同閾值的情況下重構(gòu)圖像，可觀察到圖像質(zhì)量發(fā)生的變化，如圖所示。其中，(a)表示原始的Lena圖像，(b)表示閾值5的重構(gòu)圖像，(c)表示閾值10的重構(gòu)圖像，而(d)則表示閾值20的重構(gòu)圖像。從圖中可以看到，隨著閾值的增大，圖像質(zhì)量也隨之降低。閾值處理可用于去除圖像中的噪聲。在取不同閾值的情況下重構(gòu)圖像81小波分析全章節(jié)講解課件82圖像的非標(biāo)準(zhǔn)分解方法圖像的非標(biāo)準(zhǔn)分解方法83小波分析全章節(jié)講解課件84小波其他理論小波去噪邊緣檢測(cè)小波其他理論小波去噪85謝謝謝謝86小波分析全章節(jié)講解課件87小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。

小波變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過(guò)物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地。一、小波的發(fā)展小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)88

小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別；音樂(lè)與語(yǔ)言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如：在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識(shí)別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：89傅里葉（Fourier)分析是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信號(hào)處理的出發(fā)點(diǎn)。它將信號(hào)分析從時(shí)間域變換到了頻率域。泛函分析是20世紀(jì)初開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它是以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析手段，它用更加抽象的概念來(lái)描述熟知的對(duì)象。傅里葉（Fourier)分析是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信90小波理論是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之一。小波變換是對(duì)傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換的發(fā)展，為信號(hào)分析、圖像處理、量子物理及其他非線性科學(xué)的研究域帶來(lái)革命的影響。小波理論是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之911、傅里葉變換（1）傅里葉（FT）定義

其中，式（1.2）稱為傅里葉反變換（IFT)

（1.1）

（1.2）

二、傅里葉分析(連續(xù))1、傅里葉變換（1）傅里葉（FT）定義其中，式（1.2）稱為92(2)FT的性質(zhì)1.對(duì)偶性利用對(duì)偶性可以方便地得到一些函數(shù)的傅里葉變換或反變換公式，即

(2)FT的性質(zhì)1.對(duì)偶性932.位移時(shí)域位移將導(dǎo)致信號(hào)頻譜增加一個(gè)附加相位，但是幅頻特性不變，即2.位移943.卷積卷積特性分為時(shí)域卷積和頻域卷積，即3.卷積954.Parseval定理（內(nèi)積定理）它表明兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域和頻域中的內(nèi)積之間的關(guān)系，即

特別當(dāng)時(shí)，有

上式實(shí)際上給出了信號(hào)的能量關(guān)系。在時(shí)域和頻域的總能量是相等的，故也稱為能量守恒定理。

4.Parseval定理（內(nèi)積定理）特別當(dāng)96信號(hào)在一個(gè)域內(nèi)的伸縮會(huì)導(dǎo)致在

另一個(gè)域的相反方向上的伸縮。5.尺度伸縮在小波分析中，有著大量涉及信號(hào)在時(shí)域和頻域的伸縮和變尺度分析。信號(hào)在一個(gè)域內(nèi)的伸縮會(huì)導(dǎo)致在

另一個(gè)域的相反方向上的伸縮。597傅里葉變換(離散)時(shí)域離散信號(hào)也可以根據(jù)是否為周期性，分為離散時(shí)間序列傅里葉變換（DTFT）和離散傅里葉變換（DFT）。1.DTFT

傅里葉變換(離散)時(shí)域離散信號(hào)也可以根據(jù)是否為周期性，分為離982.DFT小波分析全章節(jié)講解課件99三、泛函分析1.函數(shù)空間（1）線性空間例：平方可積函數(shù)空間

（2）賦范線性空間例：

三、泛函分析1.函數(shù)空間100（3）巴拿赫（Banach)空間（4）希爾伯特（Hilbert）空間例1：對(duì)于線性空間，定義內(nèi)積為例2：在n維歐氏空間中，，定義內(nèi)積為

（3）巴拿赫（Banach)空間例2：在n維歐氏空間中1012.基底及展開(kāi)（1）由函數(shù)序列張成的空間設(shè)為函數(shù)序列，令集合為即為函數(shù)序列的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合，則稱為序列張成的線性空間，簡(jiǎn)記為2.基底及展開(kāi)102（2）基底若序列線性無(wú)關(guān)，則，式中的系數(shù)的取值是惟一的。此時(shí)，就稱為空間的一組基底。（3）正交（直交）設(shè)x,y為內(nèi)積空間中的兩個(gè)元素，若內(nèi)積，則稱x,y相互正交，簡(jiǎn)記為。（2）基底（3）正交（直交）103（4）規(guī)范正交基若內(nèi)積空間中的基底滿足則稱為中的規(guī)范正交基（標(biāo)準(zhǔn)正交基）。故都可以展開(kāi)成為

并且有Parseval等式，即（4）規(guī)范正交基104（5）雙正交基對(duì)于不滿足規(guī)范正交條件的基底來(lái)說(shuō)，如果存在另一組對(duì)偶基底使得對(duì)應(yīng)的傅里葉展開(kāi)式為

規(guī)范正交性存在于原基底與對(duì)偶基底之間，展開(kāi)式也相應(yīng)的由原基底和對(duì)偶基底構(gòu)成，這種基稱為雙正交基，與互為對(duì)偶基底。（5）雙正交基105（6）框架設(shè)H為Hilbert空間，為H中的一個(gè)函數(shù)序列，若，都存在實(shí)數(shù)A,B使得則稱為框架，其中A,B分別稱為框架的上、下界。當(dāng)A=B時(shí)，此框架稱為緊框架；尤其當(dāng)A=B=1時(shí)，此緊框架就變?yōu)橐?guī)范正交基。（6）框架1063.從泛函角度描述傅里葉變換（1）用內(nèi)積表示傅里葉變換內(nèi)積空間中的函數(shù)，其傅里葉變換可用內(nèi)積表示為

（2）用基底表示函數(shù)的展開(kāi)3.從泛函角度描述傅里葉變換107三、窗口傅里葉變換（傅里葉→小波）由于傳統(tǒng)傅里葉分析只適用于平穩(wěn)信號(hào)，在進(jìn)行非平穩(wěn)信號(hào)的分析時(shí)通常采用時(shí)頻處理方法，它將一維時(shí)域信號(hào)分解為二維時(shí)域—頻域聯(lián)合分布表示。傳統(tǒng)傅里葉分析不適用于時(shí)變信號(hào)的分析，但是可以在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行加窗處理，窗內(nèi)的信號(hào)認(rèn)為是準(zhǔn)平穩(wěn)的，對(duì)它們可以采用平穩(wěn)信號(hào)的分析方法，如頻譜分析和功率譜分析。這就是窗口傅里葉變換。三、窗口傅里葉變換（傅里葉→小波）由于傳統(tǒng)傅里葉分析只適108為了彌補(bǔ)Fourier變換不能時(shí)空定位的不足，工程技術(shù)領(lǐng)域長(zhǎng)期以來(lái)一直采用D.Gabor開(kāi)發(fā)的窗口Fourier變換（短時(shí)Fourier變換），來(lái)對(duì)時(shí)空信號(hào)進(jìn)行分段或分塊的時(shí)空-頻譜分析（時(shí)頻分析）。窗口Fourier變換：其中，g為窗口函數(shù)（參見(jiàn)圖10-3）。為了彌補(bǔ)Fourier變換不能時(shí)空定位的不足，工程技術(shù)領(lǐng)109小波分析全章節(jié)講解課件110小波分析全章節(jié)講解課件111雖然窗口Fourier變換能部分解決Fourier變換時(shí)空定位問(wèn)題，但由于窗口的大小是固定的，對(duì)頻率波動(dòng)不大的平穩(wěn)信號(hào)還可以，但對(duì)音頻、圖像等突變定信號(hào)就成問(wèn)題了。本來(lái)對(duì)高頻信號(hào)應(yīng)該用較小窗口，以提高分析精度；而對(duì)低頻信號(hào)應(yīng)該用較大窗口，以避免丟失低頻信息；而窗口Fourier變換則不論頻率的高低，都統(tǒng)一用同樣寬度的窗口來(lái)進(jìn)行變換，所以分析結(jié)果的精度不夠或效果不好。迫切需要一種更好的時(shí)頻分析方法。雖然窗口Fourier變換能部分解決Fourier變換時(shí)空定112窗口傅里葉變換的方法時(shí)頻分析時(shí)域-頻域聯(lián)合分加窗時(shí)頻分析窗口傅里葉變換的方法時(shí)頻分析113（1)傳統(tǒng)傅里葉分析的局限性傳統(tǒng)的傅里葉分析在平穩(wěn)信號(hào)的分析和處理中具有重要作用。它將時(shí)間域內(nèi)復(fù)雜信號(hào)的分析轉(zhuǎn)換為頻率域內(nèi)的具有簡(jiǎn)單參數(shù)的頻譜密度的分析，或者分解為頻域內(nèi)的具有簡(jiǎn)單形狀的信號(hào)之和。這種從一個(gè)分析域轉(zhuǎn)換到另一個(gè)分析域的方法是信號(hào)分析中的常用方法。但是現(xiàn)實(shí)世界中的很多信號(hào)，例如，腦電波信號(hào)、地震信號(hào)、語(yǔ)音信號(hào)等，都是非平穩(wěn)的。這些信號(hào)的頻率是時(shí)變的。對(duì)于這種信號(hào)的準(zhǔn)確描述，必須使用具有局部性能的時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示，或者說(shuō)必須提取特定時(shí)間段和頻率段內(nèi)的信號(hào)特性。這時(shí)，傳統(tǒng)的傅里葉分析就顯得無(wú)能為力了。傅里葉變換所描述的是整個(gè)時(shí)間段內(nèi)頻率的特性，或者說(shuō)它是一種全局的變換而沒(méi)有刻畫出特定時(shí)間段或頻率段的特性。（一）時(shí)頻分析（1)傳統(tǒng)傅里葉分析的局限性（一）時(shí)頻分析114對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析，一種有效的方法是時(shí)域-頻域二維聯(lián)合分析。信號(hào)從一維時(shí)域表示分解為時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示，用以描述信號(hào)在不同時(shí)刻的頻率分布情況。常用的時(shí)頻分析手段有窗口傅里葉變換、小波變換和Wigner-Ville分布等。(2)時(shí)域-頻域聯(lián)合分析(2)時(shí)域-頻域聯(lián)合分析115雖然時(shí)變信號(hào)的頻率特性隨著時(shí)間而改變，但是這種改變是漸變的而非突變的，也就是說(shuō)，在一個(gè)特定的足夠小的區(qū)間（窗）內(nèi)，可以認(rèn)為信號(hào)的特性是不變的，信號(hào)是局部穩(wěn)定的或準(zhǔn)平穩(wěn)的。雖然時(shí)變信號(hào)的頻率特性隨著時(shí)間而改變，但是這種改116（二）加窗時(shí)頻分析1.時(shí)窗處理將信號(hào)在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行分段，等效于用位置不同的窗函數(shù)與原信號(hào)相乘的結(jié)果，如下圖所示。在時(shí)域內(nèi)，時(shí)間函數(shù)一般選取具有能量局部化的函數(shù)。先選定一個(gè)基本窗函數(shù)，然后將沿時(shí)間軸平移得到一組窗函數(shù)，其中為時(shí)間位移。平移后的窗函數(shù)分別與原信號(hào)相乘，其結(jié)果就等效于提取了原信號(hào)的不同時(shí)間段內(nèi)的信息而屏蔽了段外的信號(hào)。（二）加窗時(shí)頻分析1.時(shí)窗處理1170ttt000ttt00118最簡(jiǎn)單的時(shí)間窗是矩形窗函數(shù)，如上圖所示。但是也可以根據(jù)需要選擇其他的窗函數(shù)，如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函數(shù)具有非常良好的時(shí)域局部化性質(zhì)：（1）具有時(shí)域緊支集。（2）窗內(nèi)信號(hào)保持原樣。（3）窗外信號(hào)完全衰減為0，完全地屏蔽了窗外信號(hào)。（4）窗的過(guò)渡帶為“陡”的階躍跳變，因此，沒(méi)有平滑的衰減過(guò)渡帶和窗拖尾。根據(jù)常用傅里葉變換，矩形窗函數(shù)的頻譜為sinc函數(shù)，它有著很長(zhǎng)的拖尾。這就引入了帶外頻譜干擾，或者說(shuō)在頻域內(nèi)的局部化特性不夠好，給帶內(nèi)信號(hào)的分析帶來(lái)了干擾。最簡(jiǎn)單的時(shí)間窗是矩形窗函數(shù)，如上圖所示。但是也可1192.頻窗處理加頻窗處理實(shí)際上是將信號(hào)通過(guò)濾波器組，或者說(shuō)將信號(hào)分別與多個(gè)頻窗相乘。頻窗是由低通濾波器在頻率軸上的平移而形成的一系列帶通濾波器，其中為頻率位移。帶通濾波器組的作用就是提取信號(hào)在特定頻率段（頻帶）內(nèi)的信息而屏蔽頻帶外信號(hào)。2.頻窗處理120（三）窗口傅里葉變換的基本思想1946年，Gabor提出了窗口傅里葉:變換在傳統(tǒng)的傅里葉分析之前，對(duì)信號(hào)進(jìn)行了加窗處理。這里的窗函數(shù)的選擇有些特殊：首先，它時(shí)實(shí)對(duì)稱函數(shù)；其次，它在某個(gè)小區(qū)間內(nèi)衰減很小，而在區(qū)間外迅速衰減為0。Gabor在最初的處理中采用的時(shí)Gauss窗作為基本窗函數(shù)，通過(guò)在時(shí)間軸上平移得到一組窗函數(shù)。（三）窗口傅里葉變換的基本思想1946年，Gab121Gabor變換的定義如下：設(shè)，即，且為實(shí)對(duì)稱函數(shù)，則信號(hào)的窗口傅里葉變換（Gabor)變換定義為其中，稱為基本窗函數(shù)，其能量集中于附近，在遠(yuǎn)離區(qū)域，它迅速衰減為0。Gabor變換的定義如下：122保留了信號(hào)在附近的信息而屏蔽了遠(yuǎn)區(qū)信息。是將窗函數(shù)平移到，因此，保留的是附近的信號(hào)信息。故，實(shí)際上分析了附近的頻率特性。保留了信號(hào)在附近的信息而屏蔽123（四）時(shí)窗、頻窗和時(shí)頻窗窗函數(shù)的中心和寬度，分別表征窗函數(shù)的位置和集中程度的度量信息。1.時(shí)窗與其度量（1）基本定義在窗函數(shù)滿足，即下，定義時(shí)窗中心為（四）時(shí)窗、頻窗和時(shí)頻窗窗函數(shù)的中心和寬度，分別124定義時(shí)窗寬度為通常情況下，要求窗函數(shù)具有歸一化能量，即故有：定義時(shí)窗寬度為1252.數(shù)學(xué)和物理解釋將認(rèn)為是一種概率分布，那么和實(shí)際上就是對(duì)自變量的期望和方差，或者說(shuō)是一階和二階矩，即根據(jù)定義，時(shí)窗函數(shù)的窗口定義為2.數(shù)學(xué)和物理解釋126根據(jù)矩的性質(zhì)，一階矩表征了信號(hào)的集中位置，二階矩表征了信號(hào)的擴(kuò)展程度。因此，可以理解為信號(hào)的平均時(shí)間或中心位置的定義；可以作為信號(hào)在時(shí)間軸上所占有的有效寬度的度量。從這個(gè)意義上講，Gabor變換表征了信號(hào)在以為中心、左右各為的局部時(shí)間內(nèi)的頻率特性。窗口寬度為，它決定了時(shí)域分辨率。從物理意義上講，可以看成是重心，看成是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。根據(jù)矩的性質(zhì)，一階矩表征了信號(hào)的集中位置，二階矩表127三、小波變換三、小波變換128小波變換在前面我們談到，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析不能依靠傅里葉變換，但可以采用時(shí)頻分析的方法，其中加窗傅里葉變換是最簡(jiǎn)單的一種。但是，它有很大的局限性：當(dāng)基本窗函數(shù)一旦取定，窗口的時(shí)窗寬度和頻窗寬度就固定了，不會(huì)隨時(shí)域和頻域的位移而變化。在實(shí)際應(yīng)用中，這種固定的時(shí)頻窗結(jié)構(gòu)往往不是最佳的，而希望在低頻部分的頻窗比較窄，在高頻部分的頻窗比較寬。為了適應(yīng)這種需求，提出了一種

“自適應(yīng)變化”的時(shí)頻窗結(jié)構(gòu)，便產(chǎn)生了小波變換理論。小波變換在前面我們談到，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析不能依129小波的基本概念小波：指小的波，即是小波，滿足小波特點(diǎn)：由于在整個(gè)實(shí)直線R上是可積的，所以在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)定等于0，也就是說(shuō)，當(dāng)t→±∞時(shí)，衰減到0，由，可看出的圖像與X軸所夾的上半平面中的面積和下半平面積是相等的也就是說(shuō)t變動(dòng)時(shí)候，它是上下波動(dòng)的，這就是小波的來(lái)源。小波的基本概念小波：指小的波，即是小波，滿足小波特點(diǎn)130小波函數(shù)小波變換與傅立葉變換比較，它們的變換核不同：傅立葉變換的變換核為固定的虛指數(shù)函數(shù)（復(fù)三角函數(shù)）e-jwx,而小波變換的變換核為任意的母小波。前者是固定的，而后者是可選的，實(shí)際上母小波有無(wú)窮多種，只要滿足下列條件即可。絕對(duì)可積且平方可積，即正負(fù)部分相抵，即（）滿足允許條件，即為的傅立葉變換小波函數(shù)絕對(duì)可積且平方可積，即正負(fù)部分相抵，即131常見(jiàn)的小波函數(shù)有：Haar小波(AlfredHaar，1910年)：

Haar小波函數(shù)及其Fourier變換常見(jiàn)的小波函數(shù)有：Haar小波(AlfredHaar，19132墨西哥草帽(Mexicanhat)小波：

墨西哥草帽小波函數(shù)及其Fourier變換墨西哥草帽(Mexicanhat)小波：墨西哥草帽小波函133Morlet小波(JeanMorlet，1984年)：

Morlet小波函數(shù)(C=5)及其Fourier變換那小波到底怎么構(gòu)成的呢？Morlet小波(JeanMorlet，1984年)：M134一、連續(xù)小波變換1、母小波（基本小波或小波母函數(shù)）1.1數(shù)學(xué)定義設(shè)，其傅里葉變換為，如果滿足則稱為基本小波或母小波。（1.1.1）式（1.1.1）稱為小波的容許條件，它表明了函數(shù)成為小波的首要條件。一、連續(xù)小波變換1、母小波（基本小波或小波母函數(shù)）（1.1.135在工程應(yīng)用中利用小波分析具體信號(hào)時(shí)，往往優(yōu)先采用現(xiàn)成的性質(zhì)較好的經(jīng)典小波（例如，Morlet小波、Meyer小波和樣條小波等）作為母小波，也可以通過(guò)特定的構(gòu)造算法（例如，緊支集正交小波構(gòu)造算法）生成小波基函數(shù)。小波母函數(shù)特性（1）帶通性質(zhì)（2）零均值和波動(dòng)性（3）“小”特性—時(shí)頻局部化

在工程應(yīng)用中利用小波分析具體信號(hào)時(shí)，往往優(yōu)先采用現(xiàn)成1362.連續(xù)小波基函數(shù)將母小波進(jìn)行某種伸縮和平移，就可以得到很多個(gè)與母小波形狀相似但“胖瘦”和“位置”不同的副本，比如按下列式的方式進(jìn)行伸縮和平移，即通常，稱為小波基函數(shù)，其中稱為尺度因子或伸縮因子，稱為平移因子，它們都是連續(xù)變化的量。因此也稱為連續(xù)小波基函數(shù)。2.連續(xù)小波基函數(shù)137系數(shù)的作用是使拉伸變形后函數(shù)的能量保持不變，即或系數(shù)的作用是使拉伸變形后函數(shù)的能量保持不變，即138除了Haar小波外，其他緊支集小波都不是初等函數(shù)，有的小波函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)/積分或微分方程/積分方程來(lái)定義，有的小波用其傅立葉變換定義，有的小波甚至沒(méi)有解析表達(dá)式，而只是一些數(shù)字解，很多小波為復(fù)函數(shù)，所以不太直觀。除了Haar小波外，其他緊支集小波都不是初等函數(shù)，有的小波函1393.連續(xù)小波變換的定義有了連續(xù)小波基函數(shù)，就可以將這些函數(shù)作用于能量有限信號(hào)，或者說(shuō)將在這些小波基函數(shù)下進(jìn)行投影分解，這就是連續(xù)小波變換。定義：，函數(shù)的內(nèi)積為定義為函數(shù)的連續(xù)小波變換，簡(jiǎn)稱CWT。變換結(jié)果稱為小波變換系數(shù)。3.連續(xù)小波變換的定義1404.連續(xù)小波變換的性質(zhì)假設(shè)信號(hào)矢量和為能量有限信號(hào)，即，其連續(xù)小波變換（CWT）分別表示為和，令，為任意常數(shù)。（1）線性疊加性（2）時(shí)不變性（3）尺度變換（4）內(nèi)積定理（Moyal定理）（5）能量關(guān)系4.連續(xù)小波變換的性質(zhì)1415.連續(xù)小波變換5.連續(xù)小波變換142連續(xù)小波變換的過(guò)程連續(xù)小波變換的過(guò)程143二、離散小波變換連續(xù)小波變換必須進(jìn)行離散化最主要原因在于：連續(xù)小波變換系數(shù)是高度冗余的，要試圖通過(guò)離散化，最大程度上消除和降低冗余性。離散小波變換（DWT）是相對(duì)于連續(xù)小波變換（CWT）的變換方法，本質(zhì)上是對(duì)自變量和進(jìn)行離散化處理。1.尺度-位移參數(shù)的離散化（1）將尺度因子按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即二、離散小波變換連續(xù)小波變換必須進(jìn)行離散化最主要原因在于144（2）在同一尺度下，位移因子均勻離散化，即。其中，為大于0的實(shí)常數(shù)，為整數(shù)。離散化后的小波基函數(shù)和小波變換分別為（2）在同一尺度下，位移因子均勻離散化，即145實(shí)際應(yīng)用中，通常取常數(shù)為并簡(jiǎn)記為則離散后的小波變換可以表示為這是一種性質(zhì)較好的二進(jìn)離散方案，其機(jī)理：當(dāng)時(shí)，。小波基函數(shù)均勻地覆蓋了整個(gè)時(shí)間軸，相鄰的小波基函數(shù)之間間隔為1。實(shí)際應(yīng)用中，通常取常數(shù)為并簡(jiǎn)記為146為了不丟失信息，要求此時(shí)的采樣間隔必須滿足Nyquist采樣定理。每當(dāng)m增加1，尺度增加1倍，對(duì)應(yīng)的頻帶減小1/2，根據(jù)Nyquist采樣定理，此時(shí)的采樣頻率可以降低1/2而不丟失任何信息，對(duì)應(yīng)時(shí)域就是采樣間隔可以大1倍。因此，當(dāng)m=1時(shí)，采樣間隔可以取為{0，2，4，6，8，…}；當(dāng)m=2時(shí)，采樣間隔可以取為{0，4，8，12，…}；采樣間隔的通式為。這種離散方案的采樣間隔示意圖如下圖所示。為了不丟失信息，要求此時(shí)的采樣間隔必須滿足Nyqui147

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小波分析全章節(jié)講解課件1482.小波框架如果函數(shù)族滿足如下性質(zhì)，即則稱小波基函數(shù)族構(gòu)成了一個(gè)小波框架。上式稱為小波框架條件，它可以表示為等價(jià)的頻域形式，即關(guān)于小波框架，需要說(shuō)明幾點(diǎn)：（1）由小波框架的定義可以知道，并非任何函數(shù)族都能構(gòu)成一個(gè)小波框架。比如當(dāng)尺度-位移