連續(xù)離散控制系統(tǒng)課件第7章連續(xù)域現代控制理論基礎

第7章連續(xù)域現代控制理論基礎吉林大學儀器科學與電氣工程學院隨陽軼連續(xù)與離散控制系統(tǒng)第7章連續(xù)域現代控制理論基礎吉林大學儀器科學與電氣工程學1主要內容線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解控制系統(tǒng)的可控性和可觀性線性定常系統(tǒng)的線性變換控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計主要內容線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解27.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解現代控制理論建立了狀態(tài)的概念，以狀態(tài)方程為基礎，以線性矩陣理論為數學工具，以計算機技術為依托，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于線性時變和非線性系統(tǒng)的分析、綜合?，F代控制理論用狀態(tài)揭示系統(tǒng)內部狀況，研究輸入—狀態(tài)—輸出的因果關系，這就從內部、從本質上掌握了系統(tǒng)的關系，因而可以根據設計要求和性能指標求得最優(yōu)控制規(guī)律。7.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解現代控制理論建立了狀態(tài)的概念，3狀態(tài)空間表達式的一般形式輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化是一個動態(tài)過程，用微分方程或差分方程表示，稱為狀態(tài)方程。狀態(tài)和輸入決定輸出的變化是一個變量間的轉換過程，描述這種轉換的表達式稱為輸出方程。狀態(tài)空間表達式的一般形式輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化是一個動態(tài)過程47.1.1齊次狀態(tài)方程的解在狀態(tài)方程中令u=0，得稱為齊次狀態(tài)方程。其解為u=0時由初始條件所引起的自由運動。設解為代入齊次狀態(tài)方程得由于狀態(tài)方程的解對任意的t都成立，則7.1.1齊次狀態(tài)方程的解在狀態(tài)方程5齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)1）代入解方程得：齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)1）代入解方程得：6齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)2）初始條件：由矩陣理論：則齊次狀態(tài)方程的解為該解說明由初始狀態(tài)x(0)到達狀態(tài)x(t)的轉移過程是一個指數形式。其中eAt稱為矩陣指數，又稱為狀態(tài)轉移矩陣，記為Φ(t)齊次狀態(tài)方程的解歸結為求解矩陣指數eAt，多為計算機求解。齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)2）初始條件：由矩陣理論：則齊次狀態(tài)方程7計算線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣按矩陣指數的定義計算；通過線性變換計算；待定系數法(應用凱萊-哈密頓定理)；拉普拉斯變換法。計算線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣按矩陣指數的定義計算；8拉氏變換求狀態(tài)轉移矩陣對齊次狀態(tài)方程進行拉氏變換，得例7.1求解齊次狀態(tài)方程解：拉氏變換求狀態(tài)轉移矩陣對齊次狀態(tài)方程進行拉氏變換，得例7.197.1.2非齊次狀態(tài)方程的解當u(t)≠0時狀態(tài)方程的解稱為非齊次狀態(tài)方程的解或受迫系統(tǒng)的解，它是系統(tǒng)對輸入信號的完全響應。使用拉氏變換法求解：7.1.2非齊次狀態(tài)方程的解當u(t)≠0時狀態(tài)方程的解稱10求非齊次狀態(tài)方程的解舉例例7.2求解狀態(tài)空間方程，u(t)=I(t)，x(0)=0。解：求非齊次狀態(tài)方程的解舉例例7.2求解狀態(tài)空間方程，u(t)=117.2控制系統(tǒng)的可控性和可觀性控制系統(tǒng)的可控性和可觀性是現代控制理論的獨特概念。狀態(tài)變量的非唯一性，使我們有必要研究狀態(tài)向量的每一個分量能否可以由控制量所控制，從而達到所期望的狀態(tài)，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可控性問題。還要研究能否通過對輸出量的測量而獲得狀態(tài)的信息，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可觀性問題。7.2控制系統(tǒng)的可控性和可觀性控制系統(tǒng)的可控性和可觀性是現代127.2.1系統(tǒng)可控性容許控制：若在[t0，∞]區(qū)間內u為分段連續(xù)函數向量，則稱其為容許控制。可控性定義：若存在一個無約束的容許控制向量u(t)，能在有限的時間間隔[t0，t1]內將系統(tǒng)的某一個狀態(tài)xi由其初態(tài)xi(t0)轉移到任意的終態(tài)xi(t1)，那么就稱該狀態(tài)xi是可控的；若系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量都可控，則稱系統(tǒng)是可控的。有一個及以上的狀態(tài)變量不可控，則稱系統(tǒng)是不可控的。7.2.1系統(tǒng)可控性容許控制：若在[t0，∞]區(qū)間內u為分段13可控性實例RC橋形電路(a)，C1=C2，R1=R2。選電容電壓為各自狀態(tài)變量，且設電容上的初始電壓為零，則兩個狀態(tài)變量恒相等。相平面圖(b)中，相軌跡為一條直線，即不論電源電壓如何變動，都不能使狀態(tài)變量離開這條直線。顯然，它是不完全可控的。可控性實例RC橋形電路(a)，C1=C2，R1=R2。選電14線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據1.可控性矩陣判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件：即，完全可控的條件是：可控性矩陣滿秩。例7.3系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用可控性矩陣判據。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據1.可控性矩陣判據線性定常連續(xù)15可控性矩陣判據舉例（續(xù)）將M進行初等變換rankM=3，可控性矩陣M為滿秩，所以系統(tǒng)完全可控。可控性矩陣判據舉例（續(xù)）將M進行初等變換rankM=3，可16可控性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件，對矩陣A的所有特征值λi(i=1，2，…，n)

例7.4系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用PBH秩判據。可控性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控17PBH秩判據舉例（續(xù)1）系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征方程為故系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征值為PBH秩判據舉例（續(xù)1）系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征方程為故系統(tǒng)狀18PBH秩判據舉例（續(xù)2）將各個特征值代入得到完全可控PBH秩判據舉例（續(xù)2）將各個特征值代入得到完全可控19輸出可控性1.輸出可控性的定義：如果能構造一個無約束的控制向量u(t)，在有限的時間間隔t0≤t≤t1內，使任一給定的初始輸出y(t0)轉移到任一最終輸出y(t1)，那么稱系統(tǒng)為輸出完全可控的。2.輸出可控性判據：輸出完全可控的充分必要條件為：當且僅當矩陣的秩等于輸出變量的維數m時，即rankM0=m

輸出可控性1.輸出可控性的定義：如果能構造一個無約束的控制20輸出可控性舉例例7.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下，試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。解：狀態(tài)可控性矩陣為由于|M|=0，rankM<2，故狀態(tài)不完全可控。輸出可控性矩陣為rankM0=1=m。故輸出可控。輸出可控性舉例例7.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下，試判217.2.2系統(tǒng)可觀測性可觀測性的定義：如果在有限時間區(qū)間[t0,t1]內，根據測量到的輸出向量y(t)和輸入向量u(t)，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻狀態(tài)xi(t0)，則稱xi(t0)在[t0,t1]上是可觀測的；若系統(tǒng)所有狀態(tài)x(t)都在[t0,t1]上可觀測，則稱系統(tǒng)是可觀測的。7.2.2系統(tǒng)可觀測性可觀測性的定義：如果在有限時間區(qū)間[22可觀性實例選擇電感中的電流il以及電容上的電壓uc作為狀態(tài)變量。當電橋平衡時，il作為電路的一個狀態(tài)是不能由輸出變量uc來確定的，所以該電路是不可觀測的?？捎^性實例選擇電感中的電流il以及電容上的電壓uc作為狀態(tài)變23可觀測性判據1.可觀測性矩陣判據：完全可觀測的充要條件是：或是例7.6判斷下列系統(tǒng)的可觀測性解：可觀測性判據1.可觀測性矩陣判據：完全可觀測的充要條件是：或24可觀測性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據：完全可觀測的充要條件是：對矩陣A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，下式均成立?？捎^測性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據：完全可觀測的充要條件25零極點對消時可觀性和可控性討論：所描述的系統(tǒng)，則傳遞函數為(1)選則：可控性/可觀性：不可控！可觀！零極點對消時可觀性和可控性討論：26零極點對消時可觀性和可控性(二)取中間變量z，則選可控！不可觀！結論：視狀態(tài)變量的不同，系統(tǒng)或是不可觀或是不可控零極點對消時可觀性和可控性(二)取中間變量z，則選可控！不可277.3線性定常系統(tǒng)的線性變換7.3.3化系統(tǒng){A，B}為可控標準型

1.單變量系統(tǒng)的可控標準型7.3線性定常系統(tǒng)的線性變換7.3.3化系統(tǒng){A，B}為可控28化系統(tǒng)為可控標準型設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為通過非奇異線性變換可將上式變?yōu)樵Oa0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項式系數化系統(tǒng)為可控標準型設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為通過非奇異線性變換297.3.4化系統(tǒng){A,C}為可觀測標準型1.單變量系統(tǒng)的可觀測標準型7.3.4化系統(tǒng){A,C}為可觀測標準型1.單變量系統(tǒng)的30化系統(tǒng)為可觀測標準型設a0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項式系數對于完全可觀系統(tǒng)，取非奇異線性變換矩陣化系統(tǒng)為可觀測標準型設a0，a1，…，an-1為矩陣A的特31轉成可控和可觀測標準型舉例

例7.7將其轉換成可控標準型和可觀測標準型。解：(1)判斷系統(tǒng)能控性秩為3，所以系統(tǒng)完全可控，故可變換標準型。系統(tǒng)的特征多項式為：即a0=-4，a1=8，a2=-5。轉成可控和可觀測標準型舉例例7.7將其轉換成可控標準型和可32轉成標準型舉例（續(xù)1）經變換，可得可控標準型轉成標準型舉例（續(xù)1）經變換，可得可控標準型33轉成標準型舉例（續(xù)2）(2)判斷系統(tǒng)可觀測性其秩為3，故系統(tǒng)完全可觀測，可變換為可觀測標準型。變換矩陣為經變換，可得可觀測標準型轉成標準型舉例（續(xù)2）(2)判斷系統(tǒng)可觀測性其秩為3，故系347.4控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計由于經典控制理論是用傳遞函數來描述的，它只能用輸出量作為反饋量。而現代控制理論由于采用系統(tǒng)內部的狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經常采用狀態(tài)反饋。在進行系統(tǒng)的分析綜合時，狀態(tài)反饋將能提供更多的校正信息，因而在形成最優(yōu)控制規(guī)律、抑制擾動影響、實現系統(tǒng)解耦控制等諸方面，狀態(tài)反饋均獲得了廣泛應用。7.4控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計由于經典控制理論是用傳遞函數來描357.4.1常用反饋結構及其影響1.輸出反饋輸出反饋系統(tǒng)動態(tài)方程為傳遞函數矩陣為7.4.1常用反饋結構及其影響1.輸出反饋輸出反饋系統(tǒng)動態(tài)36常用反饋結構及其影響（續(xù)1）2.狀態(tài)反饋當將系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)變量的線性函數常用反饋結構及其影響（續(xù)1）2.狀態(tài)反饋當將系統(tǒng)的控制量u取37常用反饋結構及其影響（續(xù)2）狀態(tài)能完整地表征系統(tǒng)的動態(tài)行為，因而利用狀態(tài)反饋時，其信息量大而完整，而輸出反饋僅利用狀態(tài)變量的線性組合進行反饋，其信息量較小。但輸出變量容易測量，獲得廣泛應用。傳遞函數矩陣為常用反饋結構及其影響（續(xù)2）狀態(tài)能完整地表征系統(tǒng)的動態(tài)行為，38狀態(tài)反饋對穩(wěn)定性的影響對于線性定常系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律使得通過反饋構成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即(A-BK)的特征值均具有負實部，則稱系統(tǒng)實現了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。狀態(tài)反饋對穩(wěn)定性的影響對于線性定常系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋397.4.2狀態(tài)反饋的極點配置設計法1.極點配置定理若線性系統(tǒng)是完全可控的，則一定能夠通過狀態(tài)反饋方法將閉環(huán)極點設置于任意期望的位置，這就是極點配置定理。2.單變量狀態(tài)反饋向量的設計設單變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為且為完全可控。其特征多項式為7.4.2狀態(tài)反饋的極點配置設計法1.極點配置定理若線性系40單變量狀態(tài)反饋向量的設計（續(xù)）若A不是能控標準型，則可通過非奇異線性變換將其變換為可控標準型。定義變換矩陣T為系統(tǒng)變換為可控標準型單變量狀態(tài)反饋向量的設計（續(xù)）若A不是能控標準型，則可通過非41單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)1）由于采用狀態(tài)反饋，則有式中反饋的引入并沒有改變輸入矩陣，只改變了狀態(tài)矩陣，即改變了原有系統(tǒng)的閉環(huán)極點。設改變后的閉環(huán)極點為，則其特征多項式為單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)1）由于采用狀態(tài)反饋，則有式中反饋42單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)2）特征多項式的另一種表達方式若要使閉環(huán)極點為期望的極點，則令單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)2）特征多項式的另一種表達方式若要43單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)3）3.極點配置設計步驟(1)檢查系統(tǒng)可控性，若可控則繼續(xù)進行；(2)由A求得其特征多項式，確定系數；(3)若原狀態(tài)不是可控標準型，變換為標準型；(4)由期望閉環(huán)極點，確定；(5)求取k反饋后的特征多項式，并求取k值。單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)3）3.極點配置設計步驟(1)檢查44極點配置設計舉例一例7.10單變量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數如下，設計狀態(tài)反饋陣，使閉環(huán)極點為解：由于傳遞函數沒有零極點對消，所以系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控可觀的，其可控規(guī)范型為令狀態(tài)反饋陣為極點配置設計舉例一例7.10單變量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數如下，設計45極點配置設計舉例一（續(xù)1）經K引入的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的系數矩陣為其特征多項式為由給定閉環(huán)極點要求的特征多項式為令兩個特征多項式相等解出極點配置設計舉例一（續(xù)1）經K引入的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的系數矩陣46極點配置設計舉例一（續(xù)2）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為極點配置設計舉例一（續(xù)2）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為47極點配置設計舉例二例7.11通過狀態(tài)反饋，閉環(huán)極點設置于解：檢查可控性求原特征多項式為極點配置設計舉例二例7.11通過狀態(tài)反饋，閉環(huán)極點設置于解：48極點配置設計舉例二（續(xù)1）則狀態(tài)方程變?yōu)樵O并反饋變換，則有極點配置設計舉例二（續(xù)1）則狀態(tài)方程變?yōu)樵O49極點配置設計舉例二（續(xù)2）期望特征多項式為令極點配置設計舉例二（續(xù)2）期望特征多項式為令507.4.3狀態(tài)觀測器設計及分離特性由于系統(tǒng)的所有狀態(tài)往往不能都測量到，導致狀態(tài)反饋不能直接實現，這時就需要估計不可測量的狀態(tài)變量，不可測量的狀態(tài)變量的估計通常稱為狀態(tài)觀測。如果狀態(tài)觀測器能觀測到系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，這種狀態(tài)觀測器均稱為全階觀測器。估計少于n個狀態(tài)變量的觀測器稱為降階狀態(tài)觀測器，或簡稱為降階觀測器。7.4.3狀態(tài)觀測器設計及分離特性由于系統(tǒng)的所有狀態(tài)往往不51全階狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器是基于輸出的測量和控制變量來估計狀態(tài)變量。設被觀測系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為若取觀測器數學模型與系統(tǒng)完全相同，且輸入相同，即考慮到狀態(tài)有差異時，輸出便有差異，可利用輸出偏差信號通過反饋矩陣Ke加到，以期對其進行校正。

全階狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器是基于輸出的測量和控制變量來估計狀52全階狀態(tài)觀測器（續(xù)1）觀測器的閉環(huán)方程為注意到狀態(tài)觀測器的輸入為y和u，輸出為全階狀態(tài)觀測器（續(xù)1）觀測器的閉環(huán)方程為注意到狀態(tài)觀測器的輸53全階狀態(tài)觀測器（續(xù)2）觀測器的誤差方程定義誤差向量方程式改寫為誤差向量的動態(tài)特性由矩陣A-KeC的特征值決定。如果矩陣是穩(wěn)定矩陣，則對任意初始誤差向量e(0)，誤差向量都將趨近于零。

全階狀態(tài)觀測器（續(xù)2）觀測器的誤差方程定義誤差向量方程式改寫54全階狀態(tài)觀測器的設計設系統(tǒng)可觀，按可觀測標準型進行討論（詳細推導見書），下面為非標準形時的設計過程：設觀測器狀態(tài)反饋向量特征方程為設誤差動態(tài)方程所期望的特征方程為系數對應相等則可求出反饋向量。全階狀態(tài)觀測器的設計設系統(tǒng)可觀，按可觀測標準型進行討論（詳細55全階狀態(tài)觀測器的設計舉例例7.12設被觀測的系統(tǒng)如下，完全可觀測，設計狀態(tài)觀測器，使其特征值為：解：設狀態(tài)反饋向量為特征多項式為全階狀態(tài)觀測器的設計舉例例7.12設被觀測的系統(tǒng)如下，完全可56全階狀態(tài)觀測器的舉例（續(xù)1）狀態(tài)觀測器所期望的特征多項式為所期望的狀態(tài)觀測器方程為全階狀態(tài)觀測器的舉例（續(xù)1）狀態(tài)觀測器所期望的特征多項式為所57全階狀態(tài)觀測器的舉例（續(xù)2）估計誤差由齊次狀態(tài)方程的解法，可得全階狀態(tài)觀測器的舉例（續(xù)2）估計誤差由齊次狀態(tài)方程的解法，可58分離特性在極點配置的設計過程中，第一階段是確定反饋增益矩陣K，以產生所期望的特征方程；第二個階段是確定觀測器的增益矩陣Ke，以產生所期望的觀測器特征方程。

狀態(tài)估計值進行反饋與用真實狀態(tài)x(t)進行反饋有何異同？狀態(tài)反饋設計與觀測器設計之間有無相互影響呢？定義狀態(tài)完全可控和完全可觀測的系統(tǒng)：分離特性在極點配置的設計過程中，第一階段是確定反饋增益矩陣59分離特性（續(xù)1）對基于觀測狀態(tài)的狀態(tài)反饋控制為分離特性（續(xù)1）對基于觀測狀態(tài)的狀態(tài)反饋控制為60分離特性（續(xù)2）系統(tǒng)的特征方程為極點配置和觀測器設計是相互獨立的，互不影響，它們可以分別進行設計，并合并為由觀測器和狀態(tài)反饋構成的復合系統(tǒng)，這就是分離特性。分離特性（續(xù)2）系統(tǒng)的特征方程為極點配置和觀測器設計是相互獨61分離特性（續(xù)3）對于n階系統(tǒng)，經典設計方法（根軌跡、頻率響應…）會產生低階校正裝置（1或2階），但采用觀測器和狀態(tài)反饋構成的復合系統(tǒng)，若是全階觀測器，則設計出來為2n階，故應首選經典法，若不能設計出滿意的校正裝置，再用極觀法。極點配置應使系統(tǒng)滿足性能要求。觀測器極點的選取通常使得觀測器的響應比系統(tǒng)的響應快很多，至少2~5倍。分離特性（續(xù)3）對于n階系統(tǒng)，經典設計方法（根軌跡、頻率響應62本章小結本章首先介紹了連續(xù)域中現代控制理論的基礎，討論了如何求解狀態(tài)方程。然后對現代控制理論中獨特的可控性和可觀性進行定義和判斷。接著介紹如何化可控和可觀的標準型。最后介紹了狀態(tài)空間設計，主要包括常用反饋結構及影響、狀態(tài)反饋的極點配置設計法、狀態(tài)觀測器設計及分離特性原則。本章小結本章首先介紹了連續(xù)域中現代控制理論的基礎，討論了如何63本章重點及要求重點掌握拉氏變換法求解狀態(tài)轉移矩陣。掌握可控性和可觀性矩陣判據判斷可控性和可觀性。掌握化系統(tǒng)為可控和可觀標準型。重點掌握極點配置法。掌握全階狀態(tài)觀測器設計方法。理解分離特性原則。本章重點及要求重點掌握拉氏變換法求解狀態(tài)轉移矩陣。64練習與思考課后7.2，7.5，7.6(1)(2)，7.7(1)(2)，7.14

(1)，

7.17(1)(2)，7.22，7.23，7.29收集卡爾曼的生平事跡，及發(fā)明相關方法的科學故事。練習與思考課后7.2，7.5，7.6(1)(2)，7.7(165第7章連續(xù)域現代控制理論基礎吉林大學儀器科學與電氣工程學院隨陽軼連續(xù)與離散控制系統(tǒng)第7章連續(xù)域現代控制理論基礎吉林大學儀器科學與電氣工程學66主要內容線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解控制系統(tǒng)的可控性和可觀性線性定常系統(tǒng)的線性變換控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計主要內容線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解677.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解現代控制理論建立了狀態(tài)的概念，以狀態(tài)方程為基礎，以線性矩陣理論為數學工具，以計算機技術為依托，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于線性時變和非線性系統(tǒng)的分析、綜合?，F代控制理論用狀態(tài)揭示系統(tǒng)內部狀況，研究輸入—狀態(tài)—輸出的因果關系，這就從內部、從本質上掌握了系統(tǒng)的關系，因而可以根據設計要求和性能指標求得最優(yōu)控制規(guī)律。7.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解現代控制理論建立了狀態(tài)的概念，68狀態(tài)空間表達式的一般形式輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化是一個動態(tài)過程，用微分方程或差分方程表示，稱為狀態(tài)方程。狀態(tài)和輸入決定輸出的變化是一個變量間的轉換過程，描述這種轉換的表達式稱為輸出方程。狀態(tài)空間表達式的一般形式輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化是一個動態(tài)過程697.1.1齊次狀態(tài)方程的解在狀態(tài)方程中令u=0，得稱為齊次狀態(tài)方程。其解為u=0時由初始條件所引起的自由運動。設解為代入齊次狀態(tài)方程得由于狀態(tài)方程的解對任意的t都成立，則7.1.1齊次狀態(tài)方程的解在狀態(tài)方程70齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)1）代入解方程得：齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)1）代入解方程得：71齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)2）初始條件：由矩陣理論：則齊次狀態(tài)方程的解為該解說明由初始狀態(tài)x(0)到達狀態(tài)x(t)的轉移過程是一個指數形式。其中eAt稱為矩陣指數，又稱為狀態(tài)轉移矩陣，記為Φ(t)齊次狀態(tài)方程的解歸結為求解矩陣指數eAt，多為計算機求解。齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)2）初始條件：由矩陣理論：則齊次狀態(tài)方程72計算線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣按矩陣指數的定義計算；通過線性變換計算；待定系數法(應用凱萊-哈密頓定理)；拉普拉斯變換法。計算線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣按矩陣指數的定義計算；73拉氏變換求狀態(tài)轉移矩陣對齊次狀態(tài)方程進行拉氏變換，得例7.1求解齊次狀態(tài)方程解：拉氏變換求狀態(tài)轉移矩陣對齊次狀態(tài)方程進行拉氏變換，得例7.1747.1.2非齊次狀態(tài)方程的解當u(t)≠0時狀態(tài)方程的解稱為非齊次狀態(tài)方程的解或受迫系統(tǒng)的解，它是系統(tǒng)對輸入信號的完全響應。使用拉氏變換法求解：7.1.2非齊次狀態(tài)方程的解當u(t)≠0時狀態(tài)方程的解稱75求非齊次狀態(tài)方程的解舉例例7.2求解狀態(tài)空間方程，u(t)=I(t)，x(0)=0。解：求非齊次狀態(tài)方程的解舉例例7.2求解狀態(tài)空間方程，u(t)=767.2控制系統(tǒng)的可控性和可觀性控制系統(tǒng)的可控性和可觀性是現代控制理論的獨特概念。狀態(tài)變量的非唯一性，使我們有必要研究狀態(tài)向量的每一個分量能否可以由控制量所控制，從而達到所期望的狀態(tài)，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可控性問題。還要研究能否通過對輸出量的測量而獲得狀態(tài)的信息，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可觀性問題。7.2控制系統(tǒng)的可控性和可觀性控制系統(tǒng)的可控性和可觀性是現代777.2.1系統(tǒng)可控性容許控制：若在[t0，∞]區(qū)間內u為分段連續(xù)函數向量，則稱其為容許控制。可控性定義：若存在一個無約束的容許控制向量u(t)，能在有限的時間間隔[t0，t1]內將系統(tǒng)的某一個狀態(tài)xi由其初態(tài)xi(t0)轉移到任意的終態(tài)xi(t1)，那么就稱該狀態(tài)xi是可控的；若系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量都可控，則稱系統(tǒng)是可控的。有一個及以上的狀態(tài)變量不可控，則稱系統(tǒng)是不可控的。7.2.1系統(tǒng)可控性容許控制：若在[t0，∞]區(qū)間內u為分段78可控性實例RC橋形電路(a)，C1=C2，R1=R2。選電容電壓為各自狀態(tài)變量，且設電容上的初始電壓為零，則兩個狀態(tài)變量恒相等。相平面圖(b)中，相軌跡為一條直線，即不論電源電壓如何變動，都不能使狀態(tài)變量離開這條直線。顯然，它是不完全可控的?？煽匦詫嵗齊C橋形電路(a)，C1=C2，R1=R2。選電79線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據1.可控性矩陣判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件：即，完全可控的條件是：可控性矩陣滿秩。例7.3系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用可控性矩陣判據。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據1.可控性矩陣判據線性定常連續(xù)80可控性矩陣判據舉例（續(xù)）將M進行初等變換rankM=3，可控性矩陣M為滿秩，所以系統(tǒng)完全可控?？煽匦跃仃嚺袚e例（續(xù)）將M進行初等變換rankM=3，可81可控性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件，對矩陣A的所有特征值λi(i=1，2，…，n)

例7.4系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用PBH秩判據。可控性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控82PBH秩判據舉例（續(xù)1）系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征方程為故系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征值為PBH秩判據舉例（續(xù)1）系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征方程為故系統(tǒng)狀83PBH秩判據舉例（續(xù)2）將各個特征值代入得到完全可控PBH秩判據舉例（續(xù)2）將各個特征值代入得到完全可控84輸出可控性1.輸出可控性的定義：如果能構造一個無約束的控制向量u(t)，在有限的時間間隔t0≤t≤t1內，使任一給定的初始輸出y(t0)轉移到任一最終輸出y(t1)，那么稱系統(tǒng)為輸出完全可控的。2.輸出可控性判據：輸出完全可控的充分必要條件為：當且僅當矩陣的秩等于輸出變量的維數m時，即rankM0=m

輸出可控性1.輸出可控性的定義：如果能構造一個無約束的控制85輸出可控性舉例例7.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下，試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。解：狀態(tài)可控性矩陣為由于|M|=0，rankM<2，故狀態(tài)不完全可控。輸出可控性矩陣為rankM0=1=m。故輸出可控。輸出可控性舉例例7.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下，試判867.2.2系統(tǒng)可觀測性可觀測性的定義：如果在有限時間區(qū)間[t0,t1]內，根據測量到的輸出向量y(t)和輸入向量u(t)，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻狀態(tài)xi(t0)，則稱xi(t0)在[t0,t1]上是可觀測的；若系統(tǒng)所有狀態(tài)x(t)都在[t0,t1]上可觀測，則稱系統(tǒng)是可觀測的。7.2.2系統(tǒng)可觀測性可觀測性的定義：如果在有限時間區(qū)間[87可觀性實例選擇電感中的電流il以及電容上的電壓uc作為狀態(tài)變量。當電橋平衡時，il作為電路的一個狀態(tài)是不能由輸出變量uc來確定的，所以該電路是不可觀測的?？捎^性實例選擇電感中的電流il以及電容上的電壓uc作為狀態(tài)變88可觀測性判據1.可觀測性矩陣判據：完全可觀測的充要條件是：或是例7.6判斷下列系統(tǒng)的可觀測性解：可觀測性判據1.可觀測性矩陣判據：完全可觀測的充要條件是：或89可觀測性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據：完全可觀測的充要條件是：對矩陣A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，下式均成立?？捎^測性判據（續(xù)1）2.PBH秩判據：完全可觀測的充要條件90零極點對消時可觀性和可控性討論：所描述的系統(tǒng)，則傳遞函數為(1)選則：可控性/可觀性：不可控！可觀！零極點對消時可觀性和可控性討論：91零極點對消時可觀性和可控性(二)取中間變量z，則選可控！不可觀！結論：視狀態(tài)變量的不同，系統(tǒng)或是不可觀或是不可控零極點對消時可觀性和可控性(二)取中間變量z，則選可控！不可927.3線性定常系統(tǒng)的線性變換7.3.3化系統(tǒng){A，B}為可控標準型

1.單變量系統(tǒng)的可控標準型7.3線性定常系統(tǒng)的線性變換7.3.3化系統(tǒng){A，B}為可控93化系統(tǒng)為可控標準型設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為通過非奇異線性變換可將上式變?yōu)樵Oa0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項式系數化系統(tǒng)為可控標準型設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為通過非奇異線性變換947.3.4化系統(tǒng){A,C}為可觀測標準型1.單變量系統(tǒng)的可觀測標準型7.3.4化系統(tǒng){A,C}為可觀測標準型1.單變量系統(tǒng)的95化系統(tǒng)為可觀測標準型設a0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項式系數對于完全可觀系統(tǒng)，取非奇異線性變換矩陣化系統(tǒng)為可觀測標準型設a0，a1，…，an-1為矩陣A的特96轉成可控和可觀測標準型舉例

例7.7將其轉換成可控標準型和可觀測標準型。解：(1)判斷系統(tǒng)能控性秩為3，所以系統(tǒng)完全可控，故可變換標準型。系統(tǒng)的特征多項式為：即a0=-4，a1=8，a2=-5。轉成可控和可觀測標準型舉例例7.7將其轉換成可控標準型和可97轉成標準型舉例（續(xù)1）經變換，可得可控標準型轉成標準型舉例（續(xù)1）經變換，可得可控標準型98轉成標準型舉例（續(xù)2）(2)判斷系統(tǒng)可觀測性其秩為3，故系統(tǒng)完全可觀測，可變換為可觀測標準型。變換矩陣為經變換，可得可觀測標準型轉成標準型舉例（續(xù)2）(2)判斷系統(tǒng)可觀測性其秩為3，故系997.4控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計由于經典控制理論是用傳遞函數來描述的，它只能用輸出量作為反饋量。而現代控制理論由于采用系統(tǒng)內部的狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經常采用狀態(tài)反饋。在進行系統(tǒng)的分析綜合時，狀態(tài)反饋將能提供更多的校正信息，因而在形成最優(yōu)控制規(guī)律、抑制擾動影響、實現系統(tǒng)解耦控制等諸方面，狀態(tài)反饋均獲得了廣泛應用。7.4控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設計由于經典控制理論是用傳遞函數來描1007.4.1常用反饋結構及其影響1.輸出反饋輸出反饋系統(tǒng)動態(tài)方程為傳遞函數矩陣為7.4.1常用反饋結構及其影響1.輸出反饋輸出反饋系統(tǒng)動態(tài)101常用反饋結構及其影響（續(xù)1）2.狀態(tài)反饋當將系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)變量的線性函數常用反饋結構及其影響（續(xù)1）2.狀態(tài)反饋當將系統(tǒng)的控制量u取102常用反饋結構及其影響（續(xù)2）狀態(tài)能完整地表征系統(tǒng)的動態(tài)行為，因而利用狀態(tài)反饋時，其信息量大而完整，而輸出反饋僅利用狀態(tài)變量的線性組合進行反饋，其信息量較小。但輸出變量容易測量，獲得廣泛應用。傳遞函數矩陣為常用反饋結構及其影響（續(xù)2）狀態(tài)能完整地表征系統(tǒng)的動態(tài)行為，103狀態(tài)反饋對穩(wěn)定性的影響對于線性定常系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律使得通過反饋構成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即(A-BK)的特征值均具有負實部，則稱系統(tǒng)實現了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。狀態(tài)反饋對穩(wěn)定性的影響對于線性定常系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋1047.4.2狀態(tài)反饋的極點配置設計法1.極點配置定理若線性系統(tǒng)是完全可控的，則一定能夠通過狀態(tài)反饋方法將閉環(huán)極點設置于任意期望的位置，這就是極點配置定理。2.單變量狀態(tài)反饋向量的設計設單變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為且為完全可控。其特征多項式為7.4.2狀態(tài)反饋的極點配置設計法1.極點配置定理若線性系105單變量狀態(tài)反饋向量的設計（續(xù)）若A不是能控標準型，則可通過非奇異線性變換將其變換為可控標準型。定義變換矩陣T為系統(tǒng)變換為可控標準型單變量狀態(tài)反饋向量的設計（續(xù)）若A不是能控標準型，則可通過非106單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)1）由于采用狀態(tài)反饋，則有式中反饋的引入并沒有改變輸入矩陣，只改變了狀態(tài)矩陣，即改變了原有系統(tǒng)的閉環(huán)極點。設改變后的閉環(huán)極點為，則其特征多項式為單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)1）由于采用狀態(tài)反饋，則有式中反饋107單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)2）特征多項式的另一種表達方式若要使閉環(huán)極點為期望的極點，則令單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)2）特征多項式的另一種表達方式若要108單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)3）3.極點配置設計步驟(1)檢查系統(tǒng)可控性，若可控則繼續(xù)進行；(2)由A求得其特征多項式，確定系數；(3)若原狀態(tài)不是可控標準型，變換為標準型；(4)由期望閉環(huán)極點，確定；(5)求取k反饋后的特征多項式，并求取k值。單變量狀態(tài)反饋向量設計（續(xù)3）3.極點配置設計步驟(1)檢查109極點配置設計舉例一例7.10單變量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數如下，設計狀態(tài)反饋陣，使閉環(huán)極點為解：由于傳遞函數沒有零極點對消，所以系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控可觀的，其可控規(guī)范型為令狀態(tài)反饋陣為極點配置設計舉例一例7.10單變量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數如下，設計110極點配置設計舉例一（續(xù)1）經K引入的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的系數矩陣為其特征多項式為由給定閉環(huán)極點要求的特征多項式為令兩個特征多項式相等解出極點配置設計舉例一（續(xù)1）經K引入的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的系數矩陣111極點配置設計舉例一（續(xù)2）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為極點配置設計舉例一（續(xù)2）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為112極點配置設計舉例二例7.11通過狀態(tài)反饋，閉環(huán)極點設置于解：檢查可控性求原特征多項式為極點配置設計舉例二例7.11通過狀態(tài)反饋，閉環(huán)極點設置于解：113極點配置設計舉例二（續(xù)1）則狀態(tài)方程變?yōu)樵O并反饋變換，則有極點配置設計舉例二（續(xù)1）則狀態(tài)方程變?yōu)樵O114極點配置設計舉例二（續(xù)2）期望特征多項式為令極點配置設計舉例二（續(xù)2）期望特征多項式為令1157.4.3狀態(tài)觀測器設計及分離特性由于系統(tǒng)的所有狀態(tài)往往不能都測量到，導致狀態(tài)反饋不能直接實現，這時就需要估計不可測量的狀態(tài)變量，不可測量的狀態(tài)變量的估計通常稱為狀態(tài)觀測。如果狀態(tài)觀測器能觀測到系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，這種狀態(tài)觀測器均稱為全階觀測器。估計少于n個狀態(tài)變量的觀測器稱為降階狀態(tài)觀測器，或簡稱為降階觀測器。7.4.3狀態(tài)觀測器設計及分離特性由于系統(tǒng)的所有狀態(tài)往往不116全階狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器是基于輸出的測量和控制變量來估計狀態(tài)變量。設被觀測系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為若取觀測器數學模型與系統(tǒng)完全相同，且輸入相同，即考慮到狀態(tài)有差異時，輸出便有差異，可利用輸出偏差信號通過反饋矩陣Ke加到，以期對其進行校正。

全階狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器是基于輸出的測量和控制變量來估計狀117全階狀態(tài)觀測器（續(xù)1