第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件

第二章

多元正態(tài)分布及其抽樣分布

第二章

多元正態(tài)分布及其抽樣分布

1內(nèi)容第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義第二節(jié)多元正態(tài)的性質(zhì)第三節(jié)多元正態(tài)參數(shù)的極大似然估計(jì)第四節(jié)多元正態(tài)的樣本分布內(nèi)容第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義2第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義

一、標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布

則設(shè)隨機(jī)向量其分量獨(dú)立同分布于密度函數(shù)為第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義

一、標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布則設(shè)隨3其中的均值為其中的均值為4

協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣為5

二、一般的正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)向量,若其的密度函數(shù)為二、一般的正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量6其中的均值為

協(xié)方差為稱服從均值為E(X)，協(xié)方差為的正態(tài)分布。其中的均值為協(xié)方差為稱7

三、一般的p維正態(tài)和p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的關(guān)系

設(shè)，其中是一個(gè)階非退化矩陣，服從維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則

服從p維正態(tài)分布，且均值向量為三、一般的p維正態(tài)和p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的關(guān)系8x的協(xié)方差矩陣為x的協(xié)方差矩陣為9其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為10

若，則Σ－1存在，是非退化元正態(tài)分布；

若，則不存在，是退化元正態(tài)分布，不存在密度函數(shù)。

值得注意

設(shè)隨機(jī)向量，是常數(shù)向量，是一個(gè)的常數(shù)矩陣，則服從正態(tài)分布，記為，其中若，則Σ－1存在，11

例：設(shè)隨機(jī)向量，，，則的分布是退化的三元正態(tài)分布。例：設(shè)隨機(jī)向量，，12第二節(jié)多元正態(tài)分布的性質(zhì)二、x是一個(gè)服從p維正態(tài)分布，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何線性函數(shù)服從一元正態(tài)分布。一、多元正態(tài)分布的特征函數(shù)

三、X服從維正態(tài)分布，則，其中為常數(shù)矩陣，為維的常數(shù)向量，則第二節(jié)多元正態(tài)分布的性質(zhì)二、x是一個(gè)服從p維正態(tài)分布，13

四、設(shè)，則的任何子向量也服從多元正態(tài)分布，其均值為的相應(yīng)子向量，協(xié)方差為的相應(yīng)子矩陣。四、設(shè)，則的任何子向量也服從多元14

五、設(shè),，相互獨(dú)立，且，則對(duì)任意個(gè)常數(shù)，有五、設(shè),，15

六、，則分布。六、，則16

七、將作如下的分塊：

子向量相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)

。證：必要性七、將作如下的分塊：17第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件18第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件19第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件20

八、設(shè)，，，其中是階矩陣，是階矩陣，，，則與相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)。八、設(shè)，，21

九、設(shè)，，，其中是階矩陣，是階矩陣，，，則與相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)。同上可證。九、設(shè)，，22

十、將作如下的分塊：

則與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立。證：十、將作如下的分塊：則與23第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件24則給定時(shí)的條件分布為，其中

十一、將作如下的分塊：

為給定的條件下數(shù)學(xué)期望。則給定時(shí)的條件分布為，其中25

十二、偏相關(guān)系數(shù)

矩陣稱為條件協(xié)方差矩陣，它的元素用表示。是當(dāng)給定的條件下，與（）的偏相關(guān)系數(shù)，定義為

它度量了在值給定的條件下，與（）相關(guān)性的強(qiáng)弱。十二、偏相關(guān)系數(shù)矩陣稱為條件協(xié)方差矩陣26例設(shè)X~N6(,)，其協(xié)方差矩陣為，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。例設(shè)X~N6(,)，其協(xié)方差矩陣為，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)27第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件28求x7給定的條件下，x1，…

x6的偏協(xié)方差矩陣求x7給定的條件下，x1，…x6的偏協(xié)方差矩陣29第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件30第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件31第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件32第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件33第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件34§3實(shí)例分析及SAS/CORR

例1今對(duì)31人進(jìn)行人體測(cè)試，考察的7個(gè)指標(biāo)是：

x1：年齡

x2：體重

x3：肺活量

x4：1.5英里跑所需時(shí)間

x5：休息時(shí)的脈搏

x6：跑步時(shí)的脈搏

x7：跑步時(shí)記錄的最大的脈搏對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行一些相關(guān)分析?！?實(shí)例分析及SAS/CORR例1今對(duì)31人35SAS的程序dataa;inputx1-x7;cards;4489.4744.60911.37621781824075.0745.31310.07621851853889.0249.8749.2255178180474861.2447.92011.50521701765282.7847.46710.5053170172;

proc

corrnosimplcov;varx1;withx7;partialx3;run;SAS的程序36proc

corrnosimplcov;分析相關(guān)系數(shù)nosimpl是要求不打印描述性統(tǒng)計(jì)量。varx1;指定分析相關(guān)系數(shù)的變量。withx7;with指定變量與var指定的變量之間的相關(guān)系數(shù)。partialx3;當(dāng)指定的變量給定時(shí)，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。proccorrnosimplcov;分析相關(guān)系數(shù)va37

x1x2x3x4x5x6x7x11.00000-0.23354-0.304590.18875-0.16410-0.33787-0.43292P值

0.20610.09570.30920.37770.06300.0150x2-0.233541.00000-0.162750.143510.043970.181520.24938P值0.2061

0.38170.44120.81430.32840.1761x3-0.30459-0.162751.00000-.86219-0.39936-0.39797-0.23674P值0.09570.3817

<.00010.02600.02660.1997x40.188750.14351-0.862191.000000.450380.313650.22610P值0.30920.4412<.0001

0.01100.08580.2213x5-0.164100.04397-0.399360.450381.000000.352460.30512P值0.37770.81430.02600.0110

0.05180.0951x6-0.337870.18152-0.397970.313650.352461.000000.92975P值0.06300.32840.02660.08580.0518

<.0001x7-0.432920.24938-0.236740.226100.305120.929751.00000P值0.01500.17610.19970.22130.0951<.0001

x1x2x3x4x5x6x7x11.00000-0.2338

在肺活量一定的條件下，年齡和跑步時(shí)記錄的最大脈搏成負(fù)相關(guān)1PartialVariables:x31WithVariables:x71Variables:x1PartialCovarianceMatrix,DF=29x1x7-24.95076704PearsonPartialCorrelationCoefficients,N=31Prob>|r|underH0:PartialRho=0x1x7-0.545730.0018

在肺活量一定的條件下，年齡和跑步時(shí)記錄的最大脈搏成39第三節(jié)極大似然估計(jì)及其性質(zhì)第三節(jié)極大似然估計(jì)及其性質(zhì)40則總體的密度函數(shù)為X1，X2，……，Xn是從總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，滿足X1，X2，……，Xn相互獨(dú)立，且同正態(tài)分布稱X為樣本數(shù)據(jù)矩陣。一、樣本的聯(lián)合密度函數(shù)則總體的密度函數(shù)為X1，X2，……，Xn是從總體中抽取的一個(gè)41為樣本聯(lián)合密度函數(shù)。為樣本聯(lián)合密度函數(shù)。42所以，似然函數(shù)還可以表示為：所以，似然函數(shù)還可以表示為：43二、和的極大似然估計(jì)

所謂μ和Σ的極大似然估計(jì)，是尋找和滿足條件二、和的極大似然估計(jì)所謂μ和Σ的極大似然估44令

令45可以證明和的極大似然估計(jì)為可以證明和的極大似然估計(jì)為46三、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)

（一）極大似然估計(jì)的不變性質(zhì)設(shè)是的極大似然估計(jì)是，而且變換f()是一一對(duì)應(yīng)的，則f()的極大似然估計(jì)就是三、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)（一）極大似然估計(jì)的不變性質(zhì)47（二）簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)

其中Sij是樣本協(xié)方差矩陣S中相應(yīng)位置上的元素（二）簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)其中Sij是樣本協(xié)48（三）偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)

則偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)其中，。（三）偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)則偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)49（四）復(fù)相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)將x和S作如下的分塊

（四）復(fù)相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)將x和S作如下的分塊50的線性函數(shù)為的線性函數(shù)為51

定義(復(fù)相關(guān)系數(shù))一個(gè)變量y與一組變量X1,X2,…XK的負(fù)相關(guān)系數(shù)是以y為被解釋變量，X1,X2,…XK為自變量的回歸方程的可決系數(shù)。定義(復(fù)相關(guān)系數(shù))一個(gè)變量y與一組變量52

為了研究四川經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響因素，欲建立四川省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型。主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)采用國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)率（Y），投資指標(biāo)—資本形成總額增長(zhǎng)率（X1），人口指標(biāo)—用自然增長(zhǎng)率（X2），就業(yè)指標(biāo)—失業(yè)率（X3）和消費(fèi)指標(biāo)—居民消費(fèi)水平增長(zhǎng)率（X4）。分析指標(biāo)之間的關(guān)系。為了研究四川經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響因素，欲建立四53dataa;inputyx1-x4@@;cards;數(shù)據(jù)行;proc

corrnosimplnoprobcov;run;dataa;54proc

iml;sigma22={76.58605619

2.59407381-3.45807619

49.03157071,

2.59407381

5.14447619-0.78252381

4.24046429,-3.45807619-0.78252381

3.63747619-2.32063571,49.03157071

4.24046429-2.32063571

53.90793143};sigma12={57.79053524

4.91975476-2.98844524

52.41117214};fcorr=sigma12*inv(sigma22)*t(sigma12)/54.8989690;printfcorr;proc

reg;modely=x1-x4;run;prociml;55AnalysisofVarianceSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePr>FModel41089.28592272.32148501.20<.0001Error168.693460.54334Total201097.97938RootMSE0.73712R-Square0.9921DependentMean115.58238AdjR-Sq0.9901CoeffVar0.63774

FCORR＝0.9920823AnalysisofVariance56四、估計(jì)量的性質(zhì)1、不變性；2、無(wú)偏性；3、有效性；4、相合性；5、充分性四、估計(jì)量的性質(zhì)1、不變性；57

中小企業(yè)的破產(chǎn)模型為了研究中小企業(yè)的破產(chǎn)模型，首先選定了X1總負(fù)債率（現(xiàn)金收益/總負(fù)債），X2收益性指標(biāo)（純收入/總財(cái)產(chǎn)），X3短期支付能力（流動(dòng)資產(chǎn)/流動(dòng)負(fù)債）和X4生產(chǎn)效率性指標(biāo)（流動(dòng)資產(chǎn)/純銷售額）4個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，對(duì)17個(gè)破產(chǎn)企業(yè)為“1”和21個(gè)正常運(yùn)行企業(yè)“2”進(jìn)行了調(diào)查，得資料如下。如果這些指標(biāo)是用來(lái)做判別分析和聚類分析的變量，他們之間沒有顯著性差異是不恰當(dāng)?shù)?，所以檢驗(yàn)所選擇的指標(biāo)在不同類型企業(yè)之間是否有顯著的差異。

中小企業(yè)的破產(chǎn)模型58x1,x2,x3,x4均為判別變量x1,x2,x3,x4均為判別變量59x1,x3為判別變量x1,x3為判別變量60

多元假設(shè)檢驗(yàn)

StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>F

Wilks'Lambda0.545616206.874330.0004Pillai'sTrace0.454383806.874330.0004Hotelling-LawleyTrace0.832790156.874330.0004Roy'sGreatestRoot0.832790156.874330.0004直接檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值向量是否相等。

61DependentVariable:x1（對(duì)X1進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.874667910.8746679116.900.0002

Error361.863008400.05175023

CorrectedTotal372.73767632

X1在類間有顯著性差異。DependentVariable:x2（對(duì)X2進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.083120770.083120771.950.1710

Error361.533700280.04260279

CorrectedTotal371.61682105X2在類間沒有顯著性差異。DependentVariable:x1（對(duì)X162DependentVariable:x3（對(duì)X3進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model116.4695844316.4695844321.45<.0001

Error3627.640805040.76780014

CorrectedTotal3744.11038947X3在類間有顯著性差異。DependentVariable:x4（對(duì)X4進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.001126940.001126940.030.8643

Error361.369780950.03804947

CorrectedTotal371.37090789X4在類間沒有顯著性差異。DependentVariable:x3（對(duì)X3進(jìn)行的檢63第四節(jié)抽樣分布

一、維希特（Wishart）1、定義隨機(jī)矩陣的分布

矩陣中的每一個(gè)元素均為隨機(jī)變量，則矩陣X的分布是其列向量拉長(zhǎng)，組成一個(gè)長(zhǎng)向量第四節(jié)抽樣分布一、維希特（Wishart64

特別當(dāng)是階對(duì)稱陣，則的分布為的下三角部分組成的長(zhǎng)向量

在一元正態(tài)隨機(jī)變量中，我們?cè)?jīng)討論了分布，在多元正態(tài)隨機(jī)變量也有類似的樣本分布。維希特分布（Wishart）相當(dāng)于一元統(tǒng)計(jì)中的分布。

特別當(dāng)是階對(duì)稱陣，則的分布為的下三角部分組成65

定義維希特（Wishart）分布的統(tǒng)計(jì)量

設(shè)個(gè)隨機(jī)向量

獨(dú)立同分布于，則隨機(jī)矩陣定義維希特（Wishart）分布的統(tǒng)計(jì)量66

服從自由度為的非中心維斯特分布，記為。服從自由度為的非中心維斯特分布，記為67

定理1：若，且，，則的分布密度為特別，當(dāng)和時(shí)，服從分布。維希特（Wishart）分布的密度函數(shù)定理1：若68二、維斯特(Wishart)分布有如下的性質(zhì)：

（1）若A1和A2獨(dú)立，其分布分別和，則的分布為，即維斯特分布有可加性。（2），C為m×p階的矩陣，則的分布為分布。二、維斯特(Wishart)分布有如下的性質(zhì)：（1）若A169

三、抽樣分布

定理1：設(shè)X1,X2,……Xn是來(lái)自多元正態(tài)總體Np(,)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，有

則有三、抽樣分布

定理1：設(shè)X1,X2,……X70證明：

獨(dú)立證明：獨(dú)立71第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件72第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件73故且相互獨(dú)立。故且相互獨(dú)立。74獨(dú)立獨(dú)立75當(dāng)，時(shí)，由卡方分布的定義可知可見維希特分布是由卡方分布在多元下的推廣。服從自由度為的卡方分布。定理2

設(shè)獨(dú)立同正態(tài)分布，則統(tǒng)計(jì)量當(dāng)，時(shí)，由卡方分布的定義可知可見維希特分布是由76

證：

由于樣本均值

相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和為自由度為的卡方分布。證：由于樣本均值相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和為77

在一元正態(tài)的情形下，我們有樣本的統(tǒng)計(jì)量當(dāng)總體的方差未知時(shí)，我們必須用樣本的方差來(lái)代替總體的方差，則那么在多元正態(tài)的情形下，是否有相同的問(wèn)題呢？回答時(shí)肯定的。在一元正態(tài)的情形下，我們有樣本的統(tǒng)計(jì)量78定義：

稱T2服從參數(shù)為P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，當(dāng)。

當(dāng)時(shí)，服從自由度為n的中心霍特林分布，記為。定義：稱T2服從參數(shù)為P和n的非中心霍特林（Hotelli79定理：定理：80

…

定理：設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，有…定理：設(shè)81

定理：設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，

…定理：設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體82

設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)是來(lái)自多元正態(tài)總體83（1）Wilks分布

定義：設(shè)和，且相互獨(dú)立，和，，則稱服從Wilks分布，記?？梢宰C明，當(dāng)和時(shí)，Wilks分布可以用分布近似。

四、基于維斯特(Wishart)分布的統(tǒng)計(jì)量

在一元方差分析中，常常遇到基于獨(dú)立的分布隨機(jī)變量比值的統(tǒng)計(jì)量。在多元統(tǒng)計(jì)分析中，起到相同作用的是統(tǒng)計(jì)量和分布。（1）Wilks分布定義：設(shè)842、Λ統(tǒng)計(jì)量和Λ分布

設(shè)k個(gè)總體，它們服從。分別抽出如下的樣本：2、Λ統(tǒng)計(jì)量和Λ分布設(shè)k個(gè)總85W=E+B

W=E+B86

當(dāng)K個(gè)總體的均值相等時(shí)

,

服從WilksΛ分布。

當(dāng)K個(gè)總體的均值相等時(shí),服從Wilks87第二章

多元正態(tài)分布及其抽樣分布

第二章

多元正態(tài)分布及其抽樣分布

88內(nèi)容第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義第二節(jié)多元正態(tài)的性質(zhì)第三節(jié)多元正態(tài)參數(shù)的極大似然估計(jì)第四節(jié)多元正態(tài)的樣本分布內(nèi)容第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義89第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義

一、標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布

則設(shè)隨機(jī)向量其分量獨(dú)立同分布于密度函數(shù)為第一節(jié)多元正態(tài)分布的定義

一、標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布則設(shè)隨90其中的均值為其中的均值為91

協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣為92

二、一般的正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)向量,若其的密度函數(shù)為二、一般的正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量93其中的均值為

協(xié)方差為稱服從均值為E(X)，協(xié)方差為的正態(tài)分布。其中的均值為協(xié)方差為稱94

三、一般的p維正態(tài)和p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的關(guān)系

設(shè)，其中是一個(gè)階非退化矩陣，服從維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則

服從p維正態(tài)分布，且均值向量為三、一般的p維正態(tài)和p維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的關(guān)系95x的協(xié)方差矩陣為x的協(xié)方差矩陣為96其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為97

若，則Σ－1存在，是非退化元正態(tài)分布；

若，則不存在，是退化元正態(tài)分布，不存在密度函數(shù)。

值得注意

設(shè)隨機(jī)向量，是常數(shù)向量，是一個(gè)的常數(shù)矩陣，則服從正態(tài)分布，記為，其中若，則Σ－1存在，98

例：設(shè)隨機(jī)向量，，，則的分布是退化的三元正態(tài)分布。例：設(shè)隨機(jī)向量，，99第二節(jié)多元正態(tài)分布的性質(zhì)二、x是一個(gè)服從p維正態(tài)分布，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何線性函數(shù)服從一元正態(tài)分布。一、多元正態(tài)分布的特征函數(shù)

三、X服從維正態(tài)分布，則，其中為常數(shù)矩陣，為維的常數(shù)向量，則第二節(jié)多元正態(tài)分布的性質(zhì)二、x是一個(gè)服從p維正態(tài)分布，100

四、設(shè)，則的任何子向量也服從多元正態(tài)分布，其均值為的相應(yīng)子向量，協(xié)方差為的相應(yīng)子矩陣。四、設(shè)，則的任何子向量也服從多元101

五、設(shè),，相互獨(dú)立，且，則對(duì)任意個(gè)常數(shù)，有五、設(shè),，102

六、，則分布。六、，則103

七、將作如下的分塊：

子向量相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)

。證：必要性七、將作如下的分塊：104第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件105第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件106第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件107

八、設(shè)，，，其中是階矩陣，是階矩陣，，，則與相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)。八、設(shè)，，108

九、設(shè)，，，其中是階矩陣，是階矩陣，，，則與相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)。同上可證。九、設(shè)，，109

十、將作如下的分塊：

則與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立。證：十、將作如下的分塊：則與110第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件111則給定時(shí)的條件分布為，其中

十一、將作如下的分塊：

為給定的條件下數(shù)學(xué)期望。則給定時(shí)的條件分布為，其中112

十二、偏相關(guān)系數(shù)

矩陣稱為條件協(xié)方差矩陣，它的元素用表示。是當(dāng)給定的條件下，與（）的偏相關(guān)系數(shù)，定義為

它度量了在值給定的條件下，與（）相關(guān)性的強(qiáng)弱。十二、偏相關(guān)系數(shù)矩陣稱為條件協(xié)方差矩陣113例設(shè)X~N6(,)，其協(xié)方差矩陣為，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。例設(shè)X~N6(,)，其協(xié)方差矩陣為，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)114第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件115求x7給定的條件下，x1，…

x6的偏協(xié)方差矩陣求x7給定的條件下，x1，…x6的偏協(xié)方差矩陣116第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件117第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件118第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件119第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件120第二章多元正態(tài)分布及其抽樣分布課件121§3實(shí)例分析及SAS/CORR

例1今對(duì)31人進(jìn)行人體測(cè)試，考察的7個(gè)指標(biāo)是：

x1：年齡

x2：體重

x3：肺活量

x4：1.5英里跑所需時(shí)間

x5：休息時(shí)的脈搏

x6：跑步時(shí)的脈搏

x7：跑步時(shí)記錄的最大的脈搏對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行一些相關(guān)分析?！?實(shí)例分析及SAS/CORR例1今對(duì)31人122SAS的程序dataa;inputx1-x7;cards;4489.4744.60911.37621781824075.0745.31310.07621851853889.0249.8749.2255178180474861.2447.92011.50521701765282.7847.46710.5053170172;

proc

corrnosimplcov;varx1;withx7;partialx3;run;SAS的程序123proc

corrnosimplcov;分析相關(guān)系數(shù)nosimpl是要求不打印描述性統(tǒng)計(jì)量。varx1;指定分析相關(guān)系數(shù)的變量。withx7;with指定變量與var指定的變量之間的相關(guān)系數(shù)。partialx3;當(dāng)指定的變量給定時(shí)，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。proccorrnosimplcov;分析相關(guān)系數(shù)va124

x1x2x3x4x5x6x7x11.00000-0.23354-0.304590.18875-0.16410-0.33787-0.43292P值

0.20610.09570.30920.37770.06300.0150x2-0.233541.00000-0.162750.143510.043970.181520.24938P值0.2061

0.38170.44120.81430.32840.1761x3-0.30459-0.162751.00000-.86219-0.39936-0.39797-0.23674P值0.09570.3817

<.00010.02600.02660.1997x40.188750.14351-0.862191.000000.450380.313650.22610P值0.30920.4412<.0001

0.01100.08580.2213x5-0.164100.04397-0.399360.450381.000000.352460.30512P值0.37770.81430.02600.0110

0.05180.0951x6-0.337870.18152-0.397970.313650.352461.000000.92975P值0.06300.32840.02660.08580.0518

<.0001x7-0.432920.24938-0.236740.226100.305120.929751.00000P值0.01500.17610.19970.22130.0951<.0001

x1x2x3x4x5x6x7x11.00000-0.23125

在肺活量一定的條件下，年齡和跑步時(shí)記錄的最大脈搏成負(fù)相關(guān)1PartialVariables:x31WithVariables:x71Variables:x1PartialCovarianceMatrix,DF=29x1x7-24.95076704PearsonPartialCorrelationCoefficients,N=31Prob>|r|underH0:PartialRho=0x1x7-0.545730.0018

在肺活量一定的條件下，年齡和跑步時(shí)記錄的最大脈搏成126第三節(jié)極大似然估計(jì)及其性質(zhì)第三節(jié)極大似然估計(jì)及其性質(zhì)127則總體的密度函數(shù)為X1，X2，……，Xn是從總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，滿足X1，X2，……，Xn相互獨(dú)立，且同正態(tài)分布稱X為樣本數(shù)據(jù)矩陣。一、樣本的聯(lián)合密度函數(shù)則總體的密度函數(shù)為X1，X2，……，Xn是從總體中抽取的一個(gè)128為樣本聯(lián)合密度函數(shù)。為樣本聯(lián)合密度函數(shù)。129所以，似然函數(shù)還可以表示為：所以，似然函數(shù)還可以表示為：130二、和的極大似然估計(jì)

所謂μ和Σ的極大似然估計(jì)，是尋找和滿足條件二、和的極大似然估計(jì)所謂μ和Σ的極大似然估131令

令132可以證明和的極大似然估計(jì)為可以證明和的極大似然估計(jì)為133三、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)

（一）極大似然估計(jì)的不變性質(zhì)設(shè)是的極大似然估計(jì)是，而且變換f()是一一對(duì)應(yīng)的，則f()的極大似然估計(jì)就是三、相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)（一）極大似然估計(jì)的不變性質(zhì)134（二）簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)

其中Sij是樣本協(xié)方差矩陣S中相應(yīng)位置上的元素（二）簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)其中Sij是樣本協(xié)135（三）偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)

則偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)其中，。（三）偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)則偏相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)136（四）復(fù)相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)將x和S作如下的分塊

（四）復(fù)相關(guān)系數(shù)的極大似然估計(jì)將x和S作如下的分塊137的線性函數(shù)為的線性函數(shù)為138

定義(復(fù)相關(guān)系數(shù))一個(gè)變量y與一組變量X1,X2,…XK的負(fù)相關(guān)系數(shù)是以y為被解釋變量，X1,X2,…XK為自變量的回歸方程的可決系數(shù)。定義(復(fù)相關(guān)系數(shù))一個(gè)變量y與一組變量139

為了研究四川經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響因素，欲建立四川省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型。主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)采用國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)率（Y），投資指標(biāo)—資本形成總額增長(zhǎng)率（X1），人口指標(biāo)—用自然增長(zhǎng)率（X2），就業(yè)指標(biāo)—失業(yè)率（X3）和消費(fèi)指標(biāo)—居民消費(fèi)水平增長(zhǎng)率（X4）。分析指標(biāo)之間的關(guān)系。為了研究四川經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響因素，欲建立四140dataa;inputyx1-x4@@;cards;數(shù)據(jù)行;proc

corrnosimplnoprobcov;run;dataa;141proc

iml;sigma22={76.58605619

2.59407381-3.45807619

49.03157071,

2.59407381

5.14447619-0.78252381

4.24046429,-3.45807619-0.78252381

3.63747619-2.32063571,49.03157071

4.24046429-2.32063571

53.90793143};sigma12={57.79053524

4.91975476-2.98844524

52.41117214};fcorr=sigma12*inv(sigma22)*t(sigma12)/54.8989690;printfcorr;proc

reg;modely=x1-x4;run;prociml;142AnalysisofVarianceSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePr>FModel41089.28592272.32148501.20<.0001Error168.693460.54334Total201097.97938RootMSE0.73712R-Square0.9921DependentMean115.58238AdjR-Sq0.9901CoeffVar0.63774

FCORR＝0.9920823AnalysisofVariance143四、估計(jì)量的性質(zhì)1、不變性；2、無(wú)偏性；3、有效性；4、相合性；5、充分性四、估計(jì)量的性質(zhì)1、不變性；144

中小企業(yè)的破產(chǎn)模型為了研究中小企業(yè)的破產(chǎn)模型，首先選定了X1總負(fù)債率（現(xiàn)金收益/總負(fù)債），X2收益性指標(biāo)（純收入/總財(cái)產(chǎn)），X3短期支付能力（流動(dòng)資產(chǎn)/流動(dòng)負(fù)債）和X4生產(chǎn)效率性指標(biāo)（流動(dòng)資產(chǎn)/純銷售額）4個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，對(duì)17個(gè)破產(chǎn)企業(yè)為“1”和21個(gè)正常運(yùn)行企業(yè)“2”進(jìn)行了調(diào)查，得資料如下。如果這些指標(biāo)是用來(lái)做判別分析和聚類分析的變量，他們之間沒有顯著性差異是不恰當(dāng)?shù)?，所以檢驗(yàn)所選擇的指標(biāo)在不同類型企業(yè)之間是否有顯著的差異。

中小企業(yè)的破產(chǎn)模型145x1,x2,x3,x4均為判別變量x1,x2,x3,x4均為判別變量146x1,x3為判別變量x1,x3為判別變量147

多元假設(shè)檢驗(yàn)

StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>F

Wilks'Lambda0.545616206.874330.0004Pillai'sTrace0.454383806.874330.0004Hotelling-LawleyTrace0.832790156.874330.0004Roy'sGreatestRoot0.832790156.874330.0004直接檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值向量是否相等。

148DependentVariable:x1（對(duì)X1進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.874667910.8746679116.900.0002

Error361.863008400.05175023

CorrectedTotal372.73767632

X1在類間有顯著性差異。DependentVariable:x2（對(duì)X2進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.083120770.083120771.950.1710

Error361.533700280.04260279

CorrectedTotal371.61682105X2在類間沒有顯著性差異。DependentVariable:x1（對(duì)X1149DependentVariable:x3（對(duì)X3進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model116.4695844316.4695844321.45<.0001

Error3627.640805040.76780014

CorrectedTotal3744.11038947X3在類間有顯著性差異。DependentVariable:x4（對(duì)X4進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.001126940.001126940.030.8643

Error361.369780950.03804947

CorrectedTotal371.37090789X4在類間沒有顯著性差異。DependentVariable:x3（對(duì)X3進(jìn)行的檢150第四節(jié)抽樣分布

一、維希特（Wishart）1、定義隨機(jī)矩陣的分布

矩陣中的每一個(gè)元素均為隨機(jī)變量，則矩陣X的分布是其列向量拉長(zhǎng)，組成一個(gè)長(zhǎng)向量第四節(jié)抽樣分布一、維希特（Wishart151

特別當(dāng)是階對(duì)稱陣，則的分布為的下三角部分組成的長(zhǎng)向量