六上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系課件

數(shù)學(xué)實驗行星的軌道和位置數(shù)學(xué)實驗行星的軌道

他以幾乎神一般的思維力,最先說明了行星的運(yùn)動和圖像,慧星的軌道和大海的潮汐.─Newton墓志銘他以幾乎神一般的思維力,最先說明了行星的運(yùn)動和圖像,背景介紹

哥白尼(波蘭，1473-1543)日心說地球－我們的家園金星－看起來最亮的行星46億歲

,赤道半徑6378.14公里，比極半徑長21公里

半徑約為6073公里,表面溫度高達(dá)465至485度,自轉(zhuǎn)方向與其它行星相反

16世紀(jì)前，人們認(rèn)為太陽只有6大行星托勒密（古希臘）地心說

背景介紹哥白尼(波蘭，1473-1543)土星－最美麗的行星木星－行星中的巨無霸火星－離地球最近、人們最關(guān)注的行星：半徑為2440公里

,較小，難以觀察

水星－距太陽最近的行星火星上有無生命？衛(wèi)星數(shù)目最多,23顆.光環(huán)由無數(shù)塊冰狀物組成的

赤道半徑約為71400公里，是地球的11.2倍土星－最美麗的行星木星－行星中的巨無霸火星－離地球最近、人們開普勒(1571－1630)(觀察分析數(shù)據(jù))3.行星運(yùn)行周期的平方與其運(yùn)行軌道橢圓長軸行星運(yùn)行三大規(guī)律1.行星運(yùn)行的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓;2.從太陽指向某一行星的線段在單位時間內(nèi)的立方之比值是不隨行星而改變的常數(shù).掃過的面積相同;在第谷·布拉赫(1546-1601)的基礎(chǔ)上提出開普勒(1571－1630)(觀察分析數(shù)據(jù))

萬有引力定律

冥王星－離太陽最遠(yuǎn)、未知數(shù)最多的行星天王星－樂師(Herschel)發(fā)現(xiàn)的行星

(1781)海王星－筆尖上的行星(Adams1845,Leverrier1846)“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”(1687牛頓)2006年8月24日國際天文學(xué)聯(lián)合大會決定：冥王星降級為“矮行星”(大行星的定義)

太陽只有八大行星！萬有引力定律冥王星－離太陽最六上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系課件實際問題度為2.929×104m/s,試求:1)地球距太陽的最近距離地球距太陽最遠(yuǎn)處(遠(yuǎn)日點)距離為1.521×1011m,此時地球繞太陽運(yùn)動(公轉(zhuǎn))的速2)地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的周期3)在從遠(yuǎn)日點開始的第100天結(jié)束時,地球的位置與速度實際問題度為2.929×104m/s,試求:1)地球行星運(yùn)動軌跡位于一個平面上

把太陽置于坐標(biāo)系的原點，記行星的位置向量為于是，因為由牛頓第二運(yùn)動定律及萬有引力定律得所以即，故行星位于一個過原點且垂直于的平面上.，那么行星的速度為，加速度為.行星運(yùn)動軌跡位于一個平面上把太陽置于坐標(biāo)系的原點，記行數(shù)學(xué)模型

在運(yùn)動學(xué)中常采用復(fù)坐標(biāo)系(點用復(fù)數(shù)表示)

速度為加速度設(shè)太陽中心所在位置為復(fù)平面之原點,在時刻t,行星位于以下復(fù)數(shù)代表的點數(shù)學(xué)模型在運(yùn)動學(xué)中常采用復(fù)坐標(biāo)系(點用復(fù)數(shù)表示)

根據(jù)Newton

第二定律比較虛實部導(dǎo)出微分方程組根據(jù)Newton第二定律比較虛實部導(dǎo)出

方程初始條件導(dǎo)出行星運(yùn)行第二定律（后兩個如何得到？）右邊正是面積方程初始條件導(dǎo)出行星運(yùn)行第二定律（后兩個如右邊正軌道方程請嘗試推導(dǎo)出行星的軌道方程？(p,e是常數(shù),根據(jù)相關(guān)已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出)改寫前面積分表達(dá)式成為給出時間T1，要求位置即求出θ1與r，較難！軌道方程請嘗試推導(dǎo)出行星的軌道方程？(p,e是常數(shù),根據(jù)求解思路求解思路functionm5_1(h)ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;f=C1*T1/p^2;theta(1)=0;F(1)=0;fori=2:1e6theta(i)=theta(i-1)+h;F(i)=F(i-1)+h*((1-ep*cos(theta(i-1)))^-2+(1-ep*cos(theta(i)))^-2)/2;ifF(i)>fbreak;endendn=i-2t=n*hr=p/(1-ep*cos(t))dtheta=C1/r^2v=r*dthetaMatlab程序functionm5_1(h)Matlab程序取不同步長實驗結(jié)果hnrv0.05331.65001.49402.98190.011681.68001.49442.98340.0053371.68501.49322.98360.00116861.68601.49312.9837表1其中h,n,,r,v單位分別為s,次，弧度，m,m/s取不同步長實驗結(jié)果hnrv0.05331.65001.494代入再設(shè)代入上式得數(shù)值方法將高階微分方程降階為一階方程組再離散化代入再設(shè)代入上式得數(shù)值方法將高階微分方程降階為一階方程組再離Euler迭代格式計算到第n

步得到周期由時間T1易得到θ，rEuler迭代格式計算到第n步得到周期由時間T1易得到θ

將計算所得的數(shù)據(jù)，利用Matlab作圖可得軌道圖形將計算所得的數(shù)據(jù)，利用Matlab作圖可得軌道改進(jìn)Euler

迭代格式對上面方程組用改進(jìn)Euler迭代格式其中任務(wù)：寫出這方程組的改進(jìn)Euler迭代格式并用Matlab

實現(xiàn)改進(jìn)Euler迭代格式對上面方程組用改進(jìn)Euler迭代

艾薩克?牛頓SirIsaacNewton

(英格蘭1643－1727年)物理學(xué)家數(shù)學(xué)家天文學(xué)家哲學(xué)家

煉金術(shù)士造幣廠總監(jiān)

科學(xué)史上最有影響力的人

較之科學(xué)他更多致力于《圣經(jīng)》的研究

專心于科學(xué)研究到癡情艾薩克?牛頓SirIsaacNewton(WhatDescartesdidwasagoodstepyouhaveaddedmuchseveralways&especiallyintakingthecolorsofthethinplatesintophilosophicalconsideration.IfIhaveseenfurtheritisbystandingontheshouldersofGiants.

牛頓的一句名言

性格內(nèi)向獨(dú)身一生WhatDescartesdidwasag

在確定行星軌道為橢圓以后可取t=T/4

（需要取比較小的步長h）近日點的確定處r

的值為近日點，也可以求

r

的最小值作為近日點距離

相應(yīng)點的速度怎么求？在確定行星軌道為橢圓以后可取t=T/4（需要取

可以求得地球的近日點距太陽rmin

=1.471×1011m而在第100天結(jié)束時的位置，則只要求這個時間tk所對應(yīng)的

rk

就可以了，此時r=1.493×1011m可以求得地球的近日點距太陽rmin=1.471×1微分方程的Runge-kutta

方法以一元為例設(shè)步長為h,則（Taylor

展開）其中可以求出各階導(dǎo)數(shù)微分方程的Runge-kutta方法以一元為例設(shè)步長為h計算高階導(dǎo)數(shù)代之以f

在一些點的值的組合當(dāng)Taylor展開到四階項，可取其中Runge-Kutte迭代格式在Matlab可以直接調(diào)用計算高階導(dǎo)數(shù)代之以f在一些點的值的組合當(dāng)Taylor使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)^2;先定義一階微分方程組函數(shù)組使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t再調(diào)用Runge-kutte方法專用程序：functionT=m5_2(h)[t,y]=ode45(@m5_2_fun,[0:h:400*24*36

00],[0,1.521e11,0]);n=max(find(y(:,3)<2*pi));%查找小于

2pi所對應(yīng)的最大n值T=t(n);r=y(round(n/2),2);polar(y(:,3),y(:,2))再調(diào)用Runge-kutte方法專用程序：function取不同步長實驗結(jié)果hTTr0.013.1500364.581.47100.0053.1550365.161.47100.00053.1555365.221.47100.00013.1559365.231.4710表2兩個小軟件展示取不同步長實驗結(jié)果hTTr0.013.1500364.581實驗任務(wù)

任務(wù)2.水星距太陽最遠(yuǎn)處距離為0.6982×1011m,

此時水星繞太陽運(yùn)行的線速度為3.886×104

m/s,畫出水星繞太陽運(yùn)行的軌道曲線,試求:

1)水星繞太陽運(yùn)行的周期2)水星到太陽的最近距離

3)求從遠(yuǎn)日點開始的第50天(地球天)

結(jié)束時水星的位置實驗任務(wù)任務(wù)2.水星距太陽最遠(yuǎn)處距離為0.6982×101任務(wù)4.冥王星在1989年10月處于近日點距太陽44.4×1011m,此時其線速度為0.6122×104m/s,試求:1)它在什么時間到達(dá)遠(yuǎn)日點，此時它的

2)遠(yuǎn)日點到太陽的距離；3)其橢圓軌道的偏心率并作圖線速度為多少?

完成此任務(wù)或任務(wù)2的不同方法應(yīng)作比較任務(wù)4.冥王星在1989年10月處于近日點距太陽44.4先仔細(xì)閱讀教材中解析方法推導(dǎo)開普勒第一有引力定律，試完成這個推導(dǎo)。

任務(wù)3.

利用開普勒三定律，也可以推導(dǎo)出萬和第三定律，然后完成如下的：先仔細(xì)閱讀教材中解析方法推導(dǎo)開普勒第一有引力定律，試完成這個謝謝各位！謝謝各位！數(shù)學(xué)實驗行星的軌道和位置數(shù)學(xué)實驗行星的軌道

他以幾乎神一般的思維力,最先說明了行星的運(yùn)動和圖像,慧星的軌道和大海的潮汐.─Newton墓志銘他以幾乎神一般的思維力,最先說明了行星的運(yùn)動和圖像,背景介紹

哥白尼(波蘭，1473-1543)日心說地球－我們的家園金星－看起來最亮的行星46億歲

,赤道半徑6378.14公里，比極半徑長21公里

半徑約為6073公里,表面溫度高達(dá)465至485度,自轉(zhuǎn)方向與其它行星相反

16世紀(jì)前，人們認(rèn)為太陽只有6大行星托勒密（古希臘）地心說

背景介紹哥白尼(波蘭，1473-1543)土星－最美麗的行星木星－行星中的巨無霸火星－離地球最近、人們最關(guān)注的行星：半徑為2440公里

,較小，難以觀察

水星－距太陽最近的行星火星上有無生命？衛(wèi)星數(shù)目最多,23顆.光環(huán)由無數(shù)塊冰狀物組成的

赤道半徑約為71400公里，是地球的11.2倍土星－最美麗的行星木星－行星中的巨無霸火星－離地球最近、人們開普勒(1571－1630)(觀察分析數(shù)據(jù))3.行星運(yùn)行周期的平方與其運(yùn)行軌道橢圓長軸行星運(yùn)行三大規(guī)律1.行星運(yùn)行的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓;2.從太陽指向某一行星的線段在單位時間內(nèi)的立方之比值是不隨行星而改變的常數(shù).掃過的面積相同;在第谷·布拉赫(1546-1601)的基礎(chǔ)上提出開普勒(1571－1630)(觀察分析數(shù)據(jù))

萬有引力定律

冥王星－離太陽最遠(yuǎn)、未知數(shù)最多的行星天王星－樂師(Herschel)發(fā)現(xiàn)的行星

(1781)海王星－筆尖上的行星(Adams1845,Leverrier1846)“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”(1687牛頓)2006年8月24日國際天文學(xué)聯(lián)合大會決定：冥王星降級為“矮行星”(大行星的定義)

太陽只有八大行星！萬有引力定律冥王星－離太陽最六上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系課件實際問題度為2.929×104m/s,試求:1)地球距太陽的最近距離地球距太陽最遠(yuǎn)處(遠(yuǎn)日點)距離為1.521×1011m,此時地球繞太陽運(yùn)動(公轉(zhuǎn))的速2)地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的周期3)在從遠(yuǎn)日點開始的第100天結(jié)束時,地球的位置與速度實際問題度為2.929×104m/s,試求:1)地球行星運(yùn)動軌跡位于一個平面上

把太陽置于坐標(biāo)系的原點，記行星的位置向量為于是，因為由牛頓第二運(yùn)動定律及萬有引力定律得所以即，故行星位于一個過原點且垂直于的平面上.，那么行星的速度為，加速度為.行星運(yùn)動軌跡位于一個平面上把太陽置于坐標(biāo)系的原點，記行數(shù)學(xué)模型

在運(yùn)動學(xué)中常采用復(fù)坐標(biāo)系(點用復(fù)數(shù)表示)

速度為加速度設(shè)太陽中心所在位置為復(fù)平面之原點,在時刻t,行星位于以下復(fù)數(shù)代表的點數(shù)學(xué)模型在運(yùn)動學(xué)中常采用復(fù)坐標(biāo)系(點用復(fù)數(shù)表示)

根據(jù)Newton

第二定律比較虛實部導(dǎo)出微分方程組根據(jù)Newton第二定律比較虛實部導(dǎo)出

方程初始條件導(dǎo)出行星運(yùn)行第二定律（后兩個如何得到？）右邊正是面積方程初始條件導(dǎo)出行星運(yùn)行第二定律（后兩個如右邊正軌道方程請嘗試推導(dǎo)出行星的軌道方程？(p,e是常數(shù),根據(jù)相關(guān)已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出)改寫前面積分表達(dá)式成為給出時間T1，要求位置即求出θ1與r，較難！軌道方程請嘗試推導(dǎo)出行星的軌道方程？(p,e是常數(shù),根據(jù)求解思路求解思路functionm5_1(h)ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;f=C1*T1/p^2;theta(1)=0;F(1)=0;fori=2:1e6theta(i)=theta(i-1)+h;F(i)=F(i-1)+h*((1-ep*cos(theta(i-1)))^-2+(1-ep*cos(theta(i)))^-2)/2;ifF(i)>fbreak;endendn=i-2t=n*hr=p/(1-ep*cos(t))dtheta=C1/r^2v=r*dthetaMatlab程序functionm5_1(h)Matlab程序取不同步長實驗結(jié)果hnrv0.05331.65001.49402.98190.011681.68001.49442.98340.0053371.68501.49322.98360.00116861.68601.49312.9837表1其中h,n,,r,v單位分別為s,次，弧度，m,m/s取不同步長實驗結(jié)果hnrv0.05331.65001.494代入再設(shè)代入上式得數(shù)值方法將高階微分方程降階為一階方程組再離散化代入再設(shè)代入上式得數(shù)值方法將高階微分方程降階為一階方程組再離Euler迭代格式計算到第n

步得到周期由時間T1易得到θ，rEuler迭代格式計算到第n步得到周期由時間T1易得到θ

將計算所得的數(shù)據(jù)，利用Matlab作圖可得軌道圖形將計算所得的數(shù)據(jù)，利用Matlab作圖可得軌道改進(jìn)Euler

迭代格式對上面方程組用改進(jìn)Euler迭代格式其中任務(wù)：寫出這方程組的改進(jìn)Euler迭代格式并用Matlab

實現(xiàn)改進(jìn)Euler迭代格式對上面方程組用改進(jìn)Euler迭代

艾薩克?牛頓SirIsaacNewton

(英格蘭1643－1727年)物理學(xué)家數(shù)學(xué)家天文學(xué)家哲學(xué)家

煉金術(shù)士造幣廠總監(jiān)

科學(xué)史上最有影響力的人

較之科學(xué)他更多致力于《圣經(jīng)》的研究

專心于科學(xué)研究到癡情艾薩克?牛頓SirIsaacNewton(WhatDescartesdidwasagoodstepyouhaveaddedmuchseveralways&especiallyintakingthecolorsofthethinplatesintophilosophicalconsideration.IfIhaveseenfurtheritisbystandingontheshouldersofGiants.

牛頓的一句名言

性格內(nèi)向獨(dú)身一生WhatDescartesdidwasag

在確定行星軌道為橢圓以后可取t=T/4

（需要取比較小的步長h）近日點的確定處r

的值為近日點，也可以求

r

的最小值作為近日點距離

相應(yīng)點的速度怎么求？在確定行星軌道為橢圓以后可取t=T/4（需要取

可以求得地球的近日點距太陽rmin

=1.471×1011m而在第100天結(jié)束時的位置，則只要求這個時間tk所對應(yīng)的

rk

就可以了，此時r=1.493×1011m可以求得地球的近日點距太陽rmin=1.471×1微分方程的Runge-kutta

方法以一元為例設(shè)步長為h,則（Taylor

展開）其中可以求出各階導(dǎo)數(shù)微分方程的Runge-kutta方法以一元為例設(shè)步長為h計算高階導(dǎo)數(shù)代之以f

在一些點的值的組合當(dāng)Taylor展開到四階項，可取其中Runge-Kutte迭代格式在Matlab可以直接調(diào)用計算高階導(dǎo)數(shù)代之以f在一些點的值的組合當(dāng)Taylor使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)^2;先定義一階微分方程組函數(shù)組使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t再調(diào)用R