顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件

顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座形變孿晶形變孿晶的切變關(guān)系可以用一個單位球在均勻切變前后的變化加以說明；單位球均勻切變后成為一個橢球，其中有兩個通過球心的大圓在切變前后沒有畸變，一個是孿生平面k1，另一個是平面k2。孿生切變平行于k1平面，切變后k1沒有轉(zhuǎn)動。平面k2由原來的位置轉(zhuǎn)動（π-4Φ）到達(dá)新位置k2’。人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座形變孿晶形變1形變孿晶形變孿晶的切變關(guān)系可以用一個單位球在均勻切變前后的變化加以說明；單位球均勻切變后成為一個橢球，其中有兩個通過球心的大圓在切變前后沒有畸變，一個是孿生平面k1，另一個是平面k2。孿生切變平行于k1平面，切變后k1沒有轉(zhuǎn)動。平面k2由原來的位置轉(zhuǎn)動（π-4Φ）到達(dá)新位置k2’。形變孿晶形變孿晶的切變關(guān)系可以用一個單位球在均勻切變前后的變2k1與k2切變后無畸變，這兩個面上的任何矢量長度都不變。k1與k2和k2’的夾角不變，均為2Φ。只有η1和η2在切變前后分別與k1和k2面上的所有矢量保持恒定夾角。保持形變前后晶體有相同點陣和結(jié)構(gòu)的條件：需要三個不在同一平面上的點陣矢量在形變前后長度不變，夾角不變。所以k1面上的任意兩個矢量和η2就構(gòu)成了三個不在同一平面上的點陣矢量（形變前后長度不變，夾角不變）；同理k2面上的任意兩個矢量和η1也能構(gòu)成三個不在同一平面上，形變前后長度不變，夾角不變的點陣矢量。

k1與k2切變后無畸變，這兩個面上的任何矢量長度都不變。3形變孿晶生成的規(guī)律由晶體學(xué)的知識可知：點陣方向和點陣平面的指數(shù)均為有理數(shù)（密勒指數(shù)為整數(shù)）。一般情況下，k1、η1和k2、η2兩套指數(shù)不一定同時都為有理數(shù)，當(dāng)k1和η2的指數(shù)為有理數(shù)時，它們就構(gòu)成了一個不變系。同理k2和η1的指數(shù)為有理數(shù)時，它們也構(gòu)成了一個不變系。所以形變孿晶可分為兩類；一類是k1和η2的指數(shù)為有理數(shù)，另一類則是k2和η1的指數(shù)為有理數(shù)。形變孿晶生成的規(guī)律由晶體學(xué)的知識可知：點陣方向和點陣平面的指4四種孿晶關(guān)系形變孿晶可能有四種孿晶關(guān)系，它們是以孿晶面k1為鏡面的反映；以孿晶面k1的法線為對稱軸的1800旋轉(zhuǎn)；以切變方向η1的正交平面為鏡面的反映；以切變方向η1為對稱軸的1800旋轉(zhuǎn)。四種孿晶關(guān)系形變孿晶可能有四種孿晶關(guān)系，它們是5四種孿晶關(guān)系四種孿晶關(guān)系6α-鈾的形變孿晶α-鈾的形變孿晶7顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件8多重孿晶多重切變多重孿晶多重切變9顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件10孿晶正點陣的特點反映孿晶：通過一個鏡面反映形成的，所以有一個共有的點陣平面。旋轉(zhuǎn)孿晶：通過一個180o旋轉(zhuǎn)形成的，有一個共有的點陣方向。注意：鏡面反映和180o旋轉(zhuǎn)都不是晶體本所具有的。孿晶正點陣的特點反映孿晶：通過一個鏡面反映形成的，所以有一個11反映孿晶的倒易點陣特點反映孿晶的倒易點陣特點12旋轉(zhuǎn)孿晶的倒易點陣特點旋轉(zhuǎn)孿晶的倒易點陣特點13[111][112][110]---MT1T2兩種孿晶關(guān)系的等效關(guān)系面心立方點陣中，k1=（111），η1=[11]。面心立方點陣中兩種孿晶關(guān)系分別是以[111]和[11]為軸的二次旋轉(zhuǎn)。繞[111]旋轉(zhuǎn)1800將陣點M位移倒T1位置，繞[11]旋轉(zhuǎn)1800則將陣點M位移倒T2位置。繞[10]的二次旋轉(zhuǎn)將陣點T1移倒T2位置，故T1和T2等效點

[111][112][110]---MT1T2兩種孿晶關(guān)系的14孿晶電子衍射特征由于基體和孿晶總是共有一個正空間點陣平面或一個點陣方向，所以電子衍射圖中總是共有一列通過透射斑點的衍射斑點。孿晶電子衍射特征由于基體和孿晶總是共有一個正空間點陣平面或一15顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件16顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件17顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件18顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件19孿晶關(guān)系的倒易陣點變換公式→→→孿晶倒易陣點在基體倒易點陣的位置指數(shù)

孿晶關(guān)系的倒易陣點變換公式→→→孿晶倒易陣點在基體倒易點陣的20?=?

??得到由?=???得到由21解聯(lián)立方程得到是孿晶倒易陣點在基體倒易點陣坐標(biāo)系中位置坐標(biāo)的計算公式

解聯(lián)立方程得到是孿晶倒易陣點在基體倒易點陣坐標(biāo)系22對于反映孿晶上式的右邊各項的符號應(yīng)反號。孿晶關(guān)系是相互的，所以上式也可以用來求出基體倒易陣點或點陣方向矢量在孿晶坐標(biāo)系中的指數(shù)。對于反映孿晶上式的右邊各項的符號應(yīng)反號。23孿晶相重陣點的條件用基體點陣表示的孿晶衍射斑點指數(shù)為整數(shù)時，基體和孿晶的衍射斑點重合。變換公式中孿晶相重陣點的條件用基體點陣表示的孿晶衍射斑點指數(shù)為整數(shù)時，24為整數(shù)時。當(dāng)是的整數(shù)倍時，

為整數(shù)時。當(dāng)25孿晶倒易陣點與基體倒易陣點重合，不產(chǎn)生額外的衍射斑點。例如面心立方晶體中pqr為{111}面，當(dāng)ph+qk+rl=3n時，孿晶倒易陣點從基體倒易陣點經(jīng)過2n<111>點陣矢量平移后到達(dá)另一基體倒易陣點位置。每三排衍射斑點中就有一排孿晶倒易陣點與基體倒易陣點重合。孿晶倒易陣點與基體倒易陣點重合，不產(chǎn)生額外的衍射斑點。例如面2611120002200011120002200027在實際的電子衍射實驗中，孿晶關(guān)系總是由電子衍射圖得到的，所以先知道的總是基體和孿晶的倒易陣點分布，包括那些重合的倒易陣點。從倒易陣點與正空間點陣的對應(yīng)關(guān)系可知與每一個衍射斑點對應(yīng)的是一些晶面，因此那些重合的倒易陣點的晶面指數(shù)是已知的。也就是說，孿晶面或者與孿晶軸垂直的晶面指數(shù)是已知的，只需要求出對應(yīng)的法線方向就可以。在實際的電子衍射實驗中，孿晶關(guān)系總是由電子衍射圖得到的，所以28在電子衍射圖中已知孿晶面（重合的基體和孿晶倒易陣點的指數(shù)）的指數(shù)，對應(yīng)的晶面法線方向[PQR]可以通過點陣平面與點陣方向指數(shù)間的變換得到。對于立方晶系來說，晶面法線和晶面指數(shù)相同。在電子衍射圖中已知孿晶面（重合的基體和孿晶倒易陣點的指數(shù)）的29非立方對稱晶體，這個問題實際上就是同一矢量分別用正點陣基矢和倒易點陣基矢表達(dá)的問題。

將晶面法線方向[PQR]分別用正點陣基矢和倒易點陣基矢表示出來如下非立方對稱晶體，這個問題實際上就是同一矢量分別用正點陣基矢和30分別用，，乘上式兩端得可求出孿晶面的法線方向[PQR]。

分別用，，乘上式兩端得可求出孿晶面的法線方向[PQR31對于低對稱性晶體，晶面法線方向點陣方向指數(shù)間的變換矩陣比較復(fù)雜（所得到的[PQR]有可能不是整數(shù)），例如在三斜晶系的情況下這個轉(zhuǎn)換矩陣為對于低對稱性晶體，晶面法線方向點陣方向指數(shù)間的變換矩陣比較復(fù)32顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件33-（-hP-kQ-lR)=htP+ktQ+ltR[PQR]//[pqr]*[ht-(-h)]/p=[kt-(-k)]/q=[lt-(-l)]/r解出對任意晶系孿晶關(guān)系均一樣，晶面法相和晶面指數(shù)不一定相同有：-（-hP-kQ-lR)=htP+ktQ+ltR[PQR]/34顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件35顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件36由于

進(jìn)一步簡化成由于

進(jìn)一步簡化成37立方晶系立方晶系38六角晶系六角晶系39例子Zn,a=2.665?,c=4.947?,c/a=1.856孿晶面為{102}，{111}，{112}，得到例子Zn,a=2.665?,c=4.947?,c/a=40顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件41晶向指數(shù)變換關(guān)系晶向指數(shù)變換關(guān)系42顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件43標(biāo)定孿晶電子衍射圖的解析方法孿晶的所有倒易陣點和基體的同名倒易點相對于孿晶軸有相同的夾角，且三者共面。不同指數(shù)的倒易矢量與孿晶軸有不同的夾角ααp[pqr]*H[HKL]*h[hkl]*(hkl)T(hkl)MS[STR]S[STR]是h和p所在晶帶的帶軸矢量，S=p^h標(biāo)定孿晶電子衍射圖的解析方法孿晶的所有倒易陣點和基體的同名倒44因為h，p，H共面，有H?S=0矢量h和H由相同的長度∣h∣=∣H∣注意到h和H與p共面，有

H?p=h?p，得到一個方程組。對于一個給定的(hkl)M通過解方程組得到形成(pqr)孿晶時，(hkl)T在基體倒易點陣中的位置H。因為h，p，H共面，有H?S=045立方晶系的情況H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→H2+K2+L2=h2+k2+l2H?p=h?p→(H-h)p+(K-k)q+(L-l)r=0立方晶系的情況H?S=0→HS+KT+LR=046六角晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→4(c/a)2(H2+HK+K2-h2-hk-k2)+3(L2-l2)=0H?p=h?p→4(c/a)2{[H-h+0.5(K-k)]p+[K-k+0.5(H-h)]q}+3(L-l)r=0六角晶系H?S=0→HS+KT+LR=047四方晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2+K2-h2-k2)+(c/a)-2(L2-l2)=0H?p=h?p→(H-h)p+(K-k)q+(c/a)-2(L-l)r=0四方晶系H?S=0→HS+KT+LR=048正交晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2-h2)/a2+(K2-k2)/b2+(L2-l2)/c2=0H?p=h?p→(H-h)p/a2+(K-k)q/b2+(L-l)r/c2=0正交晶系H?S=0→HS+KT+LR=049棱面體晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2+K2+L2-h2-k2-l2)/(Hk+kl+LH-hk-kl-hl)=2cosα/(1+cosα)H?p=h?p→[(H-h)p+(K-k)q+(L-l)r]/[(K+L-k-l)p+(H+L-h-l)q+(H+K-h-k)r]=cosα/(1+cosα)棱面體晶系H?S=0→HS+KT+LR=050單斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2-h2)/a2+(K2-k2)sin2β/b2+(L2-l2)/c2+(hl-HL)2cosβ/ac=0H?p=h?p→(H-h)p/a2+sin2β(K-k)q/b2+(L-l)r/c2+[(l-L)p+(h-H)r]cosβ/ac=0單斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=051三斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→S11(H2-h2)+S22(K2-k2)+S33(L2-l2)+2S12(HK-hk)+2S23(KL-kl)+2S13(HL-hl)=0H?p=h?p→S11(H-h)p+S22(K-k)q+S33(L-l)r+S12[(K-k)p+(H-h)q]+S23[(L-l)q+(K-k)r]+S13[(L-l)p+(H-h)r]=0三斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=052其中

S11=(bcsinα)2,

S22=(acsinβ)2,

S33=(absinγ)2,

S12=abc2(cosαcosβ-cosγ),

S23=a2bc(cosβcosγ-cosα),S13=ab2c(cosγcosα-cosβ)其中

S11=(bcsinα)2,

S22=(acsinβ53例子體心立方形成（112）孿晶時，(213)T斑點在基體倒易點陣中的位置。

(pqr)=(112);(hkl)T=(213)求得[STR]=聯(lián)立方程-H-K+l=0H2+K2+L2=14H+K+L=9解出H[HKL]*=[123]*。例子體心立方形成（112）孿晶時，(213)T斑點在基體倒易54求面心立方晶體形成（111）孿晶時，孿晶衍射(311)T在基體倒易點陣中的位置。

已知(pqr)=(111);(hkl)T=(311)

求得[STR]=[0-22]

得到方程組

L=K

H2+K2+L2=11

H+K+L=5

解出H[HKL]*=1/3[177]*求面心立方晶體形成（111）孿晶時，孿晶衍射(311)T在基55求六角晶系（a=3.114?,c=4.985?,c/a=1.633）形成（112）孿晶時，(-110)T衍射在基體倒易點陣中的位置。

已知(pqr)=(112);(hkl)T=(-110)

求得[STR]=[22-2],

得到方程組

H+K-L=0

H2+HK+K2+1.8L2=1

H+K+0.375L=0

解出H[HKL]*=[1-10]*求六角晶系（a=3.114?,c=4.985?,c/a=56孿晶倒易陣點指數(shù)的變換建立一個包括[PQR]的直角坐標(biāo)系在這個直角坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)可以簡單地表示ab1/p1/q1/rCAB[uvw]c孿晶倒易陣點指數(shù)的變換建立一個包括[PQR]的直角坐標(biāo)系a57pqr晶面在a、b、c軸的截距分別為a/p、b/q、c/r（p、q、r均不為零），法線[PQR]垂直于該面上的每一個矢量，可以在pqr面上選擇兩個正交矢量與法線[PQR]組成直角坐標(biāo)系。pqr晶面在a、b、c軸的截距分別為a/p、b/q、c/r（58在pqr面上選擇一矢量比較簡單，例如選取矢量AB=a/p-b/q就與[PQR]垂直，由于p和q是整數(shù)，1/p和1/q為分?jǐn)?shù)，為了使AB與慣用的點陣方向表示方法一致，可以用pq乘AB得倒一個新矢量qa-pb，它與AB平行，作為直角坐標(biāo)系的第二個坐標(biāo)軸。在pqr面上選擇一矢量比較簡單，例如選取矢量AB=a/p-b59該直角坐標(biāo)系的第三個坐標(biāo)軸[uvw]可以用前面已得到的兩個坐標(biāo)軸[PQR]和矢量乘法來求得如下這里V是正空間單胞的體積。

該直角坐標(biāo)系的第三個坐標(biāo)軸[uvw]可以用前面已得到的兩個坐60將[PQR]，[q-p0]，[uvw]做歸一化處理后得到正交歸一的基矢量將[PQR]，[q-p0]，[uvw]做歸一化處理后得到正交61基矢為a，b，c的坐標(biāo)系與以A(Pa+Qb+Rc），B(qa-pb)，D(ua+vb+wc)為新基矢的直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為基矢為a，b，c的坐標(biāo)系與以A(Pa+Qb+Rc），B(q62旋轉(zhuǎn)孿晶就可以寫成當(dāng)θ=1800時，可將上式簡化為旋轉(zhuǎn)孿晶就可以寫成當(dāng)θ=1800時，可將上式簡化為63匯報結(jié)束謝謝大家!請各位批評指正匯報結(jié)束謝謝大家!請各位批評指正64謝謝觀賞！2020/11/565謝謝觀賞！2020/11/565顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座形變孿晶形變孿晶的切變關(guān)系可以用一個單位球在均勻切變前后的變化加以說明；單位球均勻切變后成為一個橢球，其中有兩個通過球心的大圓在切變前后沒有畸變，一個是孿生平面k1，另一個是平面k2。孿生切變平行于k1平面，切變后k1沒有轉(zhuǎn)動。平面k2由原來的位置轉(zhuǎn)動（π-4Φ）到達(dá)新位置k2’。人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座顯微結(jié)構(gòu)分析講座形變孿晶形變66形變孿晶形變孿晶的切變關(guān)系可以用一個單位球在均勻切變前后的變化加以說明；單位球均勻切變后成為一個橢球，其中有兩個通過球心的大圓在切變前后沒有畸變，一個是孿生平面k1，另一個是平面k2。孿生切變平行于k1平面，切變后k1沒有轉(zhuǎn)動。平面k2由原來的位置轉(zhuǎn)動（π-4Φ）到達(dá)新位置k2’。形變孿晶形變孿晶的切變關(guān)系可以用一個單位球在均勻切變前后的變67k1與k2切變后無畸變，這兩個面上的任何矢量長度都不變。k1與k2和k2’的夾角不變，均為2Φ。只有η1和η2在切變前后分別與k1和k2面上的所有矢量保持恒定夾角。保持形變前后晶體有相同點陣和結(jié)構(gòu)的條件：需要三個不在同一平面上的點陣矢量在形變前后長度不變，夾角不變。所以k1面上的任意兩個矢量和η2就構(gòu)成了三個不在同一平面上的點陣矢量（形變前后長度不變，夾角不變）；同理k2面上的任意兩個矢量和η1也能構(gòu)成三個不在同一平面上，形變前后長度不變，夾角不變的點陣矢量。

k1與k2切變后無畸變，這兩個面上的任何矢量長度都不變。68形變孿晶生成的規(guī)律由晶體學(xué)的知識可知：點陣方向和點陣平面的指數(shù)均為有理數(shù)（密勒指數(shù)為整數(shù)）。一般情況下，k1、η1和k2、η2兩套指數(shù)不一定同時都為有理數(shù)，當(dāng)k1和η2的指數(shù)為有理數(shù)時，它們就構(gòu)成了一個不變系。同理k2和η1的指數(shù)為有理數(shù)時，它們也構(gòu)成了一個不變系。所以形變孿晶可分為兩類；一類是k1和η2的指數(shù)為有理數(shù)，另一類則是k2和η1的指數(shù)為有理數(shù)。形變孿晶生成的規(guī)律由晶體學(xué)的知識可知：點陣方向和點陣平面的指69四種孿晶關(guān)系形變孿晶可能有四種孿晶關(guān)系，它們是以孿晶面k1為鏡面的反映；以孿晶面k1的法線為對稱軸的1800旋轉(zhuǎn)；以切變方向η1的正交平面為鏡面的反映；以切變方向η1為對稱軸的1800旋轉(zhuǎn)。四種孿晶關(guān)系形變孿晶可能有四種孿晶關(guān)系，它們是70四種孿晶關(guān)系四種孿晶關(guān)系71α-鈾的形變孿晶α-鈾的形變孿晶72顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件73多重孿晶多重切變多重孿晶多重切變74顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件75孿晶正點陣的特點反映孿晶：通過一個鏡面反映形成的，所以有一個共有的點陣平面。旋轉(zhuǎn)孿晶：通過一個180o旋轉(zhuǎn)形成的，有一個共有的點陣方向。注意：鏡面反映和180o旋轉(zhuǎn)都不是晶體本所具有的。孿晶正點陣的特點反映孿晶：通過一個鏡面反映形成的，所以有一個76反映孿晶的倒易點陣特點反映孿晶的倒易點陣特點77旋轉(zhuǎn)孿晶的倒易點陣特點旋轉(zhuǎn)孿晶的倒易點陣特點78[111][112][110]---MT1T2兩種孿晶關(guān)系的等效關(guān)系面心立方點陣中，k1=（111），η1=[11]。面心立方點陣中兩種孿晶關(guān)系分別是以[111]和[11]為軸的二次旋轉(zhuǎn)。繞[111]旋轉(zhuǎn)1800將陣點M位移倒T1位置，繞[11]旋轉(zhuǎn)1800則將陣點M位移倒T2位置。繞[10]的二次旋轉(zhuǎn)將陣點T1移倒T2位置，故T1和T2等效點

[111][112][110]---MT1T2兩種孿晶關(guān)系的79孿晶電子衍射特征由于基體和孿晶總是共有一個正空間點陣平面或一個點陣方向，所以電子衍射圖中總是共有一列通過透射斑點的衍射斑點。孿晶電子衍射特征由于基體和孿晶總是共有一個正空間點陣平面或一80顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件81顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件82顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件83顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件84孿晶關(guān)系的倒易陣點變換公式→→→孿晶倒易陣點在基體倒易點陣的位置指數(shù)

孿晶關(guān)系的倒易陣點變換公式→→→孿晶倒易陣點在基體倒易點陣的85?=?

??得到由?=???得到由86解聯(lián)立方程得到是孿晶倒易陣點在基體倒易點陣坐標(biāo)系中位置坐標(biāo)的計算公式

解聯(lián)立方程得到是孿晶倒易陣點在基體倒易點陣坐標(biāo)系87對于反映孿晶上式的右邊各項的符號應(yīng)反號。孿晶關(guān)系是相互的，所以上式也可以用來求出基體倒易陣點或點陣方向矢量在孿晶坐標(biāo)系中的指數(shù)。對于反映孿晶上式的右邊各項的符號應(yīng)反號。88孿晶相重陣點的條件用基體點陣表示的孿晶衍射斑點指數(shù)為整數(shù)時，基體和孿晶的衍射斑點重合。變換公式中孿晶相重陣點的條件用基體點陣表示的孿晶衍射斑點指數(shù)為整數(shù)時，89為整數(shù)時。當(dāng)是的整數(shù)倍時，

為整數(shù)時。當(dāng)90孿晶倒易陣點與基體倒易陣點重合，不產(chǎn)生額外的衍射斑點。例如面心立方晶體中pqr為{111}面，當(dāng)ph+qk+rl=3n時，孿晶倒易陣點從基體倒易陣點經(jīng)過2n<111>點陣矢量平移后到達(dá)另一基體倒易陣點位置。每三排衍射斑點中就有一排孿晶倒易陣點與基體倒易陣點重合。孿晶倒易陣點與基體倒易陣點重合，不產(chǎn)生額外的衍射斑點。例如面9111120002200011120002200092在實際的電子衍射實驗中，孿晶關(guān)系總是由電子衍射圖得到的，所以先知道的總是基體和孿晶的倒易陣點分布，包括那些重合的倒易陣點。從倒易陣點與正空間點陣的對應(yīng)關(guān)系可知與每一個衍射斑點對應(yīng)的是一些晶面，因此那些重合的倒易陣點的晶面指數(shù)是已知的。也就是說，孿晶面或者與孿晶軸垂直的晶面指數(shù)是已知的，只需要求出對應(yīng)的法線方向就可以。在實際的電子衍射實驗中，孿晶關(guān)系總是由電子衍射圖得到的，所以93在電子衍射圖中已知孿晶面（重合的基體和孿晶倒易陣點的指數(shù)）的指數(shù)，對應(yīng)的晶面法線方向[PQR]可以通過點陣平面與點陣方向指數(shù)間的變換得到。對于立方晶系來說，晶面法線和晶面指數(shù)相同。在電子衍射圖中已知孿晶面（重合的基體和孿晶倒易陣點的指數(shù)）的94非立方對稱晶體，這個問題實際上就是同一矢量分別用正點陣基矢和倒易點陣基矢表達(dá)的問題。

將晶面法線方向[PQR]分別用正點陣基矢和倒易點陣基矢表示出來如下非立方對稱晶體，這個問題實際上就是同一矢量分別用正點陣基矢和95分別用，，乘上式兩端得可求出孿晶面的法線方向[PQR]。

分別用，，乘上式兩端得可求出孿晶面的法線方向[PQR96對于低對稱性晶體，晶面法線方向點陣方向指數(shù)間的變換矩陣比較復(fù)雜（所得到的[PQR]有可能不是整數(shù)），例如在三斜晶系的情況下這個轉(zhuǎn)換矩陣為對于低對稱性晶體，晶面法線方向點陣方向指數(shù)間的變換矩陣比較復(fù)97顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件98-（-hP-kQ-lR)=htP+ktQ+ltR[PQR]//[pqr]*[ht-(-h)]/p=[kt-(-k)]/q=[lt-(-l)]/r解出對任意晶系孿晶關(guān)系均一樣，晶面法相和晶面指數(shù)不一定相同有：-（-hP-kQ-lR)=htP+ktQ+ltR[PQR]/99顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件100顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件101由于

進(jìn)一步簡化成由于

進(jìn)一步簡化成102立方晶系立方晶系103六角晶系六角晶系104例子Zn,a=2.665?,c=4.947?,c/a=1.856孿晶面為{102}，{111}，{112}，得到例子Zn,a=2.665?,c=4.947?,c/a=105顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件106晶向指數(shù)變換關(guān)系晶向指數(shù)變換關(guān)系107顯微結(jié)構(gòu)分析講座課件108標(biāo)定孿晶電子衍射圖的解析方法孿晶的所有倒易陣點和基體的同名倒易點相對于孿晶軸有相同的夾角，且三者共面。不同指數(shù)的倒易矢量與孿晶軸有不同的夾角ααp[pqr]*H[HKL]*h[hkl]*(hkl)T(hkl)MS[STR]S[STR]是h和p所在晶帶的帶軸矢量，S=p^h標(biāo)定孿晶電子衍射圖的解析方法孿晶的所有倒易陣點和基體的同名倒109因為h，p，H共面，有H?S=0矢量h和H由相同的長度∣h∣=∣H∣注意到h和H與p共面，有

H?p=h?p，得到一個方程組。對于一個給定的(hkl)M通過解方程組得到形成(pqr)孿晶時，(hkl)T在基體倒易點陣中的位置H。因為h，p，H共面，有H?S=0110立方晶系的情況H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→H2+K2+L2=h2+k2+l2H?p=h?p→(H-h)p+(K-k)q+(L-l)r=0立方晶系的情況H?S=0→HS+KT+LR=0111六角晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→4(c/a)2(H2+HK+K2-h2-hk-k2)+3(L2-l2)=0H?p=h?p→4(c/a)2{[H-h+0.5(K-k)]p+[K-k+0.5(H-h)]q}+3(L-l)r=0六角晶系H?S=0→HS+KT+LR=0112四方晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2+K2-h2-k2)+(c/a)-2(L2-l2)=0H?p=h?p→(H-h)p+(K-k)q+(c/a)-2(L-l)r=0四方晶系H?S=0→HS+KT+LR=0113正交晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2-h2)/a2+(K2-k2)/b2+(L2-l2)/c2=0H?p=h?p→(H-h)p/a2+(K-k)q/b2+(L-l)r/c2=0正交晶系H?S=0→HS+KT+LR=0114棱面體晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2+K2+L2-h2-k2-l2)/(Hk+kl+LH-hk-kl-hl)=2cosα/(1+cosα)H?p=h?p→[(H-h)p+(K-k)q+(L-l)r]/[(K+L-k-l)p+(H+L-h-l)q+(H+K-h-k)r]=cosα/(1+cosα)棱面體晶系H?S=0→HS+KT+LR=0115單斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→(H2-h2)/a2+(K2-k2)sin2β/b2+(L2-l2)/c2+(hl-HL)2cosβ/ac=0H?p=h?p→(H-h)p/a2+sin2β(K-k)q/b2+(L-l)r/c2+[(l-L)p+(h-H)r]cosβ/ac=0單斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=0116三斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=0∣H∣=∣h∣→S11(H2-h2)+S22(K2-k2)+S33(L2-l2)+2S12(HK-hk)+2S23(KL-kl)+2S13(HL-hl)=0H?p=h?p→S11(H-h)p+S22(K-k)q+S33(L-l)r+S12[(K-k)p+(H-h)q]+S23[(L-l)q+(K-k)r]+S13[(L-l)p+(H-h)r]=0三斜晶系H?S=0→HS+KT+LR=0117其中

S11=(bcsinα)2,

S22=(acsinβ)2,

S33=(absinγ)2,

S12=abc2(cosαcosβ-cosγ),

S23=a2bc(cosβcosγ-cosα),S13=ab2c(cosγcosα-cosβ)其中

S11=(bcsinα)2,

S22=(acsinβ118例子體心立方形成（112）孿晶時，(213)T斑點在基體倒易點陣中的位置。

(pqr)=(112);(hkl)T=(213)求得[STR]=聯(lián)立方程-H-K+l=0H2+K2+L2=14H+K+L=9解出H[HKL]*=[1