《高等數(shù)學(xué)》 各章知識點總結(jié)-第1章

1、極限的概念（1）數(shù)列極限的定義

第1章函數(shù)與極限總結(jié){x}a總存在正整數(shù)nN使得對于n>N時的一切n恒有n n a |< 則稱a 是數(shù)列{x}的極限 或者稱數(shù)列{x}收斂于a 記n n lim

axna(n)nn（2）函數(shù)極限的定義00設(shè)函數(shù)f(x)在點x的某一去心鄰域（或當(dāng)xM0有定義如果存在常數(shù)A對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小總存在正數(shù)或存在X）使得當(dāng)x滿足不等式0<|xx時（或當(dāng)xX時）恒有|f(x)A|00Axx（x）記為0limf(xAf(x)A(xx0)（或limfxA）xx0

x類似的有：如果存在常數(shù)A對0,0,當(dāng)x:xxx（x xx）0 0 0 0時，恒有fxAA為fx)xx時的左極限（或右極限）記作0limf(x)A(或limf(x)A)xx0

xx0limfxAlimxx0 x

f(x)limxx0

f(x)A)如果存在常數(shù)A對0,X0,當(dāng)xX(或xX)時，恒有f(x)A，Afxx（x）時的極限記作limf(x)A(或limf(x)A)x x顯然有l(wèi)imfxAlimfxlimfxA)x x x2、極限的性質(zhì)唯一性lim

a，lim

b，則abnn n n若lim f(x)A lim f(x)B，則ABx(xx)0

x(xx)0有界性若limxa，則M0使得對恒有x Mnn nlimfx)A，則M0x0xxxx 00

時，有f(x)M若limf(x)A，則M0,X0當(dāng)xX時，有f(x)Mxn n 若lim

a且a0(或a0)則NNnNx

0(或

0)nnlimfxA，且A0(或A0)，則0x0xxxx 00f(x)0(或f(x)0)3、極限存在的準(zhǔn)則（i）夾逼準(zhǔn)則

時，有給定數(shù)列{xn

},{yn

},{z}n若①n0

Nnn0

時有y x zn n n②limyn

limzn

a，則limx an n給定函數(shù)f(x),g(x),h(x)，0xUx00

r（xX）gxfxx)②limg(x)limh(x)A，x(xx)0

x(xx)0則lim f(x)Ax(xx)0單調(diào)有界準(zhǔn)則給定數(shù)列{x}，若①對nN有x x (或x x )②M(m)使對n n n1 n n1nNxn

M(或xn

m則limx存在n nfxx0存在

（或右側(cè)鄰域單調(diào)有界，則limxx0

fx)（limxx0

f(x)）4、極限的運算法則若lim f(x)A，limg(x)Bx(xx)0

x(xx)0則(i)lim[f(x)g(x)]ABx(xx)0lim[f(x)g(x)]ABx(xx)0

f(x)

A（B0）x(xx)0

g(x) B0設(shè)ugx)且limgx)0

U(

,)g(x)u（iii）limf(u)uu0

xx0 0 0 0則limf[g(x)]limf(u)Axx0

uu05、兩個重要極限limsinx1

lim

sinu(x)1x0 x

u(x)0 u(x)limsinx

0，limxsin1

1，limxsin10x x

x x

x0 x 1x

1 u(x)lim1

e lim1x

u(x)

e;x 1lim(1x)xe1x0

u(x)v(xlimv(v(xv(x)0

e;6、無窮小量與無窮大量的概念（1） 若limx(xx0

(x)0，即對0,0,當(dāng)x:0xx0)

（或xX）x)xx(或xx無窮小量0（2） 若lim f(x)即對M0,0(或X0),當(dāng)x:0xx x 0(xx)0（xX時有fx)Mxx(或xx無窮大量07、無窮小量與有極限的量及無窮大量的關(guān)系，無窮小量的運算法則（1）lim fxAfxAxlimx)0x(xx)0

x(xx)02）lim f(x)（f(x)

1 x(xx)0

x(xx)0

f(x)limg(x)

1 0x(xx)0

x(xx)0

g(x)（4）lim fx且M0,x0xxx 0

（xX）gx)M，(xx)0則lim[f(x)g(x)]x(xx)0（5）lim fx0且M0,x0xxx 0

（或xX）時有g(shù)x)M，(xx)0則lim[f(x)g(x)]0x(xx)0（6）lim fx

(x)0(k1,2,

,n)則limx

f(x)0,limk x

f(x)0,k(xx)0

(xx0

)k1

(xx0

)k18、無窮小量的比較lim f(x)0,limg(x)0,lim(x)0x(xx)0

x(xx)0f(x)

x(xx)0若（1）limx(xx)0

g(x)

C0,，則稱當(dāng)xx0

(或x)時，f(x)與g(x)是同階無窮小。limx(xx)0

f(x)g(x)

1，則稱當(dāng)xx0

(或x)時，f(x)與g(x)是等價無窮小，記作f(x)

xx(或x。g(g(x)（f(x)limx(xx)0

g(x)

0，則稱當(dāng)xx0

(或x)時，f(x)是g(x)是高階無窮小，記作fxogx（xx(或x。f(xf(x)g(x)（4）M0x

U(x000

,)（或xX

M，則記fx)Ogx))（xx(或x）0（5）limx(xx)0

( )f C0(k0)，則稱當(dāng)xxf (x)]k

(或x)時，f(x)是(x)是k階無窮小，9、常用的等價無窮小x0時，有sinx~x~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex

1,（2）1cosx

1x2.（3）ax1~xlna(0a1),（4）(1x)1~x210、函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)連續(xù)的定義yfxx及其鄰域Ux內(nèi)有定義，若0（i）limylim[f(xx0 x0

x)f(x0

)]0或（ii）limfxfx)xx0 0或（iii）0,0, 當(dāng)x:xx0

時，有f(x)f(x0

).yfxx0

處連續(xù)yfx在點x0

,x0

limxx0

f(x)f(x0

yfx)在點x處左連續(xù)，0yfx在點xx0 0

limxx0

f(x)f(x0

yfx)在點x處右連續(xù)0yfx在(abyfx在(ab內(nèi)連續(xù)yfx在(ablimfxf(alimfxf(b，則稱xayfx在[abfxC[ab]函數(shù)的間斷點

xbyfxx0

的某去心鄰域o(x)內(nèi)有定義yfx：（i）在點x0

處沒有定義（ii）雖然在x0

有定義但limf(x)不存在xx(3)

0limf(x)limf(x)f(x)0 xx0

xx 00f(x)xxf(x)的不連續(xù)點或間斷點。0 0設(shè)點x0

yfx的間斷點，（1）limxx0

f(x)limxx0

f(x)f(x0

)，則稱點x0

yfx)的可去間斷點，若（2）limf(x)xx0

limxx0

fxx0

yfx的跳躍間斷點，可去間斷點與跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點limxx0

fxlimxx0

fxx0

yfx的無窮型間斷點，limxx0

fx)limxx0

f(x)不存在且都不是無窮大，則稱點x0

yfx的振蕩型間斷點，無窮間斷點和振蕩間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點11、連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的四則運算fx)gxx處連續(xù)0f(x)fxgx),fxgx),反函數(shù)的連續(xù)性，

g(x)

(g(

)0)x0

處也連續(xù)yfx)Ix

（或單調(diào)減少xf1y在其對應(yīng)的區(qū)間Iy

{yyf(x),xIx

}上也單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，gyfgxyf(uugx復(fù)合而成，Ux，g0 f若（1）limgx)

(或limgx)g

)u)xx0

0 xx 0 00（2）limf(u)f(u)則limf[g(x)]f[limg(x)]f(u)uu0

0 xx0

xx 00（limf[gxf[limgxf[gxf(u）x