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第第6頁(yè)共6頁(yè)上海海事大學(xué)試卷2010—2011學(xué)年第一學(xué)期期末考試《A(一)》(A解答一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案,填在題末的括號(hào)中)(本大題分3小題,每小題4分,共12分)limx0
x
2?的值為 x2
?(?A??)2等0; (B)等于 ;2為無(wú)窮大; (D)不存在,但不是無(wú)窮大.、設(shè)a,b適,3a25b,則方,x52ax34c)(無(wú)實(shí)根(B)有唯一實(shí)根(C)有三個(gè)不同的實(shí)根(D)有5個(gè)不同的實(shí)根、設(shè)F(x)2esintdt,則F)?x不為常數(shù)(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)為正常數(shù)二、填空題(將正確答案填在橫線上)(本大題分2小題,每小題4分,共8分)1、limex1x的值為 1x0 x2 2 32、設(shè)a,bc均為非零向量,滿(mǎn)足cab,bcaabc,abc=3三計(jì)算題(必須有解題過(guò)程,否則不給分)(本大題分10小題,每題6分,共60分)裝 4x1、極限lim(x x訂4
)2xx8原式 )4線 x x
e8 62、設(shè)yy(x)由方程exycos(xy)y確定求y(0)解:exy(yxy)(yxy)sin(xy)y, 4分當(dāng)x.,y2,y(0)2 6分3、求?1?1解:令
x dx.54x54x454x4
1(5t2) 1
135t2)dt 481xx4、求解:xx
616arctan xx16arctan xxarctan xxarctan xx2
d(arctan
) 3(arctan x)2C 6(C1)xtcostd,x05、已知f(x),試討論f(x)在x點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.x ,x0f(0)limx0
xtcostdt00f(0limx0又f(0)0
f(x)limx20 2x0 f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù) 3分f(0)lim
f(x)f(0)
xtcostdt0 x0 x x0 xlim(xcosx)0 5x0f(0)lim
f(x)f(0)
x20 x0 x x0 xf(0)0,f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo). 6分6、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),又曲線yf(x)通過(guò)原點(diǎn)0,且它在原點(diǎn)0處的切線,試求:
f(t)dt.x0
xsinx解:由題意知,f(0)(0)2分xf(t)dt
f(x)0xsinxlim 0xsinxx0
x0sinxxcosxlim
fx) 5x02cosxxsinx1f(0)1 62 27、試確定yax3bx2cxd中的a,b,c,d,使得點(diǎn)(4)為駐點(diǎn),(1,—10)為拐點(diǎn)。yax2bxc,y6axb曲線過(guò)點(diǎn)(4),1,8a4b2cd44故有: , 3分 abcd10又(-2,44)為駐點(diǎn),(1,-10)為拐點(diǎn),y(2)12ac0 y6a0 , 58、求
解方程得a1,b3,c24,d16.6分x2cos0x2sinx0
2xsinxdx 302xcosx0
2cosxdx2 609、不計(jì)算積分,試比較1 x d與1ln1x)d大?。?x 解:由微分中值定理,可得x1x1x) ,0x1x1x1x所以1ln1x)dxx1x0 0
dx 6(f(x)x
x1
,如直接計(jì)算不給分)x2yz5010、求過(guò)P0
(4,2,3)與平面:xyz100平行且與直線l1
:z100垂直的直線方程。的法向量為nS1
i j k1 2 1,20 0 1SnS1
, 4x41y22zx41y22z33四、應(yīng)用及證明(201、(7)設(shè)有一塊邊長(zhǎng)為a,,問(wèn)小方塊的邊長(zhǎng)為多少才使盒子的容積最大設(shè)小方塊的邊長(zhǎng)為x
a 3Vx(a2x)
ax
4x
4ax, 0x2Va212x8ax唯一駐點(diǎn):xa6xa6V (24xxa6
x6
4a0 6即x
a為極大值點(diǎn),也是最大值,所以小方塊邊長(zhǎng)為時(shí),盒子的a66 7a6容積最大2、(本題7分)求拋物線y2x)處的切線和軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.: 2ydy3dx,dydxdydx(0,3)
32y32y2
1 12y32
1x, 2與x軸交點(diǎn)(6,0).V 6(31x)2dx(3x)dx 5x 0 2 0 2 1 6 3 322 (3 x)3 (3x)2 22232
0 0(18
27)2
9. 73、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且有f
2xf(x)dx,證明必存在使f)1f(。101
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