高三數(shù)學(xué) 第二章第十二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用復(fù)習(xí) 新人教A

第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用編輯ppt 1．通常求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題稱為________問題，一般地，對(duì)于實(shí)際問題，若函數(shù)在給定的定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么該點(diǎn)也是最值點(diǎn)． 2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最(極)值等離不開方程與不等式；反過來方程的根的個(gè)數(shù)，不等式的證明、不等式恒成立求參數(shù)等，又可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究．優(yōu)化編輯ppt3．解決優(yōu)化問題的基本思想編輯ppt 函數(shù)的極大值一定比極小值大嗎？ 【提示】極值是一個(gè)局部概念，極值的大小關(guān)系是不確定的，即極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小．

編輯ppt【解析】

∵f′(x)＝3ax2＋1，依題意f′(x)＝3ax2＋1有兩個(gè)實(shí)根，∴a＜0.【答案】D編輯ppt2．(2011·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 【解析】函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，即方程ex－2x＋a＝0有實(shí)根，即函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點(diǎn)，而g′(x)＝2－ex，易知函數(shù)g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上遞增，在(ln2，＋∞)上遞減，因而g(x)＝2x－ex的值域?yàn)?－∞，2ln2－2]，所以要使函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點(diǎn)，只需a≤2ln2－2即可． 【答案】(－∞，2ln2－2]編輯ppt3．(2012·青島質(zhì)檢)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為________萬件．【答案】9編輯ppt4．已知f(x)＝1＋x－sinx，試比較f(2)，f(3)，f(π)的大小為________． 【解析】

f′(x)＝1－cosx，當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，f′(x)＞0. ∴f(x)在(0，π]上是增函數(shù)，∴f(π)＞f(3)＞f(2)． 【答案】

f(π)＞f(3)＞f(2)

編輯ppt 已知函數(shù)f(x)＝xlnx. (1)求函數(shù)f(x)的最小值； (2)試討論關(guān)于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的實(shí)根個(gè)數(shù)． 【思路點(diǎn)撥】(1)求f′(x)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，判定f′(x)的正負(fù)變化，求出f(x)的最值．(2)由f(x)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合求解．

導(dǎo)數(shù)在方程(函數(shù)零點(diǎn))中的應(yīng)用

編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時(shí)，ex＞x2－2ax＋1. 【思路點(diǎn)撥】第(2)問構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需證明g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)處理．導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

編輯ppt 【嘗試解答】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln2. 于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減2(1－ln2＋a)單調(diào)遞增編輯ppt 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)， f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)． (2)設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R. 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知當(dāng)a＞ln2－1時(shí)，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0. 于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)＞0， 所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．編輯ppt 于是當(dāng)a＞ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)＞g(0)． 又g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0. 即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.

編輯ppt 1．本題常見的錯(cuò)誤有兩點(diǎn)：(1)基礎(chǔ)知識(shí)不過關(guān)，求錯(cuò)導(dǎo)數(shù)；(2)不等式證明思路不清晰，不會(huì)構(gòu)造函數(shù)g(x)，發(fā)現(xiàn)不了g′(x)與f(x)的關(guān)系，導(dǎo)致不能運(yùn)用第(1)問的結(jié)論． 2．對(duì)于該類問題，可從不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)，借助單調(diào)性或最值實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．

編輯ppt (2011·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a＞0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求所有的實(shí)數(shù)a，使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1，e]恒成立．(其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．編輯ppt編輯ppt生活中的優(yōu)化問題

編輯ppt 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)容積(體積)尋求r與l的關(guān)系，并由l≥2r求出r的范圍．(2)先根據(jù)圓柱的側(cè)面積與球的表面積建立造價(jià)y關(guān)于r的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最小值．編輯ppt編輯ppt編輯ppt 1．本題的關(guān)鍵在于利用幾何體的容積與表面積公式尋找等量關(guān)系，進(jìn)而建立函數(shù)模型，但一定注意用條件l≥2r及實(shí)際意義求函數(shù)定義域． 2．(1)目標(biāo)函數(shù)的建立是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的關(guān)鍵，注意選擇恰當(dāng)?shù)淖宰兞浚约皩?shí)際背景所限定的變量取值范圍；(2)如果目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)．編輯ppt編輯ppt編輯ppt 從近兩年新課標(biāo)命題看，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)方程、不等式的交匯綜合，以及利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際中的優(yōu)化問題，是命題的熱點(diǎn)，而且不斷豐富創(chuàng)新．題型以解答題的形式為主，綜合考查分析、解決問題的能力，以及分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法．編輯ppt規(guī)范解答之四導(dǎo)數(shù)與不等式交匯問題的求解方法編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt圖2－12－2編輯ppt【答案】B編輯ppt【解】(1)由f(x)＝－ax＋ax·lnx＋