試驗、事件、樣本空間

1.前言2.參考書3.本學科歷史4.本學科應用5.作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學科,理論嚴謹,應用廣泛,

發(fā)展迅速.不僅高等學校各專業(yè)都開設了本課程,而且在上世紀末，此課程特意被教育部定為本科生考研的數(shù)學課程之一，希望大家能認前言真學好這門不易學好的重要課程.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!國內有關經典著作1.《概率論基礎及其應用》

王梓坤著科學出版社1976年版國外有關經典著作1.《概率論的分析理論》P.-S.拉普拉斯著

1812年版概率論奠基著作概率統(tǒng)計專業(yè)首位中科院院士2.《概率論及其應用（第三版）》，[美]威廉?費勒，胡迪鶴譯，人民郵電出版社2.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

中山大學數(shù)學系編試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!科普讀物章女士品茶第二章偏斜分布

第三章可愛的戈塞特先生

第四章在“垃圾堆”中尋覓

第五章收成變動研究

第六章“百年不遇的洪水”第七章費歇爾獲勝第八章致命的劑第九章鐘型曲線第十章擬和優(yōu)度檢驗第十一章假設檢驗第十二章置信詭計

第十三章貝葉斯異論

第十四章數(shù)學界的莫扎特

第十五章“小人物”之見解

第十六章非參數(shù)方法

第十七章當部分優(yōu)于總體時

第十八章吸煙會致癌嗎？

第十九章如果您需要最佳人選

第二十章樸實的得克薩斯農場小伙

第二十一章家庭中的天才

第二十二章統(tǒng)計界的畢加索

第二十三章處理有瑕疵的數(shù)據

第二十四章重塑產業(yè)的人

第二十五章來自黑衣女士的忠告

第二十六章鞅的發(fā)展

第二十七章意向性治療法

第二十八章電腦隨心所欲

第二十九章“泥菩薩試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!

1718年法國數(shù)學家棣莫弗的《機會論》是早期概率論的重要著作.1730年他的《分析雜論》中包含著名的棣莫弗－拉普拉斯定理。瑞士數(shù)學家J.伯努利；他開創(chuàng)了母函數(shù)方法的先河。

1774年拉普拉斯給出概率的古典定義，在《概率論的分析理論》一書中表明了自己關于概率的哲學觀，并建立了誤差理論和最小二乘法，引入如差分方程等強有力的分析方法，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。

使概率論成為數(shù)學分支的真正奠基人是試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!若問什么地方概率統(tǒng)計用得上？我的回答是--任何領域.本學科的應用試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!巴拿赫火柴問題

一位吸煙的數(shù)學家總帶著兩盒火柴，每盒有N根.一盒放在左邊的衣袋中，另一盒放在右邊的衣袋中.每當他需要用一根火柴時，就等可能的從其中任一個衣袋中取用.問他次發(fā)現(xiàn)其中一盒是空的，而另一盒正好還有k根（k＝0，1，2,…,N）火柴的概率是多少？相關知識點1.事件的獨立性2.n重伯努利試驗這是經典的概率應用問題.應用背景試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!人壽保險

在人壽保險公司里有4000個同一年齡的人參加人壽保險，在一年里，這些人的死亡率為0.1%，參加保險的人在一年的頭一天交付保險費50元，在一年內死亡時，家屬可以從保險公司領取20000元.(1)求保險公司一年中獲利不小于100000元的概率;(2)求保險公司一年內虧本的概率.應用背景研究在一定條件下,人壽保險公司虧本的概率和盈利的概率.相關知識點

1.二項分布

2.正態(tài)分布

3.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

如何學好本課程1.推敲并深刻理解概念，及時鞏固；2.適當選取參考書；3.條件具備時做一些相關課題。考勤、作業(yè)作業(yè)要求：作業(yè)右上角寫清學號，姓名。每題謄寫作業(yè)題目。課代表按學號排序交齊作業(yè)，每次批三分之一。

試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.1.確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象“函數(shù)在間斷點處不存在導數(shù)”等.確定性現(xiàn)象的特征：條件完全決定結果.

§1.1---§1.2隨機試驗、隨機事件、樣本空間試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!隨機現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結果.說明i.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述.實例4

從天津大學到火車站的乘車過程中

，可能遇到的紅燈數(shù)。ii.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性,但在大量試驗或觀察中,這種結果的出現(xiàn)具有某種固有的規(guī)律性（統(tǒng)計規(guī)律性）,概率論就是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!例：E1：拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：記錄電話交換臺一分鐘內接到的呼喚次數(shù)。E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。E6：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!定義三（基本事件與復合事件）

隨機試驗的每一個可能結果，是隨機試驗中最簡單的隨機事件，稱為基本事件。由基本事件組成的事件稱為復合事件，簡稱事件。兩個特別的事件（1）不可能事件：在試驗中不可能出現(xiàn)的事情，記為Ф。如“擲一粒骰子擲出8點”。

（2）必然事件：在試驗中必然出現(xiàn)的事情，記為S。如“擲一粒骰子點數(shù)小于7

”。下面我們來為隨機試驗建立一個數(shù)學模型試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!雖然每次試驗的結果事先不可確定,但試驗的全部可能結果，是在試驗前就明確的；或者雖不能確切知道試驗的全部可能結果，但可以知道它不超過某個范圍。由此，我們可以確定一個實驗的樣本空間。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!例：寫出E1到E6的樣本空間：

S1：{H,T}

S2

：{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S3

：{0,1,2,3}S4

：

{0,1,2,3,……}S5

：{t|t≥0}S6

：{(x,y)|T0≤x≤y≤T1}

試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!

3.

建立樣本空間,事實上就是建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型.因此,一個樣本空間可以概括許多內容大不相同的實際問題.例如，只包含兩個樣本點的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產品檢驗中合格與不合格的模型,又能用于排隊現(xiàn)象中有人排隊與無人排隊的模型等.所以在具體問題的研究中,描述隨機現(xiàn)象的步就是建立樣本空間.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!一個隨機事件就是樣本空間的一個子集。基本事件—單點集，復合事件—多點集必然事件—樣本空間不可能事件—空集一個隨機事件發(fā)生，當且僅當該事件所包含的一個樣本點出現(xiàn)。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!事件間的關系與運算定義1.（事件的包含與相等）若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱A包含于B或B包含A，記為AB或BA。若AB且AB則稱事件A與事件B相等，記為A＝B。

定義2.（和事件）

“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件A與事件B的和事件或并事件。記為A∪B。

用集合表示為:A∪B={e|e∈A，或e∈B}試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!定義3.（積事件）

稱事件“事件A與事件B同時發(fā)生”為A與B的積事件或交事件，記為A∩B或AB，用集合表示為AB={e|e∈A且e∈B}。

推廣：例在直角坐標系圓心在原點的單位圓內任取一點，記錄其坐標，令,B表示取到(0,0)點，則試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!定義5.（互不相容事件或互斥事件）

如果A，B兩事件不能同時發(fā)生，即AB＝Φ，則稱事件A與事件B是互不相容事件或互斥事件。推廣對有限個事件或可列個事件A1，A2，…，An…，如果對任意ij,AiAj＝Φ,則稱A1，A2，…，An兩兩互斥，或A1，A2，…，An…兩兩互不相容。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!

事件A發(fā)生導致B也發(fā)生A是B的子集

A與B相等A與B相等

A與B不相容A與B無公共元素

A的對立事件A的余集

A與B至少有一個發(fā)生A與B的并集

A與B同時發(fā)生A與B的交集

A發(fā)生而B不發(fā)生A與B的差集記號概率論集合論事件與集合的關系及運算對照：試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!注意：3.的逆不成立，即A、B互不相容，未必有A、B互為對立事件。例擲一顆骰子，觀察點數(shù)。令A表示“擲得3點”，B表示“擲得5點”，顯然AB=,但B不等于ā。相關性質還有：

1.ā=S-A，S=，=S;

2.若AB，則Bā;

3.若A、B互為對立事件，則A、B互不相容。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!例2:A,B,C,D四個事件，用運算關系表示下面事件：

（1）A,B,C,D至少有一個發(fā)生；

（2）都不發(fā)生；（3）都發(fā)生；

（4）A,B,C,D恰有一個發(fā)生；

（5）至多一個發(fā)生。解:（1）

（2）

（3）

（4）

（5）試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!解：在如圖的電路中，信號燈亮當且僅當接點Ⅰ閉合且Ⅱ與Ⅲ中至少有一個閉合，因此由事件的運算，易得

A=B∩(C∪D)

信號燈不亮當且僅當Ⅰ斷開或Ⅱ，Ⅲ都斷

開，故

ā=ⅠⅡⅢ例4:如圖所示的電路中，以A表示事件“信號燈亮”，B，C，D分別表示事件：繼電器接點Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ閉合，以B，C，D表示A及ā。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!(1)

隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件隨機事件基本事件必然事件不可能事件復合事件互為對立事件小結試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!本學科歷史概率(或然率或幾率)——隨機事件發(fā)生的可能性的量度——其起源與博弈問題有關.17世紀中葉，法國數(shù)學家B.帕斯卡、費馬荷蘭數(shù)學家C.惠更斯對賭本分配問題的研究成為數(shù)學史上一個著名的問題。

1657年惠更斯的《論賭博中的計算》一書成為概率論的早期著作.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!還有一系列在概率論發(fā)展上閃光的名字：高斯，法國數(shù)學家泊松，俄國數(shù)學家柯爾莫哥洛夫，切比雪夫，李雅普洛夫，辛欽等等，他們會永載史冊！概率論發(fā)展史體現(xiàn)了理論與實際之間的密切聯(lián)系，許多重要問題都有實際背景，交叉學科陸續(xù)產生，如生物統(tǒng)計，物理統(tǒng)計，排隊論，信息論，控制論，隨機運籌學等，現(xiàn)在隨著電子計算機的產生發(fā)展，為概率論發(fā)展開辟了更廣闊領域。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!運用概率的領域包括精算農業(yè)動物學人類學考古學審計學晶體學人口統(tǒng)計學牙醫(yī)學生態(tài)學經濟計量學教育學選舉預測和策劃工程流行病學金融水產漁業(yè)研究遺傳學地理學地質學歷史研究人類遺傳學水文學工業(yè)法律語言學文學勞動力計劃管理科學市場營銷學醫(yī)學診斷氣象學軍事科學核材料安全管理眼科學制藥學物理學政治學心理學心理物理學質量控制宗教研究社會學調查抽樣分類學氣象改善搏采，等等...試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!信號收發(fā)問題

將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其他一字母的概率都是(1－α)/2.今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1,p2,p3(p1+p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的.）應用背景

信號輸入信道后，有可能由于硬件原因，使得輸出的信號與原始信號有差異.此時可以根據已知的條件，求得出現(xiàn)誤差的概率.相關知識點1.條件概率2.全概率公式3.貝葉斯公式試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!法國數(shù)學家拉普拉斯(Laplace)說過：“生活中最重要的問題,其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題.”英國的邏輯學家和經濟學家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領路人,如果沒有對概率的某種估計,那么我們就寸步難行,無所作為.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!章概率論的基本概念

第四節(jié)等可能概型（古典概型）第二節(jié)樣本空間、隨機事件節(jié)

隨機試驗第五節(jié)條件概率第六節(jié)獨立性第三節(jié)頻率和概率試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.實例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.2.隨機現(xiàn)象

結果:有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.實例2拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).結果有可能為:1,2,3,4,5或

6.實例3

出生的嬰兒可能是男，也可能是女.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!定義一（隨機試驗）：

將一切具有下面三個特點：（1）可重復性（2）不確定性（3）不可預見性的試驗或觀察稱為隨機試驗，簡稱為試驗，常用E表示。3.試驗:

可指各種各樣的科學試驗,也包括對事物特征的觀察與檢測等．試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!定義二

在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結果）稱為隨機事件，簡稱為事件。隨機事件一般用大寫英文字母A,B,C……等表示。例：在E2中，“出現(xiàn)‘正反反(HTT)’”，“出現(xiàn)兩次正面”

“三次出現(xiàn)同一面”等都是隨機事件，可將依次記為A,B,C。在E5中，“燈泡的壽命超過500小時”是一隨機事件，我們可用D表示此事件。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!樣本空間我們把隨機試驗的每個可能結果(基本事件)稱為樣本點，記作e或ω.全體樣本點的集合稱為樣本空間.樣本空間用S表示.樣本點e.

S現(xiàn)代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具.樣本空間是由試驗的內容所決定的。例將一枚硬幣拋擲兩次觀察正反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!如果試驗是測試某燈泡的壽命：

則樣本點是一非負數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數(shù)都是一個可能結果，S={t

：t≥0｝故樣本空間如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次觀察正反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間由如下四個樣本點組成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

樣本空間在如下意義上提供了一個理想試驗的模型：

在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn).試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!

2.

同一試驗,若試驗目的不同,則對應的樣本空間也不同.例如，對于同一試驗:“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況，則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為注意

1.

試驗不同,對應的樣本空間也不同.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!

引入樣本空間后，事件便可以表示為樣本點的集合，即為樣本空間的子集。例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)S={i：i=1,2,3,4,5,6｝事件B就是S的一個子集B={1,3,5｝易見，B發(fā)生當且僅當B中的某個樣本點出現(xiàn).試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!概率論與集合論有關概念的對應關系表：

概率論集合論記號樣本點元素ei，i樣本空間全集S隨機事件子集A，B，C……基本事件單點集{ei}不可能事件空集Φ事件間的關系及運算，就是集合間的關系和運算。試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!推廣：事件的和的概念可推行至任意有限和及可列和的情況：例袋中有5個白球，3個黑球，從中任取3個球，令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球顏色相同”，D=A1A2A3若令Ai(i=1,2,3)表示“取出的3個球中恰有i個白球”,D表示“取出的3個球中至少有一個白球”，則則C=AB.試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!定義4.（差事件）

稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,這一事件為事件A與事件B的差事件,記為A－B,用集合表示為A-B={e|e∈A，eB}

例從1,2,3,N這N個數(shù)字中，任取一數(shù)，取后放回，先后取k個數(shù)(1kN),令A表示“取出的k個數(shù)中最大數(shù)不超過M”(1MN),B表示“取出的k個數(shù)中最大數(shù)不超過M-1”，C表示“取出的k個數(shù)中最大數(shù)為M”，則C=A-B,且BA試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!定義6（逆事件/對立事件）

稱事件“A不發(fā)生”為事件A的逆事件，記為ā

。易見A與ā滿足：A∪ā=S,且Aā=Φ。一般地，若A，B滿足：A∪B=S，AB＝Φ稱為A與B互為對立事件，此時，A為B的逆事件，B為A的逆事件，即，B=ā。若A，B互為對立事件，那么在每次試驗中，事件A，B必有一個發(fā)生而且只有一個發(fā)生，顯然

ā={e|eA}，A-B=

=A-AB。āA試驗、事件、樣本空間共49頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!

設A，B，C為事件，則有（1）交換律：A∪B=B∪A，AB=BA