旋轉(zhuǎn)體的體積該直線稱為旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸課件

§6-3定積分的應(yīng)用§6-3定積分的應(yīng)用主要內(nèi)容：定積分的幾何應(yīng)用。定積分的物理應(yīng)用舉例。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題舉例。2主要內(nèi)容：定積分的幾何應(yīng)用。2一、定積分的幾何應(yīng)用下面利用微元法來(lái)討論定積分在幾何及物理方面的一些應(yīng)用。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，具體問(wèn)題中所求的整體量為Q:(1)在區(qū)間[a,b]上任取一個(gè)微小區(qū)間[x,x+dx]，然后寫出在這個(gè)小區(qū)間上的部分量ΔQ的近似值，記為dQ=

f(x)dx(稱為Q的微元)；(2)將微元ΔQ在[a,b]上無(wú)限“累加”，即在[a,b]上積分，得Q=上述兩步解決問(wèn)題的方法稱為微元法。3一、定積分的幾何應(yīng)用下面利用微元法來(lái)討論定積分在幾何及物理其面積微元dA=f(x)dx，由曲線圍成的平面圖形可分為以下幾種情況：面積A=；1.平面圖形的面積(1)由曲線y=f(x)≥0，直線x=a、x=b，及x軸所圍成的圖形(如右圖)，y=f(x)yxOaxx+dxb其面積微元dA=[f2(x)-

f1(x)]dx，(2)由上、下兩條曲線y=f1(x)、y=f2(x)(f2(x)≥f1(x))及直線x=a、x=b所圍成的圖形(如右圖)，面積A=y=f2(x)yxOaxx+dxby=f1(x)4其面積微元dA=f(x)dx，由曲線圍成的平面圖形可這時(shí)應(yīng)取橫條矩形為dA，(3)由左、右兩條曲線x=g1(y)、x=g2(y)(g2(y)≥g1(y))及y=c、y=d所圍成的圖形(如下圖)，其面積微元dA=[g2(y)-

g1(y)]dy，面積A=注意：即取y為積分變量。5這時(shí)應(yīng)取橫條矩形為dA，(3)由左、右兩條曲線x=例1求由拋物線y=1–x2

與x軸所圍成的平面圖形面積(如下圖)。解:拋物線y=1–x2

與x軸交點(diǎn)為(-1,0)與(1,0)，故面積6例1求由拋物線y=1–x2與x軸所圍故所求面積例2求由曲線y=x2及y=所圍成的平面圖形面積(如下圖)。解:先求出曲線y=x2與y=的交點(diǎn)(0,0),(1,1)，7故所求面積例2求由曲線y=x2及y=例3求拋物線y2

=2x與直線y=x-4

所圍成的平面圖形面積(如下圖)。解：聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)(2,-2),(8,4)，取y為積分變量，故所求面積=188例3求拋物線y2=2x與直線y=x-一平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，下面求其體積V。從而得體積微元:旋轉(zhuǎn)體的體積為2.旋轉(zhuǎn)體的體積該直線稱為旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸。如果旋轉(zhuǎn)體是由曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a<b)及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成(見(jiàn)下圖)，在[a,b]上任取一個(gè)微小區(qū)間[x,x+dx]，dV=πy2dx=πf2(x)dx

9一平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得的立體稱為旋轉(zhuǎn)體其體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由曲線x=φ(y)與直線y=c、y=d(c<d)及y軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成(見(jiàn)下圖)，10其體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由曲線x=φ(y)與直線y=例4求橢圓分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。由方程于是所求體積解得類似地，再求繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：解：先求繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。11例4求橢圓從曲線y=x2和y2=x圍成平面圖形可看出：所求立體體積可以看為兩個(gè)立體體積之差，其中所求體積為:例5求由拋物線y=x2和y2=x所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積(見(jiàn)下圖)。解：即V2–V1，

V=V2–V112從曲線y=x2和y2=x圍成平面圖形可看出：在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx]，設(shè)有曲線y=f(x)在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而得弧長(zhǎng)微元為:所求弧長(zhǎng)為3.平面曲線的弧長(zhǎng)求此曲線在[a,b]上的弧長(zhǎng)s(見(jiàn)下圖)。仍用微元法，取x為積分變量，ABMNyOdxaxx+dxbxPΔydsTdy13在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx]，設(shè)有曲若曲線由參數(shù)方程(α≤t≤β)表示，于是所求弧長(zhǎng)為則弧長(zhǎng)微元為:14若曲線由參數(shù)方程(因?yàn)?，所以懸鏈線這段弧長(zhǎng)為：例6求懸鏈線在[-a,a](a>

0)上弧長(zhǎng)(見(jiàn)下圖)。于是弧長(zhǎng)微元為解：y-aaOx15因?yàn)橐驗(yàn)?，由于t∈[0,2π]，所以弧長(zhǎng)微元為例7求擺線(a>0)在0≤t≤2π的一段弧長(zhǎng)。解：于是這段擺線長(zhǎng)為：所以≥0，16因?yàn)槎⒍ǚe分的物理應(yīng)用舉例

則力F對(duì)物體所作的功為：則變力對(duì)物體所作的功就要用定積分計(jì)算。舉例說(shuō)明如下：1.變力所作的功從物理學(xué)知道，如果有一常力F作用在一物體上，使物體沿力的方向移動(dòng)了距離S，W=F·S如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的力是變化的，17二、定積分的物理應(yīng)用舉例則力F對(duì)物體所作的功為：則變力在[0,5]內(nèi)任取一小區(qū)間[x,x+dx]，例8

一圓柱形貯水桶，高為5m，底面半徑為3m，桶內(nèi)盛滿了水，試問(wèn)將桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功(如下圖)？解：如圖選取坐標(biāo)系，取深度x為積分變量(x∈[0,5])，設(shè)薄層水的厚度為

dx，因此需作的功近似值，即功的微元為dW=9.8×9×103πdx，因?yàn)楸拥牡酌娣eA=9π(m2)，薄層的體積為9π×dx，水的比重為103

kg/m3，這薄層水的重量為9π×103

dx，把這薄層水吸出桶外，需提升的距離近似為xm，于是所求功為：18在[0,5]內(nèi)任取一小區(qū)間[x,x+dx]，例8質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為,克服阻力所做的功例9一物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=t3，其中x是位移，t是時(shí)間，已知運(yùn)動(dòng)過(guò)程中介質(zhì)的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，求物體從x=0移動(dòng)到x=8時(shí)，克服阻力所作的功。解：由已知介質(zhì)阻力為：其中k為比例常數(shù)，取x為積分變量(x∈[0,8])，功的微元19質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為,克服阻力2.液體的壓力下面結(jié)合具體例子說(shuō)明如何利用定積分來(lái)計(jì)算。根據(jù)物理學(xué)可知，在液面下深度為h處，由液體重量所產(chǎn)生的壓強(qiáng)P=γh(其中γ為液體的比重)。如果有一面積為A的薄板水平放置在深度為h處，這時(shí)薄板各處受力均勻，所受壓力為F=PA=γhA。如果薄板垂直地放置在液體中，由于薄板上在不同深度處地壓強(qiáng)不同，因此，薄板所受到的液體的壓力就要用定積分來(lái)求。202.液體的壓力下面結(jié)合具體例子說(shuō)明如何利用定積分來(lái)計(jì)算。根據(jù)如圖取坐標(biāo)系，例10一梯形閘門倒置于水中，兩底邊長(zhǎng)度分別為2a、2b(a<b)，高為h，水面與閘門頂齊平，試求閘門上所受的壓力(如下圖)。解：則AB的方程為所以閘門上所受的總壓力為取水深x為積分變量，它的變化區(qū)間為[0,h]，在[0,h]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，視這個(gè)小區(qū)間相對(duì)應(yīng)的小梯形上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)不變，即各點(diǎn)處的壓強(qiáng)P=γx，小梯形上所受的壓力的近似值，即壓力微元dF=2ydx·γx=2γx(x+b)dx21如圖取坐標(biāo)系，例10一梯形閘門倒置于水中，兩底邊長(zhǎng)度分別而函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值為3.函數(shù)的平均值n個(gè)數(shù)y1,y2,···,yn的算術(shù)平均值(用y表示)是例11設(shè)交流電流的電動(dòng)勢(shì)E=E0sinωt。求在半周期內(nèi)，即[0,]上的平均電動(dòng)勢(shì)解：代入公式，得22而函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值為三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題舉例設(shè)總產(chǎn)量為Q(t)，則知總產(chǎn)量Q(t)是f(t)的一個(gè)原函數(shù)，所以有即所求的總產(chǎn)量為260.8單位。經(jīng)常應(yīng)用定積分進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)已知比較函數(shù)或變化率，求總量函數(shù)或總量函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)的總量時(shí)，例12設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)刻t總產(chǎn)量的變化率為f(t)=100+12t–0.6t2(單位/h)，求從t=2到t=4的總產(chǎn)量(t的單位為h)。解:由已知條件得(t)=f(t)23三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題舉例設(shè)總產(chǎn)量為Q(t)，則知總產(chǎn)量Q(t例13設(shè)某種產(chǎn)品的邊際收入函數(shù)為其中Q為銷售量，R=R(Q)為總收入，求該產(chǎn)品的總收入函數(shù)。解:總收入R(Q)=24例13設(shè)某種產(chǎn)品的邊際收入函數(shù)為其中Q為銷售量小結(jié)：1.定積分的幾何應(yīng)用：(1)平面圖形的面積。(2)旋轉(zhuǎn)體的體積。(3)平面曲線的弧長(zhǎng)。2.定積分的物理應(yīng)用：(1)變力所做的功。(2)液體的壓力。3.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題舉例作業(yè):教材1,225小結(jié)：1.定積分的幾何應(yīng)用：(1)平面圖形的面積。(2)旋轉(zhuǎn)§6-3定積分的應(yīng)用§6-3定積分的應(yīng)用主要內(nèi)容：定積分的幾何應(yīng)用。定積分的物理應(yīng)用舉例。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題舉例。27主要內(nèi)容：定積分的幾何應(yīng)用。2一、定積分的幾何應(yīng)用下面利用微元法來(lái)討論定積分在幾何及物理方面的一些應(yīng)用。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，具體問(wèn)題中所求的整體量為Q:(1)在區(qū)間[a,b]上任取一個(gè)微小區(qū)間[x,x+dx]，然后寫出在這個(gè)小區(qū)間上的部分量ΔQ的近似值，記為dQ=

f(x)dx(稱為Q的微元)；(2)將微元ΔQ在[a,b]上無(wú)限“累加”，即在[a,b]上積分，得Q=上述兩步解決問(wèn)題的方法稱為微元法。28一、定積分的幾何應(yīng)用下面利用微元法來(lái)討論定積分在幾何及物理其面積微元dA=f(x)dx，由曲線圍成的平面圖形可分為以下幾種情況：面積A=；1.平面圖形的面積(1)由曲線y=f(x)≥0，直線x=a、x=b，及x軸所圍成的圖形(如右圖)，y=f(x)yxOaxx+dxb其面積微元dA=[f2(x)-

f1(x)]dx，(2)由上、下兩條曲線y=f1(x)、y=f2(x)(f2(x)≥f1(x))及直線x=a、x=b所圍成的圖形(如右圖)，面積A=y=f2(x)yxOaxx+dxby=f1(x)29其面積微元dA=f(x)dx，由曲線圍成的平面圖形可這時(shí)應(yīng)取橫條矩形為dA，(3)由左、右兩條曲線x=g1(y)、x=g2(y)(g2(y)≥g1(y))及y=c、y=d所圍成的圖形(如下圖)，其面積微元dA=[g2(y)-

g1(y)]dy，面積A=注意：即取y為積分變量。30這時(shí)應(yīng)取橫條矩形為dA，(3)由左、右兩條曲線x=例1求由拋物線y=1–x2

與x軸所圍成的平面圖形面積(如下圖)。解:拋物線y=1–x2

與x軸交點(diǎn)為(-1,0)與(1,0)，故面積31例1求由拋物線y=1–x2與x軸所圍故所求面積例2求由曲線y=x2及y=所圍成的平面圖形面積(如下圖)。解:先求出曲線y=x2與y=的交點(diǎn)(0,0),(1,1)，32故所求面積例2求由曲線y=x2及y=例3求拋物線y2

=2x與直線y=x-4

所圍成的平面圖形面積(如下圖)。解：聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)(2,-2),(8,4)，取y為積分變量，故所求面積=1833例3求拋物線y2=2x與直線y=x-一平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，下面求其體積V。從而得體積微元:旋轉(zhuǎn)體的體積為2.旋轉(zhuǎn)體的體積該直線稱為旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸。如果旋轉(zhuǎn)體是由曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a<b)及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成(見(jiàn)下圖)，在[a,b]上任取一個(gè)微小區(qū)間[x,x+dx]，dV=πy2dx=πf2(x)dx

34一平面圖形繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得的立體稱為旋轉(zhuǎn)體其體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由曲線x=φ(y)與直線y=c、y=d(c<d)及y軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成(見(jiàn)下圖)，35其體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由曲線x=φ(y)與直線y=例4求橢圓分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。由方程于是所求體積解得類似地，再求繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：解：先求繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。36例4求橢圓從曲線y=x2和y2=x圍成平面圖形可看出：所求立體體積可以看為兩個(gè)立體體積之差，其中所求體積為:例5求由拋物線y=x2和y2=x所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積(見(jiàn)下圖)。解：即V2–V1，

V=V2–V137從曲線y=x2和y2=x圍成平面圖形可看出：在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx]，設(shè)有曲線y=f(x)在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而得弧長(zhǎng)微元為:所求弧長(zhǎng)為3.平面曲線的弧長(zhǎng)求此曲線在[a,b]上的弧長(zhǎng)s(見(jiàn)下圖)。仍用微元法，取x為積分變量，ABMNyOdxaxx+dxbxPΔydsTdy38在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx]，設(shè)有曲若曲線由參數(shù)方程(α≤t≤β)表示，于是所求弧長(zhǎng)為則弧長(zhǎng)微元為:39若曲線由參數(shù)方程(因?yàn)?，所以懸鏈線這段弧長(zhǎng)為：例6求懸鏈線在[-a,a](a>

0)上弧長(zhǎng)(見(jiàn)下圖)。于是弧長(zhǎng)微元為解：y-aaOx40因?yàn)橐驗(yàn)?，由于t∈[0,2π]，所以弧長(zhǎng)微元為例7求擺線(a>0)在0≤t≤2π的一段弧長(zhǎng)。解：于是這段擺線長(zhǎng)為：所以≥0，41因?yàn)槎⒍ǚe分的物理應(yīng)用舉例

則力F對(duì)物體所作的功為：則變力對(duì)物體所作的功就要用定積分計(jì)算。舉例說(shuō)明如下：1.變力所作的功從物理學(xué)知道，如果有一常力F作用在一物體上，使物體沿力的方向移動(dòng)了距離S，W=F·S如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受的力是變化的，42二、定積分的物理應(yīng)用舉例則力F對(duì)物體所作的功為：則變力在[0,5]內(nèi)任取一小區(qū)間[x,x+dx]，例8

一圓柱形貯水桶，高為5m，底面半徑為3m，桶內(nèi)盛滿了水，試問(wèn)將桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功(如下圖)？解：如圖選取坐標(biāo)系，取深度x為積分變量(x∈[0,5])，設(shè)薄層水的厚度為

dx，因此需作的功近似值，即功的微元為dW=9.8×9×103πdx，因?yàn)楸拥牡酌娣eA=9π(m2)，薄層的體積為9π×dx，水的比重為103

kg/m3，這薄層水的重量為9π×103

dx，把這薄層水吸出桶外，需提升的距離近似為xm，于是所求功為：43在[0,5]內(nèi)任取一小區(qū)間[x,x+dx]，例8質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為,克服阻力所做的功例9一物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=t3，其中x是位移，t是時(shí)間，已知運(yùn)動(dòng)過(guò)程中介質(zhì)的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，求物體從x=0移動(dòng)到x=8時(shí)，克服阻力所作的功。解：由已知介質(zhì)阻力為：其中k為比例常數(shù)，取x為積分變量(x∈[0,8])，功的微元44質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為,克服阻力2.液體的壓力下面結(jié)合具體例子說(shuō)明如何利用定積分來(lái)計(jì)算。根據(jù)物理學(xué)可知，在液面下深度為h處，由液體重量所產(chǎn)生的壓強(qiáng)P=γh(其中γ為液體的比重)。如果有一面積為A的薄板水平放置在深度為h處，這時(shí)薄板各處受力均勻，所受壓力為F=PA=γhA。如果薄板垂直地放置在液體中，由于薄板上在不同深度處地壓強(qiáng)不同，因此，薄板所受到的液體的壓力就要用定積分來(lái)求。452.液體的壓力下面結(jié)合具體例子說(shuō)明如何利用定積分來(lái)計(jì)算。根據(jù)如圖取坐標(biāo)系，例10一梯形閘門倒置于水中，兩底邊長(zhǎng)度分別為2a、2b(a<b)，高為h，水面與閘門頂齊平，試求閘門上所受的壓力(如下圖)。