光學(xué)信息處理第九章光學(xué)小波變換課件

第九章光學(xué)小波變換9.1引言傅里葉變換已稱為信息處理中一個極為重要的工具，在科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用。信號g(x)的傅里葉變換為逆變換積分區(qū)域（-∞，

∞）第九章光學(xué)小波變換9.1引言傅里葉變換已稱為信息處理中一個1如果g(x)是一個時域或空域中分布在（-∞，∞）中的穩(wěn)恒過程或穩(wěn)定分布，則傅里葉分析給出近乎完美的結(jié)果。然而，在自然界和科學(xué)技術(shù)中還有大量信號，它們具有局部的或定域的特性。例如語言信號、聲納新號、各種電脈沖等，這些信號只出現(xiàn)在一個短暫的時間間隔內(nèi)，此后很快衰減到零，稱快速過程或暫態(tài)過程?！靶〔ā毙盘枺ㄈ绲卣鸩ɑ蚵暭{）如果g(x)是一個時域或空域中分布在（-∞，∞）中的穩(wěn)恒過2許多光學(xué)信號具有同樣的特征，例如遠(yuǎn)處空中的目標(biāo)、顯微鏡下的小物體、被鑒別的指紋等，顯著為零的區(qū)域只分布在有限的區(qū)域內(nèi)，上述信號為局部信號或暫態(tài)信號。對于局部信號或暫態(tài)信號，傅里葉分析就不完全適用。首先，我們僅對?t時間信號感興趣，沒有必要在過去、現(xiàn)在及未來的無限長時間范圍內(nèi)對信號進(jìn)行分析，類似的，在處理定域于?x內(nèi)的空間圖像時，也沒必要對全平面內(nèi)的信號進(jìn)行全面的分析。許多光學(xué)信號具有同樣的特征，例如遠(yuǎn)處空中的目標(biāo)、顯微鏡下的小3其次，許多情況下，在?t或者?x以外的信息是未知的，可能是零，也可能是背景噪音；此外，如果不加選擇采用（-∞，∞）內(nèi)全部信號進(jìn)行傅里葉處理，還可能產(chǎn)生較大誤差甚至錯誤。在一些課題中，我們往往不滿足了解信號在全部區(qū)間內(nèi)的綜合分析，而希望了解某一區(qū)間或某些區(qū)間信號對應(yīng)的頻譜。如地震勘探等。近年來，發(fā)展的小波分析恰恰克服了傅里葉分析的以上缺點(diǎn)，適用于處理局部或暫態(tài)信號。其次，許多情況下，在?t或者?x以外的信息是未知的，可能是零49.2

從短時傅里葉變換到小波變換短時傅里葉變換g(x),局部化：(1)被分析的區(qū)間有一定寬度?x,僅對?x及其周圍信息進(jìn)行處理；(2)被分析的區(qū)間有一個中心坐標(biāo)xc，當(dāng)中心坐標(biāo)改變時，就可以提取不同的信息。實(shí)現(xiàn)局部化，傅里葉變換加窗函數(shù)9.2從短時傅里葉變換到小波變換短時傅里葉變換g(x),5局部化：窗函數(shù)中心寬度局部化：6短時傅里葉變換（short-timeFouriertransform,簡稱STFT）——由前述帶窗口函數(shù)的公式定義（窗函數(shù)帶有局部處理功能）該種定義中頻率變量和坐標(biāo)變量(x0)同時出現(xiàn)在變換函數(shù)里面——短時傅里葉變換和常規(guī)傅里葉變換的重要區(qū)別；窗口寬度隱含在中，正是x0和窗口寬度使其具有局部化處理的能力，通過改變x0,窗口發(fā)生移動，處理空間發(fā)生改變。短時傅里葉變換（short-timeFouriertra7頻域：頻率窗中心寬度當(dāng)空域?qū)挾群皖l率寬度同時有限時，稱函數(shù)在空域和頻域同時局部化。測不準(zhǔn)關(guān)系短時傅里葉變換特征在于處理過程限制在空間-頻率窗進(jìn)行，且窗的位置可變，但寬度不變，在處理一些奇異信號時顯得無力；而小波變換具備更強(qiáng)功能。頻域：當(dāng)空域?qū)挾群皖l率寬度同時有限時，稱函數(shù)在空域和頻域同時8Gabor變換1946年，Gabor提出了下面變換正是高斯型函數(shù)，所以Gabor變換就是高斯窗短時傅里葉變換。窗函數(shù)中心坐標(biāo)

xc=0，窗的寬度Gabor變換1946年，Gabor提出了下面變換正是高斯型9的傅里葉變換Gabor變換空間-頻率窗小波變換空間-頻率窗的傅里葉變換Gabor變換空間-頻率窗10可見Gabor變換在頻域和空域中的表達(dá)式具有相似的形式Gabor變換頻域中的表達(dá)式可見Gabor變換在頻域和空域中的表達(dá)式具有相似的形式Gab11Gabor變換的特點(diǎn)（1）給出了一個中心位于b,寬度為的空間窗，從而實(shí)現(xiàn)空域處理的局部化；與之響應(yīng)，它又給出了一個中心為,寬度為的頻率窗，從而實(shí)現(xiàn)頻率處理的局部化。用Gabor變換來處理信號時，處理過程限制在空-頻窗內(nèi)進(jìn)行，窗的面積為（2）

可以看出變換是參數(shù)a、b和變量

的函數(shù)，積分是一個包絡(luò),載波的頻率v與參數(shù)無關(guān)，不會隨的變化而變化，正是所有短時傅里葉變換共同缺點(diǎn)。Gabor變換的特點(diǎn)（1）給出了一個中心位于b,寬度為12Morlet小波變換

為了克服Gabor變換中窗口尺寸不能改變的缺點(diǎn)，我們可以對它略加改進(jìn)，則Gabor基元函數(shù)可以寫為變換母函數(shù),引入?yún)?shù)a，b，生成子函數(shù)Morlet小波變換變換母函數(shù),引入?yún)?shù)a，b，生成子函數(shù)13同Gabor變換的差別：小波變換的中心頻率隨著參數(shù)a的增大而減??；小波變換的空間窗寬度頻率窗寬度；當(dāng)中心頻率增大時，空間窗變小，而頻率窗變大，可以處理更多高頻信息；當(dāng)中心頻率變小時，空間窗變大，而頻率窗變小，可以容納足夠多空間周期，以保證處理精度。定義信號g(x)的Morlet小波變換同Gabor變換的差別：小波變換的中心頻率隨著14Gabor變換基元函數(shù)Morlet小波變換基元函數(shù)中心頻率123a=10.50.33Gabor變換基元函數(shù)Mo159.3小波變換的定義和性質(zhì)定義

母函數(shù)h(x)的基本小波函數(shù)ha,b(x)定義為式中b稱為小波變換的位移因子，a>0稱為伸縮因子。當(dāng)a增大時小波變換的寬度加大，而當(dāng)a減小時，小波的寬度變小。即表明基本小波是母函數(shù)經(jīng)平移和縮放的結(jié)果，基本的小波又簡稱小波。9.3小波變換的定義和性質(zhì)定義式中b稱為小波變換的位移因子16信號函數(shù)g(x)的小波變換定義為小波ha,b(x)和g(x)的內(nèi)積h(x)的選擇，h(x)必須在x趨于無窮時衰減到零。實(shí)際使用的小波變換母函數(shù)h(x)，當(dāng)x趨于無窮時迅速衰減，使其不顯著為0的分量只存在于一個很小的區(qū)間。信號函數(shù)g(x)的小波變換定義為小波ha,b(x)和g(x)17小波變換在頻域中的表達(dá)式由小波變換定義和Parseval定理得到。該式子表明信號g(x)的小波變換可以通過4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。首先用第一個透鏡形成輸入信號g的傅里葉譜G，然后在頻譜面上對G進(jìn)行濾波，濾波器的表達(dá)式為小波函數(shù)h經(jīng)縮放后的傅里葉譜的共軛，然后在經(jīng)過第二個透鏡得到傅里葉逆變換，得到g的小波變換。小波變換在頻域中的表達(dá)式由小波變換定義和Parseval定理18逆變換和相容性條件逆變換相容性條件逆變換和相容性條件逆變換相容性條件19正則性（1）從理論上講，任何滿足相容性條件的函數(shù)都可以作為小波變換的母函數(shù)，然而在實(shí)際應(yīng)用中，為了使變換具有局部化的功能，h和H在空域和頻域都是迅速衰減，它們顯著不為零的分量分別分布于空域和時域原點(diǎn)附近。（2）變換的空間窗和頻率窗的寬度隨著參數(shù)a的增大分別增大和縮小，所以要求Wa,b(g)作為a的函數(shù)，應(yīng)當(dāng)充分光滑的，當(dāng)a->0,W->0,即Wa,b在a=0附近是正則的。設(shè)b=0，則有正則性（1）從理論上講，任何滿足相容性條件的函數(shù)都可以作為20將g(x)在x=0的鄰域進(jìn)行泰勒展開代入上式，則有其中Mn是小波函數(shù)h的n階矩M0=H(0)=0,設(shè)Mp=0(p=1,2,…n),則在0的鄰域內(nèi)將g(x)在x=0的鄰域進(jìn)行泰勒展開代入上式，則有其中Mn是21隨著a->0,W->0的速率為即對于一個足夠平滑的函數(shù)g(x)，Wa,0(g)以an+1/2的速率隨著a趨近于零，稱它為n階小波函數(shù)。相容性條件保證Wa,0隨a趨近于零的速度的下限為a1/2。隨著a->0,W->0的速率為即對于一個足夠平滑的函數(shù)g(22小波變換的空間-頻率窗和處理過程的局部化基元函數(shù)ha,b是由中心位于xc的母函數(shù)經(jīng)過平移(b)和縮放(a)后形成的?？臻g窗寬度小波變換的空間-頻率窗和處理過程的局部化基元函數(shù)ha,b是由23空域處理局限于下面空間窗頻域中引入空域處理局限于下面空間窗頻域中引入24頻域中的處理局限于下面頻率窗內(nèi)即頻域中的處理局限于下面頻率窗內(nèi)即25這樣在空域和頻域的處理就局限于下式所表示的空間和頻率窗內(nèi)進(jìn)行處理過程特點(diǎn)：（1）空間窗寬度和頻率窗寬度隨著a的變化而變化，窗的面積與a無關(guān)；（2）中心頻率與帶寬之比與中心頻率大小無關(guān)，取決于H。Q是測量精度的量，表明小波變換的測量精度和頻率無關(guān)。當(dāng)中心頻率增大時(a變?。?，頻率窗自動變寬，測試精度不變；反之，類似。這種性能被稱為“自動變焦”。這樣在空域和頻域的處理就局限于下式所表示的空間處理過程特點(diǎn)：26例實(shí)Morlet小波：例實(shí)Morlet小波：27頻域中h(x)H頻域中h(x)H28套用之間的公式也可以算出。實(shí)際從物理上講，真正起作用的是正頻率，因此頻率窗的中心位置空間-頻率窗套用之間的公式也可以算出。實(shí)際從物29其中當(dāng)或較大嚴(yán)格來講，Morlet小波變換不滿足相容性條件，當(dāng)或較大，相容性條件近似滿足。其中當(dāng)或較大嚴(yán)格來講，Morlet小波變309.4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)一維小波變換光學(xué)處理器9.4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)一維小波變換光學(xué)處理器31SML2處，被分成M個沿著u方向的帶狀區(qū)域，這些帶狀區(qū)域中分別顯示具有不同伸縮因子am的基元函數(shù)h的傅里葉譜構(gòu)成多通道小波變換匹配濾波器SML2處，被分成M個沿著u方向的帶狀區(qū)域，這些帶狀區(qū)域中分32（a）子午面內(nèi)構(gòu)成成像系統(tǒng)（vz）（b）弧矢面內(nèi)構(gòu)成一維傅里葉逆變換系統(tǒng)（uz）uv平面位于球面-柱面復(fù)合透鏡L3前,柱面鏡母線沿u方向，在L3后面αβ平面上放置CCD器件，uv-L3-

αβ構(gòu)成像散系統(tǒng)。（a）子午面內(nèi)構(gòu)成成像系統(tǒng)（vz）（b）弧矢面內(nèi)構(gòu)成一維傅33由于成像作用，在αβ平面上沿α方向形成uv平面上各帶狀通道的像。對于第m個通道，由于沿u方向的傅里葉逆變換作用，得到圖像處理中，將CCD輸出的信號除以即得到小波變換的中，伸縮因子a是分立的，由一組M個濾波器H引入處理器；而位移因子b則是連續(xù)的，與輸入平面的坐標(biāo)成正比。由于成像作用，在αβ平面上沿α方向形成uv平面上各帶狀通道的349.5用多通道匹配濾波器實(shí)現(xiàn)二維小波變換單通道小波變換系統(tǒng)令9.5用多通道匹配濾波器實(shí)現(xiàn)二維小波變換單通道小波變換系統(tǒng)35頻域中正是匹配濾波器頻域表達(dá)式匹配濾波器可以采用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)頻域中正是匹配濾波器頻域表達(dá)式匹配濾波器可以采用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)36用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)小波變換信號函數(shù)可以通過SLM1輸入系統(tǒng)；SLM2可以實(shí)現(xiàn)匹配濾波函數(shù)H*對信號進(jìn)行濾波。注：位移因子（bx,by）是與輸出平面坐標(biāo)對應(yīng)的，而伸縮因子（ax,ay）是給定的，即只能對給定的伸縮因子進(jìn)行小波變換，不同的伸縮因子只能通過依次輸入不同的匹配函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)小波變換信號函數(shù)可以通過SLM1輸入系統(tǒng)；注：37用Dammann光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理梳狀函數(shù)與任意函數(shù)相乘，等于對該函數(shù)抽樣；梳狀函數(shù)與該函數(shù)的乘積再進(jìn)行傅里葉變換，在譜面上得到它們的卷積，相當(dāng)于譜項(xiàng)在comb(u)中各個δ函數(shù)的位置上重復(fù)出現(xiàn)，即只要該函數(shù)的帶寬是有限的，總可以通過密集的抽樣，使各譜項(xiàng)在頻域內(nèi)互相分離。也即是說給定一個二維信號輸入，我們可以利用梳狀函數(shù)在譜面上復(fù)制出一些列譜函數(shù)每一個代表一個處理通道，就相當(dāng)于可以實(shí)現(xiàn)多通道并行處理。用Dammann光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理梳狀函數(shù)與任意函數(shù)相乘38梳狀函數(shù)器件，由稱Dammann光柵，一維透過率函數(shù)其中ε是線寬，d是光柵周期梳狀函數(shù)器件，由稱Dammann光柵，39用4f系統(tǒng)譜面上得到用4f系統(tǒng)譜面上得到40將兩個同樣規(guī)格的一維Dammann光柵相對旋轉(zhuǎn)900，疊在一起，就可以得到二維的Dammann光柵，透過率函數(shù)為：ε很小時是δ函數(shù)點(diǎn)陣，分布在間隔為d的柵線的交點(diǎn)上，這些地方透過率為1，其它為0。將兩個同樣規(guī)格的一維Dammann光柵相對旋轉(zhuǎn)900，疊在一41在4f系統(tǒng)輸入平面放置信號，并將二維Dammann光柵緊貼，則其后光場復(fù)振幅為傅里葉譜一系列中心位于處復(fù)現(xiàn)的譜項(xiàng)。在4f系統(tǒng)輸入平面放置信號42設(shè)計一個匹配濾波器，位于Amn處的復(fù)數(shù)透過率

即按角度編碼，相當(dāng)于用不同傳播方向的平面波作為參考光制成的全系匹配濾波器，通常采用計算機(jī)生成。經(jīng)濾波后，在第二個透鏡作用下，輸出平面得到傅里葉逆變換設(shè)計一個匹配濾波器，位于Amn處的復(fù)數(shù)透過率43頻域上的相移形成輸出平面上的位移，以（pm,qn）為中心形成一系列在空間上相互分離的項(xiàng)，每一項(xiàng)都代表一個不同的伸縮因子（am,an）的小波變換，位移因子則由以（pm,qn）為中心的坐標(biāo)表示。這樣就實(shí)現(xiàn)了用多通道4f系統(tǒng)進(jìn)行二維光學(xué)小波變換。頻域上的相移形成輸出平面上的位移，以（pm,qn）為中心形成44用體全息存儲器進(jìn)行多通道相關(guān)處理用光折變晶體對小波變換匹配濾波器進(jìn)行編碼重鉻酸明膠（DCG）或光折變晶體（如BaTiO3）都可以做成體全息存儲器，并可以用角度進(jìn)行編碼，也可以用于光學(xué)小波變換。光折變晶體用體全息存儲器進(jìn)行多通道相關(guān)處理用光折變晶體對小波變換匹配濾45縮放后母函數(shù)經(jīng)SLM輸入?yún)⒖脊獾谌?xiàng)正是小波變換匹配濾波函數(shù)縮放后母函數(shù)經(jīng)SLM輸入?yún)⒖脊獾谌?xiàng)正是小波變換匹配濾波函數(shù)46將分析信號通過SLM1輸入系統(tǒng)再經(jīng)L2的傅里葉逆變換，在輸出平面上得到同樣得到以(pm,qn)為中心的一系列空間互相分離的小波變換。將分析信號通過SLM1輸入系統(tǒng)再經(jīng)L2的傅里葉逆變換，在輸出479.6光學(xué)小波變換匹配濾波器在圖像識別中的應(yīng)用所謂圖像識別指的是從大量信息或背景中檢測某一特定的圖像或指定的特征信息，并排斥其它圖形信息。9.6光學(xué)小波變換匹配濾波器在圖像識別中的應(yīng)用所謂圖像識別48邊緣增強(qiáng)效應(yīng)

圖形的重要特征之一是它的形狀或輪廓。為了識別某一特定的圖形，往往只需認(rèn)定其輪廓，而并不需要研究它的內(nèi)部細(xì)節(jié)，輪廓就是邊緣，一旦邊緣被清晰的勾畫出來，這一圖像就容易被識別出來。母函數(shù)–選擇“墨西哥帽”式邊緣增強(qiáng)效應(yīng)49引入傅里葉變換引入傅里葉變換50光學(xué)信息處理第九章光學(xué)小波變換課件51的小波變換的小波變換52相關(guān)的結(jié)果是平滑效應(yīng)，中比a小的多精細(xì)結(jié)構(gòu)都被平滑掉；相關(guān)運(yùn)算的結(jié)果再進(jìn)行二次求導(dǎo)，則振幅不變的區(qū)域以及線性變化的區(qū)域都等于零，而在振幅變化的拐點(diǎn)兩側(cè)不為0——正是邊界。相關(guān)的結(jié)果是平滑效應(yīng)，中比a小的多精細(xì)結(jié)構(gòu)都被平滑53高斯函數(shù)和邊界函數(shù)；(b)相關(guān)結(jié)果；(c)小波變換函數(shù)曲線高斯函數(shù)和邊界函數(shù)；(b)相關(guān)結(jié)果；54小波變換匹配濾波

對于圖像識別，僅勾畫出輪廓還是不夠，還要認(rèn)定輸入圖像是否包含要求識別的目標(biāo)，對此也小波變換中也可以采用匹配濾波方法實(shí)現(xiàn)。輸入圖像包含待識別圖像和另一圖像首先采用之前的各種方法處理，得到邊緣增強(qiáng)的小波變換譜函數(shù)和，然后以它們作為輸入信號，進(jìn)行第二個光學(xué)相關(guān)識別系統(tǒng)，如4f系統(tǒng)。小波變換匹配濾波55第二個光學(xué)相關(guān)識別系統(tǒng)譜面上用目標(biāo)所對應(yīng)的小波變換匹配濾波器進(jìn)行濾波濾波后第二個光學(xué)相關(guān)識別系統(tǒng)譜面上用目標(biāo)所對應(yīng)的小波變換匹配濾波器56再經(jīng)過傅里葉逆變換，得到自相關(guān)和互相關(guān)其中自相關(guān)給出亮斑，稱為目標(biāo)圖像的特征再經(jīng)過傅里葉逆變換，得到自相關(guān)和互相關(guān)其中自相關(guān)給出亮斑，稱57墨西哥小帽在頻域中的圖像，分布a=1和a=2。（a）輸入圖像，右上E為要識別目標(biāo)；（b）常規(guī)匹配濾波系統(tǒng)相關(guān)峰；（c）和（d）一維和二維小波變換匹配濾波器相關(guān)峰。墨西哥小帽在頻域中（a）輸入圖像，右上E589.7光學(xué)Haar小波變換和圖像邊緣探測Harr變換1910年Harr提出典型的小波；滿足相容性條件；“雙極性”函數(shù)，比較容易實(shí)現(xiàn)。常用的小波變換之一。9.7光學(xué)Haar小波變換和圖像邊緣探測Harr變換典型的小59光學(xué)信息處理第九章光學(xué)小波變換課件60Harr小波變換和邊緣探測

Harr小波變換是信號函數(shù)與之前定義的Harr函數(shù)經(jīng)伸縮后的母函數(shù)相關(guān)的結(jié)果。

小波變換的作用：（1）在小波基元函數(shù)的正負(fù)半周內(nèi)對信號進(jìn)行不加權(quán)積分，實(shí)際是一個平滑或平均的過程。（2）將正、負(fù)半周的積分值相減，以上兩個作用的綜合結(jié)果，是在平均的意義下求差分，或求導(dǎo)數(shù)，恰恰是測出了圖形的邊緣。Harr小波變換和邊緣探測61帶低頻和高頻的Harr小波變換結(jié)果帶低頻和高頻的Harr小波變換結(jié)果62同時帶有低頻和高頻信號Harr小波變換用于邊緣探測同時帶有低頻和高頻信號63Step函數(shù)及其Harr小波變換小波函數(shù)的傅里葉譜恰恰規(guī)避了G的主峰，頻率窗正好在旁瓣所在的頻段，空域中準(zhǔn)確的指示了step函數(shù)的躍變，充分表現(xiàn)了小波變換局部處理的性能。Step函數(shù)及其Harr小波變換64二維Haar小波變換和圖像拐角測量二維Haar變換的母函數(shù)定義特點(diǎn)：用h(x,y)構(gòu)成二維Haar小波變換，在探測與x軸或y軸平行的邊緣時都為0，但測量任意一段既不和x軸平行也不和y軸平行的邊緣時都不為零，故特別適合探測圖形邊緣的“拐角”。對圖像內(nèi)外強(qiáng)度不變或變化緩慢區(qū)域不敏感，即使對一些急劇變化的高頻信號，通過選取適當(dāng)?shù)纳炜s因子，仍然有很強(qiáng)的抗干擾能力，但在邊緣卻出現(xiàn)很強(qiáng)的峰，適合邊緣探測。二維Haar小波變換和圖像拐角測量二維Haar變換的母函數(shù)定65二維Haar小波變換應(yīng)用于邊、角測量（a）輸入圖像；（b）和（c）小波變換輸出二維Haar小波變換應(yīng)用于邊、角測量66二維Haar變換很容易改造成專門進(jìn)行x方向或y方向邊緣測量的變換，用于測量拐角的Harr函數(shù)稱為“角母函數(shù)”，用于測量邊緣的稱為“邊母函數(shù)”。二維圖像邊、角測量的Harr小波變換母函數(shù)（a）角母函數(shù)（b）y邊緣母函數(shù)（c）x邊緣母函數(shù)二維Haar變換很容易改造成專門進(jìn)行x方向或y方向邊緣測量的67用投影-掩模法實(shí)現(xiàn)Harr小波變換（空域?qū)崿F(xiàn)）投影-掩模法進(jìn)行2DHarr小波變換小波函數(shù)掩模版輸入信號SLM點(diǎn)光源列陣探測器用投影-掩模法實(shí)現(xiàn)Harr小波變換（空域?qū)崿F(xiàn)）投影-掩模法進(jìn)68過程從點(diǎn)光源P(x,y)輻射的發(fā)散球面波照亮小波函數(shù)掩模版，在d1上的距離經(jīng)放大后通過L1,透射到上。L1和L2之間為平行光束，沒有放大作用。放大率即為伸縮因子同時P一般不在光軸上，使母函數(shù)發(fā)生平移。過程69平移量的計算P出發(fā)兩條光線，一條經(jīng)過L1的中心，方向不變；另外一條經(jīng)L1上R點(diǎn)，發(fā)生折射，交O2點(diǎn)。平移量的計算P出發(fā)兩條光線，一條經(jīng)過L1的中心，方向不變；70光線PQRO2在st平面上的位移量a為伸縮因子b0放大a倍后面上位移整個光束對P’貢獻(xiàn)光線PQRO2在st平面上的位移量a為伸縮因子b0放大a倍后71由CCD轉(zhuǎn)成電信號送入數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，補(bǔ)上因子，為小波變換表達(dá)式若光源是點(diǎn)陣列，得到抽樣的小波變換函數(shù)；若光源是均勻的連續(xù)面函數(shù)，得到連續(xù)分布的小波變換函數(shù)。將掩模板軸向平移，可以改變伸縮因子的值。由CCD轉(zhuǎn)成電信號送入數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，補(bǔ)上因子，為72偏振編碼

掩模-投影方案中，若用非相干光，則噪聲不存在，信噪比很高，但非相干光學(xué)信息處理用光強(qiáng)表示信號，只能給出非負(fù)的分布，違背了小波變換的相容性條件。

若用相干光，則Harr變換函數(shù)的雙極性可以用偏振編碼實(shí)現(xiàn)。設(shè)光源輻射的線偏振光沿400振動，可以用Jones矩陣表示偏振編碼73掩模中+1的部分可以用水平方向的偏振片構(gòu)成掩模中-1的部分可以用垂直方向的偏振片構(gòu)成輸入的光波經(jīng)過+1，-1部分后，掩模中+1的部分可以用水平方向的偏振片構(gòu)成掩模中-1的部分可74J’和J’’分別是沿x和沿y方向的線偏振光。在輸入信號SLM前放置沿-450方向的偏振分析器，即輸入的光波經(jīng)過+1，-1部分后，再經(jīng)過偏振分析器J’和J’’分別是沿x和沿y方向的線偏振光。在輸入信號SLM75J+,J-分別是沿-450和+1350方向的偏振光，它們的相位差為pi，這樣就用編碼技術(shù)實(shí)現(xiàn)了Haar掩模版的制作。J+,J-分別是沿-450和+1350方向的偏振光，它們的76第九章光學(xué)小波變換9.1引言傅里葉變換已稱為信息處理中一個極為重要的工具，在科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用。信號g(x)的傅里葉變換為逆變換積分區(qū)域（-∞，

∞）第九章光學(xué)小波變換9.1引言傅里葉變換已稱為信息處理中一個77如果g(x)是一個時域或空域中分布在（-∞，∞）中的穩(wěn)恒過程或穩(wěn)定分布，則傅里葉分析給出近乎完美的結(jié)果。然而，在自然界和科學(xué)技術(shù)中還有大量信號，它們具有局部的或定域的特性。例如語言信號、聲納新號、各種電脈沖等，這些信號只出現(xiàn)在一個短暫的時間間隔內(nèi)，此后很快衰減到零，稱快速過程或暫態(tài)過程?！靶〔ā毙盘枺ㄈ绲卣鸩ɑ蚵暭{）如果g(x)是一個時域或空域中分布在（-∞，∞）中的穩(wěn)恒過78許多光學(xué)信號具有同樣的特征，例如遠(yuǎn)處空中的目標(biāo)、顯微鏡下的小物體、被鑒別的指紋等，顯著為零的區(qū)域只分布在有限的區(qū)域內(nèi)，上述信號為局部信號或暫態(tài)信號。對于局部信號或暫態(tài)信號，傅里葉分析就不完全適用。首先，我們僅對?t時間信號感興趣，沒有必要在過去、現(xiàn)在及未來的無限長時間范圍內(nèi)對信號進(jìn)行分析，類似的，在處理定域于?x內(nèi)的空間圖像時，也沒必要對全平面內(nèi)的信號進(jìn)行全面的分析。許多光學(xué)信號具有同樣的特征，例如遠(yuǎn)處空中的目標(biāo)、顯微鏡下的小79其次，許多情況下，在?t或者?x以外的信息是未知的，可能是零，也可能是背景噪音；此外，如果不加選擇采用（-∞，∞）內(nèi)全部信號進(jìn)行傅里葉處理，還可能產(chǎn)生較大誤差甚至錯誤。在一些課題中，我們往往不滿足了解信號在全部區(qū)間內(nèi)的綜合分析，而希望了解某一區(qū)間或某些區(qū)間信號對應(yīng)的頻譜。如地震勘探等。近年來，發(fā)展的小波分析恰恰克服了傅里葉分析的以上缺點(diǎn)，適用于處理局部或暫態(tài)信號。其次，許多情況下，在?t或者?x以外的信息是未知的，可能是零809.2

從短時傅里葉變換到小波變換短時傅里葉變換g(x),局部化：(1)被分析的區(qū)間有一定寬度?x,僅對?x及其周圍信息進(jìn)行處理；(2)被分析的區(qū)間有一個中心坐標(biāo)xc，當(dāng)中心坐標(biāo)改變時，就可以提取不同的信息。實(shí)現(xiàn)局部化，傅里葉變換加窗函數(shù)9.2從短時傅里葉變換到小波變換短時傅里葉變換g(x),81局部化：窗函數(shù)中心寬度局部化：82短時傅里葉變換（short-timeFouriertransform,簡稱STFT）——由前述帶窗口函數(shù)的公式定義（窗函數(shù)帶有局部處理功能）該種定義中頻率變量和坐標(biāo)變量(x0)同時出現(xiàn)在變換函數(shù)里面——短時傅里葉變換和常規(guī)傅里葉變換的重要區(qū)別；窗口寬度隱含在中，正是x0和窗口寬度使其具有局部化處理的能力，通過改變x0,窗口發(fā)生移動，處理空間發(fā)生改變。短時傅里葉變換（short-timeFouriertra83頻域：頻率窗中心寬度當(dāng)空域?qū)挾群皖l率寬度同時有限時，稱函數(shù)在空域和頻域同時局部化。測不準(zhǔn)關(guān)系短時傅里葉變換特征在于處理過程限制在空間-頻率窗進(jìn)行，且窗的位置可變，但寬度不變，在處理一些奇異信號時顯得無力；而小波變換具備更強(qiáng)功能。頻域：當(dāng)空域?qū)挾群皖l率寬度同時有限時，稱函數(shù)在空域和頻域同時84Gabor變換1946年，Gabor提出了下面變換正是高斯型函數(shù)，所以Gabor變換就是高斯窗短時傅里葉變換。窗函數(shù)中心坐標(biāo)

xc=0，窗的寬度Gabor變換1946年，Gabor提出了下面變換正是高斯型85的傅里葉變換Gabor變換空間-頻率窗小波變換空間-頻率窗的傅里葉變換Gabor變換空間-頻率窗86可見Gabor變換在頻域和空域中的表達(dá)式具有相似的形式Gabor變換頻域中的表達(dá)式可見Gabor變換在頻域和空域中的表達(dá)式具有相似的形式Gab87Gabor變換的特點(diǎn)（1）給出了一個中心位于b,寬度為的空間窗，從而實(shí)現(xiàn)空域處理的局部化；與之響應(yīng)，它又給出了一個中心為,寬度為的頻率窗，從而實(shí)現(xiàn)頻率處理的局部化。用Gabor變換來處理信號時，處理過程限制在空-頻窗內(nèi)進(jìn)行，窗的面積為（2）

可以看出變換是參數(shù)a、b和變量

的函數(shù)，積分是一個包絡(luò),載波的頻率v與參數(shù)無關(guān)，不會隨的變化而變化，正是所有短時傅里葉變換共同缺點(diǎn)。Gabor變換的特點(diǎn)（1）給出了一個中心位于b,寬度為88Morlet小波變換

為了克服Gabor變換中窗口尺寸不能改變的缺點(diǎn)，我們可以對它略加改進(jìn)，則Gabor基元函數(shù)可以寫為變換母函數(shù),引入?yún)?shù)a，b，生成子函數(shù)Morlet小波變換變換母函數(shù),引入?yún)?shù)a，b，生成子函數(shù)89同Gabor變換的差別：小波變換的中心頻率隨著參數(shù)a的增大而減?。恍〔ㄗ儞Q的空間窗寬度頻率窗寬度；當(dāng)中心頻率增大時，空間窗變小，而頻率窗變大，可以處理更多高頻信息；當(dāng)中心頻率變小時，空間窗變大，而頻率窗變小，可以容納足夠多空間周期，以保證處理精度。定義信號g(x)的Morlet小波變換同Gabor變換的差別：小波變換的中心頻率隨著90Gabor變換基元函數(shù)Morlet小波變換基元函數(shù)中心頻率123a=10.50.33Gabor變換基元函數(shù)Mo919.3小波變換的定義和性質(zhì)定義

母函數(shù)h(x)的基本小波函數(shù)ha,b(x)定義為式中b稱為小波變換的位移因子，a>0稱為伸縮因子。當(dāng)a增大時小波變換的寬度加大，而當(dāng)a減小時，小波的寬度變小。即表明基本小波是母函數(shù)經(jīng)平移和縮放的結(jié)果，基本的小波又簡稱小波。9.3小波變換的定義和性質(zhì)定義式中b稱為小波變換的位移因子92信號函數(shù)g(x)的小波變換定義為小波ha,b(x)和g(x)的內(nèi)積h(x)的選擇，h(x)必須在x趨于無窮時衰減到零。實(shí)際使用的小波變換母函數(shù)h(x)，當(dāng)x趨于無窮時迅速衰減，使其不顯著為0的分量只存在于一個很小的區(qū)間。信號函數(shù)g(x)的小波變換定義為小波ha,b(x)和g(x)93小波變換在頻域中的表達(dá)式由小波變換定義和Parseval定理得到。該式子表明信號g(x)的小波變換可以通過4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。首先用第一個透鏡形成輸入信號g的傅里葉譜G，然后在頻譜面上對G進(jìn)行濾波，濾波器的表達(dá)式為小波函數(shù)h經(jīng)縮放后的傅里葉譜的共軛，然后在經(jīng)過第二個透鏡得到傅里葉逆變換，得到g的小波變換。小波變換在頻域中的表達(dá)式由小波變換定義和Parseval定理94逆變換和相容性條件逆變換相容性條件逆變換和相容性條件逆變換相容性條件95正則性（1）從理論上講，任何滿足相容性條件的函數(shù)都可以作為小波變換的母函數(shù)，然而在實(shí)際應(yīng)用中，為了使變換具有局部化的功能，h和H在空域和頻域都是迅速衰減，它們顯著不為零的分量分別分布于空域和時域原點(diǎn)附近。（2）變換的空間窗和頻率窗的寬度隨著參數(shù)a的增大分別增大和縮小，所以要求Wa,b(g)作為a的函數(shù)，應(yīng)當(dāng)充分光滑的，當(dāng)a->0,W->0,即Wa,b在a=0附近是正則的。設(shè)b=0，則有正則性（1）從理論上講，任何滿足相容性條件的函數(shù)都可以作為96將g(x)在x=0的鄰域進(jìn)行泰勒展開代入上式，則有其中Mn是小波函數(shù)h的n階矩M0=H(0)=0,設(shè)Mp=0(p=1,2,…n),則在0的鄰域內(nèi)將g(x)在x=0的鄰域進(jìn)行泰勒展開代入上式，則有其中Mn是97隨著a->0,W->0的速率為即對于一個足夠平滑的函數(shù)g(x)，Wa,0(g)以an+1/2的速率隨著a趨近于零，稱它為n階小波函數(shù)。相容性條件保證Wa,0隨a趨近于零的速度的下限為a1/2。隨著a->0,W->0的速率為即對于一個足夠平滑的函數(shù)g(98小波變換的空間-頻率窗和處理過程的局部化基元函數(shù)ha,b是由中心位于xc的母函數(shù)經(jīng)過平移(b)和縮放(a)后形成的。空間窗寬度小波變換的空間-頻率窗和處理過程的局部化基元函數(shù)ha,b是由99空域處理局限于下面空間窗頻域中引入空域處理局限于下面空間窗頻域中引入100頻域中的處理局限于下面頻率窗內(nèi)即頻域中的處理局限于下面頻率窗內(nèi)即101這樣在空域和頻域的處理就局限于下式所表示的空間和頻率窗內(nèi)進(jìn)行處理過程特點(diǎn)：（1）空間窗寬度和頻率窗寬度隨著a的變化而變化，窗的面積與a無關(guān)；（2）中心頻率與帶寬之比與中心頻率大小無關(guān)，取決于H。Q是測量精度的量，表明小波變換的測量精度和頻率無關(guān)。當(dāng)中心頻率增大時(a變?。?，頻率窗自動變寬，測試精度不變；反之，類似。這種性能被稱為“自動變焦”。這樣在空域和頻域的處理就局限于下式所表示的空間處理過程特點(diǎn)：102例實(shí)Morlet小波：例實(shí)Morlet小波：103頻域中h(x)H頻域中h(x)H104套用之間的公式也可以算出。實(shí)際從物理上講，真正起作用的是正頻率，因此頻率窗的中心位置空間-頻率窗套用之間的公式也可以算出。實(shí)際從物105其中當(dāng)或較大嚴(yán)格來講，Morlet小波變換不滿足相容性條件，當(dāng)或較大，相容性條件近似滿足。其中當(dāng)或較大嚴(yán)格來講，Morlet小波變1069.4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)一維小波變換光學(xué)處理器9.4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)一維小波變換光學(xué)處理器107SML2處，被分成M個沿著u方向的帶狀區(qū)域，這些帶狀區(qū)域中分別顯示具有不同伸縮因子am的基元函數(shù)h的傅里葉譜構(gòu)成多通道小波變換匹配濾波器SML2處，被分成M個沿著u方向的帶狀區(qū)域，這些帶狀區(qū)域中分108（a）子午面內(nèi)構(gòu)成成像系統(tǒng)（vz）（b）弧矢面內(nèi)構(gòu)成一維傅里葉逆變換系統(tǒng)（uz）uv平面位于球面-柱面復(fù)合透鏡L3前,柱面鏡母線沿u方向，在L3后面αβ平面上放置CCD器件，uv-L3-

αβ構(gòu)成像散系統(tǒng)。（a）子午面內(nèi)構(gòu)成成像系統(tǒng)（vz）（b）弧矢面內(nèi)構(gòu)成一維傅109由于成像作用，在αβ平面上沿α方向形成uv平面上各帶狀通道的像。對于第m個通道，由于沿u方向的傅里葉逆變換作用，得到圖像處理中，將CCD輸出的信號除以即得到小波變換的中，伸縮因子a是分立的，由一組M個濾波器H引入處理器；而位移因子b則是連續(xù)的，與輸入平面的坐標(biāo)成正比。由于成像作用，在αβ平面上沿α方向形成uv平面上各帶狀通道的1109.5用多通道匹配濾波器實(shí)現(xiàn)二維小波變換單通道小波變換系統(tǒng)令9.5用多通道匹配濾波器實(shí)現(xiàn)二維小波變換單通道小波變換系統(tǒng)111頻域中正是匹配濾波器頻域表達(dá)式匹配濾波器可以采用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)頻域中正是匹配濾波器頻域表達(dá)式匹配濾波器可以采用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)112用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)小波變換信號函數(shù)可以通過SLM1輸入系統(tǒng)；SLM2可以實(shí)現(xiàn)匹配濾波函數(shù)H*對信號進(jìn)行濾波。注：位移因子（bx,by）是與輸出平面坐標(biāo)對應(yīng)的，而伸縮因子（ax,ay）是給定的，即只能對給定的伸縮因子進(jìn)行小波變換，不同的伸縮因子只能通過依次輸入不同的匹配函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)小波變換信號函數(shù)可以通過SLM1輸入系統(tǒng)；注：113用Dammann光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理梳狀函數(shù)與任意函數(shù)相乘，等于對該函數(shù)抽樣；梳狀函數(shù)與該函數(shù)的乘積再進(jìn)行傅里葉變換，在譜面上得到它們的卷積，相當(dāng)于譜項(xiàng)在comb(u)中各個δ函數(shù)的位置上重復(fù)出現(xiàn)，即只要該函數(shù)的帶寬是有限的，總可以通過密集的抽樣，使各譜項(xiàng)在頻域內(nèi)互相分離。也即是說給定一個二維信號輸入，我們可以利用梳狀函數(shù)在譜面上復(fù)制出一些列譜函數(shù)每一個代表一個處理通道，就相當(dāng)于可以實(shí)現(xiàn)多通道并行處理。用Dammann光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理梳狀函數(shù)與任意函數(shù)相乘114梳狀函數(shù)器件，由稱Dammann光柵，一維透過率函數(shù)其中ε是線寬，d是光柵周期梳狀函數(shù)器件，由稱Dammann光柵，115用4f系統(tǒng)譜面上得到用4f系統(tǒng)譜面上得到116將兩個同樣規(guī)格的一維Dammann光柵相對旋轉(zhuǎn)900，疊在一起，就可以得到二維的Dammann光柵，透過率函數(shù)為：ε很小時是δ函數(shù)點(diǎn)陣，分布在間隔為d的柵線的交點(diǎn)上，這些地方透過率為1，其它為0。將兩個同樣規(guī)格的一維Dammann光柵相對旋轉(zhuǎn)900，疊在一117在4f系統(tǒng)輸入平面放置信號，并將二維Dammann光柵緊貼，則其后光場復(fù)振幅為傅里葉譜一系列中心位于處復(fù)現(xiàn)的譜項(xiàng)。在4f系統(tǒng)輸入平面放置信號118設(shè)計一個匹配濾波器，位于Amn處的復(fù)數(shù)透過率

即按角度編碼，相當(dāng)于用不同傳播方向的平面波作為參考光制成的全系匹配濾波器，通常采用計算機(jī)生成。經(jīng)濾波后，在第二個透鏡作用下，輸出平面得到傅里葉逆變換設(shè)計一個匹配濾波器，位于Amn處的復(fù)數(shù)透過率119頻域上的相移形成輸出平面上的位移，以（pm,qn）為中心形成一系列在空間上相互分離的項(xiàng)，每一項(xiàng)都代表一個不同的伸縮因子（am,an）的小波變換，位移因子則由以（pm,qn）為中心的坐標(biāo)表示。這樣就實(shí)現(xiàn)了用多通道4f系統(tǒng)進(jìn)行二維光學(xué)小波變換。頻域上的相移形成輸出平面上的位移，以（pm,qn）為中心形成120用體全息存儲器進(jìn)行多通道相關(guān)處理用光折變晶體對小波變換匹配濾波器進(jìn)行編碼重鉻酸明膠（DCG）或光折變晶體（如BaTiO3）都可以做成體全息存儲器，并可以用角度進(jìn)行編碼，也可以用于光學(xué)小波變換。光折變晶體用體全息存儲器進(jìn)行多通道相關(guān)處理用光折變晶體對小波變換匹配濾121縮放后母函數(shù)經(jīng)SLM輸入?yún)⒖脊獾谌?xiàng)正是小波變換匹配濾波函數(shù)縮放后母函數(shù)經(jīng)SLM輸入?yún)⒖脊獾谌?xiàng)正是小波變換匹配濾波函數(shù)122將分析信號通過SLM1輸入系統(tǒng)再經(jīng)L2的傅里葉逆變換，在輸出平面上得到同樣得到以(pm,qn)為中心的一系列空間互相分離的小波變換。將分析信號通過SLM1輸入系統(tǒng)再經(jīng)L2的傅里葉逆變換，在輸出1239.6光學(xué)小波變換匹配濾波器在圖像識別中的應(yīng)用所謂圖像識別指的是從大量信息或背景中檢測某一特定的圖像或指定的特征信息，并排斥其它圖形信息。9.6光學(xué)小波變換匹配濾波器在圖像識別中的應(yīng)用所謂圖像識別124邊緣增強(qiáng)效應(yīng)

圖形的重要特征之一是它的形狀或輪廓。為了識別某一特定的圖形，往往只需認(rèn)定其輪廓，而并不需要研究它的內(nèi)部細(xì)節(jié)，輪廓就是邊緣，一旦邊緣被清晰的勾畫出來，這一圖像就容易被識別出來。母函數(shù)–選擇“墨西哥帽”式邊緣增強(qiáng)效應(yīng)125引入傅里葉變換引入傅里葉變換126光學(xué)信息處理第九章光學(xué)小波變換課件127的小波變換的小波變換128相關(guān)的結(jié)果是平滑效應(yīng)，中比a小的多精細(xì)結(jié)構(gòu)都被平滑掉；相關(guān)運(yùn)算的結(jié)果再進(jìn)行二次求導(dǎo)，則振幅不變的區(qū)域以及線性變化的區(qū)域都等于零，而在振幅變化的拐點(diǎn)兩側(cè)不為0——正是邊界。相關(guān)的結(jié)果是平滑效應(yīng)，中比a小的多精細(xì)結(jié)構(gòu)都被平滑129高斯函數(shù)和邊界函數(shù)；(b)相關(guān)結(jié)果；(c)小波變換函數(shù)曲線高斯函數(shù)和邊界函數(shù)；(b)相關(guān)結(jié)果；130小波變換匹配濾波

對于圖像識別，僅勾畫出輪廓還是不夠，還要認(rèn)定輸入圖像是否包含要求識別的目標(biāo)，對此也小波變換中也可以采用匹配濾波方法實(shí)現(xiàn)。輸入圖像包含待識別圖像和另一圖像首先采用之前的各種方法處理，得到邊緣增強(qiáng)的小波變換譜函數(shù)和，然后以它們作為輸入信號，進(jìn)行第二個光學(xué)相關(guān)識別系統(tǒng)，如4f系統(tǒng)。小波變換匹配濾波131第二個光學(xué)相關(guān)識別系統(tǒng)譜面上用目標(biāo)所對應(yīng)的小波變換匹配濾波器進(jìn)行濾波濾波后第二個光學(xué)相關(guān)識別系統(tǒng)譜面上用目標(biāo)所對應(yīng)的小波變換匹配濾波器132再經(jīng)過傅里葉逆變換，得到自相關(guān)和互相關(guān)其中自相關(guān)給出亮斑，稱為目標(biāo)圖像的特征再經(jīng)過傅里葉逆變換，得到自相關(guān)和互相關(guān)其中自相關(guān)給出亮斑，稱133墨西哥小帽在頻域中的圖像，分布a=1和a=2。（a）輸入圖像，右上E為要識別目標(biāo)；（b）常規(guī)匹配濾波系統(tǒng)相關(guān)峰；（c）和（d）一維和二維小波變換匹配濾波器相關(guān)峰。墨西哥小帽在頻域中（a）輸入圖像，右上E1349.7光學(xué)Haar小波變換和圖像邊緣探測Harr變換1910年Harr提出典型的小波；滿足相容性條件；“雙極性”函數(shù)，比較容易實(shí)現(xiàn)。常用的小波變換之一。9.7光學(xué)Haar小波變換和圖像邊緣探測Harr變換典型的小135光學(xué)信息處理第九章光學(xué)小波變換課件136Harr小波變換和邊緣探測

Harr小波變換是信號函數(shù)與之前定義的Harr函數(shù)經(jīng)伸縮后的母函數(shù)相關(guān)的結(jié)果。