名師輔導(dǎo) 立體幾何 第2課 空間兩條直線(含答案解析)

名師輔導(dǎo)立體幾何第2課空間兩條直線(含答案解析)名師輔導(dǎo)立體幾何第2課空間兩條直線(含答案解析)名師輔導(dǎo)立體幾何第2課空間兩條直線(含答案解析)名師輔導(dǎo)立體幾何第2課空間兩條直線(含答案解析)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:名師輔導(dǎo)立體幾何第2課空間兩條直線（含答案解析）●考試目標(biāo)主詞填空1.空間兩條直線有三種位置關(guān)系相交直線——有且僅有一個公共點(diǎn).平行直線——同在一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).2.平行直線定義：同一平面內(nèi)兩條不相交的直線稱為平行直線.公理4：平行同一條直線的兩條直線互相平行.3.異面直線定義：“不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”.異面直線的判定定理：“過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線”.這是判定空間兩直線是異面直線的理論依據(jù).●題型示例點(diǎn)津歸納【例1】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是A1C1與A1B上的點(diǎn)，且A1E=A1F.求證：EF∥例1題圖【解前點(diǎn)津】例1題圖平面內(nèi)，利用平面圖形的性質(zhì)實(shí)施證明，若圖形中這樣的平面不好找，可以考慮實(shí)施轉(zhuǎn)化，利用平行公理(或后繼將要學(xué)習(xí)的直線與平面平行的性質(zhì)定理、向量知識等)實(shí)施證明.【規(guī)范解答】證明：連結(jié)BC1、AD1，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1方體，所以A1C1=A1B.在△A1BC1∵A1C1=A1B,A1E=A1F,∴,∴EF∥BC1又∵D1C1平行且等于AB，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形∴BC1∥AD1,∴EF∥AD1.例2題圖【例2】如圖所示，長方體A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求異面直線A1B與AD例2題圖【解前點(diǎn)津】求兩條異面直線所成的角的步驟如下：①用平移法作出異面直線所成的角；②說明作出的角就是要求的角；③計算(解三角形)；④結(jié)論.【規(guī)范解答】如圖所示，連結(jié)BC1、A1C1∵A1B1C1D1-ABCD∴AB平行且等于D1C1，即ABC1D1∴AD1平行且等于BC1，∴∠A1BC1(或它的補(bǔ)角)是異面直線A1B與AD1所成的角.設(shè)AA1=a,∵∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°∴在△AA1D1與△A1AB中，AB=AA1=a,A1B=a,AD1=BC1=2a,A1D1=a,∴A1C1==2a在△A1BC1中，由余弦定理知，cos∠A1BC1==.∴∠A1BC1=arcos,所以異面直線A1B與AD1所成的角是arccos.【解后歸納】學(xué)完空間向量之后，我們還可以利用向量的夾角公式求異面直線所成的角.例3題圖【例3】如圖所示，求證分別與兩條異面直線都相交，且交點(diǎn)為不例3題圖已知：a、b異面，AB交a、b于A、B，CD交a、b于C、D，A、B、C、D四點(diǎn)不同.求證：AB與CD是異面直線.【解前點(diǎn)津】此題條件不具備異面直線的判定定理所需條件，而當(dāng)結(jié)論的反面即AB、CD共面時，易得AC、BD共面.即a、b共面，與已知矛盾.故用反證法證明較易.【規(guī)范解答】假設(shè)AB與CD不是異面直線，則AB與CD共面，設(shè)此平面為α,所以，A、B、C、D都在α內(nèi)，所以直線AC平面α,BD平面α,所以AC與BD共面，即a與b共面，這與a、b為異面直線相矛盾.所以AB與CD是異面直線.【解后歸納】證明兩條直線是異面直線除利用定義、定理外，還常常使用反證法，要掌握好.【例4】直三棱柱ABC—A1B1C1中AB=AC=AA1=d,D是AB的中點(diǎn),若C1D=d,求異面直線AB與A1C1所成的角【規(guī)范解答】如圖，連結(jié)CD,∵AC∥A1C1例4題圖∴∠BAC或其補(bǔ)角就是異面直線AB與A1C例4題圖在Rt△C1CD中,∠C1CD=90°,∴CD2=C1D2-CC12=在△ADC中,AD=AB=,AC=dcos∠CAD=.∴∠CAD=120°,∴異面直線AB與A1C1所成的角為60°【解后歸納】此題也可運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式,求出cosθ,其中EF,d,m,n就是題中的C1D,AA1,A1C1,AD,而θ就是∠CAD.●對應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.“a、b為異面直線”是指①a∩b=,且ab;②a面α,b面β且a∩b=;③a面α,b面β,且a∩β=;④a平面α,b平面α;⑤不存在面α,使a面α且b面α成立,上述結(jié)論中，正確的是()A.①④⑤都正確B.①③④都正確C.僅②④正確D.僅①⑤正確2.無論怎樣選擇平面，兩條異面直線在該平面內(nèi)的射影不可能是()A.兩條平行直線B.兩條相交直線C.一條直線和直線外一點(diǎn)D.兩個點(diǎn)3.相交直線a、b的夾角為50°，則過交點(diǎn)與a、b都成60°角的直線的條數(shù)為().2C4.正方體的對角線與正方體的棱組成的異面直線共有()對對對對5.正方體ABCD—A1B1C1D1所有各面的對角線中與AB1成60°角且與AB1異面的直線的條數(shù)為.2C6.空間四邊形兩條對角線互相垂直，則順次連結(jié)各邊中點(diǎn)的四邊形是()A.空間四邊形B.矩形C.菱形D.正方形7.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則異面直線CM與D1N所成的角的正弦值為A.B.C.D.第第7題圖第8題圖8.如圖所示，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，點(diǎn)D1、E1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，若BC＝CA＝CC1，則BD1與AE1A.B.C.D.9.在四面體ABCD中，AB＝８，CD＝６，M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，且MN＝５，則AB與CD所成角是()°°°°10.空間四點(diǎn)A、B、C、D，每兩點(diǎn)的連線長都等于a，動點(diǎn)P在線段AB上，動點(diǎn)Q在線段CD上，則點(diǎn)P與Q的最小距離為()B.C.D.二、思維激活11.正方體六個面內(nèi)的所有對角線互成60°角的共有對．12.在三棱錐S—ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，∠BAC=60°，M、N分別是△SAB和△SAC的重心，則MN＝.13.在正四面體ABCD中,E、F分別是AB,CD的中點(diǎn),則EF與AC所成角的大小為.14.在四面體ABCD中，棱長均相等，E是AD的中點(diǎn)，則AB和CE所成角的余弦值為.三、能力提高15.如圖所示，在三棱錐D—ABC中,DA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∠ABD=30°,AC=BC,求異面直第15題圖線AB與CD第15題圖16.已知a、b是異面直線，A、B∈a且AB=m，C∈b.(1)當(dāng)線段AB在直線a上移動時，C為定點(diǎn)，證明△ABC面積不變.(2)當(dāng)C點(diǎn)在直線b上移動，問點(diǎn)C在何位置時，△ABC的面積最小.第17題圖17.如圖所示，已知P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，BE⊥AC，PC⊥第17題圖(1)求證：EF是BE、PC的公垂線.(2)若PA=a，PC＝b，求異面直線BE、PC的距離.第18題圖18.如圖所示，在棱長為1的正方體A1B1C1D1—ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB1的中點(diǎn)，O為面BCC1B第18題圖(1)過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q.(只寫作法，不必證明).(2)求PQ的長.19.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a,AD=2a且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角，AE⊥PD于E.求異面直線AE與CD第2課空間兩條直線習(xí)題解答若射影為兩個點(diǎn)，則兩條直線與平面垂直，可知兩直線平行，與異面相矛盾．在a,b所確定的平面外作與a,b都成60°角的直線有兩條.12×2=24.A1C1、BD、A1D、BC1符合題意四邊形中各邊分別與對角線平行.將正方體ABCD—A1B1C1D1旁邊補(bǔ)一個全等的正方體可得(設(shè)正方體棱長為cosθ=，∴sinθ=.取BC的中點(diǎn)D，連DE1可得DE１∥BD1.設(shè)BC=CA=CC1=2，∴cos∠AE1D=.取BD的中點(diǎn)O連OM，ON，∴OMCD，ONAB，∴OM=3,ON=4，∴△OMN為Rt△.P、Q均為中點(diǎn)時PQ的長為所求.第13題圖解共有第13題圖解BC2=42+62-2×4×6cos60°，∴BC=2，又MN=.°取BC的中點(diǎn)M,∵AF⊥CD,BF⊥CD,∴CD⊥平面ABF.(如圖)于是CD⊥AB,同理AC⊥BD,∴EM⊥MF又EM=MF,∴∠MEF=45°.14.取BD的中點(diǎn)O，連EO，CO，第15題圖解∴OE∥AB第15題圖解∴cos∠CEO=.15.以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCM,則∠DCM是異面直線AB,CD所成的角,設(shè)AC=BC=a,∵∠ACB=90°,∴AB=a,MC=a,∵DA⊥平面ABC∴∠DAB=∠DAC=∠DAM=90°,又∠ABD=30°,∴DA=a,又AM=a,∴DM=,DC=∴cos∠DCM=.點(diǎn)評：16.(1)分析：要證△ABC面積不變，即證點(diǎn)C到直線a的距離CD不變，設(shè)EF為a、b公垂線段，a、b所成角為θ，CE＝m，作CMEF，作MD⊥AB，EF＝d，∵M(jìn)D=msinθ，CM＝d均為定值.∴在Rt△CMD中，CD也是定值，故△ABC面積不變.(2)由(1)可知，要使△ABC面積最小，則MD要最小.(因CM為定值)，而MD＝msinθ，θ為定值.∴m=0時，MD最小，此時C點(diǎn)為公垂線段EF的端點(diǎn)E.17.(1)∵F是PC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF是△PAC的中位線，EF∥AC，EF＝AC.∵AC⊥PC，AC⊥BE，∴EF⊥PC，EF⊥BE.且EF和BE相交于E，和PC相交于F，∴EF是BE和PC的公垂線段.(2)在Rt△PCA中，∠PCA＝90°，PA＝a,PC＝b,∴AC＝，于是EF＝AC＝.所以BE和PC的距離是.18.分析：(1)AN和CM是兩條異面直線，過O點(diǎn)作直線要與AN與CM都相交，應(yīng)在平面內(nèi)來作，因此，可先由點(diǎn)O、A、N和O、C、M各確定一個平面α、β.(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q作出后，求PQ的長只需解三角形即可.解：(1)由ON∥AD知，AD與ON確定一個平面α；又O、C、M三點(diǎn)確定一個平面β.∵三個平面α、β和ABCD兩兩相交，有三條交線OP、CM、DA，其中交線DA與交線CM不平行且共面.第19題圖解∴DA與CM必相交，記交點(diǎn)為第19題圖解∴OQ是α與β的交線.連結(jié)OQ與AN交于P、與CM交于Q，故OPQ即為所求作的直線.(2)∵ON＝BC＝AQ，