傳染病傳播模型

摘要本文討論了SARS疫情的傳播規(guī)律和對(duì)經(jīng)濟(jì)方面的影響。首先本文對(duì)題中的早期模型進(jìn)行了評(píng)價(jià)，認(rèn)為其最大的優(yōu)點(diǎn)是：能較好的描述疫情早期的發(fā)展情況，并在理論上可大致預(yù)測(cè)出疫情的爆發(fā)點(diǎn)以便衛(wèi)生部門(mén)及早控制；最大的不足是：原模型在求解過(guò)程中參數(shù)K經(jīng)過(guò)多次手工調(diào)整，而且L取為一個(gè)定值，此做法主觀性太強(qiáng)，缺乏普適性.針對(duì)上述模型的不足，本文在原模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，在非典傳播的全過(guò)程中將K表示成一個(gè)函數(shù)（用Logistic函數(shù)表示），根據(jù)北京4月20日以后25個(gè)以上的數(shù)據(jù)對(duì)K進(jìn)行擬合（用30個(gè)數(shù)據(jù)擬合效果較好），確定K的函數(shù)關(guān)系式，從而得到對(duì)整個(gè)過(guò)程累計(jì)病例數(shù)和日增病例變化的擬合曲線，發(fā)現(xiàn)它與實(shí)際情況符合得較好，而且可以再現(xiàn)非典傳播的全過(guò)程。同時(shí)，還對(duì)K的取值進(jìn)行了分析.經(jīng)計(jì)算知，在相同的控制力度下，衛(wèi)生部門(mén)如果提前5天采取措施，累計(jì)病例將控制在2000人以下；如果再延后5天，累計(jì)病歷將至少達(dá)到3000多人，甚至可能超過(guò)4000人。最后，分析了建立一個(gè)真正能預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型的最大困難是：因?yàn)槿狈η捌跀?shù)據(jù)，而不能在比較早的時(shí)候得到預(yù)測(cè)結(jié)果。本文還通過(guò)對(duì)北京市1997?2002年各月接待的海外旅游人數(shù)的分析并建立了時(shí)間序列模型，“預(yù)測(cè)"出2003年疫情期間本應(yīng)接待的人數(shù)，對(duì)比實(shí)際接待人數(shù)，計(jì)算出在非典期間少接待的游客人數(shù)約為115萬(wàn)人，經(jīng)濟(jì)損失約1。2億美元，約占正常情況下全年收入的33%。最后我們給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫(xiě)了一篇短文，說(shuō)明了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。SARS傳播模型問(wèn)題重述SARS是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量的研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。所以本文首先評(píng)價(jià)了一個(gè)已有的早期模型的合理性和實(shí)用性，然后在此基礎(chǔ)上建立了一個(gè)更優(yōu)的模型并給出了分析，最后建立了SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的模型。二。問(wèn)題分析（一）通過(guò)對(duì)早期模型和實(shí)際情況的分析，我們認(rèn)為影響SARS傳播因素眾多，大致可分為時(shí)域因素和地域因素。列舉如下：（1）時(shí)域因素a-媒體宣傳：初期疫情較輕，媒體宣傳強(qiáng)度很弱，導(dǎo)致民眾的自我保護(hù)意識(shí)不足，容易感染；后期疫情較重，媒體宣傳強(qiáng)度很大，民眾的自我保護(hù)意識(shí)大大加強(qiáng).上政府干預(yù)：初期疫情較輕，政府介入不足后期疫情較重，政府加強(qiáng)干預(yù)（如:強(qiáng)行隔離，公共場(chǎng)所消毒等行為）Oc.認(rèn)識(shí)程度：當(dāng)一種新的傳染病出現(xiàn)時(shí)，初期由于人們的認(rèn)識(shí)程度不足，無(wú)法采取有效的預(yù)防和治療措施，但隨著研究的深入，認(rèn)識(shí)程度會(huì)越來(lái)越高。（2）地域因素經(jīng)濟(jì)水平和醫(yī)學(xué)水平：經(jīng)濟(jì)水平和醫(yī)學(xué)水平高的地區(qū)的疫情控制情況會(huì)明顯比水平低的地方好.人口密度和人口流動(dòng)：人口密度和人口流動(dòng)大的城市若爆發(fā)傳染病，疫情程度會(huì)比人口密度和人口流動(dòng)小的城市大。氣候：SARS適合在春秋兩季傳播，且各城市的氣候會(huì)疫情程度。（二）我們認(rèn)為在SARS疫情期間考察的人群大致可分為三類(lèi)：健康人群，感染人群，治愈人群。而感染人群又可分為非傳染源和傳染源兩類(lèi)。（三）一個(gè)較好的傳染病傳播模型因該具有如下功能：a-能較好的描述疫情的大致走勢(shì)。上能較精確的給出關(guān)鍵時(shí)間（初期爆發(fā)時(shí)刻；中期穩(wěn)定時(shí)刻；高峰期；0病例增長(zhǎng)的時(shí)刻），以便政府和衛(wèi)生部門(mén)針對(duì)不同作出及時(shí)而正確的措施。(完整word版)傳染病傳播模型6能給出描述疫情的指標(biāo)，以便政府和衛(wèi)生部門(mén)決定其各項(xiàng)工作的力度。基本假設(shè)題中所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可信.假定疫情爆發(fā)后政府一定會(huì)采取措施。假定北京市醫(yī)院及醫(yī)務(wù)人員足夠多。變量說(shuō)明N(t)累計(jì)病例數(shù)K平均每病人每天可傳染人數(shù)L平均每個(gè)病人可以直接感染他人的天數(shù)早期模型評(píng)價(jià)(一)早期模型重述假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為N0平均每病人每天可傳染K個(gè)人，平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為L(zhǎng)天。則在L天之內(nèi)，累計(jì)病例數(shù)N(t)隨時(shí)間t(單位天)的關(guān)系是：N(t)=N(1+K)t(1-1)0如果不考慮傳染期的限制，病例數(shù)將按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，考慮傳染期的限制后，則采用半模擬循環(huán)計(jì)算的辦法，把達(dá)到L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉.然后假定從開(kāi)始至高峰期間均采用同樣的K值(從擬合這一階段的數(shù)據(jù)得出)，到達(dá)高峰期后，在10天的范圍內(nèi)逐步調(diào)整K值到比較小，然后保持不變，擬合其后在控制階段的全部數(shù)據(jù)(認(rèn)為社會(huì)在短期劇烈調(diào)整后，進(jìn)入對(duì)疫情控制較好的常態(tài))。(二)早期模型的合理性和實(shí)用性的評(píng)價(jià)早期模型的優(yōu)點(diǎn)模型(1一1)實(shí)際上是微分方程竺=K-(N(t)-N(t-L))在(0~L)區(qū)間內(nèi)的特解［1］.其dt中N(t)表示t時(shí)刻的累計(jì)病例數(shù)，則(N(t)—N(t—L))表示傳染源數(shù)量，為病例總數(shù)減去失去傳染能力的病例數(shù).參數(shù)K和L是描述SARS傳播的兩個(gè)重要參數(shù)，并且具有實(shí)際的意義：L可理解為平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成造成直接傳染的期限，在此期限后失去傳染作用，可能原因是被隔離、病愈或死去等等。K表示某種社會(huì)條件下平均每病人每天傳播的人數(shù)(但并非文中所述的一個(gè)病人的感染他人的平均概率)。通過(guò)對(duì)模型的分析，可得到一預(yù)測(cè)疫情發(fā)展的參數(shù)R=KXL,R表示平均每個(gè)病人在其傳染期內(nèi)感染的總?cè)藬?shù).若R>1,說(shuō)明社會(huì)上現(xiàn)存?zhèn)魅驹慈藬?shù)在上升，疫情將因失控而爆發(fā)；若RV1,說(shuō)明社會(huì)上現(xiàn)存?zhèn)魅驹慈藬?shù)在下降，疫情將得到控制；若R=1,說(shuō)明社會(huì)上現(xiàn)存?zhèn)魅驹慈藬?shù)不變，疫情將持續(xù)下去［2］。從擬合的圖形來(lái)看，此模型對(duì)各城市早期的SARS疫情描述的較好，具有一定的通用性。其實(shí)際意義就是此模型可大致預(yù)測(cè)出疫情的爆發(fā)點(diǎn)和發(fā)展趨勢(shì)。因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)早期數(shù)據(jù)的擬合確定參數(shù)，得出形如(1-1)的一個(gè)指數(shù)形式的模型，而指數(shù)函數(shù)的曲線初期增長(zhǎng)較慢，后期增長(zhǎng)急速，必可大致找到一個(gè)“轉(zhuǎn)折點(diǎn)",而“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”所對(duì)應(yīng)的時(shí)間便是預(yù)測(cè)的疫情爆發(fā)點(diǎn)。這一數(shù)據(jù)對(duì)于衛(wèi)生部門(mén)十分重要，因?yàn)榭刂埔咔榈淖詈脮r(shí)間是在疫情爆發(fā)之前。早期模型的不足之處首先模型并未給出擬合程度的參數(shù)，而當(dāng)我們?cè)噲D通過(guò)計(jì)算得到該模型的擬合程度參數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)無(wú)法進(jìn)行.原因是原模型求解過(guò)程的中間階段參數(shù)K多次手工調(diào)整，而且模型中并未給出調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)理論，所以我們很難重復(fù)該求解過(guò)程.由此我們得出結(jié)論：該模型的參數(shù)取值主觀性太強(qiáng)，此作法給閱讀者運(yùn)用并改進(jìn)模型帶來(lái)了極大的困難，所以此模型的普適性較差。在數(shù)據(jù)不足的情況下因無(wú)法進(jìn)行手工調(diào)整，所以該模型用香港后期擬合的K值去預(yù)測(cè)北京后期疫情的發(fā)展趨勢(shì).但如問(wèn)題分析所述，地域因素會(huì)造成不同地區(qū)的K值不同(如人口密度和人口流動(dòng)大的城市若爆發(fā)傳染病，初期的K值會(huì)比人口密度和人口流動(dòng)小的城市大，等等)，而很難找到地域因素幾乎相同的兩城市.所以此作法可能導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果相差較大。圖1為用此方法預(yù)測(cè)的北京后期疫情情況與實(shí)際情況的對(duì)比圖從圖中可以看出，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值偏差越來(lái)越大。對(duì)該模型的評(píng)價(jià)：該模型具有較好的實(shí)際意義，能比較合理的反映非典的傳播情況和發(fā)展趨勢(shì)，模型中的參數(shù)設(shè)置也較科學(xué)，能較好地反映非典傳播的影響因素；但模型的求解過(guò)程主觀性太強(qiáng)，很難重現(xiàn)，而且參數(shù)的取值也很主觀，沒(méi)有取值的標(biāo)準(zhǔn)和理論.綜上所述，我們得到結(jié)論：該模型較合理，但不實(shí)用.SARS傳播模型的建立模型的建立與參數(shù)討論：假設(shè)N(t)為隨時(shí)間變化的累積SARS病人總數(shù)；K(t)為某一天平均每病人傳染他人的人數(shù)(/天)，是時(shí)間的函數(shù);L為平均每個(gè)病人可傳染他人的傳染期限(天)；則^^為單位時(shí)間(天)dt內(nèi)增加的發(fā)病的人數(shù)，N(t)-N(t-L)表示第t天時(shí)具有傳染能力的人數(shù)，K(t)X(N(t)—N(t-L))就表示t天時(shí)增加的被感染的人數(shù)。由上分析得到N(t)的微分方程如下：(dNN(^=K(t)-(N(t)-N(t-L))(1)dt同時(shí)，隨著時(shí)間的變化，由于外界因素的改變，人均日傳染數(shù)K(t)也會(huì)變化：在疫情初發(fā)期，由于人們對(duì)SARS并沒(méi)有什么認(rèn)識(shí)，更不知道其嚴(yán)重性，所以即使有患病者，該患病者的活動(dòng)范圍也比較大，可能傳染的人數(shù)也比較多，故人均日傳染數(shù)K(t)就比較大并且在一定時(shí)間內(nèi)保持基本穩(wěn)定；當(dāng)患者越來(lái)越多，疫情越來(lái)越嚴(yán)重時(shí)，SARS就會(huì)受到社會(huì)的普遍關(guān)注，政府部門(mén)也會(huì)立即采取強(qiáng)制控制手段來(lái)限制疫情的發(fā)展，民眾自我防范意識(shí)在媒體宣傳等作用下加強(qiáng)，患(完整word版)傳染病傳播模型病和疑似患病者活動(dòng)范圍受到嚴(yán)格控制，從而人均日傳染數(shù)K(t)開(kāi)始快速下降；當(dāng)人均日傳染數(shù)K(t)下降到一個(gè)較小值之后，由于傳染的可能性仍存在，政府部門(mén)的控制能力也有一定限度，K(t)的下降速度明顯變緩；最后隨著累積病例數(shù)的穩(wěn)定，K(t)緩慢降至0。通過(guò)以上分析，可以得到如下的類(lèi)Logstic微分方程：^^=-r-K(M-K)，r>0(2)dt其中M為K的一個(gè)上界，r為衰減系數(shù)，它表示K的變化率與K(M-K)成反比，一方面，K的變化率與K本身的大小有關(guān)：當(dāng)K值很大時(shí)，疫情較嚴(yán)重，無(wú)論政府干預(yù)行為還是民眾自我保護(hù)行為都很強(qiáng)，所以K下降很快；當(dāng)K很小時(shí)，情況相反。另一方面，K的變化率與(M-K)大小有關(guān)：當(dāng)(M-K)很小時(shí)，K的下降“空間”很大，對(duì)政府干預(yù)和民眾保護(hù)行為很“敏感"，下降的很快；當(dāng)(M—K)很大時(shí),K的下降“空間”很小，這時(shí)情況相反.圖2就反映了我們上面分析的K的變化趨勢(shì)：0.160.14--0.120.10.080.06TOC\o"1-5"\h\z--0.04■■0.02E11~~IC1020406080100120140160圖2人均日傳染數(shù)K隨時(shí)間(3月1號(hào)起)的變化圖參數(shù)L可理解為平均每個(gè)病人可以造成直接傳染的期限，在此期限后他失去傳染作用，可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染或死去等等。與題目附件一中的討論一樣，我們認(rèn)為L(zhǎng)與醫(yī)療機(jī)構(gòu)有關(guān)，取L=20這個(gè)具有一定統(tǒng)計(jì)意義的值.綜上，我們得到了SARS傳染的微分方程模型如下：^^=K(t)-(N(t)-N(t-L))<d，te(1,+^)且teZ，L=20―=-r-K(M-K)[dt(其中“t=1”指出現(xiàn)第一例病人的時(shí)間。)模型的求解：A.模型推導(dǎo)求解方程(2),得到人均日傳染數(shù)K(t)的函數(shù)關(guān)系式如下：K=,其中te(1,+8)且teZ1—c,eM-r-t其中M為K的一個(gè)上界，衰減系數(shù)r〉0,并且由前面的討論，知當(dāng)tr+8時(shí)應(yīng)有K-0，故應(yīng)有參數(shù)c<0;則t=1時(shí)K—M(K<M)，即M反映了K的初值情況，它與K的初值接近。可見(jiàn)，只要我們根據(jù)一些已知數(shù)據(jù)求出K(t)的函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)M，c,r的值,再求出K(t)的表達(dá)式，然后把3代入N(t)的方程，就可以求出N(t)的值。求解方法如下：用差分方程替代微分方程求N(t)：由(1)式知，相應(yīng)的差分方程為N(t+1)-N(t)=K(t)-(N(t)-N(t-L))若我們已求出K的函數(shù)式并把它代入差分方程，在t<L(L=20)的階段，N(t—L)=0,得到N(t)=N-(1+K)t;在t>L的階段，由遞推式N(t+1)=K(t)-(N(t)-N(t-L))+N(t)。由此我們可求得每天的累積病例數(shù)。2)參數(shù)M,c,r的確定：下面我們要求出K具體的函數(shù)表達(dá)式：由上面K的函數(shù)式可知，M,c,r的同時(shí)確定比較困難，可以作如下處理[1]:先給出一個(gè)M的粗糙估計(jì)值：由于題中附件一論文的模型中K、L的意義與我們的模型是一致的，并且它對(duì)各城市疫情初期進(jìn)行擬合時(shí)都取得了較為滿意的效果，故它所取K的初值％具有一定的合理性；而且在初期政府沒(méi)采取措施的情況下，K變化并不大.我們可以將K作為上界0????0M的一個(gè)初步估計(jì)值；然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)擬合出c,r的值：在M已定的情況下，K(t)變?yōu)槿缦滦问剑篗-K由一c-eM-r-t=K推出lnM-K=M-r-1+ln(-c)=a-1+bK假設(shè)已知對(duì)應(yīng)于連續(xù)天數(shù)(t,t,…,t)的口個(gè)K的數(shù)據(jù)(K,K,…，K),可計(jì)算出相應(yīng)n12n12n個(gè)lnM-K(K/0)的值，我們通過(guò)線性回歸來(lái)擬合lnM-K=a-1+b，采用最小二乘法計(jì)算出KKa,b的值，則c,r可由c=-eb,r=a求得；M其中由上面的差分方程，我們可根據(jù)已知的連續(xù)m天的實(shí)際累積病例的數(shù)據(jù)，通過(guò)下式求連續(xù)的n個(gè)K值(K1,%,…，％):N(t+1)―N(t)K(t)—N(t)—N(t-L)可見(jiàn)要確定c,r至少需要n=2個(gè)K值，故m不小于(L+n+1)即23,這就是說(shuō)我們至少需要知道連續(xù)23天的實(shí)際累積病例的數(shù)據(jù)；把上面求得的M,c,r代入K的表達(dá)式，從而求出的K具體的表達(dá)式;將它代入N(t)的差分方程，由步驟1)可求得與已知連續(xù)m天的數(shù)據(jù)相應(yīng)的擬合累積病例值，求出這些擬合的值分別與對(duì)應(yīng)的實(shí)際值的差的平方和D；在(K,K)區(qū)間內(nèi)(％可取一較大的值)改變M的值，重復(fù)上面b,c的操作，找出差值平方和D的最0小者對(duì)應(yīng)的M,c；r的值作為擬合式采用的參數(shù)值。這樣,確定出M,c,r的值從而求出K的具體表達(dá)式后，我們按步驟1)就可求出從t=1開(kāi)始的累積病例數(shù)N(t)的所有值。B.計(jì)算結(jié)果(對(duì)北京的擬合與預(yù)測(cè))：原早期模型中K的初值0。13913,所以取M的粗糙估計(jì)值M=0。13913；我們代入已知的4月20號(hào)(t=51)開(kāi)始到5月19號(hào)的30個(gè)數(shù)據(jù)(m=30)，先計(jì)算出K的相應(yīng)9個(gè)值K(71)?K(79)(由上知K值個(gè)數(shù)n=m—L-1=9,K值從(t+L)天開(kāi)始算起)；按A中所述方法，求得M=0.1401,c=-4.2589x10-7,r=1.6193，從而得到K(t)的函數(shù)式：

K=1—c,eM-r0.1401,1+4.2589x10-7Xe0.1401x1.6193xf其中t￡（1,+8）且tGZ把K（t）的函數(shù)式代入N（t）的式子，由K=1—c,eM-r0.1401,1+4.2589x10-7Xe0.1401x1.6193xfa.計(jì)算累積病例數(shù)N（t）與實(shí)際所給數(shù)據(jù)近似程度比較好（相差最大是在后部，在100左右），并且最終穩(wěn)定于2420（人）左右，比實(shí)際數(shù)據(jù)低了100人；在只利用5月19號(hào)以前的數(shù)據(jù)情況下，預(yù)測(cè)5月15號(hào)以后日增病例數(shù)會(huì)降到10以下，5月末時(shí)日增病例數(shù)基本為0,這也與實(shí)際數(shù)據(jù)相符；圖3為計(jì)算累積病例數(shù)N（t）與實(shí)際所給數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化圖：（其中“O"表示擬合與預(yù)測(cè)曲線，“*”表示實(shí)際數(shù)據(jù)，擬合的數(shù)據(jù)從3月1號(hào)起到6月23號(hào)，實(shí)際數(shù)據(jù)也到6月23號(hào)為止）圖3從3月1號(hào)開(kāi)始的計(jì)算累積病例數(shù)隨時(shí)間變化圖（第1天為3月1號(hào)）b.從圖4中病例數(shù)日增量隨時(shí)間的變化可見(jiàn)，在4月15日左右為疫情的爆發(fā)點(diǎn)，在此之前，病例數(shù)增長(zhǎng)緩慢，在此以后的相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，病例數(shù)增長(zhǎng)很快。擬合顯示在4月30號(hào)左右為疫情的高峰期，這也與實(shí)際數(shù)據(jù)相符。圖4擬合數(shù)據(jù)的日增量（人）隨時(shí)間變化圖（3月1號(hào)起）4）我們還可以盡可能減小利用的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)至理論上的23個(gè)，但由于實(shí)際上的累積病例數(shù)存在隨機(jī)誤差，用于計(jì)算參數(shù)M,c,r的K值也會(huì)有隨機(jī)波動(dòng)；經(jīng)試驗(yàn)，最少要利用25個(gè)數(shù)據(jù)（從4月20日起到5月14號(hào)）就可以對(duì)發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行計(jì)算與預(yù)測(cè)，此時(shí)與實(shí)際所給數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果比上面擬合得差，但仍能較好地反映數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)，仍不失為可行的擬合與預(yù)測(cè)。模型的分析與參數(shù)K的討論:1）.人均日傳染數(shù)K值的分析：K值在疫情初期變化緩慢，說(shuō)明民眾意識(shí)不強(qiáng)，政府也沒(méi)有足夠重視；在疫情爆發(fā)階段開(kāi)始后，K值迅速減小，體現(xiàn)了政府采取強(qiáng)有力的措施來(lái)抑制病情的發(fā)展，民眾自身防范意識(shí)的加強(qiáng)等方面，所以雖然在爆發(fā)后的20多天內(nèi)病例數(shù)增長(zhǎng)很快，但由于K值的迅速減小，使得病情在爆發(fā)后的1個(gè)多月后得到有效抑制，病例數(shù)增長(zhǎng)明顯變慢，最后K值降至0,在5月25號(hào)以后累積病例數(shù)基本穩(wěn)定到2420人左右.K值實(shí)際減小的快慢和它的取值情況，說(shuō)明了政府的控制力度和民眾的防范力度，這也涉及到社會(huì)經(jīng)濟(jì)部門(mén)和公共事業(yè)的實(shí)際發(fā)展情況，K越小，由于社會(huì)中（包括醫(yī)院）的經(jīng)營(yíng)和流動(dòng)始終存在，要想再繼續(xù)減小K的值就越難。當(dāng)K減小到一定程度后，此后的K值在實(shí)際處理上可以取一個(gè)比較小的定值代入模型進(jìn)行計(jì)算。2）.對(duì)爆發(fā)早期采取嚴(yán)格控制的討論由實(shí)際數(shù)據(jù)知，在疫情爆發(fā)階段，每隔5天就會(huì)增加500個(gè)以上的病例，這個(gè)數(shù)目是很大的，衛(wèi)生部門(mén)應(yīng)盡可能早地采取控制措施.對(duì)于我們的模型，我們認(rèn)為提前5天采取嚴(yán)格的隔離措施主要反映在迅速減小人均日傳染數(shù)K值上，所以對(duì)采取控制措施早晚的討論體現(xiàn)在對(duì)K的變化快慢的調(diào)整上。下表顯示的是我們調(diào)整K的變化速度，從而大值估計(jì)出每提前或延后5天所帶來(lái)的不同結(jié)果：開(kāi)始采取嚴(yán)格措施的時(shí)間4月15號(hào)4月20號(hào)4月25號(hào)4月30號(hào)從疫情爆發(fā)到基本穩(wěn)定所花時(shí)間估計(jì)20多天40多天60天以上更多最終累積病例數(shù)估計(jì)170024203000以上更多上表中，在4月30號(hào)以后才采取嚴(yán)格措施時(shí)，較好的情況是累積病例數(shù)最后穩(wěn)定于一個(gè)可觀數(shù)目；較差的情況是累積病例數(shù)持續(xù)上升，后果可以說(shuō)不堪設(shè)想；圖5顯示了在4月25號(hào)后采取加強(qiáng)措施后，在較好情況下的累積病例數(shù)隨時(shí)間變化情況:“O”表示擬合與模擬曲線，"*"表示實(shí)際數(shù)據(jù)，時(shí)間從3月1號(hào)起）圖5在4月25號(hào)開(kāi)始嚴(yán)格控制后累積病例數(shù)隨時(shí)間變化圖由此可見(jiàn)：在疫情爆發(fā)初期階段，每延遲5天采取嚴(yán)格隔離的措施，最后累積病例數(shù)目在控制好的情（完整word版）傳染病傳播模型況下只會(huì)增加700左右，并且處于能夠控制的范圍；但在控制差的情況下，疫情將大面積蔓延，可能造成難以挽回的損失。所以在疫情爆發(fā)初期，政府應(yīng)盡可能地提前采取措施來(lái)嚴(yán)格控制疫情的傳播，從而大大減小疫情傳播范圍，這對(duì)控制疫情的傳播有著至關(guān)重要的影響。3）.對(duì)疫情爆發(fā)中后期控制情況的討論：在疫情爆發(fā)的中后期，當(dāng)人均日傳染數(shù)K減小到一定程度時(shí)，若政府和衛(wèi)生部門(mén)的工作稍有放松，或就讓K一直保持某一穩(wěn)定的水平，則由于累積病例基數(shù)大，疫情仍有可能繼續(xù)快速發(fā)展，病例日增速度仍然不會(huì)慢，下面給出在某一天以后，K值保持一定的情況下，累積病例數(shù)發(fā)展?fàn)顩r的大致估計(jì)：中期估計(jì)：若5月5號(hào)后的K值保持在5月5號(hào)時(shí)的0。06左右，此后的日增病例數(shù)將曲折上升（大于原日增病例峰值120），累積病例數(shù)也會(huì)不斷上升并超過(guò)7000；后期估計(jì)：若5月10號(hào)后的K值保持在5月10號(hào)時(shí)的0.03左右，此后日增病例會(huì)由最大值持續(xù)緩慢減小至0,在7月前后，最終累積病例數(shù)會(huì)達(dá)到3500左右；圖6顯示了在5月10號(hào)以后K值保持0。03時(shí)累積病例數(shù)隨時(shí)間變化情況：（“O”表示擬合與預(yù)測(cè)曲線，“*”表示實(shí)際數(shù)據(jù)）4000350030002500200015001000500圖65月10號(hào)以后K值不變時(shí)累積病例數(shù)隨時(shí)間變化情況以上數(shù)據(jù)表明：在爆發(fā)階段的中期，如果衛(wèi)生部門(mén)的控制稍有放松，或就讓K一直保持當(dāng)前控制的水平，最后累積病例數(shù)可能大大超過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)，疫情將會(huì)發(fā)展得不可收拾；所以這個(gè)時(shí)期段衛(wèi)生部門(mén)尤其要抓緊工作，嚴(yán)格隔離，繼續(xù)努力讓人均日傳染數(shù)K值盡可能減小，最后才不會(huì)造成很大的損失；在爆發(fā)階段的后期，如果衛(wèi)生部門(mén)讓K一直保持當(dāng)前控制的水平，則最后累積病例數(shù)有可能超過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)，但已經(jīng)比上面的結(jié)果好得多；這個(gè)時(shí)候，衛(wèi)生部門(mén)要繼續(xù)讓人均日傳染數(shù)K值減小至0已經(jīng)比較困難，只有盡可能地嚴(yán)格控制，讓最后累積病例數(shù)盡可能比我們上面估計(jì)的3500低。4）.對(duì)疫情平穩(wěn)階段復(fù)發(fā)可能性的討論：當(dāng)疫情基本穩(wěn)定，累計(jì)病例數(shù)基本不再上升時(shí),如果放松警惕，人均日傳染數(shù)K值就又會(huì)恢復(fù)到疫情爆發(fā)階段的值，這時(shí)只要再出現(xiàn)一例病例，疫情就將再度爆發(fā)，后果將十分嚴(yán)重；這說(shuō)明在疫情已經(jīng)得到有效抑制后，政府部門(mén)一定不能放松警惕，仍然要做好疫情傳染的預(yù)防與隔離工作，從而在新病例出現(xiàn)時(shí)，人均日傳染數(shù)K將仍在控制之內(nèi)，疫情就不會(huì)再度爆發(fā)。（完整word版）傳染病傳播模型圖7是模擬當(dāng)疫情基本穩(wěn)定，社會(huì)警惕程度恢復(fù)到疫情出現(xiàn)以前時(shí)，在7月20號(hào)以后又出現(xiàn)一例病例后的極端情況?！癘”表示擬和與模擬曲線，“大''表示實(shí)際數(shù)據(jù)）5）.實(shí)際累積病例數(shù)據(jù)的分析：我們根據(jù)中期一部分實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際累積病例數(shù)據(jù)與我們預(yù)測(cè)基本相符，說(shuō)明實(shí)際上K值由大變小的速度的確很快，疫情傳染得到了很有效的控制，表明政府部門(mén)在疫情爆發(fā)階段采取的控制工作做得很好，民眾自身防范工作也做得很到位，從而北京在較短時(shí)期內(nèi)有效地控制了非典的傳播。通過(guò)北京與香港的數(shù)據(jù)相比較可知，北京的控制工作的確比香港做得還要好.圖7累積病例數(shù)（人）隨時(shí)間的增長(zhǎng)情況（3月1號(hào)起）模型的評(píng)價(jià)：1）我們建立的模型實(shí)際上是對(duì)原早期模型的發(fā)展與改進(jìn)，主要改進(jìn)體現(xiàn)在對(duì)人均日傳染率K的函數(shù)化上面，我們考慮了政府和民眾等影響因素，合理地描述了K的變化，從而得到比較好的擬合與預(yù)測(cè)曲線：由此可見(jiàn)，我們的模型是優(yōu)于原早期模型的；2）對(duì)于參數(shù)L,我們借鑒了原早期模型中L的取值情況，這是因?yàn)橛绊懰囊蛩乇容^復(fù)雜，并且L也與當(dāng)前醫(yī)療水平有關(guān)，是一個(gè)具有統(tǒng)計(jì)意義的參數(shù)，我們不便隨意改變它的值；在模型中參數(shù)L直接影響了我們用于確定K時(shí)所用數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)然L比較小時(shí)所用數(shù)據(jù)越少；3）此模型具有一定的普適性，但由于所提供的數(shù)據(jù)限制，我們只能取疫情爆發(fā)后到接近穩(wěn)定的30來(lái)個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)；如果我們有前面早期的數(shù)據(jù)，我們也可以根據(jù)它們來(lái)計(jì)算得到結(jié)果。5.總結(jié)：從上面的分析我們認(rèn)識(shí)到，建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型非常重要。現(xiàn)總結(jié)出建立此類(lèi)模型的步驟：1）.收集完整而準(zhǔn)確的前期數(shù)據(jù).2）.全面分析影響疫情的各種因素，找出各因素之間的關(guān)系以及作用的時(shí)間段和范圍，得出哪些是重要因素，哪些是次要因素。3）.用曲線擬合前期數(shù)據(jù)，觀察其大致走勢(shì)（突增，拐點(diǎn)等）并分析其原因。4）.分析擬合函數(shù)的參數(shù)值，討論其是否有實(shí)際的意義（如反映疫情的嚴(yán)重程度，爆發(fā)點(diǎn)的時(shí)刻等）.通過(guò)4分析所得的結(jié)論，賦予擬合函數(shù)的參數(shù)實(shí)際的意義并較正確的描述參數(shù)。.得到完整的預(yù)測(cè)函數(shù)，預(yù)測(cè)疫情中后期的走勢(shì)，分析出預(yù)防和控制所需的重要數(shù)據(jù)(如爆發(fā)點(diǎn)，疫情高峰時(shí)刻，疫情控制時(shí)刻，是否可能復(fù)發(fā)等).進(jìn)行參數(shù)的靈敏度分析:分析哪些參數(shù)可作較大變動(dòng)，哪些參數(shù)只能微調(diào)，進(jìn)一步分析參數(shù)變動(dòng)后對(duì)整個(gè)疫情走勢(shì)的影響。反映到實(shí)際工作中便是哪些工作必須做到家，絲毫不能放松，那些工作可適當(dāng)緩一緩。從而給政府和衛(wèi)生部門(mén)安排工作提出寶貴意見(jiàn)。.實(shí)時(shí)監(jiān)控疫情走勢(shì)，采集更多的數(shù)據(jù)以驗(yàn)證模型和改進(jìn)模型，若有預(yù)料之外的干擾因素出現(xiàn)，應(yīng)及時(shí)修正模型，重新預(yù)測(cè)其后期走勢(shì)。然而在按上述過(guò)程建立模型的過(guò)程中會(huì)遇到很多困難，總結(jié)如下：.若要及時(shí)建立疫情模型以便指導(dǎo)后期工作，前期數(shù)據(jù)萬(wàn)分重要，若前期數(shù)據(jù)不足，則模型的描述力不夠，若數(shù)據(jù)有誤，則可能導(dǎo)致模型偏差很大甚至完全錯(cuò)誤，這樣便會(huì)誤導(dǎo)后期的工作安排，后果不堪設(shè)想。.影響疫情發(fā)展的因素眾多，隨時(shí)可能有意想不到的因素(人為因素和自然因素)出現(xiàn)，造成模型偏差。人為因素如故意謊報(bào)或不報(bào)病情等；自然因素如傳染病毒變異等。.有些因素很難量化，如政府干預(yù)行為對(duì)疫情的影響。SARS對(duì)旅游業(yè)的影響由于SARS疫情的爆發(fā)，導(dǎo)致期間北京市接待海外旅游人數(shù)銳減，造成了極大的經(jīng)濟(jì)損失。現(xiàn)建立模型估計(jì)此經(jīng)濟(jì)損失.建模思想本文首先通過(guò)對(duì)北京市1997?2002年各月接待海外旅游人數(shù)的分析建立起時(shí)間序列模型，“預(yù)測(cè)"出2003年3?8月本應(yīng)接待的人數(shù)，然后用3~8月本應(yīng)接待的人數(shù)減去實(shí)際接待人數(shù)得到“損失人數(shù)"，最后通過(guò)分析“損失人數(shù)”大致推測(cè)出旅游業(yè)恢復(fù)時(shí)間和因疫情導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)損失。模型即經(jīng)濟(jì)損失=(本應(yīng)接待的總?cè)藬?shù)-實(shí)際接待總?cè)藬?shù))X人均旅游消費(fèi)即AM=(S-S)-pAM為經(jīng)濟(jì)損失，S為本應(yīng)接待的總?cè)藬?shù)，S為實(shí)際接待人數(shù)，p為人均消費(fèi)。(一)對(duì)本應(yīng)接待人數(shù)的分析模型的建立首先令｛X(t),t=1,2,3…｝為北京市1997年后各月接待海外旅游人數(shù)的隨機(jī)序列(例如X(1)為1997年一月接待人數(shù)的隨機(jī)變量，X(13)為1998年一月接待人數(shù)的隨機(jī)變量，以后類(lèi)推)。然后分析1997?2002接待人數(shù)樣本值的走勢(shì)，發(fā)現(xiàn)X(t)具有明顯的周期性(周期為12個(gè)月)，其數(shù)學(xué)期望也應(yīng)具有周期性，所以不能認(rèn)為該序列是平穩(wěn)時(shí)間序列。但可作如下處理，取X(t)=F(t)+W(t)其中F(t)表示X(t)中隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)期望，此問(wèn)題中可用周期函數(shù)來(lái)描述。而(完整word版)傳染病傳播模型E(W(t))=E(X(t))-E(F(t))=0且E(W(t)W(t+At))與t不相關(guān)，則W(t)可以用平穩(wěn)時(shí)間序列來(lái)擬合。而數(shù)學(xué)期望為0且具有有理譜密度的平穩(wěn)時(shí)間序列必有下三種形式:.自回歸模型AR(p)(以下記W(t)為可)W=e?W+e?W+???+??W+a(t=1,2,3…)t1t—12t—2pt—pt其中at是白噪聲，常數(shù)p為階數(shù)，常系數(shù)?為參數(shù).滑動(dòng)平均模型MA(q)'W=a—0a—0a0a(t=1,2,3…)常數(shù)q為階數(shù)，常系數(shù)0為參數(shù).混合模型ARMA(p,q)W—?-W—??W?-W=a—0a—0a0at1t—12t—2pt-pt1t—122qt-q為了確定模型的類(lèi)別和階數(shù)，首先給出自相關(guān)函數(shù)P和偏相關(guān)函數(shù)?的計(jì)算公式。P.由下式得出：*kk(其中y*=E(其中y*=E(WW*))?kk由下述方程得出_1P1???P?kk由下述方程得出_1P1???Pk—1?k1P1P1???...????P1P2?k2=2???????????????PLk—1??????P1?kkPkAR(p)MA(q)ARMA(p,q)Pk拖尾裁尾k=q處拖尾?kk裁尾k=p處拖尾拖尾如果確定了！3(t)和W(t)的解析式，就可以用其來(lái)描述X(t);模型的求解現(xiàn)有北京市1997?2002年各月接待人數(shù)的樣本值X。),(t=1,2???72)1).周期函數(shù)F(t)的確定通過(guò)對(duì)樣本值的觀察，我們發(fā)現(xiàn)樣本值具有明顯的周期性，周期大致為12(月)，且樣本值呈逐年遞增的趨勢(shì)，所以我們采用傅立葉級(jí)數(shù)與線性遞增函數(shù)和疊加作為周期函數(shù)F(t)。型如^,2n兀2n兀F(t)=L(acos(-^^t)+bsm(.t))+c?t+d=1通過(guò)曲線擬合確定系數(shù)得F(t)=—2.3?cos(竿-1)—2.7?cos(辛-1)—2.6?sin(竿-1)—3.5sin(辛-1)+0.2?t+16.7(2-1)擬合圖形如圖8(其中實(shí)線為擬合曲線，虛線為原曲線)圖8擬合樣本值的周期函數(shù)圖形3515501020304050607080302520102).平穩(wěn)時(shí)間序列來(lái)擬合W(t)平穩(wěn)時(shí)間序列樣本值W(t)=X善)-F(t),(t=1,2,.??72)首先利用樣本值求得樣本自協(xié)方差函數(shù)號(hào)-"wa+*y八=-4=1—,k=0,1,2???K(KY72),k72進(jìn)一步可得樣本自相關(guān)函數(shù)p=—^,k=0,1,2,???K(KY72)ky八0而樣本偏相關(guān)函數(shù)?可利用下面的遞推公式計(jì)算:kkSP111?八k+1,*+1Ik+1,jkj計(jì)算后畫(huà)出pk和、的曲線圖(見(jiàn)圖91—Eej=1p=p"礦k+1k+1-jkjj=1=礦項(xiàng)八.?,f=1,2,???k■-k+1,k+1k,k-(j-1)圖10)0，2468101214161820-0.4010203040506070800.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.10.100.30.2-0.2-0.3(3-1)圖9p的趨勢(shì)*圖圖10巾的趨勢(shì)圖經(jīng)觀察我們發(fā)現(xiàn)p明顯拖尾，巾裁尾于k=2，所以我們采用模型AR(2)即W=，?”]+%?W2+a八八、八八經(jīng)過(guò)計(jì)算系數(shù)寸=Pi（—P2）=-0.1787正=P2~Pi2=0.084411-P^221_#211白噪聲j的方差&=y八.（1-^-P-^-P）=7.6714，均值為0;TOC\o"1-5"\h\zt。01122通過(guò)公式（3-1）可遞推預(yù)測(cè)未來(lái)的W（t=73,74,???）例如：tw=f?w+巾-w+a，w,w為已有樣本值，a為正態(tài)隨機(jī)數(shù)（預(yù)測(cè)時(shí)不計(jì)其影響）。73172271t7172t3）.模型的結(jié)果預(yù)測(cè)公式X（t）=F（t）+W（t）,（t=73,74,75）（4T）其中F（t）由式（2—1）算出，W（t）由公式（3—1）遞推算出。通過(guò)對(duì)已有數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，得到平均預(yù)報(bào)誤差小于10%，可認(rèn)為預(yù)報(bào)結(jié)果較為準(zhǔn)確。然后預(yù)測(cè)得2003年3~8月接待量（假設(shè)3月前旅游業(yè)未受影響）為27。1,30。2,30.4,29。3,29。7,32。4（單位：萬(wàn)人）同時(shí)，我們觀察每年同一個(gè)月的情況，發(fā)現(xiàn)相同月份的值有一個(gè)逐漸增大的趨勢(shì)。所以我們對(duì)3到8月的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行了線性擬合，得到2003年3到8月的游客接待量分別為23.6,30.5,32。2,30。5,27.3,33。6（單位：萬(wàn)人），發(fā)現(xiàn)兩種方法預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)相差不大，最大相差為3。5（萬(wàn)人），平均相差1。7（萬(wàn)人）（取絕對(duì)值的均值），證明預(yù)測(cè)結(jié)果很好。（二）對(duì)實(shí)際接待人數(shù)的分析用“預(yù)測(cè)”所得的3?8月應(yīng)接待人數(shù)減去實(shí)際接待人數(shù)，就得這6各月的“損失人數(shù)”，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，“損失人數(shù)”的走勢(shì)與傳播模型中病例日增量的走勢(shì)基本相同，但有大約有一個(gè)月的延遲。即病例日增量在大約5月初達(dá)到峰值，而“損失人數(shù)"在6月才達(dá)到峰值.這是因?yàn)镾ARS對(duì)其它行業(yè)的影響必有一定的滯后性.觀察3?8月“損失人數(shù)"的散點(diǎn)圖和病例日增量圖，我們認(rèn)為用二次曲線擬合“損失人數(shù)''較