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文檔簡介

摘要本文討論了SARS疫情的傳播規(guī)律和對經(jīng)濟(jì)方面的影響。首先本文對題中的早期模型進(jìn)行了評價,認(rèn)為其最大的優(yōu)點是:能較好的描述疫情早期的發(fā)展情況,并在理論上可大致預(yù)測出疫情的爆發(fā)點以便衛(wèi)生部門及早控制;最大的不足是:原模型在求解過程中參數(shù)K經(jīng)過多次手工調(diào)整,而且L取為一個定值,此做法主觀性太強(qiáng),缺乏普適性.針對上述模型的不足,本文在原模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn),在非典傳播的全過程中將K表示成一個函數(shù)(用Logistic函數(shù)表示),根據(jù)北京4月20日以后25個以上的數(shù)據(jù)對K進(jìn)行擬合(用30個數(shù)據(jù)擬合效果較好),確定K的函數(shù)關(guān)系式,從而得到對整個過程累計病例數(shù)和日增病例變化的擬合曲線,發(fā)現(xiàn)它與實際情況符合得較好,而且可以再現(xiàn)非典傳播的全過程。同時,還對K的取值進(jìn)行了分析.經(jīng)計算知,在相同的控制力度下,衛(wèi)生部門如果提前5天采取措施,累計病例將控制在2000人以下;如果再延后5天,累計病歷將至少達(dá)到3000多人,甚至可能超過4000人。最后,分析了建立一個真正能預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型的最大困難是:因為缺乏前期數(shù)據(jù),而不能在比較早的時候得到預(yù)測結(jié)果。本文還通過對北京市1997?2002年各月接待的海外旅游人數(shù)的分析并建立了時間序列模型,“預(yù)測"出2003年疫情期間本應(yīng)接待的人數(shù),對比實際接待人數(shù),計算出在非典期間少接待的游客人數(shù)約為115萬人,經(jīng)濟(jì)損失約1。2億美元,約占正常情況下全年收入的33%。最后我們給當(dāng)?shù)貓罂瘜懥艘黄涛?,說明了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。SARS傳播模型問題重述SARS是21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響,我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓(xùn),認(rèn)識到定量的研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。所以本文首先評價了一個已有的早期模型的合理性和實用性,然后在此基礎(chǔ)上建立了一個更優(yōu)的模型并給出了分析,最后建立了SARS對經(jīng)濟(jì)某個方面影響的模型。二。問題分析(一)通過對早期模型和實際情況的分析,我們認(rèn)為影響SARS傳播因素眾多,大致可分為時域因素和地域因素。列舉如下:(1)時域因素a-媒體宣傳:初期疫情較輕,媒體宣傳強(qiáng)度很弱,導(dǎo)致民眾的自我保護(hù)意識不足,容易感染;后期疫情較重,媒體宣傳強(qiáng)度很大,民眾的自我保護(hù)意識大大加強(qiáng).上政府干預(yù):初期疫情較輕,政府介入不足后期疫情較重,政府加強(qiáng)干預(yù)(如:強(qiáng)行隔離,公共場所消毒等行為)Oc.認(rèn)識程度:當(dāng)一種新的傳染病出現(xiàn)時,初期由于人們的認(rèn)識程度不足,無法采取有效的預(yù)防和治療措施,但隨著研究的深入,認(rèn)識程度會越來越高。(2)地域因素經(jīng)濟(jì)水平和醫(yī)學(xué)水平:經(jīng)濟(jì)水平和醫(yī)學(xué)水平高的地區(qū)的疫情控制情況會明顯比水平低的地方好.人口密度和人口流動:人口密度和人口流動大的城市若爆發(fā)傳染病,疫情程度會比人口密度和人口流動小的城市大。氣候:SARS適合在春秋兩季傳播,且各城市的氣候會疫情程度。(二)我們認(rèn)為在SARS疫情期間考察的人群大致可分為三類:健康人群,感染人群,治愈人群。而感染人群又可分為非傳染源和傳染源兩類。(三)一個較好的傳染病傳播模型因該具有如下功能:a-能較好的描述疫情的大致走勢。上能較精確的給出關(guān)鍵時間(初期爆發(fā)時刻;中期穩(wěn)定時刻;高峰期;0病例增長的時刻),以便政府和衛(wèi)生部門針對不同作出及時而正確的措施。(完整word版)傳染病傳播模型6能給出描述疫情的指標(biāo),以便政府和衛(wèi)生部門決定其各項工作的力度?;炯僭O(shè)題中所給的數(shù)據(jù)真實可信.假定疫情爆發(fā)后政府一定會采取措施。假定北京市醫(yī)院及醫(yī)務(wù)人員足夠多。變量說明N(t)累計病例數(shù)K平均每病人每天可傳染人數(shù)L平均每個病人可以直接感染他人的天數(shù)早期模型評價(一)早期模型重述假定初始時刻的病例數(shù)為N0平均每病人每天可傳染K個人,平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天。則在L天之內(nèi),累計病例數(shù)N(t)隨時間t(單位天)的關(guān)系是:N(t)=N(1+K)t(1-1)0如果不考慮傳染期的限制,病例數(shù)將按指數(shù)規(guī)律增長,考慮傳染期的限制后,則采用半模擬循環(huán)計算的辦法,把達(dá)到L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉.然后假定從開始至高峰期間均采用同樣的K值(從擬合這一階段的數(shù)據(jù)得出),到達(dá)高峰期后,在10天的范圍內(nèi)逐步調(diào)整K值到比較小,然后保持不變,擬合其后在控制階段的全部數(shù)據(jù)(認(rèn)為社會在短期劇烈調(diào)整后,進(jìn)入對疫情控制較好的常態(tài))。(二)早期模型的合理性和實用性的評價早期模型的優(yōu)點模型(1一1)實際上是微分方程竺=K-(N(t)-N(t-L))在(0~L)區(qū)間內(nèi)的特解[1].其dt中N(t)表示t時刻的累計病例數(shù),則(N(t)—N(t—L))表示傳染源數(shù)量,為病例總數(shù)減去失去傳染能力的病例數(shù).參數(shù)K和L是描述SARS傳播的兩個重要參數(shù),并且具有實際的意義:L可理解為平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成造成直接傳染的期限,在此期限后失去傳染作用,可能原因是被隔離、病愈或死去等等。K表示某種社會條件下平均每病人每天傳播的人數(shù)(但并非文中所述的一個病人的感染他人的平均概率)。通過對模型的分析,可得到一預(yù)測疫情發(fā)展的參數(shù)R=KXL,R表示平均每個病人在其傳染期內(nèi)感染的總?cè)藬?shù).若R>1,說明社會上現(xiàn)存?zhèn)魅驹慈藬?shù)在上升,疫情將因失控而爆發(fā);若RV1,說明社會上現(xiàn)存?zhèn)魅驹慈藬?shù)在下降,疫情將得到控制;若R=1,說明社會上現(xiàn)存?zhèn)魅驹慈藬?shù)不變,疫情將持續(xù)下去[2]。從擬合的圖形來看,此模型對各城市早期的SARS疫情描述的較好,具有一定的通用性。其實際意義就是此模型可大致預(yù)測出疫情的爆發(fā)點和發(fā)展趨勢。因為通過對早期數(shù)據(jù)的擬合確定參數(shù),得出形如(1-1)的一個指數(shù)形式的模型,而指數(shù)函數(shù)的曲線初期增長較慢,后期增長急速,必可大致找到一個“轉(zhuǎn)折點",而“轉(zhuǎn)折點”所對應(yīng)的時間便是預(yù)測的疫情爆發(fā)點。這一數(shù)據(jù)對于衛(wèi)生部門十分重要,因為控制疫情的最好時間是在疫情爆發(fā)之前。早期模型的不足之處首先模型并未給出擬合程度的參數(shù),而當(dāng)我們試圖通過計算得到該模型的擬合程度參數(shù)時發(fā)現(xiàn)無法進(jìn)行.原因是原模型求解過程的中間階段參數(shù)K多次手工調(diào)整,而且模型中并未給出調(diào)整的標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)理論,所以我們很難重復(fù)該求解過程.由此我們得出結(jié)論:該模型的參數(shù)取值主觀性太強(qiáng),此作法給閱讀者運(yùn)用并改進(jìn)模型帶來了極大的困難,所以此模型的普適性較差。在數(shù)據(jù)不足的情況下因無法進(jìn)行手工調(diào)整,所以該模型用香港后期擬合的K值去預(yù)測北京后期疫情的發(fā)展趨勢.但如問題分析所述,地域因素會造成不同地區(qū)的K值不同(如人口密度和人口流動大的城市若爆發(fā)傳染病,初期的K值會比人口密度和人口流動小的城市大,等等),而很難找到地域因素幾乎相同的兩城市.所以此作法可能導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果相差較大。圖1為用此方法預(yù)測的北京后期疫情情況與實際情況的對比圖從圖中可以看出,預(yù)測值與真實值偏差越來越大。對該模型的評價:該模型具有較好的實際意義,能比較合理的反映非典的傳播情況和發(fā)展趨勢,模型中的參數(shù)設(shè)置也較科學(xué),能較好地反映非典傳播的影響因素;但模型的求解過程主觀性太強(qiáng),很難重現(xiàn),而且參數(shù)的取值也很主觀,沒有取值的標(biāo)準(zhǔn)和理論.綜上所述,我們得到結(jié)論:該模型較合理,但不實用.SARS傳播模型的建立模型的建立與參數(shù)討論:假設(shè)N(t)為隨時間變化的累積SARS病人總數(shù);K(t)為某一天平均每病人傳染他人的人數(shù)(/天),是時間的函數(shù);L為平均每個病人可傳染他人的傳染期限(天);則^^為單位時間(天)dt內(nèi)增加的發(fā)病的人數(shù),N(t)-N(t-L)表示第t天時具有傳染能力的人數(shù),K(t)X(N(t)—N(t-L))就表示t天時增加的被感染的人數(shù)。由上分析得到N(t)的微分方程如下:(dNN(^=K(t)-(N(t)-N(t-L))(1)dt同時,隨著時間的變化,由于外界因素的改變,人均日傳染數(shù)K(t)也會變化:在疫情初發(fā)期,由于人們對SARS并沒有什么認(rèn)識,更不知道其嚴(yán)重性,所以即使有患病者,該患病者的活動范圍也比較大,可能傳染的人數(shù)也比較多,故人均日傳染數(shù)K(t)就比較大并且在一定時間內(nèi)保持基本穩(wěn)定;當(dāng)患者越來越多,疫情越來越嚴(yán)重時,SARS就會受到社會的普遍關(guān)注,政府部門也會立即采取強(qiáng)制控制手段來限制疫情的發(fā)展,民眾自我防范意識在媒體宣傳等作用下加強(qiáng),患(完整word版)傳染病傳播模型病和疑似患病者活動范圍受到嚴(yán)格控制,從而人均日傳染數(shù)K(t)開始快速下降;當(dāng)人均日傳染數(shù)K(t)下降到一個較小值之后,由于傳染的可能性仍存在,政府部門的控制能力也有一定限度,K(t)的下降速度明顯變緩;最后隨著累積病例數(shù)的穩(wěn)定,K(t)緩慢降至0。通過以上分析,可以得到如下的類Logstic微分方程:^^=-r-K(M-K),r>0(2)dt其中M為K的一個上界,r為衰減系數(shù),它表示K的變化率與K(M-K)成反比,一方面,K的變化率與K本身的大小有關(guān):當(dāng)K值很大時,疫情較嚴(yán)重,無論政府干預(yù)行為還是民眾自我保護(hù)行為都很強(qiáng),所以K下降很快;當(dāng)K很小時,情況相反。另一方面,K的變化率與(M-K)大小有關(guān):當(dāng)(M-K)很小時,K的下降“空間”很大,對政府干預(yù)和民眾保護(hù)行為很“敏感",下降的很快;當(dāng)(M—K)很大時,K的下降“空間”很小,這時情況相反.圖2就反映了我們上面分析的K的變化趨勢:0.160.14--0.120.10.080.06TOC\o"1-5"\h\z--0.04■■0.02E11~~IC1020406080100120140160圖2人均日傳染數(shù)K隨時間(3月1號起)的變化圖參數(shù)L可理解為平均每個病人可以造成直接傳染的期限,在此期限后他失去傳染作用,可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染或死去等等。與題目附件一中的討論一樣,我們認(rèn)為L與醫(yī)療機(jī)構(gòu)有關(guān),取L=20這個具有一定統(tǒng)計意義的值.綜上,我們得到了SARS傳染的微分方程模型如下:^^=K(t)-(N(t)-N(t-L))<d,te(1,+^)且teZ,L=20―=-r-K(M-K)[dt(其中“t=1”指出現(xiàn)第一例病人的時間。)模型的求解:A.模型推導(dǎo)求解方程(2),得到人均日傳染數(shù)K(t)的函數(shù)關(guān)系式如下:K=,其中te(1,+8)且teZ1—c,eM-r-t其中M為K的一個上界,衰減系數(shù)r〉0,并且由前面的討論,知當(dāng)tr+8時應(yīng)有K-0,故應(yīng)有參數(shù)c<0;則t=1時K—M(K<M),即M反映了K的初值情況,它與K的初值接近??梢?,只要我們根據(jù)一些已知數(shù)據(jù)求出K(t)的函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)M,c,r的值,再求出K(t)的表達(dá)式,然后把3代入N(t)的方程,就可以求出N(t)的值。求解方法如下:用差分方程替代微分方程求N(t):由(1)式知,相應(yīng)的差分方程為N(t+1)-N(t)=K(t)-(N(t)-N(t-L))若我們已求出K的函數(shù)式并把它代入差分方程,在t<L(L=20)的階段,N(t—L)=0,得到N(t)=N-(1+K)t;在t>L的階段,由遞推式N(t+1)=K(t)-(N(t)-N(t-L))+N(t)。由此我們可求得每天的累積病例數(shù)。2)參數(shù)M,c,r的確定:下面我們要求出K具體的函數(shù)表達(dá)式:由上面K的函數(shù)式可知,M,c,r的同時確定比較困難,可以作如下處理[1]:先給出一個M的粗糙估計值:由于題中附件一論文的模型中K、L的意義與我們的模型是一致的,并且它對各城市疫情初期進(jìn)行擬合時都取得了較為滿意的效果,故它所取K的初值%具有一定的合理性;而且在初期政府沒采取措施的情況下,K變化并不大.我們可以將K作為上界0????0M的一個初步估計值;然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)擬合出c,r的值:在M已定的情況下,K(t)變?yōu)槿缦滦问剑篗-K由一c-eM-r-t=K推出lnM-K=M-r-1+ln(-c)=a-1+bK假設(shè)已知對應(yīng)于連續(xù)天數(shù)(t,t,…,t)的口個K的數(shù)據(jù)(K,K,…,K),可計算出相應(yīng)n12n12n個lnM-K(K/0)的值,我們通過線性回歸來擬合lnM-K=a-1+b,采用最小二乘法計算出KKa,b的值,則c,r可由c=-eb,r=a求得;M其中由上面的差分方程,我們可根據(jù)已知的連續(xù)m天的實際累積病例的數(shù)據(jù),通過下式求連續(xù)的n個K值(K1,%,…,%):N(t+1)―N(t)K(t)—N(t)—N(t-L)可見要確定c,r至少需要n=2個K值,故m不小于(L+n+1)即23,這就是說我們至少需要知道連續(xù)23天的實際累積病例的數(shù)據(jù);把上面求得的M,c,r代入K的表達(dá)式,從而求出的K具體的表達(dá)式;將它代入N(t)的差分方程,由步驟1)可求得與已知連續(xù)m天的數(shù)據(jù)相應(yīng)的擬合累積病例值,求出這些擬合的值分別與對應(yīng)的實際值的差的平方和D;在(K,K)區(qū)間內(nèi)(%可取一較大的值)改變M的值,重復(fù)上面b,c的操作,找出差值平方和D的最0小者對應(yīng)的M,c;r的值作為擬合式采用的參數(shù)值。這樣,確定出M,c,r的值從而求出K的具體表達(dá)式后,我們按步驟1)就可求出從t=1開始的累積病例數(shù)N(t)的所有值。B.計算結(jié)果(對北京的擬合與預(yù)測):原早期模型中K的初值0。13913,所以取M的粗糙估計值M=0。13913;我們代入已知的4月20號(t=51)開始到5月19號的30個數(shù)據(jù)(m=30),先計算出K的相應(yīng)9個值K(71)?K(79)(由上知K值個數(shù)n=m—L-1=9,K值從(t+L)天開始算起);按A中所述方法,求得M=0.1401,c=-4.2589x10-7,r=1.6193,從而得到K(t)的函數(shù)式:

K=1—c,eM-r0.1401,1+4.2589x10-7Xe0.1401x1.6193xf其中t£(1,+8)且tGZ把K(t)的函數(shù)式代入N(t)的式子,由K=1—c,eM-r0.1401,1+4.2589x10-7Xe0.1401x1.6193xfa.計算累積病例數(shù)N(t)與實際所給數(shù)據(jù)近似程度比較好(相差最大是在后部,在100左右),并且最終穩(wěn)定于2420(人)左右,比實際數(shù)據(jù)低了100人;在只利用5月19號以前的數(shù)據(jù)情況下,預(yù)測5月15號以后日增病例數(shù)會降到10以下,5月末時日增病例數(shù)基本為0,這也與實際數(shù)據(jù)相符;圖3為計算累積病例數(shù)N(t)與實際所給數(shù)據(jù)隨時間的變化圖:(其中“O"表示擬合與預(yù)測曲線,“*”表示實際數(shù)據(jù),擬合的數(shù)據(jù)從3月1號起到6月23號,實際數(shù)據(jù)也到6月23號為止)圖3從3月1號開始的計算累積病例數(shù)隨時間變化圖(第1天為3月1號)b.從圖4中病例數(shù)日增量隨時間的變化可見,在4月15日左右為疫情的爆發(fā)點,在此之前,病例數(shù)增長緩慢,在此以后的相當(dāng)一段時間內(nèi),病例數(shù)增長很快。擬合顯示在4月30號左右為疫情的高峰期,這也與實際數(shù)據(jù)相符。圖4擬合數(shù)據(jù)的日增量(人)隨時間變化圖(3月1號起)4)我們還可以盡可能減小利用的數(shù)據(jù)個數(shù)至理論上的23個,但由于實際上的累積病例數(shù)存在隨機(jī)誤差,用于計算參數(shù)M,c,r的K值也會有隨機(jī)波動;經(jīng)試驗,最少要利用25個數(shù)據(jù)(從4月20日起到5月14號)就可以對發(fā)展趨勢進(jìn)行計算與預(yù)測,此時與實際所給數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果比上面擬合得差,但仍能較好地反映數(shù)據(jù)變化的趨勢,仍不失為可行的擬合與預(yù)測。模型的分析與參數(shù)K的討論:1).人均日傳染數(shù)K值的分析:K值在疫情初期變化緩慢,說明民眾意識不強(qiáng),政府也沒有足夠重視;在疫情爆發(fā)階段開始后,K值迅速減小,體現(xiàn)了政府采取強(qiáng)有力的措施來抑制病情的發(fā)展,民眾自身防范意識的加強(qiáng)等方面,所以雖然在爆發(fā)后的20多天內(nèi)病例數(shù)增長很快,但由于K值的迅速減小,使得病情在爆發(fā)后的1個多月后得到有效抑制,病例數(shù)增長明顯變慢,最后K值降至0,在5月25號以后累積病例數(shù)基本穩(wěn)定到2420人左右.K值實際減小的快慢和它的取值情況,說明了政府的控制力度和民眾的防范力度,這也涉及到社會經(jīng)濟(jì)部門和公共事業(yè)的實際發(fā)展情況,K越小,由于社會中(包括醫(yī)院)的經(jīng)營和流動始終存在,要想再繼續(xù)減小K的值就越難。當(dāng)K減小到一定程度后,此后的K值在實際處理上可以取一個比較小的定值代入模型進(jìn)行計算。2).對爆發(fā)早期采取嚴(yán)格控制的討論由實際數(shù)據(jù)知,在疫情爆發(fā)階段,每隔5天就會增加500個以上的病例,這個數(shù)目是很大的,衛(wèi)生部門應(yīng)盡可能早地采取控制措施.對于我們的模型,我們認(rèn)為提前5天采取嚴(yán)格的隔離措施主要反映在迅速減小人均日傳染數(shù)K值上,所以對采取控制措施早晚的討論體現(xiàn)在對K的變化快慢的調(diào)整上。下表顯示的是我們調(diào)整K的變化速度,從而大值估計出每提前或延后5天所帶來的不同結(jié)果:開始采取嚴(yán)格措施的時間4月15號4月20號4月25號4月30號從疫情爆發(fā)到基本穩(wěn)定所花時間估計20多天40多天60天以上更多最終累積病例數(shù)估計170024203000以上更多上表中,在4月30號以后才采取嚴(yán)格措施時,較好的情況是累積病例數(shù)最后穩(wěn)定于一個可觀數(shù)目;較差的情況是累積病例數(shù)持續(xù)上升,后果可以說不堪設(shè)想;圖5顯示了在4月25號后采取加強(qiáng)措施后,在較好情況下的累積病例數(shù)隨時間變化情況:“O”表示擬合與模擬曲線,"*"表示實際數(shù)據(jù),時間從3月1號起)圖5在4月25號開始嚴(yán)格控制后累積病例數(shù)隨時間變化圖由此可見:在疫情爆發(fā)初期階段,每延遲5天采取嚴(yán)格隔離的措施,最后累積病例數(shù)目在控制好的情(完整word版)傳染病傳播模型況下只會增加700左右,并且處于能夠控制的范圍;但在控制差的情況下,疫情將大面積蔓延,可能造成難以挽回的損失。所以在疫情爆發(fā)初期,政府應(yīng)盡可能地提前采取措施來嚴(yán)格控制疫情的傳播,從而大大減小疫情傳播范圍,這對控制疫情的傳播有著至關(guān)重要的影響。3).對疫情爆發(fā)中后期控制情況的討論:在疫情爆發(fā)的中后期,當(dāng)人均日傳染數(shù)K減小到一定程度時,若政府和衛(wèi)生部門的工作稍有放松,或就讓K一直保持某一穩(wěn)定的水平,則由于累積病例基數(shù)大,疫情仍有可能繼續(xù)快速發(fā)展,病例日增速度仍然不會慢,下面給出在某一天以后,K值保持一定的情況下,累積病例數(shù)發(fā)展?fàn)顩r的大致估計:中期估計:若5月5號后的K值保持在5月5號時的0。06左右,此后的日增病例數(shù)將曲折上升(大于原日增病例峰值120),累積病例數(shù)也會不斷上升并超過7000;后期估計:若5月10號后的K值保持在5月10號時的0.03左右,此后日增病例會由最大值持續(xù)緩慢減小至0,在7月前后,最終累積病例數(shù)會達(dá)到3500左右;圖6顯示了在5月10號以后K值保持0。03時累積病例數(shù)隨時間變化情況:(“O”表示擬合與預(yù)測曲線,“*”表示實際數(shù)據(jù))4000350030002500200015001000500圖65月10號以后K值不變時累積病例數(shù)隨時間變化情況以上數(shù)據(jù)表明:在爆發(fā)階段的中期,如果衛(wèi)生部門的控制稍有放松,或就讓K一直保持當(dāng)前控制的水平,最后累積病例數(shù)可能大大超過實際數(shù)據(jù),疫情將會發(fā)展得不可收拾;所以這個時期段衛(wèi)生部門尤其要抓緊工作,嚴(yán)格隔離,繼續(xù)努力讓人均日傳染數(shù)K值盡可能減小,最后才不會造成很大的損失;在爆發(fā)階段的后期,如果衛(wèi)生部門讓K一直保持當(dāng)前控制的水平,則最后累積病例數(shù)有可能超過實際數(shù)據(jù),但已經(jīng)比上面的結(jié)果好得多;這個時候,衛(wèi)生部門要繼續(xù)讓人均日傳染數(shù)K值減小至0已經(jīng)比較困難,只有盡可能地嚴(yán)格控制,讓最后累積病例數(shù)盡可能比我們上面估計的3500低。4).對疫情平穩(wěn)階段復(fù)發(fā)可能性的討論:當(dāng)疫情基本穩(wěn)定,累計病例數(shù)基本不再上升時,如果放松警惕,人均日傳染數(shù)K值就又會恢復(fù)到疫情爆發(fā)階段的值,這時只要再出現(xiàn)一例病例,疫情就將再度爆發(fā),后果將十分嚴(yán)重;這說明在疫情已經(jīng)得到有效抑制后,政府部門一定不能放松警惕,仍然要做好疫情傳染的預(yù)防與隔離工作,從而在新病例出現(xiàn)時,人均日傳染數(shù)K將仍在控制之內(nèi),疫情就不會再度爆發(fā)。(完整word版)傳染病傳播模型圖7是模擬當(dāng)疫情基本穩(wěn)定,社會警惕程度恢復(fù)到疫情出現(xiàn)以前時,在7月20號以后又出現(xiàn)一例病例后的極端情況?!癘”表示擬和與模擬曲線,“大''表示實際數(shù)據(jù))5).實際累積病例數(shù)據(jù)的分析:我們根據(jù)中期一部分實際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和預(yù)測,發(fā)現(xiàn)實際累積病例數(shù)據(jù)與我們預(yù)測基本相符,說明實際上K值由大變小的速度的確很快,疫情傳染得到了很有效的控制,表明政府部門在疫情爆發(fā)階段采取的控制工作做得很好,民眾自身防范工作也做得很到位,從而北京在較短時期內(nèi)有效地控制了非典的傳播。通過北京與香港的數(shù)據(jù)相比較可知,北京的控制工作的確比香港做得還要好.圖7累積病例數(shù)(人)隨時間的增長情況(3月1號起)模型的評價:1)我們建立的模型實際上是對原早期模型的發(fā)展與改進(jìn),主要改進(jìn)體現(xiàn)在對人均日傳染率K的函數(shù)化上面,我們考慮了政府和民眾等影響因素,合理地描述了K的變化,從而得到比較好的擬合與預(yù)測曲線:由此可見,我們的模型是優(yōu)于原早期模型的;2)對于參數(shù)L,我們借鑒了原早期模型中L的取值情況,這是因為影響它的因素比較復(fù)雜,并且L也與當(dāng)前醫(yī)療水平有關(guān),是一個具有統(tǒng)計意義的參數(shù),我們不便隨意改變它的值;在模型中參數(shù)L直接影響了我們用于確定K時所用數(shù)據(jù)的個數(shù),當(dāng)然L比較小時所用數(shù)據(jù)越少;3)此模型具有一定的普適性,但由于所提供的數(shù)據(jù)限制,我們只能取疫情爆發(fā)后到接近穩(wěn)定的30來個數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與預(yù)測;如果我們有前面早期的數(shù)據(jù),我們也可以根據(jù)它們來計算得到結(jié)果。5.總結(jié):從上面的分析我們認(rèn)識到,建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型非常重要。現(xiàn)總結(jié)出建立此類模型的步驟:1).收集完整而準(zhǔn)確的前期數(shù)據(jù).2).全面分析影響疫情的各種因素,找出各因素之間的關(guān)系以及作用的時間段和范圍,得出哪些是重要因素,哪些是次要因素。3).用曲線擬合前期數(shù)據(jù),觀察其大致走勢(突增,拐點等)并分析其原因。4).分析擬合函數(shù)的參數(shù)值,討論其是否有實際的意義(如反映疫情的嚴(yán)重程度,爆發(fā)點的時刻等).通過4分析所得的結(jié)論,賦予擬合函數(shù)的參數(shù)實際的意義并較正確的描述參數(shù)。.得到完整的預(yù)測函數(shù),預(yù)測疫情中后期的走勢,分析出預(yù)防和控制所需的重要數(shù)據(jù)(如爆發(fā)點,疫情高峰時刻,疫情控制時刻,是否可能復(fù)發(fā)等).進(jìn)行參數(shù)的靈敏度分析:分析哪些參數(shù)可作較大變動,哪些參數(shù)只能微調(diào),進(jìn)一步分析參數(shù)變動后對整個疫情走勢的影響。反映到實際工作中便是哪些工作必須做到家,絲毫不能放松,那些工作可適當(dāng)緩一緩。從而給政府和衛(wèi)生部門安排工作提出寶貴意見。.實時監(jiān)控疫情走勢,采集更多的數(shù)據(jù)以驗證模型和改進(jìn)模型,若有預(yù)料之外的干擾因素出現(xiàn),應(yīng)及時修正模型,重新預(yù)測其后期走勢。然而在按上述過程建立模型的過程中會遇到很多困難,總結(jié)如下:.若要及時建立疫情模型以便指導(dǎo)后期工作,前期數(shù)據(jù)萬分重要,若前期數(shù)據(jù)不足,則模型的描述力不夠,若數(shù)據(jù)有誤,則可能導(dǎo)致模型偏差很大甚至完全錯誤,這樣便會誤導(dǎo)后期的工作安排,后果不堪設(shè)想。.影響疫情發(fā)展的因素眾多,隨時可能有意想不到的因素(人為因素和自然因素)出現(xiàn),造成模型偏差。人為因素如故意謊報或不報病情等;自然因素如傳染病毒變異等。.有些因素很難量化,如政府干預(yù)行為對疫情的影響。SARS對旅游業(yè)的影響由于SARS疫情的爆發(fā),導(dǎo)致期間北京市接待海外旅游人數(shù)銳減,造成了極大的經(jīng)濟(jì)損失?,F(xiàn)建立模型估計此經(jīng)濟(jì)損失.建模思想本文首先通過對北京市1997?2002年各月接待海外旅游人數(shù)的分析建立起時間序列模型,“預(yù)測"出2003年3?8月本應(yīng)接待的人數(shù),然后用3~8月本應(yīng)接待的人數(shù)減去實際接待人數(shù)得到“損失人數(shù)",最后通過分析“損失人數(shù)”大致推測出旅游業(yè)恢復(fù)時間和因疫情導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)損失。模型即經(jīng)濟(jì)損失=(本應(yīng)接待的總?cè)藬?shù)-實際接待總?cè)藬?shù))X人均旅游消費(fèi)即AM=(S-S)-pAM為經(jīng)濟(jì)損失,S為本應(yīng)接待的總?cè)藬?shù),S為實際接待人數(shù),p為人均消費(fèi)。(一)對本應(yīng)接待人數(shù)的分析模型的建立首先令{X(t),t=1,2,3…}為北京市1997年后各月接待海外旅游人數(shù)的隨機(jī)序列(例如X(1)為1997年一月接待人數(shù)的隨機(jī)變量,X(13)為1998年一月接待人數(shù)的隨機(jī)變量,以后類推)。然后分析1997?2002接待人數(shù)樣本值的走勢,發(fā)現(xiàn)X(t)具有明顯的周期性(周期為12個月),其數(shù)學(xué)期望也應(yīng)具有周期性,所以不能認(rèn)為該序列是平穩(wěn)時間序列。但可作如下處理,取X(t)=F(t)+W(t)其中F(t)表示X(t)中隨時間變化的數(shù)學(xué)期望,此問題中可用周期函數(shù)來描述。而(完整word版)傳染病傳播模型E(W(t))=E(X(t))-E(F(t))=0且E(W(t)W(t+At))與t不相關(guān),則W(t)可以用平穩(wěn)時間序列來擬合。而數(shù)學(xué)期望為0且具有有理譜密度的平穩(wěn)時間序列必有下三種形式:.自回歸模型AR(p)(以下記W(t)為可)W=e?W+e?W+???+??W+a(t=1,2,3…)t1t—12t—2pt—pt其中at是白噪聲,常數(shù)p為階數(shù),常系數(shù)?為參數(shù).滑動平均模型MA(q)'W=a—0a—0a0a(t=1,2,3…)常數(shù)q為階數(shù),常系數(shù)0為參數(shù).混合模型ARMA(p,q)W—?-W—??W?-W=a—0a—0a0at1t—12t—2pt-pt1t—122qt-q為了確定模型的類別和階數(shù),首先給出自相關(guān)函數(shù)P和偏相關(guān)函數(shù)?的計算公式。P.由下式得出:*kk(其中y*=E(其中y*=E(WW*))?kk由下述方程得出_1P1???P?kk由下述方程得出_1P1???Pk—1?k1P1P1???...????P1P2?k2=2???????????????PLk—1??????P1?kkPkAR(p)MA(q)ARMA(p,q)Pk拖尾裁尾k=q處拖尾?kk裁尾k=p處拖尾拖尾如果確定了!3(t)和W(t)的解析式,就可以用其來描述X(t);模型的求解現(xiàn)有北京市1997?2002年各月接待人數(shù)的樣本值X。),(t=1,2???72)1).周期函數(shù)F(t)的確定通過對樣本值的觀察,我們發(fā)現(xiàn)樣本值具有明顯的周期性,周期大致為12(月),且樣本值呈逐年遞增的趨勢,所以我們采用傅立葉級數(shù)與線性遞增函數(shù)和疊加作為周期函數(shù)F(t)。型如^,2n兀2n兀F(t)=L(acos(-^^t)+bsm(.t))+c?t+d=1通過曲線擬合確定系數(shù)得F(t)=—2.3?cos(竿-1)—2.7?cos(辛-1)—2.6?sin(竿-1)—3.5sin(辛-1)+0.2?t+16.7(2-1)擬合圖形如圖8(其中實線為擬合曲線,虛線為原曲線)圖8擬合樣本值的周期函數(shù)圖形3515501020304050607080302520102).平穩(wěn)時間序列來擬合W(t)平穩(wěn)時間序列樣本值W(t)=X善)-F(t),(t=1,2,.??72)首先利用樣本值求得樣本自協(xié)方差函數(shù)號-"wa+*y八=-4=1—,k=0,1,2???K(KY72),k72進(jìn)一步可得樣本自相關(guān)函數(shù)p=—^,k=0,1,2,???K(KY72)ky八0而樣本偏相關(guān)函數(shù)?可利用下面的遞推公式計算:kkSP111?八k+1,*+1Ik+1,jkj計算后畫出pk和、的曲線圖(見圖91—Eej=1p=p"礦k+1k+1-jkjj=1=礦項八.?,f=1,2,???k■-k+1,k+1k,k-(j-1)圖10)0,2468101214161820-0.4010203040506070800.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.10.100.30.2-0.2-0.3(3-1)圖9p的趨勢*圖圖10巾的趨勢圖經(jīng)觀察我們發(fā)現(xiàn)p明顯拖尾,巾裁尾于k=2,所以我們采用模型AR(2)即W=,?”]+%?W2+a八八、八八經(jīng)過計算系數(shù)寸=Pi(—P2)=-0.1787正=P2~Pi2=0.084411-P^221_#211白噪聲j的方差&=y八.(1-^-P-^-P)=7.6714,均值為0;TOC\o"1-5"\h\zt。01122通過公式(3-1)可遞推預(yù)測未來的W(t=73,74,???)例如:tw=f?w+巾-w+a,w,w為已有樣本值,a為正態(tài)隨機(jī)數(shù)(預(yù)測時不計其影響)。73172271t7172t3).模型的結(jié)果預(yù)測公式X(t)=F(t)+W(t),(t=73,74,75)(4T)其中F(t)由式(2—1)算出,W(t)由公式(3—1)遞推算出。通過對已有數(shù)據(jù)的檢驗,得到平均預(yù)報誤差小于10%,可認(rèn)為預(yù)報結(jié)果較為準(zhǔn)確。然后預(yù)測得2003年3~8月接待量(假設(shè)3月前旅游業(yè)未受影響)為27。1,30。2,30.4,29。3,29。7,32。4(單位:萬人)同時,我們觀察每年同一個月的情況,發(fā)現(xiàn)相同月份的值有一個逐漸增大的趨勢。所以我們對3到8月的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行了線性擬合,得到2003年3到8月的游客接待量分別為23.6,30.5,32。2,30。5,27.3,33。6(單位:萬人),發(fā)現(xiàn)兩種方法預(yù)測數(shù)據(jù)相差不大,最大相差為3。5(萬人),平均相差1。7(萬人)(取絕對值的均值),證明預(yù)測結(jié)果很好。(二)對實際接待人數(shù)的分析用“預(yù)測”所得的3?8月應(yīng)接待人數(shù)減去實際接待人數(shù),就得這6各月的“損失人數(shù)”,經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn),“損失人數(shù)”的走勢與傳播模型中病例日增量的走勢基本相同,但有大約有一個月的延遲。即病例日增量在大約5月初達(dá)到峰值,而“損失人數(shù)"在6月才達(dá)到峰值.這是因為SARS對其它行業(yè)的影響必有一定的滯后性.觀察3?8月“損失人數(shù)"的散點圖和病例日增量圖,我們認(rèn)為用二次曲線擬合“損失人數(shù)''較

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