《線性代數(shù)》(第二版)智能教學(xué)系統(tǒng) 習(xí)題解答 第二章B組題

PAGEPAGE9第二章線性方程組習(xí)題二(B)1、 T,1

T,3

,aT,4

(1,2,4,a8)T及(1,1,b3,5)T.〔1〕a，b不能表為,1 2

,,3

的線性組合？〔2〕a，b為何值時(shí)，有,1 2

,,3

的唯一線性表示式？并寫(xiě)出該表示式。解：設(shè)=k +k +k +k ，那么k,k,k，k 是方程組1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 k k 1

k k 13 42k

k2

k 2k 3 4(a 2)k

b

的解。 1 2 3 4 1

5k2

k (a8)k 53 4設(shè)方程組的增廣矩陣為A,對(duì)A進(jìn)行初等變換A = 33

1 1 1 1 1 1 2 1 3 a2 4 b35 1 a8 5

1 1 1 1 1 11211211a2b22a520 0 10 0 1 1 1 0 1 1 0a0a1000a100

11b00〔1〕ArA不能表為,1 2a=-1b0。

,,3

的線性組合，此時(shí)〔2〕當(dāng)rArA=4時(shí)，有,1 2

,,3

的唯一線性表示式。此時(shí)a1，且= 2ba1 1

ab1a1

ba13。2、設(shè)向量組1

，，2

線性相關(guān)，向量組2

，，3

線性無(wú)關(guān)，問(wèn)〔1〕1

能否由2

，線性表出？證明你的結(jié)論；3〔2〕4

能否由1

，，2

線性表出？證明你的結(jié)論。解〔1〕1

能由2

，線性表出。證明如下：假設(shè)3

不能由2

，線性表出，3又 k+k1 1

+k2

=0〔k，k3 1

，k3k+k2 2 3

=0 那么k3

，k不全為零，3k+k2 2 3

+03

=0，向量組2

，，3

線性相關(guān)，這與題設(shè)矛盾。能由1

，線性表出。3〔2〕4

不能由1

，，2

線性表出。證明如下：假設(shè)4

能由1

，，線2 3性表出，且表示式為

k+k4 1 1

+k。2 3 31

能由2

3

能由2

3

，3線性相關(guān)，與矛盾。所以4

不能由1

，，2

線性表出。3、設(shè)A為43矩陣，且線性方程組AX=B滿足r〔A〕=rA〕=2 ,1

(1,0,1)T為方程組的兩個(gè)解，試求出方程組的全部解。解,1 2

是AX=B的解,1

AX=O〔〕=A〕=2,2C〔 〕是AX=O的全部解。1 2AX=B的全部解為1

C(1

)(1,1,0)TC(2,1,1)T。24mnA的秩為rn，又0,1,,nrAX=B的n+110,20,n0是其導(dǎo)出組AX=O的一個(gè)根底解系。證明：rAn，AX=O的根底解系含有n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)解。又 ,,, 為非齊次線性方程組AX=B的n+1個(gè)線性無(wú)關(guān),0 1 nr , ,, AX=On-r個(gè)解。1 0 2 0 n 0假設(shè) , ,, 線性相關(guān)，那么存在不全為零的k,k,,k 使得1 0 2 0 n 0 1 2 nrk)k)k 0 ,即1 1 0 2 2 0 nr n 0kk11 2

nr

nr

(k k1

0nr 0k,k,,k 不全為零，,, 線性相關(guān)，與題設(shè)矛盾。1 2 nr 0 1 nr , ,, 線性無(wú)關(guān)。1 0 2 0 n 0 , ,, AX=O的一個(gè)根底解系。1 0 2 0 n 05mnArn，又AX=B的一個(gè)解，而0,1

,,

nr

AX=O,0 0

,1

,,2

nr為其導(dǎo)出組AX=B的n–r+1。證明：先證明0

，,1

,,

nr

線性無(wú)關(guān)。設(shè)k kk0 0 11 2

k nr

nr

0 〔〕那么 〔k

k

k

k

)0 2〕0 0 11 2

nr

nr由于0

AX=B的一個(gè)解，,1 2

,,

nr

為AX=O的一個(gè)根底解系，所以A =B，A 0〔i=1，2，nr)。i于是A〔k

k

k

k

)k

k

k A

kB〔3〕0 0 11 2 2

nr

nr

0 0 1 2

nr

nr 0比擬〔2〕，〔3〕式得k0個(gè)根底解系，由

0〔因?yàn)锽 O) 。由,1 2

,,

nr

為AX=O的一k kk0 0 11 2

k 0nr nr可得 k k k 0。2 nr，,0 1

,,

nr

線性無(wú)關(guān)。再證明,0 0

,1

,,2

nr

是AX=B的n-r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)解。由方程組解的性質(zhì)易得

,0

,1

,,2

nrAX=Bn-r+1個(gè)解。下面證明它們是線性無(wú)關(guān)的。設(shè)k k0 0 1 即

)k1 2

)k2

nr

nr

)0，(k k k kk1 2 nr 0 11 2

k nr

nr

0，由于

，,0 1

,,

nr

線性無(wú)關(guān)，所以k k k k k k 0，1 2 nr 1 2 nr即k k k 0。1 2 nr所以 ,0 0

,1

,,2

nr

線性無(wú)關(guān)。6、nA〔n1AX=O的全部解。解： rA=n–1，齊次線性方程組AX=O的根底解系只含有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。又n階矩陣A各行的元之和均為零，即a Tai1 i2

〔1，1，,1)T=O。a a in AX=O的全部解為C〔〔Ca，b何值時(shí)，線性方程組 xx x x 0 1 2 3 4 x 2x 2x 0x2

2 2 4(a3)x 2x b3 43x1

2x2

x ax3

1無(wú)解；有唯一解；有無(wú)窮多個(gè)解？并求出有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)的全部解〔或通解解AA進(jìn)行初等變換1 1

1 1 0

1

1 1 0 A = 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 a3 2 b 0 1 a3 2 b113 2 1 a 0 1 2 a3 111 1 1 1 0 1 0 1 2 2 1

0 1 1 11 2 2 1 0 0 a1 0 b1 0 0 a1 0 b10 0 0 a1 0 0 0 0 a1 0 當(dāng)r)r時(shí)，即a1且b1，線性方程組無(wú)解。r)r)4，即a1r)r4，即a1且b1，線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解。 x x x 12x 2x 當(dāng)a1且b1時(shí)，線性方程2x 2x 2 3 4

，特解 0

(1,2,1,0)T,2

(1,2,0,1)T，線性方程組通解為0

c11

c2

(c,c2 1

為任意常數(shù)〕。8、 四元齊次線性方程組〔Ⅰ〕為xx 0〔Ⅰ〕x1 2x 02 4又某個(gè)齊次線性方程組〔Ⅱ〕的全部解〔通解〕為c1

c〔cc2 1

為任意常數(shù)〕。（1）求線性方程組〔Ⅰ〕的根底解系；x x解：線性方程組的一般解為

1 x x4 2

〔x,x2

為自由未知量〕。1 0x 1 0

1 0 令 2分別取

和

便得到方程組的一個(gè)根底解

， 。3x 0 13

1 0 2 1 1 0（2）問(wèn)線性方程組〔Ⅰ〕與〔Ⅱ〕是否有非零的公共解？假設(shè)有，求出所有非零公共解。解cc2,12c,c2 2c,c2

)T將其代入〔Ⅰ〕解得c1

c。2當(dāng)c c1 2

0c1

c(1,2,2,1)T2

c(1,1,1,1)T。2 方程組〔Ⅰ〕和〔Ⅱ〕的所有非零解為〔c9、 證明：如果線性方程組a xa x a x 0111

12 2

1n na xa x a x 0211 22 2 2n n a xn11

a xn2

a x 0nn n的系數(shù)矩陣A=〔a) 與矩陣ij nna a a b 11 12 1a a a b 21 22 2n 2C= a a a b n1

n2 nn nb b b 01 2 n的秩相等，那么此線性方程組有解。證明：設(shè)A為線性方程組的增廣矩陣。由于A只比A多一列，而C又比A多一行r(Ar(Ar(C) ,而r(A)r(C),r(A)r(A),此線性方程組有解。10、 設(shè)A為n階矩陣〔n2)，A*為A的伴隨矩陣。證明：n,r(0,

如果r(A)n如果r)n1如果r)n證明：當(dāng)rA〕=n時(shí)為滿秩矩陣，故0，由AA*=E,得AA*AA* AEAn，于是有 A*

An10,rA*n。當(dāng)r〔A〕=n-1時(shí)，由矩陣秩的定義知，A中至少有一個(gè)n-1階子式不為零，從而A*rA*〕1r〔n-1A0，AA

=AE0，r〔A〕+r〔A*)n,rA*n-〔n-1〕=1，那么rA*1。rA〕n1時(shí)，An-1A rA*)0。

=O，11、 設(shè),

,,

RnnA，使得1 2 nn,1 2

,,n

),1

,,)An1 2

,,n

Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是A為正交矩陣。a a a a

12 1na a 證明：設(shè)A= 21 22 2n,那么由 a a an1 n2 nn,1 2

,,n

),1

,,)An及

,,

Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，得1 2 nn,i j

)(nk1

aik

,nk

akj

)=aai1

a ai2 j

a ain

〔1〕假設(shè)1 2

,,

是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么n從而由〔1〕知，有

(,i

ij) 〔〕ijijaai1 j1

a ai2 j

a ain

=i j

〔3〕ATAE，AA,1

,,

是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。n12、設(shè)Rn,,1 2

,,)Tn

0。求證：是正交矩陣。

A=E

2

T證明AAATE。因?yàn)锳=E

22

T，而Rn,,1 2

, ,n

)T0,所以ATE

T，這是因?yàn)門(mén)是一個(gè)數(shù)，而T是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣。又AATE

2 T〔E 2 T〕=E

4TT

4 TT

T2

T=E

4

T

4

TE。所以A為正交矩陣。13、設(shè)ca b c dcbA=

a d cd

d c

baaA求detA。ca bc

c da b c db a

d cb a d 解〔1〕= c d c

a bb a

d c

b=aaa2b2c2d2 0

0 0 0 a2b2c2d0000

0 0 0a2b2c2d2 0000 a000

b

c

d2當(dāng)a

b

c

d

1時(shí)，A為正交矩陣。當(dāng)a

b

c

d

1時(shí)，A不是正交矩陣?！?〕detA=〔detATA)

12=(a

b2

c

d2)2。14、求齊次線性方程組2x x x

3x 01 2 x

3 4 5x