流體力學(xué)NS方程推導(dǎo)過程

流體力學(xué)NS方程簡易推導(dǎo)過程小菜鳥0引言流體力學(xué)的NS方程對(duì)于整個(gè)流體力學(xué)以及空氣動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域的作用非常顯著，不過其公式繁瑣，推導(dǎo)思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導(dǎo)，記錄一下整個(gè)推導(dǎo)過程，供自己學(xué)習(xí)，也可以供大家交流和學(xué)習(xí)。1基本假設(shè)空氣是由大量分子組成，分子做著無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，我們可以想象，隨著觀察尺度的逐漸降低，微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況相同，其物理量存在間斷的現(xiàn)象，例如我們?cè)诳臻g中取出一塊控制體，當(dāng)控制體中存在分子時(shí)，該控制體的密度等量較大，不存在時(shí)就會(huì)為0，這在微觀尺度下是常見。不過隨著觀察尺度增加，在宏觀情況下，控制體積內(nèi)包含大量分子，控制體積的壓力密度溫度速度等物理量存在統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，這個(gè)結(jié)果是穩(wěn)定的，例如流場變量的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態(tài)方程。自然界中宏觀情況的流體運(yùn)動(dòng)畢竟占據(jù)大多數(shù)，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運(yùn)動(dòng)，采用稍微專業(yè)一點(diǎn)難度術(shù)語是流體滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的意思就是說，我們?cè)诹鲌鲋须S意取出流體微團(tuán)，這個(gè)流體微團(tuán)在宏觀上是無窮小的，因此整個(gè)流場的物理量可以進(jìn)行數(shù)學(xué)上的極限微分積分等運(yùn)算；同時(shí)，這個(gè)流體微團(tuán)在微觀上是無窮大的，微團(tuán)中包含了大量分子，以至于可以進(jìn)行分子層面的統(tǒng)計(jì)平均，獲得我們通常見到的流場變量。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立需要滿足:所研究流體問題的最小空間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分子平均運(yùn)動(dòng)自由程（標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級(jí)，具體值可以參考分子運(yùn)動(dòng)理論）,這在大多數(shù)宏觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛采用的基礎(chǔ)，即使在湍流中，也是成立的，因此才保證NS方程也適用于描述湍流。有些情況下連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風(fēng)速儀的金屬絲，直徑通常在1?5微米量級(jí)，最小流體微團(tuán)已經(jīng)接近分子平均運(yùn)動(dòng)自由程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不能直接使用，類似情況還包括激波，激波面受到壓縮，其尺度也較小，為幾個(gè)分子平均自由程量級(jí)，不過采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)進(jìn)行激波內(nèi)流場計(jì)算時(shí)，計(jì)算結(jié)果仍然可以得到比較合理，并且與實(shí)際情況相符，這也給激波問題的研究和解決帶來了基礎(chǔ)性的保證;第二種是分子平均運(yùn)動(dòng)自由程特別大，分子平均運(yùn)動(dòng)自由程是指兩個(gè)分子之間碰撞距離的平均值，這個(gè)結(jié)果與分子有效直徑，分子運(yùn)動(dòng)速度等相關(guān)，宏觀上來講，溫度越高、壓力越大，分子平均運(yùn)動(dòng)自由程越大，而在高空情況下，壓力非常低，自由程可能很大，并且大到與飛行器尺度相近，于是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效，此時(shí)必須考慮稀薄氣體效應(yīng)。在層流邊界層情況下，分子平均運(yùn)動(dòng)自由程與邊界層之間存在近似關(guān)系：九M——土 5vRe從這個(gè)關(guān)系中，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)馬赫數(shù)非常大但是同時(shí)雷諾數(shù)非常小的時(shí)候，流場微小尺度才可能達(dá)到分子平均運(yùn)動(dòng)自由程lmd的程度?？梢韵胂笠幌?，在大多數(shù)我們能觀察到的情況下，上述公式的結(jié)果都是非常小的，滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，這個(gè)公式不成立的情況在大氣層外邊緣，此時(shí)大氣分子之間平均動(dòng)量交換降低，導(dǎo)致粘性變得非常小，雷諾數(shù)很高，因此公式計(jì)算結(jié)果急劇降低，導(dǎo)致連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效。前面討論了連續(xù)介質(zhì)建設(shè)成立的條件以及不成立的例子，下面討論的都是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)范圍內(nèi)的結(jié)果。2連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律的流體表達(dá)根據(jù)質(zhì)量守恒定律，我們知道，在流場取的控制體滿足如下物理規(guī)律:控制體的總質(zhì)量不隨著運(yùn)動(dòng)而變化的，在運(yùn)動(dòng)過程中控制體始終由相同流體微團(tuán)組成，因此利用流場物理量將物理規(guī)律用數(shù)學(xué)公式表達(dá)可得：—川pdV=0DtV根據(jù)引論1中的內(nèi)容，上式左邊隨體導(dǎo)數(shù)可以采用兩種形式的偏導(dǎo)數(shù)表示：JJJl^dV+jfpG-n)dS=JJJ當(dāng)+V-(pv)]dV=0V D V(1)微元體表達(dá)形式：一+V.(pv)=0根據(jù)引論1中微元體的隨體導(dǎo)數(shù)關(guān)系可以得到：—+p°v=0或者V.v=-1—(2)張量表達(dá)形式:3動(dòng)量方程：牛頓第二定律的流體表達(dá)根據(jù)牛頓第二定律，流場中取出控制體滿足如下規(guī)律：某一時(shí)刻，控制體中所有流體微團(tuán)的總動(dòng)量隨時(shí)間的變化率=控制體中所有流體微團(tuán)受到的合力?？刂企w受力主要包括表面力和體積力，表面力作用于物體表面，例如壓力等應(yīng)力，表面力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓力，切向力通常為粘性力（當(dāng)然這不是絕對(duì)，因?yàn)榉ㄏ蛄€包括流場可壓縮性引起的法向應(yīng)力）；體積力作用于流場中每一個(gè)流體微團(tuán)，例如重力，電磁力等。因此，牛頓第二定律可以表達(dá)為：控制體總動(dòng)量隨時(shí)間變化率二控制體表面力合力+控制體體積力合力（為了推導(dǎo)方便，下面將體積力忽略，在重力等法向力影響較大時(shí)，將該項(xiàng)加入即可）。利用流場變量可以將上述定律表達(dá)為數(shù)學(xué)公式:DUJpMV二』pnds+上?ndSDtV s s其中根據(jù)引論1和引論2，可知方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，LJJpDVdv力亞dv+JJpv（v?n）dsDt dtR=JJI（-Vp+V-f）dVV（1）微元體表達(dá)形式：p—=-Vp+V?千Dt根據(jù)引論2，上式左邊具有這兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式（一種根據(jù)定義，一種引入質(zhì)量守恒關(guān)系）：p竺=p^v+p（v?V）v=^Pv+V?（pv）Dt dt dt（2）張量表達(dá)形式：Dudp+dtDtdxdxjj根據(jù)引論2，上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式（一種定義，一種引入質(zhì)量守恒）:Du du du dpu d ( )p__p-++pu-__ ++\puuJDt dt jdx dt dxijjj

(3)補(bǔ)充說明1:粘性應(yīng)力表達(dá)式上述公式中，我們將表面力表達(dá)為表面壓力+粘性力的形式，其中表面壓力為法向力，粘性力由流體粘性引起，包括法向力和切向力，根據(jù)各項(xiàng)同性假設(shè)，粘性應(yīng)力張量可以表達(dá)為：Tijsij=入s5+2usij ij1fauau+募Tijsij=入s5+2usij ij1fauau+募jidu,s= kaxk其中，\miu稱為動(dòng)力粘性系數(shù)。根據(jù)Stokes假設(shè)，在通常情況下，體積粘性系數(shù)目,=入+2忤0，于是上述粘性應(yīng)力表達(dá)為：I au auT，j=q貳+右ji(4)補(bǔ)充說明2:粘性應(yīng)力的空間導(dǎo)數(shù)2ausk53 ax ijk在動(dòng)量方程中，粘性應(yīng)力的空間導(dǎo)數(shù)可以表達(dá)為：aT a=u^ax axjja2u=u——+axaxjjau(auauH j—axIax axj'ji、au 2auJixr+右一3溢iji k/aue'5axijk/如果流場為不可壓縮s=0并且粘性系數(shù)不隨空間改變，即溫度不變，可以簡化為：aT a2u——j=u -,whens=0,u=Cax axaxj jj(5)補(bǔ)充說明3:動(dòng)力粘性系數(shù)表達(dá)式：該公式中動(dòng)力粘性系數(shù)是流體的基本變量，該系數(shù)表征流體分子之間動(dòng)量交換的快慢程度，與流場的溫度相關(guān)，與壓力等其他變量關(guān)系較小，在溫度為100到1900K范圍，可以采用Sutherland公式進(jìn)行表達(dá)：(T…\_T1.5-_T1.5-T+Tref/—0,whenTg[100,1900]KT+T0ref其中，Tref=110.3,T0和\miu0則可以采用任何溫度的結(jié)果，例如在常溫288K情況下，動(dòng)力粘性系數(shù)為1.7894X10-5。4能量方程：能量守恒定律的流體表達(dá)根據(jù)能量守恒定律，流場中取出控制體滿足如下物理規(guī)律：控制體的總能量增加=控制體受到外力做功+外界向控制體熱傳導(dǎo)采用流場變量可以將該物理定律表達(dá)為數(shù)學(xué)形式(e=CvT表示流場內(nèi)能，內(nèi)能可以采用定容比熱乘以溫度得到)：—fffpfe+-v2dV=-JJpv.ndS+fft>.v.ndS+JJkVT?ndSDt I2)其中，根據(jù)引論1和2可知，方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式：L=JJJD( 1AL=JJJD( 1Ap—e+-v2dV=

Dtk2)a.4p—e+-v2+V?Iatk2)R=JJJ[—V?(pv)+V?(f?v)+V?(kVT)"V(3)微元體表達(dá)形式：pe+5V2vk2dVdVpD(e+1v2]=—V?(pv)+V?(f?v)+V?(kVT)Dtk2)根據(jù)引論1和2可知上式具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式：a=p—atpa=p—atp(v?V)__aat(1Ape+-v2k2)+V?J,1pve+8v2

k2(2)張量表達(dá)形式A:總能公式E=e+V2/2dea()a()a(7ata

p=———、pu1+——近u1+——k——dt a% j ax ijiax axj j J'J，

根據(jù)引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式:de ae aesr廠、s(廠)p=pFpu —(pE/HVpEudt at jax at ax jj jB:內(nèi)能公式e=E-V2/2DepDtDepDtD( 1)DE=pE—v2=pD11 2)DtDEDuDE—pu——i-—p—uiDt DtiDEap St―p -u—+u—idtiaxiaxi j將總能關(guān)系式代入上述公式可得:將總能關(guān)系式代入上述公式可得:Dea

p—=—Dt axj(pu)+〃u)+且ap—u——Dea

p—=—Dt axj(pu)+〃u)+且ap—u——iaxiSt+u—j——ps+tiaxjaua iF ijax axjj因此可得內(nèi)能關(guān)系式為：Dep————psftDtaua i+ ijax axjjat、aTj根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。C：焓公式h=e+p/rouDh D( p) De Dp pDp De Dpp =pe+ =p+ ——p+ +psDt D11 p) Dt Dt pDt Dt Dt將內(nèi)能關(guān)系式代入上式可得：DhDp au a(7atp——=—ftl+—k—dtDt ijaxaxIaxjj j根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。D:總焓公式h0=h+v2/2=E+p/rouDhDpH邛D,1)h+不v2=p2)DhDuDh ap St Fpu i—p u Fu ijDt iDt Dtiax iaxij注意上式中采用了引論2中的內(nèi)容，將焓關(guān)系式代入上式可得:DhDpauap0= FTi-F dtDtijaxaxj.(at)一k^~,ax)jjSp St-u Fu ijiax iaxij于是可得總焓關(guān)系式為：Dhapp 0=——dtat根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。E:熵公式Tds=dh-dp/rou根據(jù)熵公式，可得熵的隨體導(dǎo)數(shù)為：dds Dh Dpau a f,at'pT——=p——_」=tl+—k—

dt Dt Dt ja% a%a%j八jJ根據(jù)引論1和引論2，上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。根據(jù)熵公式，可以知道，熵的增加主要來自兩個(gè)部分，一是粘性力引起，二是熱傳導(dǎo)引起，如果流場中粘性應(yīng)力和熱傳導(dǎo)都可以忽略，則流場滿足等熵關(guān)系。（3）補(bǔ)充說明：粘性力耗散幾個(gè)公式中都存在粘性力的做功項(xiàng)，稱之為耗散項(xiàng)fai，該項(xiàng)具體表達(dá)式可以表示為：- au Mau au 2au ^丫au au '@=tr=--i+- k0—『十—jij a.% 21a% a% 3a% j八a% a%jVji k八ji/fau au 丫au au~—i~+—r ——r+fau au 丫au au~—i~+—r ——r+—ra% a% JI a% a%ji jihau au-7-i-+-j3a% a%ljiaua%k=u絲2Ia%au+ja%iau卜—ja%iH「4A2+4A2+4A2+2(A+A)2+2(A+A)2+2(A+A)21—4日(A2hfau1+A?}11 22 33 12 21 23 32 31 13 」 11 22 332A2+2A2+2A2+(A+A)2+(A+A)2+(A+A)2

11 22 33 12 21 23 32 31 13--2(AjA22(A+A)2+(A+A)2+(A+A)21+6A2+6A2+6A2-2(A+A12 21 23 32 31 13 11 22 33 11 22+A?}33+A33?}-A)2+(A一A)2}11以「(A+A)2+(A+A)2+(A+A)21+2-A)2+(A一A)2}113 12 21 23 32 31 13 11 22 22=M(A +A )2 +(A+A)2+ (A +A)21+型「(A -A )2 +(A-A)2+ (A -A)212 21 23 32 31 13 3 11 22 22 33 33 11其中：

,du,,du,A=-r

ij d.xjTOC\o"1-5"\h\z11 12 13［川=［川=21 22 23AAA31 32 335附件：隨體導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)（控制體/微元體？包含密度？）引論1：控制體和微元體的隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)式2=砂+逅Vga+u效

Dtdt dtjd.xjD弧亞/增w+曲G.n）ds/唱+V.（機(jī)刪V V D V利用隨體導(dǎo)數(shù)物理定義和數(shù)學(xué)上導(dǎo)數(shù)定義（求極限方法）容易得到第一個(gè)公式，利用控制體積分量的隨體導(dǎo)數(shù)物理定義，也容易得到第二個(gè)公式，在流體力學(xué)教材中也很容易找到這兩種隨體導(dǎo)數(shù)的定義。為什么這么做，寫出這樣一個(gè)公式？因?yàn)殡S體導(dǎo)數(shù)是拉格朗日觀點(diǎn)，隨體導(dǎo)數(shù)非常符合物理思維，