多目標(biāo)優(yōu)化方法及實例解析課件

第九講多目標(biāo)規(guī)劃方法

多目標(biāo)規(guī)劃解的討論——非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例

1第九講多目標(biāo)規(guī)劃方法多目標(biāo)規(guī)劃解的討論——非劣解1多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實際問題中，例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計等領(lǐng)域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標(biāo)來判斷，而需要用多個目標(biāo)來比較，而這些目標(biāo)有時不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。1896年法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標(biāo)的優(yōu)化問題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學(xué)家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。2多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支。2求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法等；另一種叫分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標(biāo)的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當(dāng)修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實用。

3求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：3

多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式：

一多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。4多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部縮寫形式：有n個決策變量，k個目標(biāo)函數(shù)，m個約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

（1）（2）5縮寫形式：有n個決策變量，k個目標(biāo)函數(shù)，m個約束方程，（1對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：

式中：

X為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。6對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：式中：多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?biāo)。對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？7多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①的f2目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值f1比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說明。圖1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解8在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①

而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。9而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介

為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。10效用最優(yōu)化模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介為了求是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法）

（1）

（2）

思想：規(guī)劃問題的各個目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問題：

11是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。方法一效在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值

i

來反映原問題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，i

應(yīng)滿足：向量形式：12在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值i來反映原方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）

思想:規(guī)劃決策者對每一個目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值fi與期望值fi*之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?/p>

式中，是與第i個目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對角矩陣。13方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）思想:規(guī)劃決策者對每一個理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題：方法三約束模型（極大極小法）

14理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個可供選擇的范圍，方法四目標(biāo)達(dá)到法

首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：15方法四目標(biāo)達(dá)到法首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)fi*(i=1,2,…,k),每一個目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為i*(i=1,2,…,k)，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問題就轉(zhuǎn)化為：16在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）

需要預(yù)先確定各個目標(biāo)的期望值fi*，同時給每一個目標(biāo)賦予一個優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個目標(biāo)，L個優(yōu)先級(L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：

17方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）需要預(yù)式中：

di+和di－分別表示與fi相應(yīng)的、與fi*相比的目標(biāo)超過值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；pl表示第l個優(yōu)先級；lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級pl中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。18式中：18三目標(biāo)規(guī)劃方法

通過前面的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來的。后來，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進(jìn)一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問題的一般性方法——單純形方法。目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法19三目標(biāo)規(guī)劃方法通過前面的介紹和討論目標(biāo)規(guī)劃模型

給定若干目標(biāo)以及實現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。1.基本思想：2.目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價分別為8萬元和10萬元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設(shè)備分別為1單位臺時和2單位臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設(shè)備總臺時為10單位臺時。試問：如何確定其生產(chǎn)方案使得企業(yè)獲利最大？20目標(biāo)規(guī)劃模型給定若干目標(biāo)以及實現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有

由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大，這個企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求x1，x2，使將上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為:（萬元）。

甲乙擁有量原材料2111設(shè)備(臺時)1210單件利潤810生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？21由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大

但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件，如：②超過計劃供應(yīng)的原材料，需用高價采購，這就會使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺時，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計劃產(chǎn)值指標(biāo)56萬元。

這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個多目標(biāo)決策問題，這一問題可以運(yùn)用目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。①根據(jù)市場信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。22但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級pk中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為kl+、kl-，則多目標(biāo)規(guī)劃問題可以表示為：目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束23假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級在以上各式中，kl+、kl-、分別為賦予pl優(yōu)先因子的第k個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，

gk為第k個目標(biāo)的預(yù)期值，

xj為決策變量，

dk+、dk-、分別為第k個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束24在以上各式中，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束24目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量

在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量d+、d-。其中，正偏差變量表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因為決策值不可能既超過目標(biāo)值同時又未達(dá)到目標(biāo)值，故有d+×d-=0成立。(2)

絕對約束和目標(biāo)約束

絕對約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

25目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量(2)

目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。

線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)

一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而p2級目標(biāo)是在實現(xiàn)p1級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。26目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追

若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)i*(i=1,2,…,k)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)

一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而p2級目標(biāo)是在實現(xiàn)p1級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。27若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的(4)目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過目標(biāo)值，也就是超過量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即基本形式有三種：28(4)目標(biāo)函數(shù)a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。分析:題目有三個目標(biāo)層次，包含三個目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1+;即產(chǎn)品甲的產(chǎn)量不大于乙的產(chǎn)量。第二目標(biāo)：p2(d2++d2-);即充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；第三目標(biāo)：p3d3-

;即產(chǎn)值不小于56萬元；29例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是30例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例3、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。(1)試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？12070單件利潤3000103設(shè)備臺時200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲單位產(chǎn)品資源消耗解:設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品:x1

，乙產(chǎn)品:x2,(1)31例3、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料

若在例3中提出下列要求：1、完成或超額完成利潤指標(biāo)50000元；2、產(chǎn)品甲不超過200件，產(chǎn)品乙不低于250件；3、現(xiàn)有鋼材3600噸必須用完。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。分析：題目有三個目標(biāo)層次，包含四個目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1-第二目標(biāo)：有兩個要求即甲d2+，乙d3-，但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即70:120，化簡為7:12。第三目標(biāo)：32若在例3中提出下列要求：分析：題目有所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：33所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：33

圖解法同樣適用兩個變量的目標(biāo)規(guī)劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標(biāo)規(guī)劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟如下：1、確定各約束條件的可行域。即將所有約束條件（包括目標(biāo)約束和絕對約束，暫不考慮正負(fù)偏差變量）在坐標(biāo)平面上表示出來；2、在目標(biāo)約束所代表的邊界線上，用箭頭標(biāo)出正、負(fù)偏差變量值增大的方向；目標(biāo)規(guī)劃的圖解法

3、求滿足最高優(yōu)先等級目標(biāo)的解；4、轉(zhuǎn)到下一個優(yōu)先等級的目標(biāo)，再不破壞所有較高優(yōu)先等級目標(biāo)的前提下，求出該優(yōu)先等級目標(biāo)的解；5、重復(fù)4，直到所有優(yōu)先等級的目標(biāo)都已審查完畢為止；6、確定最優(yōu)解和滿意解。34圖解法同樣適用兩個變量的目標(biāo)規(guī)劃問題，但其操作簡單例4、用圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃問題012345678123456

⑴⑵⑶Ax2

x1BC由于d2-取最小，所以，（2）線可向上移動，故B，C線段上的點(diǎn)是該問題的最優(yōu)解。35例4、用圖解法求解目標(biāo)012

例5、已知一個生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型為

其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤，x1,x2為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量。現(xiàn)有下列目標(biāo)：1、要求總利潤必須超過2500元；2、考慮產(chǎn)品受市場影響，為避免積壓，

A、B的生產(chǎn)量不超過60件和100件；3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過現(xiàn)有量140。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型，并用圖解法求解。36例5、已知一個生產(chǎn)其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤，x1,解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模型如下：37解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模0x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD結(jié)論：C(60,58.3)為所求的滿意解。380x20⑴x1140204060

檢驗：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-＝0

；d3+＝d3-＝0

；d2-=0，d2+存在；d4+＝0，d4-存在。所以，有下式：minZ=

將x1＝60，x2＝58.3帶入約束條件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>

140；1×60＝601×58.3＝58.3<100

由上可知：若A、B的計劃產(chǎn)量為60件和58.3件時，所需甲資源數(shù)量將超過現(xiàn)有庫存。在現(xiàn)有條件下，此解為非可行解。為此，企業(yè)必須采取措施降低A、B產(chǎn)品對甲資源的消耗量，由原來的100％降至78.5％（140÷178.3＝0.785），才能使生產(chǎn)方案（60，58.3）成為可行方案。39檢驗：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-＝0求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法

目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時作以下規(guī)定：①因為目標(biāo)函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗數(shù)為：②因為非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，所以檢驗數(shù)的正、負(fù)首先決定于P1的系數(shù)

1j的正負(fù)，若1j

=0，則檢驗數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù)2j的正負(fù)，40求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法所以檢驗數(shù)的正、負(fù)首先決定于p1的系數(shù)1j的正、負(fù)，若1j=0，則檢驗數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù)2j的正、負(fù)，下面可依此類推。

據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標(biāo)規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。41所以檢驗數(shù)的正、負(fù)首先決定于p1的系數(shù)1j的正、負(fù)，①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當(dāng)存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進(jìn)行基變換運(yùn)算，建立新的計算表，返回②。⑤當(dāng)l=L時，計算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。42①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L例4：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題.解：首先將這一問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：43例4：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題.解：首先將這①取為初始基變量，列出初始單純形表。②取l=1，檢查檢驗數(shù)的p1行，因該行無負(fù)檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤。⑤因為l=1<L=3，置l=l+1=2，返回②。②檢查發(fā)現(xiàn)檢驗數(shù)p2行中有-1，-2，因為有min{-1,-2}=-2，所以x2為換入變量，轉(zhuǎn)入③。

44①取為初始基變量，列出初始單純形表

③按規(guī)則計算：，所以d2-為換出變量，轉(zhuǎn)入④。

④進(jìn)行換基運(yùn)算，得表3。以此類推，直至得到最終單純形表4為止。45③按規(guī)則計算：表246表246表3由表3可知，x1*=2，x2*=4，為滿意解。檢查檢驗數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量d3+的檢驗數(shù)為0，這表明該問題存在多重解。47表3由表3可知，x1*=2，x2*=4，為滿意解。檢查檢表4

在表3中，以非基變量d3+為換入變量，d1-為換出變量，經(jīng)迭代得到表4。

從表4可以看出，x1*=10/3，x2*=10/3也是該問題的滿意解。48表4在表3中，以非基變量d3+為換入變量，d1-為換

用目標(biāo)達(dá)到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實現(xiàn)。該函數(shù)的使用方法，如下:多目標(biāo)規(guī)劃的Matlab求解X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)

[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)49用目標(biāo)達(dá)到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計算過程，可以通過調(diào)在MATLAB中，多目標(biāo)問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為:其中：x、b、beq、lb、ub是向量；A、Aeq為矩陣；C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的函數(shù)；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數(shù)；weight為權(quán)值系數(shù)向量，用于控制對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)與用戶定義的目標(biāo)函數(shù)值的接近程度；goal為用戶設(shè)計的與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值向量；為一個松弛因子標(biāo)量；F(x)為多目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)向量。50在MATLAB中，多目標(biāo)問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為:其中：x、b、be例：某工廠因生產(chǎn)需要，欲采購一種原料，市場上這種原材料有兩個等級，甲級單價2元/kg,乙級單價1元/kg，現(xiàn)要求總費(fèi)用不超過200元，購得原料總量不少于100kg,其中甲級原料不少于50kg，問如何確定最好的采購方案。分析:列出方程

x1≥50;2x1+x2≤200;x1+x2≥100;x1,x2≥0化為標(biāo)準(zhǔn)形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥051例：某工廠因生產(chǎn)需要，欲采購一種原料，市場上這種原材料有兩個matlab程序

fun='[2*x(1)+x(2),-x(1)-x(2),-x(1)]';a=[21;-1-1;-10];b=[200-100-20]';goal=[200,-100,-50];weight=goal;x0=[55,55];lb=[0,0]';[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,[],[],lb,[])

化為標(biāo)準(zhǔn)形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥052matlab程序

fun='[2*x(1)+x(2),-x(Optimizationterminated:Searchdirectionlessthan2*options.TolX

andmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.

Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-006):

lower

upper

ineqlin

ineqnonlin

2

2

3x=

50.0000

50.0000fval=

150.0000-100.0000

-50.0000attainfactor=

-1.4476e-024exitflag=

4

53Optimizationterminated:Searc一、土地利用問題二、生產(chǎn)計劃問題三、投資問題四多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例

54一、土地利用問題四多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例54大豆一、土地利用問題例:

某農(nóng)場I、II、III等耕地的面積分別為100hm2、300hm2和200hm2，計劃種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地種植三種作物的單產(chǎn)如下表所示。若三種作物的售價分別為水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制訂種植計劃，才能使總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大？

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米14000120001000055大豆一、土地利用問題例:某農(nóng)場I、II、III等耕地的面積

取xij決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標(biāo)，那么，目標(biāo)函數(shù)包括：②追求總產(chǎn)值最大①追求總產(chǎn)量最大

56取xij決策變量，它表示在第j等級的耕地上種根據(jù)題意，約束方程包括：

非負(fù)約束

對上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。耕地面積約束最低收獲量約束57根據(jù)題意，約束方程包括：非負(fù)約束對上述多目1.用線性加權(quán)方法取1=2=0.5,重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：這樣，就將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃。用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表581.用線性加權(quán)方法取1=2=0.5,重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176公頃、種植玉米280.8824公頃。在此方案下，線性加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的最大取值為6445600。用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表59此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植2.目標(biāo)規(guī)劃方法

實際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我們還可以用目標(biāo)規(guī)劃方法求解上述多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果我們對總產(chǎn)量f1(X)和總產(chǎn)值f1(X)，分別提出一個期望目標(biāo)值（kg）（元）并將兩個目標(biāo)視為相同的優(yōu)先級。602.目標(biāo)規(guī)劃方法實際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我

如果d1+、d1-分別表示對應(yīng)第一個目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，d2+、d2-分別表示對應(yīng)于第二個目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，而且將每一個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量同等看待（即可將它們的權(quán)系數(shù)都賦為1），那么，該目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)為：對應(yīng)的兩個目標(biāo)約束為：即：

61如果d1+、d1-分別表示對應(yīng)第一個目標(biāo)期望值的正、

除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負(fù)約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束式和最低收獲量約束式；非負(fù)約束，不但包括決策變量的非負(fù)約束式，還包括正、負(fù)偏差變量的非負(fù)約束：解上述目標(biāo)規(guī)劃問題，可以得到一個非劣解方案，詳見表:在此非劣解方案下，兩個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量分別為，，，。62除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非二、生產(chǎn)計劃問題

某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費(fèi)用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達(dá)到最大?分析:該問題是一個線性多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用x1和x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費(fèi)用（單位：元）；f2(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標(biāo)規(guī)劃問題就是：求x1和x2，使：63二、生產(chǎn)計劃問題某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)分析:該問題是一個線性多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用x1和x2表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；f1(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費(fèi)用（單位：元）；f2(x1,x2)表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標(biāo)規(guī)劃問題就是：求x1和x2，使：而且滿足：64分析:該問題是一個線性多目標(biāo)規(guī)劃問題。而且滿足：64

對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：（1）每個月的總投資不超30000元；（2）每個月的總利潤達(dá)到或超過45000元；（3）兩個目標(biāo)同等重要。那么，借助Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進(jìn)行求解，可以得到一個非劣解方案為：而且滿足：65對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：而且滿足：

[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)按照此方案進(jìn)行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同時需要投資29700元。66而且滿足：[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXI三、投資問題

某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個項目的技術(shù)改造。設(shè)x1、x2分別表示分配給A、B項目的投資（萬元）。據(jù)估計，投資項目A、B的年收益分別為投資的60%和70%；但投資風(fēng)險損失，與總投資和單項投資均有關(guān)系：

據(jù)市場調(diào)查顯示，A項目的投資前景好于B項目，因此希望A項目的投資額不小B項目。試問應(yīng)該如何在A、B兩個項目之間分配投資，才能既使年利潤最大，又使風(fēng)險損失為最小？67三、投資問題某企業(yè)擬用1000萬元投資于A

該問題是一個非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，將它用數(shù)學(xué)語言描述出來，就是：求x1、x2，使：而且滿足：

對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標(biāo)是：（1）每一年的總收益不小于600萬元；（2）希望投資風(fēng)險損失不超過800萬元；（3）兩個目標(biāo)同等重要。那么，借助Matlab軟件中的優(yōu)化計算工具進(jìn)行求解，可以得到一個非劣解方案為：68該問題是一個非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，將它用數(shù)學(xué)語言描述

x1＝646.3139萬元，x2＝304.1477萬元此方案的投資風(fēng)險損失為799.3082萬元，每一年的總收益為600.6918萬元。matlab程序

fun='[-0.60*x(1)-0.70*x(2),0.001*x(1)^2+0.002*x(2)^2+0.001*x(1)*x(2)]';a=[-1,1];b=[0];Aeq=[1,1];beq=[1000];goal=[600,800];weight=goal;x0=[600,600];lb=[0,0];[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,Aeq,beq,lb,[])

69x1＝646.3139萬元，x2＝304.1477萬練習(xí)1：用圖解法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問題70練習(xí)1：用圖解法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問題70⑴⑵⑶⑷CD結(jié)論：有無窮多最優(yōu)解。C（2，4）D（10/3，10/3）71⑴⑵⑶⑷CD結(jié)論：有無窮多最優(yōu)解。C（2，4）D（10/3，練習(xí)2：用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問題72練習(xí)2：用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問題72Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

001－11－100000P21012001－1000

P3

5681000001－100x3

11210000001σkjP1

0000100000P2

－10－1－20002000P3

－56－8－100000010θ=min{10/2,56/10,11/1｝=5,故為換出變量。73Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2x3

023/201－11/2-1/20000x251/21001/2-1/2000

P3

63000-551－100

x3

63/2000-1/21/2001σkjP1

0000100000P2

0000011000P3

－6－30005-5010θ=min｛10/3,10,6/3,12/3｝=2,故為換出變量。74Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2xCj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2x3

02001－13-3-1/21/200x2401004/3-4/3-1/61/600x121000-5/35/31/3-1/300x3

300002-2-1/21/21σkjP1

0000100000P2

0000011000P3

0000000100最優(yōu)解為x1＝2，x2＝4。但非基變量的檢驗數(shù)為零，故此題有無窮多最優(yōu)解。θ=min｛4,24,6｝=4,故為換出變量。75Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2xCj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2x3

04002-26-6-1100x210/301-1/31/31/3-1/30000x110/3102/3-2/31/3-1/30000x3

100-1－1-11001σkjP1

0000100000P2

0000011000P3

0000000100最優(yōu)解為x1＝10/3,，x2=10/3。76Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x第九講多目標(biāo)規(guī)劃方法

多目標(biāo)規(guī)劃解的討論——非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實例

77第九講多目標(biāo)規(guī)劃方法多目標(biāo)規(guī)劃解的討論——非劣解1多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標(biāo)最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實際問題中，例如經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、科學(xué)和工程設(shè)計等領(lǐng)域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標(biāo)來判斷，而需要用多個目標(biāo)來比較，而這些目標(biāo)有時不甚協(xié)調(diào)，甚至是矛盾的。因此有許多學(xué)者致力于這方面的研究。1896年法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標(biāo)的優(yōu)化問題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數(shù)學(xué)家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。78多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支。2求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、理想點(diǎn)法等；另一種叫分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標(biāo)的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當(dāng)修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實用。

79求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：3

多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式：

一多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。80多目標(biāo)規(guī)劃模型（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部縮寫形式：有n個決策變量，k個目標(biāo)函數(shù)，m個約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數(shù)向量，(X)是m維函數(shù)向量；

G是m維常數(shù)向量；

（1）（2）81縮寫形式：有n個決策變量，k個目標(biāo)函數(shù)，m個約束方程，（1對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：

式中：

X為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。82對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以進(jìn)一步用矩陣表示：式中：多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解

多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最小），而不顧其它目標(biāo)。對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？83多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①的f2目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值f1比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說明。圖1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解84在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①

而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。85而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標(biāo)達(dá)到法目標(biāo)規(guī)劃模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介

為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。86效用最優(yōu)化模型二多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介為了求是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權(quán)法）

（1）

（2）

思想：規(guī)劃問題的各個目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問題：

87是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。方法一效在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值

i

來反映原問題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，i

應(yīng)滿足：向量形式：88在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時，需要確定一組權(quán)值i來反映原方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）

思想:規(guī)劃決策者對每一個目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值fi與期望值fi*之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：或?qū)懗删仃囆问剑?/p>

式中，是與第i個目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對角矩陣。89方法二罰款模型（理想點(diǎn)法）思想:規(guī)劃決策者對每一個理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題：方法三約束模型（極大極小法）

90理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個可供選擇的范圍，方法四目標(biāo)達(dá)到法

首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：91方法四目標(biāo)達(dá)到法首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)fi*(i=1,2,…,k),每一個目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為i*(i=1,2,…,k)，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問題就轉(zhuǎn)化為：92在求解之前，先設(shè)計與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo)方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）

需要預(yù)先確定各個目標(biāo)的期望值fi*，同時給每一個目標(biāo)賦予一個優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個目標(biāo)，L個優(yōu)先級(L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：

93方法五目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法）需要預(yù)式中：

di+和di－分別表示與fi相應(yīng)的、與fi*相比的目標(biāo)超過值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；pl表示第l個優(yōu)先級；lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級pl中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。94式中：18三目標(biāo)規(guī)劃方法

通過前面的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來的。后來，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進(jìn)一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問題的一般性方法——單純形方法。目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法95三目標(biāo)規(guī)劃方法通過前面的介紹和討論目標(biāo)規(guī)劃模型

給定若干目標(biāo)以及實現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。1.基本思想：2.目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價分別為8萬元和10萬元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設(shè)備分別為1單位臺時和2單位臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設(shè)備總臺時為10單位臺時。試問：如何確定其生產(chǎn)方案使得企業(yè)獲利最大？96目標(biāo)規(guī)劃模型給定若干目標(biāo)以及實現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有

由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大，這個企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求x1，x2，使將上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為:（萬元）。

甲乙擁有量原材料2111設(shè)備(臺時)1210單件利潤810生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？97由于決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大

但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件，如：②超過計劃供應(yīng)的原材料，需用高價采購，這就會使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺時，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計劃產(chǎn)值指標(biāo)56萬元。

這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個多目標(biāo)決策問題，這一問題可以運(yùn)用目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。①根據(jù)市場信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。98但是，在實際決策時，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級pk中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為kl+、kl-，則多目標(biāo)規(guī)劃問題可以表示為：目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束99假定有L個目標(biāo)，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級在以上各式中，kl+、kl-、分別為賦予pl優(yōu)先因子的第k個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，

gk為第k個目標(biāo)的預(yù)期值，

xj為決策變量，

dk+、dk-、分別為第k個目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束100在以上各式中，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)約束絕對約束非負(fù)約束24目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量

在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量d+、d-。其中，正偏差變量表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因為決策值不可能既超過目標(biāo)值同時又未達(dá)到目標(biāo)值，故有d+×d-=0成立。(2)

絕對約束和目標(biāo)約束

絕對約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

101目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。(1)偏差變量(2)

目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。

線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)

一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而p2級目標(biāo)是在實現(xiàn)p1級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。102目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追

若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)i*(i=1,2,…,k)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)

一個規(guī)劃問題,常常有若干個目標(biāo)，決策者對各個目標(biāo)的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即:首先保證p1級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時可以不考慮次級目標(biāo)；而p2級目標(biāo)是在實現(xiàn)p1級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。103若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的(4)目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過目標(biāo)值，也就是超過量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即基本形式有三種：104(4)目標(biāo)函數(shù)a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。分析:題目有三個目標(biāo)層次，包含三個目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1+;即產(chǎn)品甲的產(chǎn)量不大于乙的產(chǎn)量。第二目標(biāo)：p2(d2++d2-);即充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；第三目標(biāo)：p3d3-

;即產(chǎn)值不小于56萬元；105例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標(biāo)優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是106例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮例3、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。(1)試制定生產(chǎn)計劃，使獲得的利潤最大？12070單件利潤3000103設(shè)備臺時200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲單位產(chǎn)品資源消耗解:設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品:x1

，乙產(chǎn)品:x2,(1)107例3、某廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料

若在例3中提出下列要求：1、完成或超額完成利潤指標(biāo)50000元；2、產(chǎn)品甲不超過200件，產(chǎn)品乙不低于250件；3、現(xiàn)有鋼材3600噸必須用完。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。分析：題目有三個目標(biāo)層次，包含四個目標(biāo)值。第一目標(biāo)：p1d1-第二目標(biāo)：有兩個要求即甲d2+，乙d3-，但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤比作為權(quán)系數(shù)即70:120，化簡為7:12。第三目標(biāo)：108若在例3中提出下列要求：分析：題目有所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：109所以目標(biāo)規(guī)劃模型為：33

圖解法同樣適用兩個變量的目標(biāo)規(guī)劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標(biāo)規(guī)劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟如下：1、確定各約束條件的可行域。即將所有約束條件（包括目標(biāo)約束和絕對約束，暫不考慮正負(fù)偏差變量）在坐標(biāo)平面上表示出來；2、在目標(biāo)約束所代表的邊界線上，用箭頭標(biāo)出正、負(fù)偏差變量值增大的方向；目標(biāo)規(guī)劃的圖解法

3、求滿足最高優(yōu)先等級目標(biāo)的解；4、轉(zhuǎn)到下一個優(yōu)先等級的目標(biāo)，再不破壞所有較高優(yōu)先等級目標(biāo)的前提下，求出該優(yōu)先等級目標(biāo)的解；5、重復(fù)4，直到所有優(yōu)先等級的目標(biāo)都已審查完畢為止；6、確定最優(yōu)解和滿意解。110圖解法同樣適用兩個變量的目標(biāo)規(guī)劃問題，但其操作簡單例4、用圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃問題012345678123456

⑴⑵⑶Ax2

x1BC由于d2-取最小，所以，（2）線可向上移動，故B，C線段上的點(diǎn)是該問題的最優(yōu)解。111例4、用圖解法求解目標(biāo)012

例5、已知一個生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型為

其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤，x1,x2為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量。現(xiàn)有下列目標(biāo)：1、要求總利潤必須超過2500元；2、考慮產(chǎn)品受市場影響，為避免積壓，

A、B的生產(chǎn)量不超過60件和100件；3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過現(xiàn)有量140。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型，并用圖解法求解。112例5、已知一個生產(chǎn)其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤，x1,解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模型如下：113解：以產(chǎn)品A、B的單件利潤比2.5:1為權(quán)系數(shù)，模0x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD結(jié)論：C(60,58.3)為所求的滿意解。1140x20⑴x1140204060

檢驗：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-＝0

；d3+＝d3-＝0

；d2-=0，d2+存在；d4+＝0，d4-存在。所以，有下式：minZ=

將x1＝60，x2＝58.3帶入約束條件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>

140；1×60＝601×58.3＝58.3<100

由上可知：若A、B的計劃產(chǎn)量為60件和58.3件時，所需甲資源數(shù)量將超過現(xiàn)有庫存。在現(xiàn)有條件下，此解為非可行解。為此，企業(yè)必須采取措施降低A、B產(chǎn)品對甲資源的消耗量，由原來的100％降至78.5％（140÷178.3＝0.785），才能使生產(chǎn)方案（60，58.3）成為可行方案。115檢驗：將上述結(jié)果帶入模型，因d1+＝d1-＝0求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法

目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時作以下規(guī)定：①因為目標(biāo)函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗數(shù)為：②因為非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，所以檢驗數(shù)的正、負(fù)首先決定于P1的系數(shù)

1j的正負(fù)，若1j

=0，則檢驗數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù)2j的正負(fù)，116求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法所以檢驗數(shù)的正、負(fù)首先決定于p1的系數(shù)1j的正、負(fù)，若1j=0，則檢驗數(shù)的正、負(fù)就決定于p2的系數(shù)2j的正、負(fù)，下面可依此類推。

據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標(biāo)規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。117所以檢驗數(shù)的正、負(fù)首先決定于p1的系數(shù)1j的正、負(fù)，①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當(dāng)存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進(jìn)行基變換運(yùn)算，建立新的計算表，返回②。⑤當(dāng)l=L時，計算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。118①建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別排成L例4：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題.解：首先將這一問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：119例4：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題.解：首先將這①取為初始基變量，列出初始單純形表。②取l=1，檢查檢驗數(shù)的p1行，因該行無負(fù)檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤。⑤因為l