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文檔簡介
2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或12.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.03.在平面直角坐標系中,已知點,,若動點滿足,則的取值范圍是()A. B.C. D.4.設(shè)拋物線上一點到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.35.若點(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或6.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.7.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點,過點作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點,若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.8.某學校組織學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.609.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),設(shè)其前n項和,若(),則()A.30 B. C. D.6210.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有()A. B. C. D.11.若復數(shù)滿足,則(其中為虛數(shù)單位)的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.412.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個算法的偽代碼,運行后輸出的值為___________.14.在中,內(nèi)角所對的邊分別是.若,,則__,面積的最大值為___.15.的展開式中,的系數(shù)是______.16.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、,其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點,、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.18.(12分)在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且長度單位相同.(1)求圓的極坐標方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長為,求直線的傾斜角.19.(12分)一年之計在于春,一日之計在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種,每個坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進行補播種,否則要補播種.(1)當取何值時,有3個坑要補播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當時,用表示要補播種的坑的個數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.20.(12分)已知兩數(shù).(1)當時,求函數(shù)的極值點;(2)當時,若恒成立,求的最大值.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最小值為,正實數(shù)、滿足,求證:.22.(10分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變,得到曲線,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線與曲線交于點,將射線繞極點逆時針方向旋轉(zhuǎn)交曲線于點.(1)求曲線的參數(shù)方程;(2)求面積的最大值.
2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【答案解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導數(shù),求得切點坐標,代入直線方程,求得的值.【題目詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【答案點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.2.B【答案解析】
根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點,得到每爬1步回到起點,周期為1.計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點,即可計算出它們的距離.【題目詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過1段后又回到起點,可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點;同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點,所以它們此時的距離為.故選B.【答案點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.3.D【答案解析】
設(shè)出的坐標為,依據(jù)題目條件,求出點的軌跡方程,寫出點的參數(shù)方程,則,根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍,可求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè),則∵,∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數(shù)方程為(為參數(shù))則由向量的坐標表達式有:又∵∴故選:D【答案點睛】考查學生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力,熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換,能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有:①直接法;②定義法;③相關(guān)點法;④參數(shù)法;⑤待定系數(shù)法4.A【答案解析】
分析:題設(shè)的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點到準線的距離,也就是到焦點的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準線的距離,故為到焦點的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點睛:拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準線或焦點的距離來求解.5.D【答案解析】
由題得,解方程即得k的值.【題目詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【答案點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.6.C【答案解析】
利用的前項和求出數(shù)列的通項公式,可計算出,然后利用裂項法可求出的值.【題目詳解】.當時,;當時,由,可得,兩式相減,可得,故,因為也適合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【答案點睛】本題考查利用求,同時也考查了裂項求和法,考查計算能力,屬于中等題.7.C【答案解析】
如圖所示:切點為,連接,作軸于,計算,,,,根據(jù)勾股定理計算得到答案.【題目詳解】如圖所示:切點為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【答案點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.8.D【答案解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【題目詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學生人數(shù))是60(人).故選:D.【答案點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題,也考查了頻率的應用問題,屬于基礎(chǔ)題9.B【答案解析】
根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式,得到關(guān)于首項和公比的方程組,解方程組求出首項和公式,最后利用等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項公式可得:,因此.故選:B【答案點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用,考查了數(shù)學運算能力.10.B【答案解析】
計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選:B.【答案點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【答案解析】
根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知復數(shù)對應的點在以原點為圓心,1為半徑的圓上,再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可確定,即可得的最大值.【題目詳解】由知,復數(shù)對應的點在以原點為圓心,1為半徑的圓上,表示復數(shù)對應的點與點間的距離,又復數(shù)對應的點所在圓的圓心到的距離為1,所以.故選:B【答案點睛】本題考查了復數(shù)模的定義及其幾何意義應用,屬于基礎(chǔ)題.12.B【答案解析】
可解出集合,然后進行補集、交集的運算即可.【題目詳解】,,則,因此,.故選:B.【答案點睛】本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.13【答案解析】根據(jù)題意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件,故得到此時輸出的b值為13.故答案為13.14.1【答案解析】
由正弦定理,結(jié)合,,可求出;由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【題目詳解】因為,所以由正弦定理可得,所以;所以,當,即時,三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【答案點睛】本題主要考查解三角形的問題,熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解,屬于基礎(chǔ)題型.15.【答案解析】
先將原式展開成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項即可得解.【題目詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【答案點睛】本題考查二項式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.16.【答案解析】
設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導數(shù)法求的范圍.【題目詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因為是以為底邊的等腰三角形,所以,即,因為,所以,因為,所以,所以,即,而,因為,所以在上遞增,所以.故答案為:【答案點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2).【答案解析】
(1)根據(jù),由向量,的坐標直接計算即得;(2)先求出,再根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系解得.【題目詳解】(1)由題,向量,,則.(2),.,,整理得,化簡得,即,,,,即.【答案點睛】本題考查平面向量的坐標運算,以及向量平行,是??碱}型.18.(1);(2)或【答案解析】
(1)消去參數(shù)可得圓的直角坐標方程,再根據(jù),,即可得極坐標方程;(2)寫出直線的極坐標方程為,代入圓的極坐標方程,根據(jù)極坐標的意義列出等式解出即可.【題目詳解】(1)圓:,消去參數(shù)得:,即:,∵,,.∴,.(2)∵直線:的極坐標方程為,當時.即:,∴或.∴或,∴直線的傾斜角為或.【答案點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程,直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義,屬于中檔題.19.(1)當或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為;(2)見解析.【答案解析】
(1)將有3個坑需要補種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時有3個坑要補播種的概率最大.(2)n=1時,X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計算出每個變量對應的概率,列出分布列,求期望即可.【題目詳解】(1)對一個坑而言,要補播種的概率,有3個坑要補播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因為,所以當時,;當時,;所以當或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分布列為01231的數(shù)學期望.【答案點睛】本題考查了古典概型的概率求法,離散型隨機變量的概率分布,二項分布,主要考查簡單的計算,屬于中檔題.20.(1)唯一的極大值點1,無極小值點.(2)1【答案解析】
(1)求出導函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導數(shù)值的正負,確定極值點;(2)問題可變形為恒成立,由導數(shù)求出函數(shù)的最小值,時,無最小值,因此只有,從而得出的不等關(guān)系,得出所求最大值.【題目詳解】解:(1)定義域為,當時,,令得,當所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點,無極小值點.(2)當時,.若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1.【答案點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題.在求極值時,由確定的不一定是極值點,還需滿足在兩側(cè)的符號相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用.21.(1);(2)見解析.【答案解析】
(1)分、、三種情況解不等式,綜合可得出原不等式的的解集;(2)利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為
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