公式化簡最小項表達式

關(guān)于公式化簡最小項表達式第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20221第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)3.最簡的標準：AB+AC與或式=ABAC與非與非式兩次取反=A(B+C)或與式=A＋B+C或非或非式兩次取反與或式使用最多，因此只討論與或式的最簡標準.(1)含的與項最少；－－門最少(2)各與項中的變量數(shù)最少。－－門的輸入端最少(3)要求電路的工作速度較高時，優(yōu)先考慮級數(shù)最少第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20222第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二、公式法1.相鄰項合并法利用合并相鄰項公式:AB+AB=A例2：F=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A例1：F=AB+CD+AB+CD=A+D=(AB+AB)+(CD+CD)第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20223第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)練習：用并項法化簡下列邏輯函數(shù)第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20224第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)⊙練習：第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20225第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.消項法=AB例1：F=AB+ABC+ABD=AB+AB(C+D)例2：F=AC+CD+ADE+ADG=AC+CD利用消項公式A+AB=A或A+AB=A+B或AB+AC+BC=AB+AC第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20226第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例3：F=AB+AC+BC=AB+C=AB+ABC例4：F=AB+AB+ABCD+ABCD=AB+AB+CD(AB+AB)=AB+AB+CD第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20227第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)練習：第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20228第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/20229第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)(3)配項法利用消項公式A=A+A或1=A+A或AB+AC=AB+AC+BC配出多余項，再與其它項合并例：解：第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202210第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)練習：第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202211第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)練習：第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202212第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)先找公共因子，再找互補因子(4)綜合法公式名稱公式1.0-1律A·0=0A+1=12.自等律A·1=AA+0=A3.等冪律A·A=AA+A=A4.互補律A·A=0A+A=15.交換律A·B=B·AA+B=B+A6.結(jié)合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C7.分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)8.吸收律1(A+B)(A+B)=AAB+AB=A9.吸收律2A(A+B)=AA+AB=A10.吸收律3A(A+B)=ABA+AB=A+B11.多余項定律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC12.求反律AB=A+BA+B=A·B13.否否律A=A第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202213第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例1

解法1

F=ABC+ABC+AB(吸收律1ABC+ABC=AB)=ABC+A（BC+B）（分配律）=ABC+A（C+B）（吸收律3）=ABC+AC+AB（分配律）=（AB+A）C+AB（分配律）=（B+A）C+AB（吸收律3）=BC+AC+AB（分配律）第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202214第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例1此例告訴我們某一項對化簡有利可以反復(fù)應(yīng)用若干次，此例ABC項就反復(fù)用了三次F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC（等冪律）

解法2=BC

+

+

（吸收律1）（ABC+ABC=BC，ABC+ABC=AC，ABC+ABC=AB）ACAB第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202215第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH例2解:

原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH（吸收律1）=A+AC+BD+BEG+DEGH(吸收律2)

=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3）第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202216第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例3F=AB+BC+BC+AB此題按常規(guī)的方法用公式無法再化簡，經(jīng)過一定的處理可再化簡：F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C）（互補律A+A=1）=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC（分配律）=AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律2：

AB+ABC=AB）=AB+BC+ABC+ABC

（吸收律2：BC+ABC=BC）=AB+BC+AC（吸收律1:ABC+ABC=AC）第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202217第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)公式化簡法優(yōu)點：不受變量數(shù)目的限制。缺點：沒有固定的步驟可循； 需要熟練運用各種公式和定理； 在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時還需 要一定的技巧和經(jīng)驗； 有時很難判定化簡結(jié)果是否最簡。第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202218第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第五節(jié)邏輯函數(shù)的表達式一、常見表達式二、標準表達式1.最小項、最小項表達式2.最小項的性質(zhì)4.由真值表寫出最小項表達式的方法3.由一般表達式寫出最小項表達式的方法第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202219第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)一、常見表達式F=AB+AC=AB+AC=AB·AC=(A+B)·(A+C)與或式

與非—與非式與或非式=AB+AC第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202220第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)=(A+B)·(A+C)或與式=(A+B)·(A+C)=A+B+A+C或非—或非式二、標準表達式1.最小項、最小項表達式(1)最小項的概念及其表示第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202221第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例1：已知三變量函數(shù)F(A,B,C)，則ABC就是一個最小項，通常寫成m5。其中，m表示最小項，5表示最小項的編號ABC(101)2

(5)10

例2：已知四變量函數(shù)F(A,B,C,D)，則BACD就是一個最小項，其最小項編號為多少？解：把最小項中的變量從左到右按A,B,C,D的順序排列，得ABCD，從而得(0111)2，即(7)10。所以，此最小項的編號為7，通常寫成m7。第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202222第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)(2)最小項表達式（標準與或式）例：F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202223第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)一變量函數(shù)，如F(A)，共有：2個最小項2.最小項的性質(zhì)即：A、A二變量函數(shù)，如F(A,B)，共有：4個最小項三變量函數(shù)，如F(A,B,C)，共有：8個最小項即：AB、AB、AB、AB即：ABC、ABC、ABC、ABCABC、ABC、ABC、ABC結(jié)論：n變量函數(shù)，共有：2n

個最?。ù螅╉?。第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202224第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)(1)最小項的主要性質(zhì)①對任何一個最小項，只有一組變量的取值組合，使它的值為1。第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202225第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)ABCABC00000010010001101000101111001110能使最小項的值為1的取值組合，稱為與該最小項對應(yīng)的取值組合。例：101ABC。若把與最小項對應(yīng)的取值組合看成二進制數(shù)，則對應(yīng)的十進制數(shù)就是該最小項的編號i。第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202226第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)②全部最小項之和恒等于1。即：③任意兩個最小項的乘積恒等于0。即：

第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202227第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)即：④任一最小項與另一最小項非之積恒等于該最小項。證明：若自變量的取值組合使mi=1(有且只有一組)，則：若自變量的取值組合使mi=0(其余2n

-1組)，則：所以，等式成立。第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202228第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)證明：即上述關(guān)系式成立。⑤第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202229第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)證明：根據(jù)反演規(guī)則和對偶規(guī)則之間的關(guān)系可知，F(xiàn)中的原、反變量互換，即得到F′。所以，F(xiàn)和F′中包含的最小項的個數(shù)是相等的，且對應(yīng)的最小項的編號之和為(2n-1)。即上述關(guān)系式成立。⑥第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202230第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例1：若=ABC+ABC+ABC則F′(A,B,C)=ABC+ABC+ABC例2：若則解：第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202231第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)3.由一般表達式寫出最小項表達式的方法：一般表達式與或式A+A=1最小項表達式例1：解：F(A,B,C)=AB(C+C)=ABC+ABC第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202232第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例2：=AB=ABC+ABC解：F(A,B,C)=AB(A+B)第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202233第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)練習：F

=

ABC+BC+AC=ABC+BC（A+A）+AC（B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=

m0+m3+

m4+

m6+m7=

∑（0,3,4,6,7）F

=

ABC+BC+AC第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日12/16/202234第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)4.由真值表寫出最小項表達式的方法最小項表達式是真值表中所有使函數(shù)值