工程力學(xué)：彎曲應(yīng)力課件

第10章彎曲應(yīng)力

§10–1純彎曲一、純彎曲純彎曲:只有M而無Q的平面彎曲.橫力彎曲或剪切彎曲:既有M又有Q的平面彎曲.PPABaaP(+)(-)Q圖-PPa(+)M圖橫力彎曲（剪切彎曲）:橫截面上同時有剪力和彎矩.純彎曲:如果橫截面上剪力等于零，而彎矩為一常數(shù)，即只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力.

第10章彎曲應(yīng)力§10–1純彎曲純彎曲:橫力1二、純彎曲時的正應(yīng)力（由實驗觀察得如下現(xiàn)象：）

a.變形后，所有橫向線仍保持為直線，只是相對傾斜了一個角度。

b.變形后，所有縱向線變成曲線，仍保持平行;上、下部分的縱向線分別縮短和伸長。中性層：梁內(nèi)存在一個縱向?qū)?，在變形時，該層的縱向纖維即不伸長也不縮短，稱為中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。

二、純彎曲時的正應(yīng)力（由實驗觀察得如下現(xiàn)象：）a.變形后2根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀察到的現(xiàn)象相一致，可提出如下假設(shè)：

a.平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉(zhuǎn)過一個角度，仍垂直于變形后梁的軸線。

b.各縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓為了研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律及計算，要綜合考慮變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系及靜力平衡關(guān)系。

根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀察到的現(xiàn)象相一3研究距中性層y處縱向纖維ab的變形：

2、物理關(guān)系

——中性層彎曲后的曲率半徑

1、幾何關(guān)系MzσCxy研究距中性層y處縱向纖維ab的變形：2、物理關(guān)系——中性43、靜力學(xué)關(guān)系MzσdAyCxyz3、靜力學(xué)關(guān)系MzσdAyCxyz5(1)確定中性軸的位置結(jié)論:中性軸通過形心,與形心軸重合.靜矩MzσdAyCxyz橫截面對z軸的靜矩——中性軸Z一定通過橫截面形心(1)確定中性軸的位置結(jié)論:中性軸通過形心,與形心軸重合.6(2)確定形心主軸結(jié)論:yz軸必為形心主軸慣性積MzσdAyCxyz(2)確定形心主軸結(jié)論:yz軸必為形心主軸慣性積Mzσ7(3)導(dǎo)出彎曲正應(yīng)力公式慣性矩解出:MzσdAyCxyz——截面的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力(3)導(dǎo)出彎曲正應(yīng)力公式慣性矩解出:MzσdAyCxyz—81、平面彎曲；2、具有縱向?qū)ΨQ面的梁；3、材料在彈性范圍內(nèi)。三、正應(yīng)力公式的使用條件

1、平面彎曲；三、正應(yīng)力公式的使用條件9§10–2

橫力彎曲時的正應(yīng)力橫截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大正應(yīng)力(1)等直梁令--抗彎截面模量矩形:圓形:空心圓:§10–2橫力彎曲時的正應(yīng)力橫截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大10(3)無水平對稱軸的梁彎曲強度條件最大彎曲拉應(yīng)力最大彎曲壓應(yīng)力(2)變截面梁:綜合考慮M和確定σmaxy2y2y1yz拉壓抗拉壓強度不等的材料(3)無水平對稱軸的梁彎曲強度條件最大彎曲拉應(yīng)力最大彎曲壓11強度計算的步驟強度計算的步驟12根據(jù)正應(yīng)力強度條件，可解決工程中的三類問題：

⑴強度校核

⑵截面設(shè)計⑶確定容許荷載

根據(jù)正應(yīng)力強度條件，可解決工程中的三類問題：⑴強度校核13例題：1、一外伸梁受力如圖所示，材料的許用應(yīng)力[]=160MPa,橫截面為h/b=3的矩形，試確定此梁橫截面尺寸h和b。

例題：14例2：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T型截面，已知材料的容許拉應(yīng)力為容許壓應(yīng)力試校核梁的強度。

Z例2：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T型截面，已知材料15解（一）作梁的彎矩圖如圖最大正彎矩

最大負(fù)彎矩

解（一）作梁的彎矩圖如圖最大負(fù)彎矩16(三)截面對中性軸的慣性矩

截面形心距底邊

（二）確定中性軸的位置

(三)截面對中性軸的慣性矩截面形心距底邊（二）確定中性軸171.拉應(yīng)力強度校核

A截面為負(fù)彎矩，上部受拉

C截面為正彎矩，下部受拉

由于

，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣

拉應(yīng)力強度足夠。

（四）校核梁的強度（繪出應(yīng)力分布圖）

A截面C截面1.拉應(yīng)力強度校核A截面為負(fù)彎矩，上部受拉C截面為正彎矩18A截面下部受壓

：

C截面上部受壓

：

由于，最大壓應(yīng)力發(fā)生在A截面的下邊緣

壓應(yīng)力強度足夠。

2．壓應(yīng)力強度校核

A截面C截面A截面下部受壓：C截面上部受壓：由于19①假設(shè)矩形截面上剪應(yīng)力的方向和剪力Q的方向相同。

②假設(shè)截面上剪應(yīng)力沿寬度b是均勻分布的。

導(dǎo)出的剪應(yīng)力計算式為：

矩形截面梁的剪應(yīng)力（推導(dǎo)略）

在推導(dǎo)矩形截面梁的剪應(yīng)力公式時，作如下兩點假設(shè)：

§10–4彎曲剪應(yīng)力1、矩形截面梁①假設(shè)矩形截面上剪應(yīng)力的方向和剪力Q的方向相同。②假設(shè)截20式中：

Q—橫截面上剪力

—需求剪應(yīng)力處，水平線以下（或以上）部分面積對中性軸的靜矩。

—整個橫截面對中性軸的慣性矩。

b—需求剪應(yīng)力處橫截面寬度。

式中：Q—橫截面上剪力—需求剪應(yīng)力處，水平線以下21在處，在處，剪應(yīng)力最大，即：

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的

1.5倍。

從上式可知，剪應(yīng)力分布是沿梁的高度按拋物線規(guī)律分布.圖7-4在處，在處，剪應(yīng)力最大222.工字型截面梁的剪應(yīng)力

主要考慮工字型截面梁腹板上的剪應(yīng)力計算。

可按照矩形截面梁的剪應(yīng)力公式計算：

式中：d—腹板寬度

—圖中因陰影部分面積對中性軸之靜矩。

圖7-52.工字型截面梁的剪應(yīng)力主要考慮工字型截面梁腹板上的剪23由式可知：時，最??；時，最大。（按拋物線規(guī)律分布）

圖7-5由式可知：時，最?。粫r，最大。（按拋物線規(guī)243.圓形截面梁橫截面上的最大剪應(yīng)力

a.圓截面：最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點處

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的倍。

b.薄壁圓截面最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點處：

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的2倍。

3.圓形截面梁橫截面上的最大剪應(yīng)力a.圓截面：254.剪應(yīng)力強度條件

梁內(nèi)最大剪應(yīng)力一般發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，若以表示中性軸以下（或以上）部分面積對中性軸的靜矩，則梁的剪應(yīng)力強度條件為：

在校核梁的強度或進行截面設(shè)計時，必須同時滿足梁的正應(yīng)力強度條件和剪應(yīng)力強度條件。在工程中，通常先按正應(yīng)力強度條件設(shè)計出截面尺寸，然后進行剪應(yīng)力強度校核。

4.剪應(yīng)力強度條件梁內(nèi)最大剪應(yīng)力一般發(fā)生在剪力最26例題：試為圖示外伸梁選擇一工字形截面，材料的許用應(yīng)力[]=160MPa，[]=80MPa。例題：試為圖示外伸梁選擇一工字形截面，材料的許用應(yīng)力[]27§10–5提高彎曲強度的措施

1選擇合理的形狀和截面較大可以提高梁的彎曲強度.(P107表7.1)2適當(dāng)布置載荷和支座的位置適當(dāng)布置載荷和支座的位置可以降低最大彎曲數(shù)值提高梁的彎曲強度yxM0(+)qxlABAxM0qxyAB0.2l0.2ll§10–5提高彎曲強度的措施1選擇合理的形狀和截面較大283等強度梁等強度梁:梁上各橫截面上的最大應(yīng)力都相等且等于許用應(yīng)力.FABl/2l/2Chxb(x)bmin1.h=c,b=b(x)xM(+)03等強度梁FABl/2l/2Chxb(x)bmin1.292.b=c

h=h(x)hminh(x)魚腹梁階梯軸2.b=ch=h(x)hminh(x)魚腹梁階梯軸30第10章彎曲應(yīng)力

§10–1純彎曲一、純彎曲純彎曲:只有M而無Q的平面彎曲.橫力彎曲或剪切彎曲:既有M又有Q的平面彎曲.PPABaaP(+)(-)Q圖-PPa(+)M圖橫力彎曲（剪切彎曲）:橫截面上同時有剪力和彎矩.純彎曲:如果橫截面上剪力等于零，而彎矩為一常數(shù)，即只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力.

第10章彎曲應(yīng)力§10–1純彎曲純彎曲:橫力31二、純彎曲時的正應(yīng)力（由實驗觀察得如下現(xiàn)象：）

a.變形后，所有橫向線仍保持為直線，只是相對傾斜了一個角度。

b.變形后，所有縱向線變成曲線，仍保持平行;上、下部分的縱向線分別縮短和伸長。中性層：梁內(nèi)存在一個縱向?qū)?，在變形時，該層的縱向纖維即不伸長也不縮短，稱為中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。

二、純彎曲時的正應(yīng)力（由實驗觀察得如下現(xiàn)象：）a.變形后32根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀察到的現(xiàn)象相一致，可提出如下假設(shè)：

a.平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉(zhuǎn)過一個角度，仍垂直于變形后梁的軸線。

b.各縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓為了研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律及計算，要綜合考慮變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系及靜力平衡關(guān)系。

根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀察到的現(xiàn)象相一33研究距中性層y處縱向纖維ab的變形：

2、物理關(guān)系

——中性層彎曲后的曲率半徑

1、幾何關(guān)系MzσCxy研究距中性層y處縱向纖維ab的變形：2、物理關(guān)系——中性343、靜力學(xué)關(guān)系MzσdAyCxyz3、靜力學(xué)關(guān)系MzσdAyCxyz35(1)確定中性軸的位置結(jié)論:中性軸通過形心,與形心軸重合.靜矩MzσdAyCxyz橫截面對z軸的靜矩——中性軸Z一定通過橫截面形心(1)確定中性軸的位置結(jié)論:中性軸通過形心,與形心軸重合.36(2)確定形心主軸結(jié)論:yz軸必為形心主軸慣性積MzσdAyCxyz(2)確定形心主軸結(jié)論:yz軸必為形心主軸慣性積Mzσ37(3)導(dǎo)出彎曲正應(yīng)力公式慣性矩解出:MzσdAyCxyz——截面的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力(3)導(dǎo)出彎曲正應(yīng)力公式慣性矩解出:MzσdAyCxyz—381、平面彎曲；2、具有縱向?qū)ΨQ面的梁；3、材料在彈性范圍內(nèi)。三、正應(yīng)力公式的使用條件

1、平面彎曲；三、正應(yīng)力公式的使用條件39§10–2

橫力彎曲時的正應(yīng)力橫截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大正應(yīng)力(1)等直梁令--抗彎截面模量矩形:圓形:空心圓:§10–2橫力彎曲時的正應(yīng)力橫截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大40(3)無水平對稱軸的梁彎曲強度條件最大彎曲拉應(yīng)力最大彎曲壓應(yīng)力(2)變截面梁:綜合考慮M和確定σmaxy2y2y1yz拉壓抗拉壓強度不等的材料(3)無水平對稱軸的梁彎曲強度條件最大彎曲拉應(yīng)力最大彎曲壓41強度計算的步驟強度計算的步驟42根據(jù)正應(yīng)力強度條件，可解決工程中的三類問題：

⑴強度校核

⑵截面設(shè)計⑶確定容許荷載

根據(jù)正應(yīng)力強度條件，可解決工程中的三類問題：⑴強度校核43例題：1、一外伸梁受力如圖所示，材料的許用應(yīng)力[]=160MPa,橫截面為h/b=3的矩形，試確定此梁橫截面尺寸h和b。

例題：44例2：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T型截面，已知材料的容許拉應(yīng)力為容許壓應(yīng)力試校核梁的強度。

Z例2：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T型截面，已知材料45解（一）作梁的彎矩圖如圖最大正彎矩

最大負(fù)彎矩

解（一）作梁的彎矩圖如圖最大負(fù)彎矩46(三)截面對中性軸的慣性矩

截面形心距底邊

（二）確定中性軸的位置

(三)截面對中性軸的慣性矩截面形心距底邊（二）確定中性軸471.拉應(yīng)力強度校核

A截面為負(fù)彎矩，上部受拉

C截面為正彎矩，下部受拉

由于

，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣

拉應(yīng)力強度足夠。

（四）校核梁的強度（繪出應(yīng)力分布圖）

A截面C截面1.拉應(yīng)力強度校核A截面為負(fù)彎矩，上部受拉C截面為正彎矩48A截面下部受壓

：

C截面上部受壓

：

由于，最大壓應(yīng)力發(fā)生在A截面的下邊緣

壓應(yīng)力強度足夠。

2．壓應(yīng)力強度校核

A截面C截面A截面下部受壓：C截面上部受壓：由于49①假設(shè)矩形截面上剪應(yīng)力的方向和剪力Q的方向相同。

②假設(shè)截面上剪應(yīng)力沿寬度b是均勻分布的。

導(dǎo)出的剪應(yīng)力計算式為：

矩形截面梁的剪應(yīng)力（推導(dǎo)略）

在推導(dǎo)矩形截面梁的剪應(yīng)力公式時，作如下兩點假設(shè)：

§10–4彎曲剪應(yīng)力1、矩形截面梁①假設(shè)矩形截面上剪應(yīng)力的方向和剪力Q的方向相同。②假設(shè)截50式中：

Q—橫截面上剪力

—需求剪應(yīng)力處，水平線以下（或以上）部分面積對中性軸的靜矩。

—整個橫截面對中性軸的慣性矩。

b—需求剪應(yīng)力處橫截面寬度。

式中：Q—橫截面上剪力—需求剪應(yīng)力處，水平線以下51在處，在處，剪應(yīng)力最大，即：

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的

1.5倍。

從上式可知，剪應(yīng)力分布是沿梁的高度按拋物線規(guī)律分布.圖7-4在處，在處，剪應(yīng)力最大522.工字型截面梁的剪應(yīng)力

主要考慮工字型截面梁腹板上的剪應(yīng)力計算。

可按照矩形截面梁的剪應(yīng)力公式計算：

式中：d—腹板寬度

—圖中因陰影部分面積對中性軸之靜矩。

圖7-52.工字型截面梁的剪應(yīng)力主要考慮工字型截面梁腹板上的剪53由式可知：時，最?。粫r，最大。（按拋物線規(guī)律分布）

圖7-5由式可知：時，最??；時，最大。（按拋物線規(guī)543.圓形截面梁橫截面上的最大剪應(yīng)力

a.圓截面：最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點處

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的倍。

b.薄壁圓截面最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點處：

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的2倍。

3.圓形截面梁橫截面上的最大