古希臘人的數(shù)學(xué)成就

8/8古希臘人的數(shù)學(xué)成就和埃及、美索不達米亞、印度、中國相比,希臘形成國家要晚一些。但是,從對人類科學(xué)文化開展的奉獻和影響來看,希臘完全可以和這些最古老的國家比美,它被稱為歐洲的文明古國。古代希臘包括巴爾干半島的南部,愛琴海和愛奧尼亞海的島嶼,還有克里特島和小亞細(xì)亞的沿岸地區(qū)。半島的東岸彎拐曲折,海灣很多,風(fēng)平浪微,有許多優(yōu)良的港口。古希臘人非常喜歡旅行和出海貿(mào)易,這使他們很早就接觸了先進的東方文化。那時候,奴隸擔(dān)負(fù)日常勞動,奴隸主就有足夠的時間去評論市政、爭辯法律訴訟和海外新聞,以此作為時髦的消遣。于是,那些善辯的人經(jīng)常把一些人聚集在自己的周圍作為門徒。公元前五百多年,畢達哥拉斯建立了青年兄弟會,以秘密的形式向會員傳授數(shù)學(xué)知識。一個世紀(jì)后,雅典出現(xiàn)了學(xué)校,給青年講授法律、政治、演說和數(shù)學(xué)方面的知識。新式的學(xué)校里沒有了那種神秘的色彩,不管教師和學(xué)生,什么都可以寫出來給人看。這種公開研究,自由爭論,促進了一種新的數(shù)學(xué)思想和方法的產(chǎn)生。很早以前,人們就知道了邊長為3、4、5和5、12、13的三角形為直角三角形。畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這兩套數(shù)字的共同之處：最大數(shù)的平方等于另外兩個數(shù)的平方和,即32＋42=52；52＋122=132。這就是說,以直角三角形最長邊為邊長的正方形面積,等于兩個短邊為邊長的兩個正方形面積的和。接著,畢達哥拉斯又研究了這樣兩個問題：一、這個規(guī)律是否對所有的直角三角形都成立？二、符合這一規(guī)律的任何三角形是否一定是直角三角形？畢達哥拉斯搜集了許許多多的例子,都肯定答復(fù)了這兩個問題。據(jù)說,他為了慶祝自己的這個發(fā)現(xiàn),曾殺了一百多頭牛,舉行了一次大宴會。這就是幾何學(xué)中的勾股定理為什么又叫做畢達哥拉斯定理的由來。希臘的數(shù)學(xué)教師同時也講授法律。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也象學(xué)習(xí)法律那樣,對教師給出的每一條法那么都提出自己的異議,并且要求教師對所有的概念都作出準(zhǔn)確的定義。這樣就使得教師面臨非常艱巨的任務(wù),尤其是下定義,可不是一件容易的事。比方,怎樣確切地定義一條直線？怎樣給出圓的定義？怎樣使別人不會把它們理解成別的圖形？……不知經(jīng)過了多少次的爭論,人們才逐步意識到,最好的方法就是直截了當(dāng)?shù)乇磉_怎樣用工具做出圖形的。要用工具畫圖,這又引出了一個問題：什么工具是大家都同意使用的呢？那時的希臘人畫幾何圖形規(guī)定只準(zhǔn)用畫線的直尺和畫圓的圓規(guī)。在希臘之前的漫常年代里,人們已經(jīng)知道了許多求面積和測角度的知識?？墒钦l也沒有想到過用推理的方法把這些知識聯(lián)系在一起,找出它們之間的內(nèi)在關(guān)系,并且證明它們是可靠的。這就是說,這時的幾何知識還處于零散的、互不聯(lián)系的狀態(tài)之中。沒有系統(tǒng),就沒有幾何學(xué)。好辯的希臘人,堅持每一個幾何定律都必須通過辯論的驗證,并且對各種相反的意見一一做出答復(fù)。這樣,在證明新的定律時,就可以直接引用已經(jīng)證明過的定律,而無需一切都從頭開始。細(xì)心的希臘人對幾何知識從不輕信,他們破格相信的只是那些十分清楚的解釋和概念。他們從指導(dǎo)思想和具體方法兩個方面,推動了幾何學(xué)的形成和開展。大約在公元前三百年,歐幾里得寫了一套叫做?幾何原本?的數(shù)學(xué)教科書,把希臘人在這方面的成就傳給了我們。一千年后,許多希臘著作都散失和毀掉了,而?幾何原本?卻被譯成阿拉伯文,作為穆斯林大學(xué)的教本。直到五十年前,歐洲和美洲各國的學(xué)校還在用翻譯的?幾何原本?作教科書。就是今天,初中學(xué)校里講授幾何學(xué)的主要內(nèi)容也是來自歐幾里得幾何學(xué)。幾何學(xué)的建立為測量、建筑、航海、天文,甚至為城市規(guī)劃、樂器設(shè)計等提供了必要的工具。在畢達哥拉斯時代,希臘人知道的幾何法那么中有這么兩條：一、任何三角形的三個內(nèi)角和等于兩個直角；二、三角形的兩個內(nèi)角相等,它們的對應(yīng)邊也相等。由第一個法那么可以得到：如果三角形中有一個角是直角,另一個角是45°,那么第三個角也一定是45°；由第二個法那么可以得到：對應(yīng)于兩個45°角的邊一定相等。他們根據(jù)這兩條法那么,就可以利用陽光測量出地面上的物體高度了。當(dāng)陽光成45°照射地面時,一根直立在地面上的柱子,連同它的影子和陽光,恰好組成這樣一個三角形,測量柱高就不用爬到柱子上去了。因為柱子和它的影子都對應(yīng)著45°的角,二者是等長的,只要量出影長就行了。當(dāng)然,這個原理在其它許多方面也用得著。例如,要在岸上測出海上的船只離岸多遠(yuǎn),只要在岸上確定兩個點,使一個點與船的聯(lián)線和海岸成直角,另一個點與船的聯(lián)線與海岸成45°角,那么岸上兩點間的距離,就是船與海岸的距離。這種方法,由于有45°角的要求,在實際測量中受到很大的限制。古埃及人在測量金字塔的高度時,使用了三角形的另一個法那么：任意兩個三角形,如果對應(yīng)角相等,那么各組對應(yīng)邊的邊長的比也相等。這樣,直立在地面上的木桿高度,與它正午影子的長度比,就和金字塔的高度,與它正午影長加上地基寬度一半的比相等。木桿的高度和影長,金字塔的影長和地基的寬度都可以直接量出來。所以,金字塔的高度根據(jù)比例關(guān)系就能算出來了。掌握了對應(yīng)三角形的法那么后,角度限制沒有了,一年四季里不管什么時候,都可以利用陽光來測量高度了。需要指出的是,古埃及人雖然會使用這個法那么,卻不會象希臘人那樣能嚴(yán)格地證明它。公元前332年,古希臘的亞歷山大大帝征服了埃及,下令在那里建造了亞歷山大城。后來,這個城成了地中海的學(xué)術(shù)中心。大約在公元前240年,亞歷山大城的教師伊拉托瑟尼算出了地球子午線的長度,這是幾何知識在歷史上的一次重大應(yīng)用。伊拉托瑟尼從資料中得知阿斯旺附近的西恩正好在北回歸線上。因為夏至那天的中午,在那里的深井里能看到太陽的倒影。這說明太陽正好在頭頂?shù)恼戏?陽光垂直地面,直射向地球的中心。同是夏至這一天中午,他測量了亞歷山大城的一根柱子的影子,算出了陽光偏離垂直方向7.2°。因為陽光是平行直射地面的,所以入射角度的這種差異應(yīng)該是說明了地球外表的彎曲情況?，F(xiàn)在我們來看看伊拉托瑟尼是怎樣運用幾何知識算出地球子午線的長度的。如圖,畫兩條平行線：一條表示亞歷山大城的太陽光線；另一條表示西恩的太陽光線。畫亞歷山大城的垂直線—柱子,它切割當(dāng)?shù)氐墓饩€成7.2°；切割西恩的光線于地球中心。根據(jù)平行線的內(nèi)錯角相等的知識,伊拉托瑟尼知道：亞歷山大城、地心、西恩間的角度也是7.2°；而7.2°正好是360°圓的1/50。因為西恩在亞歷山大城的正南,所以兩地間的道路大體上就在跨越南北極的大圓上。這樣,伊拉托瑟尼根據(jù)西恩到亞歷山大城是480英里,就算出了地球大圓的周長等于480英里的50倍,得到24000英里(相當(dāng)于38623公里),這就是地球子午線的長度了。我們知道,現(xiàn)在測得的地球子午線的長度是40008.5公里,伊拉托瑟尼的誤差還不到4％。在麥哲倫首次環(huán)球航行前一千七百多年,就給出了如此精確的近似值,這確實是驚人的成績！和伊拉托瑟尼大體同時的阿基米得是那個時代最卓越的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和機械創(chuàng)造家。他制造了石弩和弩炮來打擊敵人,保衛(wèi)自己的國家。他做出了緊貼圓筒內(nèi)壁的旋轉(zhuǎn)器來抽水,解決了農(nóng)田灌溉和船艙排水的困難。著名的浮力原理,也是他在判斷皇冠是純金還是金銀混合物時發(fā)現(xiàn)的。今天我們用來測量液體密度的比重計,就是依據(jù)這個原理做成的。阿基米得在數(shù)學(xué)上有許多奉獻。他運用圓內(nèi)接和外切正四十八邊形周長的平均數(shù),相當(dāng)精確地算出了圓周率的值是22/7。直到今天,這個數(shù)值足夠一般工程技術(shù)采用。他研究過曲線的特性,象熏蚊子的盤香那樣的曲線,我們今天就把它叫做阿基米得螺線。他還發(fā)現(xiàn)了許多求體積的方法。其中兩種球和圓柱體的求積方法,就刻在他的墓碑上。比阿基米得晚五十年的希帕卡斯,聚集了希臘幾何學(xué)的成就,編制了我們現(xiàn)在說的正弦表,這對測量和天文學(xué)極為有用。我們知道,三角形的三個內(nèi)角和等于兩直角。如果三角形中有一個角為直角,一個為角A,那第三個角B就等于直角與角A的差。角A的對邊與斜邊的比,稱為角A的正弦。這個比,對于包括同樣角度A的所有直角三角形來說都是一樣的。當(dāng)A為60°、45°、30°時,由勾股定理就可以確定出正弦值。希帕卡斯發(fā)現(xiàn)了另外的定理,可以算出其它許多角度的正弦值來,給天文和測量人員提供了很寬的角度范圍。以亞歷山大城為科學(xué)文化中心長達七百年之久,這是一個繁榮科學(xué)技術(shù)的時代。城市大規(guī)模的建筑,頻繁的海上貿(mào)易,海陸大國之間連綿不斷的戰(zhàn)爭,促進了測量和制圖、航海和天文、采礦和力學(xué)的研究。希臘在數(shù)學(xué)方面的巨大成就,是不斷取得科學(xué)技術(shù)進步的必不可少的條件。英語中的“算術(shù)〞一詞來源于希臘語。但是希臘語的“算術(shù)〞并不是今天的數(shù)字計算的意思,而很可能是指“數(shù)字游戲〞。那時候最著名的是所謂三角數(shù)字1、3、6、10等等。它們是按1、1＋2、1＋2＋3、1＋2＋3＋4等等組成的。畢達哥拉斯青年兄弟會發(fā)誓保守秘密之一,就是如何說出這組數(shù)中的任意一個是多少。其實,要說出其中任一數(shù)是多少的方法很簡單。比方要求第五個數(shù),就用(5＋1)去乘5,然后被2除,結(jié)果得15；要求第二十個數(shù),就用(20＋1)去乘20,然后被2除,結(jié)果得210。石子游戲可能是使希臘人找到求連續(xù)奇數(shù)和的方法的起源。從1開始,連續(xù)10個奇數(shù)的和是10×10＝100；要是增加到20個奇數(shù),那和為20×20＝400。另一種數(shù)字游戲可以用芝諾的一個著名狡辯來代表。芝諾是一個很有才能的數(shù)學(xué)家。他問道：阿溪里斯是古希臘傳說中善跑的神,要是讓他和烏龜賽跑,并假定他的速度為烏龜?shù)?0倍。烏龜先出發(fā)了100米。然后,阿溪里斯開始追趕烏龜。當(dāng)阿溪里斯跑完這100米時,烏龜又已經(jīng)向前走了10米；當(dāng)阿溪里斯跑完這10米時,烏龜又向前走了1米……。阿溪里斯的速度再快,走過一段距離總得有一段時間,而在這段時間里,烏龜速度再慢,也總要走出一段距離來。這樣說起來,阿溪里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜了。人們從實際經(jīng)驗中知道,結(jié)果肯定不會是這樣的。阿溪里斯一定會超過烏龜?shù)?但是在很長的時間里,人們不知道問題出在了哪里,當(dāng)然也就不知道怎樣才能駁倒芝諾的狡辯了。今天,我們都可以算出芝諾這個狡辯站不住腳。烏龜盡管可以100米、10米、1米、0.1米、0.01米……趕在阿溪里斯的前面；但是,這總是在離開起點1/9公里之內(nèi),不會超過這個范圍。所以,阿溪里斯在離開起點1/9公里的地方,就超過了烏龜。在這里,“永遠(yuǎn)〞并沒有迷住我們的眼睛。越來越小的許多分?jǐn)?shù)相加,不管小到何等程度,它們的總和有一個具體限度,在數(shù)學(xué)上就叫做極限。在這里,1/9公里是烏龜在前的極限,所以阿溪里斯一定能超過它。字母的使用,曾經(jīng)使希臘人大大簡化了文字。他們也希望在數(shù)字計算中,能得到同樣的便利。最初,希臘人用表示一個數(shù)的字頭來代表數(shù),這就是用Δ表示10,H代表100,X表示1000,就好似英語中用T代表Ten,H代表Hundred一樣。數(shù)字再大,就按需要重復(fù)這些符號就行了。這種數(shù)的寫法和埃及的非常象。你看這兩種寫法,寫同一個數(shù)3420的樣子如圖：到公元五世紀(jì),希臘人采用了一種完全不同的記數(shù)方法。他們以頭九個字母表示1到9；接著的九個字母表示10到90；最后的九個字母表示100到900；在任何數(shù)的前面劃一道,表示這個數(shù)是原數(shù)的一千倍。這個新的數(shù)字系統(tǒng)需要27個字母,但是希臘的字母只有24個,所以增加了三個古老的和外來的字母。采用這種記數(shù)方法,唯一的好處是一些大數(shù)字簡短好寫,不占篇幅；嚴(yán)重的毛病是計算困難,使用很不方便。今天,我們在數(shù)學(xué)中是把字母作為一種簡寫符號使用的。比方bh/2表示三角形的面積等于底乘高被2除。這種簡潔的表示方法對于