【人教A版】2018版高考數(shù)學(文科)一輪設計：第八、九章教師用書(Word版,含答案)

.第幾何初第1講空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖最新考綱1?認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3?會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.|基闊診斷町汪白測，迎％記憶知識梳理1?簡單多面體的結構特征⑴棱柱的側棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多邊形;棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形:棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線三視圖幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線?三視圖的畫法基本要求：長對正，高平齊，寬相等.

在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線?直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°或135°，z軸與x軸、y軸所在平面垂直.⑵原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵璤來的一半.診斷自測1?判斷正誤(在括號內(nèi)打“V”或“x”)「精彩PPT展示TOC\o"1-5"\h\z有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()用斜二測畫法畫水平放置的/A時，若/A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且/A=90°則在直觀圖中，/A=45°.()⑷正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.()解析(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.(2)反例：如圖所示不是棱錐.用斜二測畫法畫水平放置的/A時，把x，y軸畫成相交成45°或135°平行于x軸的線還平行于x軸，平行于y軸的線還平行于y軸，所以/A也可能為135°.正方體和球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側視圖相同，且為等腰三角形，其俯視圖為圓心和圓答案(1)x⑵x⑶x⑷x2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱解析由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形

答案A3.如圖，長方體ABCD—ABCD中被截去一部分，其中EH//AD'剩下的幾何體是（）A.棱臺B.四棱柱答案A3.如圖，長方體ABCD—ABCD中被截去一部分，其中EH//AD'剩下的幾何體是（）A.棱臺B.四棱柱c.五棱柱D.六棱柱A解析由幾何體的結構特征，剩下的幾何體為五棱柱答案C4.（2016天津卷）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，貝U該幾何體的側視圖為正視圖俯覘圖解析先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側視圖.由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側視圖為圖②.答案B正△AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標系xOy,貝尼的直觀圖的面積是.解析畫出坐標系xO'y'，作出厶OAB的直觀圖OAB'如圖）.D1為OA的中點.易知D'B丄2DB（D為OA的中點）,SaSaOAB—S^oab=答案I考點突破陌匚弓PPTK用囲分類講練，以惻求決考點一空間幾何體的結構特征【例1】⑴給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；TOC\o"1-5"\h\z棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等?其中正確命題的個數(shù)是（）0B.1C.2D.3（2）以下命題：以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確命題的個數(shù)為（）TOC\o"1-5"\h\z0B.1C.2D.3解析（1）①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；’②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的■面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組■成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等（2）由圓臺的定義可知①錯誤，②正確.對于命題③，只有平行于圓錐底面的平面

截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，③不正確?答案⑴A（2）B規(guī)律方法（1）關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可?（2）圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關系?⑶既然棱（圓）臺是由棱（圓）錐定義的，所以在解決棱（圓）臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略?【訓練1】下列結論正確的是（）各個面都是三角形的幾何體是三棱錐夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線解析如圖1知，A不正確.如圖2,兩個平行平面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確?若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形?由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長，C錯誤.由母線的概念知，選項D正確.答案D考點二空間幾何體的三視圖（多維探究）

命題角度一由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖【例2—1】一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）ABCABCD解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項B適合.答案B命題角度二由三視圖判定幾何體【例2—2】（1）（2014全國I卷）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱⑵（2015北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A.1B.2C.A.1B.2C.3D.2解析⑴由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱，故選B.

⑵由題中三視圖知，此四棱錐的直觀圖如圖所示，其中面ABCD⑵由題中三視圖知，此四棱錐的直觀圖如圖所示，其中面ABCD,PC=1,底面四邊形ABCD為正方形且邊長為棱長PA=“,；12+12+12=3.答案⑴B(2)C正側一樣高，正俯規(guī)律方法⑴由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照一樣長，俯側一樣寬”的特點確認.正側一樣高，正俯(2)根據(jù)三視圖還原幾何體.①對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉明確三視圖的形成原理，并能結合空間想象將三視圖還原為直觀圖.根據(jù)三視圖的形狀及相關數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關系及相關數(shù)據(jù)?提醒對于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同【訓練2】(1)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體,則該幾何體的側視圖為()ABCDABCD⑵如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個錐體的側視圖和俯視圖，則該錐體的正視圖可能是()

<'----/\//\ABI?解析(1)還原正方體后，將Di,D,A三點分別向正方體右側面作垂線，----/\//\ABI?射影為CiB,且為實線，BiC被遮擋應為虛線.故選B.(2)由俯視圖和側視圖可知原幾何體是四棱錐，底面是長方形，內(nèi)側的側面垂直于底面，所以正視圖為A.答案(1)B(2)A考點三空間幾何體的直觀圖【例3】已知等腰梯形ABCD，上底CD=1,腰AD=CB=.2,下底AB=3,以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖AB'C'D的面積為解析如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖：因為：(.'2)2-1=1,所以OE=殳，EF=了，則直觀圖ABCD的面積斜”斜”(兩規(guī)律方法(1)畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用

坐標軸成45或135)°和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握?對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關量(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系:解析如圖1,在直觀圖中，過點A作AE丄BC,垂足為E.BE=在Rt△ABE中，AB=1，/ABE=45°又四邊形AECD為矩形，AD=EC=BE=???BC=BE+EC=￥+1.由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形AB'C'D'在梯形ABCD'中,AD丄1，BC1，AB丄2.???這塊菜地的面積S=2(aD+BCba?丄1+1+今X2=2+說答案課莖總結［思想方法］畫三視圖的三個原則：⑴畫法規(guī)則：“長對正，寬相等，高平齊”.（2）擺放規(guī)則：側視圖在正視圖的右側，俯視圖在正視圖的正下方.（3）實虛線的畫法規(guī)則：可見輪廓線和棱用實線畫出，不可見線和棱用虛線畫出2?棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺和圓臺的相關問題時，?！斑€臺為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.［易錯防范］1?臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側棱延長后必交于一占八、、?2?空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.3?對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實虛線的畫法?I課時柞業(yè)丨分層訓練*提升能力基礎鞏固題組（建議用時：30分鐘）一、選擇題1?關于空間幾何體的結構特征，下列說法不正確的是（）棱柱的側棱長都相等棱錐的側棱長都相等三棱臺的上、下底面是相似三角形有的棱臺的側棱長都相等解析根據(jù)棱錐的結構特征知，棱錐的側棱長不一定都相等?答案B如圖所示的幾何體是棱柱的有（）

A.②③⑤C.③⑤3D.①③A.②③⑤C.③⑤3D.①③解析由棱柱的定義知③⑤兩個幾何體是棱柱.答案C（2017衡水中學月考）將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為（）解析解析角的對角線，???該幾何體的側視圖為選項D.答案D如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖，該幾何體的側視圖為（）俯視圏224斗D俯視圏224斗D解析由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側視圖應為面PAD，且EC投影在面FAD上且為實線，點E的投影點為FA的中點，故B正確.答案B5.解析如圖，設輔助正方體的棱長為三棱錐A-BCD，最長的棱為AD=A.①③解析如圖，設輔助正方體的棱長為三棱錐A-BCD，最長的棱為AD=A.①③B.①④C②④D.①②③④如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A.62B.42答案C6?某幾何體的正視圖和側視圖均為如圖所示的圖形，貝恠下圖的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是（解析由正視圖和側視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體,故①③正確.答案A（2015全國U卷）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（((7((71,則三棱錐的體積為Vi1,則三棱錐的體積為Vi=3X2Xixix1=6.剩余部分的體積V2=i3—石=6.因此,V11V2=5.解析由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐?設正方體的棱長為11ii5答案D（2017石家莊質(zhì)檢）一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，貝U該三棱錐的側視圖可能為（）ABAB解析解析由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD丄平面BCD.所以該三棱錐的側視圖可能為選項D.答案D二、填空題（2017福建龍巖聯(lián)考）一水平放置的平面四邊形OABC,用斜二測畫法畫出它的直觀圖OAB'C如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面四邊形OABC面積為CC1正視圖側視圉廣11正視圖側視圉廣1十」丁B解析因為直觀圖的面積是原圖形面積的￥倍，且直觀圖的面積為1所以原圖形的面積為2?2.答案22（2017蘭州模擬）已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為羽的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于.解析由題知此正方體的正視圖與側視圖是一樣的，正視圖的面積與側視圖的面積相等為2答案2某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為▽俯視圖解析由題中三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖所示，其中PA丄平面ABC,M為AC的中點，且BM丄AC.故該三棱錐的最長棱為PC.在Rt△PAC中，PC—；PA2+AC2=」22+22=22.答案22如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，則三棱錐P—ABC的正視圖與側視圖的面積的比值為.解析三棱錐P—ABC的正視圖與側視圖為底邊和高均相等的三角形，故它們的面積相等，面積比值為1.答案1能力提升題組

（建議用時：15分鐘）在如圖所示的空間直角坐標系O—xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是（0,0,2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2,2），給出編號①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）I2y①I2y①A.①和②B.③A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析如圖，在坐標系中標出已知的四個點，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④，俯視圖為②.答案D如圖是一個幾何體的三視圖，貝U該幾何體任意兩個頂點間距離的最大值是俯現(xiàn)圖4B.5C.32D解析由三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示，計算可知線段

D最長，且AF=；BF2+AB2=33.答案D（2017長郡中學月考）已知△ABC的平面直觀圖△AB'C是邊長為a的正三角形，那么原厶ABC的面積為解析如圖，過C作y軸的平行線CD'，與x軸交于點D'則2a\/6CD丄SinT45丁°2"a.又CD是原△ABC的高CD的直觀圖,所以CD=6a.”1762故Sxabc=qABCD="^a.答案尋2（2016北京卷）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為値覘圖値覘圖解析由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體,將該幾何體還原到長方體中，如圖所示，該幾何體為四棱柱ABCD-ABCD'.13故該四棱柱的體積V=Sh=2X（1+2）X1X1=2.3答案3第2講空間幾何體的表面積與體積最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式II基礎診斷琉置自測，理解記憶知識梳理1?多面體的表(側)面積多面體的各個面都是平面，則多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和?2?圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖<-X*—/「■-111L，2ltr!/V7'—浴R存:側面積公式S圓柱側=2nlS圓錐側=nlS圓臺側=n（1+r2）l3.柱、錐、臺和球的表面積和體積表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側+2S底v=sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側+S底1v=鈔臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側+S上+S下v=3（s上+s下+JS上S下）h球s=4nRv^4nR3診斷自測1?判斷正誤(在括號內(nèi)打“V”或“X”)「精彩PPT展示TOC\o"1-5"\h\z錐體的體積等于底面面積與高之積.()球的體積之比等于半徑比的平方.()臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.()3⑷已知球0的半徑為R,其內(nèi)接正方體的邊長為a,則R=2"a.()解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確

（2）球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.答案⑴X⑵X⑶V⑷V已知圓錐的表面積等于12ncm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為（）31cmB.2cmC.3cmD.~cm解析S表=n+nl=n+n2r=3n=12n二r—4,二r=2（cm）.答案B（2017西安一中月考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）冊視圖3nB.4nC.2n+4D.3+4解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示?12表面積為2X2+2XQXnX1+nX1X2—4+3n.答案D（2016全國U卷）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）3212nB.ynC.8nD.4n解析設正方體的棱長為a，貝Ua3—8,解得a—2.設球的半徑為R,貝U2R—3a，即R—3.所以球的表面積S—4nR2—12n.答案A（2016天津卷）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為m3.

解析根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2m,高為1m的平行四邊13形，四棱錐的高為3m.故該四棱錐的體積V=3X2X1X3二2（m3）.答案2分類講練.以例求法考點一空間幾何體的表面積【例1】（1）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A.8+22AM圖測視圖B.11A.8+22AM圖測視圖B.11+22C.14+22D.15⑵（2016全國I卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是號尹則它的表面積是（圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是號尹則它的表面積是（）17nB.18n17nB.18nC.20nD.28n解析（1）由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上為直角梯形，如圖所示解析（1）由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上為直角梯形，如圖所示?直角梯形斜腰長為「】2+12=■2，所以底面周長為面積為2X(4+2)=8+22,兩底面的面積和為2X*X1X(1+2)=3.所以該幾何體的表面積為8+2.2+3=11+22.1⑵由三視圖知該幾何體為球去掉了§球所剩的幾何體(如圖).TOC\o"1-5"\h\z74328n設球的半徑為R,則3nR=~3,R=2.7232故幾何體的表面積S=4nR+4nR=17n.答案(1)B(2)A規(guī)律方法空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理⑶旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側面展開圖的應用【訓練1】(2016全國川卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()18+365B.54+185C.90D.81解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體由題意可知該幾何體底面邊長為3，高為6，所以側棱長為"3+6=3.5.故該幾何體的表面積S=32X2+(3X6)X2+(3X3.5)X2=54+185.答案B考點二空間幾何體的體積【例2】(1)(2016山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示則該幾何體的體積為()

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a?3+3n側視圖俯視圖12B3+亍nC12

a?3+3n側視圖俯視圖12B3+亍nCi+￥nD.1+尹⑵(2014全國U卷)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為3,D為BC中點，則三棱錐A—B1DC1的體積為()A.33B.3C.13D21_2="3+"6冗.解析(1)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1_2="3+"6冗.可得半球半徑為乎，從而該幾何體的體積為*x12x1+2X4冗><⑵由題意可知，AD丄平面B1DC1，即AD為三棱錐A—B1DC1的高,且AD=~2"X2=3，易求得SAB1DC1=2X2X3=3，1所以VA—B1DC1=3X.3X3=1.答案(1)C(2)C規(guī)律方法空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解?⑵若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，貝U常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.【訓練2】(1)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()2^2nB.4^2nC.22nD.42n⑵(2015浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積是cm3.2_1_止視圖惻視圖H—2—H解析(1)繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個底面重合，等體積的圓錐的組合體，如圖所示.€三二每一個圓錐的底面半徑和高都為，2，故所求幾何體的體積V=2X1⑵由三視圖可知該幾何體是由棱長為2cm的正方體與底面邊長為2cm正方形、高為2cm的正四棱錐組成.33又正方體的體積Vi=2=8(cm)，正四棱錐的體積V2=^X22x2=3(cm3).所以該幾何體的體積V=Vi+V2=32(cm3).答案(i)B⑵32

考點三多面體與球的切、接問題(典例遷移)【例3】(經(jīng)典母題)(2016全國川卷)在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內(nèi)有一個體TOC\o"1-5"\h\z積為V的球若AB丄BC,AB=6,BC=8,AAl3,則V的最大值是()9n32n4nB.yC.6nD.~3解析由AB丄BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設11底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則6X8=p(6+8+10)?，所以r=2.2r=4>3,不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.3439由2R=3,即R=2.故球的最大體積V=2冗.答案B【遷移探究1】若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC—A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB=3,AC=4,AB丄AC,AA1=12,求球O的表面積.解將直三棱柱補形為長方體ABEC—A1B1E1C1,則球O是長方體ABEC—A1B1E1C1的外接球.???體對角線BC1的長為球O的直徑.因此2R=.32+42+122=13.故S球=4dR2=169n.O的球面上”，若【遷移探究2】若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球該棱錐的高為4,底面邊長為2O的球面上”，若解如圖，設球心為O,半徑為r,則在Rt△AOF中，(4—r)2+(.2)2=r2,解得r=9，則球O的體積V球=彳n3=3nX9=彳：；兀規(guī)律方法空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或

“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題?⑵若球面上四點P,A,B,C中PA,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.課営總結［思想方法］轉(zhuǎn)化與化歸思想：計算旋轉(zhuǎn)體的側面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.求體積的兩種方法：（1）割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決.（2）等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等體積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高?［易錯防范］求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準確及幾何體的結構特征認識不準易導致失誤?3?底面是梯形的四棱柱側放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯?|課時昨業(yè)丨分層訓練，提蘇籠為基礎鞏固題組（建議用時：40分鐘）一、選擇題1.（2015全國I卷）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析設米堆的底面半徑為r尺,n則2n二8,所以16

r=.冗A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析設米堆的底面半徑為r尺,n則2n二8,所以16

r=.冗所以米堆的體積為V=卜3nr25=12.165^爭（立方尺）.320故堆放的米約有可T62"22（斛）.答案B2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是正視圖中的x的值是（）9A.2B.23C.2D.3側視圖3,1解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底=刃+2）X21=3.—V=尹3=3，解得x=3.答案D3.（2017合肥模擬）一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）B.2+3A.1+3C.1+22D.2一2解析四面體的直觀圖如圖所示?側面SAC丄底面ABC,且厶SAC與厶ABC均為腰長是腰直角三角形，SA=SC=AB=BC=2,AC=2.設AC的中點為0,連接SO,BO,貝USO丄AC,又SO?平面SAC,平面SACG平面ABC=AC,???SO丄平面ABC,又BO?平面ABC,二SO丄BO.又OS=OB=1,二SB=2,1故厶SAB與厶SBC均是邊長為.2的正三角形，故該四面體的表面積為2X2X2X2+2^43X（2）2=2+.3.答案B（2015全國U卷）已知A,B是球O的球面上兩點，/AOB=90°C為該球面上的動點?若三棱錐O—ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（）A.36nB.64nC.144nD.256n解析因為△AOB的面積為定值，所以當OC垂直于平面AOB時，三棱錐O—ABC的體積取得最大值.由3X^R2XR=36,得R=6.從而球O的表面積S=4冗R2=144n.pAB答案CpAB（2017青島模擬）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB=2PN，則三棱錐N—PAC與三棱錐D—FAC的體積比為（）B.1:8A.1B.1:8C.1:6D.1C.1:6解析設點F,N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點P',N',則PP'丄平面ABCD,NN'2NN'丄平面ABCD，所以PP'//NN；則在△BPP中，由BN=2PN得而戶§.ABCPP三棱錐N—PAC=V三棱錐P—ABC—V三棱錐N—ABCABCPP111abcNN'=§Subc(PP'—NN'今§S°abc?

1113卩卩'=9壓ABCPP；V三棱錐D-PAC=V三棱錐P-ACD=ACDPP’，又工四邊形ABCDV三棱錐N—PAC1是平行四邊形，二S\ABC=ACD，二=3.故選D.V三棱錐D—FAC3答案D、填空題現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個?若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為解析設新的底面半徑為r，由題意得￡n24+n28=3nX52X4+nX22x8，解得7.答案，7已知底面邊長為1,側棱長為“2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，貝夠球的體積為解析依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設球半徑為R,則'12+12+(2)2=2,解得R=1，所以V=養(yǎng)3=34答案4冗8.（2017鄭州質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為剛視圖剛視圖解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1,高為2.、.八、21的圓柱和底面半徑為1,高為1的半圓錐拼成的組合體.???體積V=nX1X2+213~6冗答案136三、解答題9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.求此幾何體的表面積；如果點P,Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從答案136三、解答題9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.求此幾何體的表面積；如果點P,Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長.解(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一L卜覿圖Q俯視圖個圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和.S圓錐側=(:2a)=.2n，2S圓柱側=(2n)(2a)=4na，S圓柱底=￡2，所以S表=f2n2+4￡2+：a2=(“*2+5)n2.⑵沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面，如圖則PQ=\；AP2+AQ2=.a2+(na)2=a,1+/，所以從P點到Q點在側面上的最短路徑的長為a「1+上10.(2015全國U卷)如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上,A〔E=D1F=4過點E，F(xiàn)的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值解⑴交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EM丄AB解⑴交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EM丄AB，垂足為M，貝UAM=AiE=4,EBi=12,EM=AAi=8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH12-EM2=6，AH=10，HB=6.1故S四邊形A[EHA=2X(4+10)X8=56，1S四邊形EB1BH=2X(12+6)X8=72.因為長方體被平面a分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為77也正確.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.若某一幾何體的正視圖與側視圖均為邊長是1的正方形,1且其體積為刃則該幾何體的俯視圖可以是()解析若俯視圖為A，則該幾何體為正方體，其體積為1,不滿足條件.若俯視圖為B，則該幾何體為圓柱，其體積為nJX1=n，不滿足條件.若俯視圖為C，11則該幾何體為三棱柱，其體積為^X1X1X1=3,滿足條件.若俯視圖為D，貝U該A.1B.2解析該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖.則表面積12222S=2X4n2+n2+(2r)2+n2r=(5十4)r2,又S=16+20n???(5+4)r2=16+20，解得r=2.答案B13?圓錐被一個平面截去一部分，剩余部分再被另一個平面截去一部分后，與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若r二1,則該幾何體的體積為.解析根據(jù)三視圖中的正視圖和俯視圖知，該幾何體是由一個半徑1r=1的半球，一個底面半徑r=1、高2r=2的4圓錐組成的，則其體4311215n積為V=3nrX2+3nrX2rX4=14?四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F(xiàn)，G，H.⑴求四面體ABCD的體積；證明：四邊形EFGH是矩形.解由該四面體的三視圖可知，BD丄DC,BD丄AD,AD丄DC,BD=DC=2,AD=1,又BDADC=D，二AD丄平面BDC,112???四面體ABCD的體積V=3X2X2X2X1=3.⑵證明tBC//平面EFGH，平面EFGHG平面BDC=FG,平面EFGHG平面ABC=EH,：BC/FG,BC/EH,???FG//EH.同理，EF//AD,HG//AD，二EF/HG,???四邊形EFGH是平行四邊形.又???AD丄平面BDC,BC?平面BDC,：AD丄BC,???EF丄FG,二四邊形EFGH是矩形.第3講空間點、直線、平面之間的位置關系最新考綱1.理解空間直線、平面位置關系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.|基晞診斷"辺W飛殺.己遼知識梳理1?平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線?

空間點、直線、平面之間的位置關系平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.異面直線所成的角⑴定義：設a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點0作直線a7/a,b7/b,把a'與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).⑵范圍：jo,n1診斷自測1?判斷正誤(在括號內(nèi)打“V”或“X”)「精彩PPT展示兩個平面a,B有一個公共點A,就說a,B相交于過A點的任意一條直線.()TOC\o"1-5"\h\z兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()⑷若直線a不平行于平面a,且a?a,則a內(nèi)的所有直線與a異面.()

解析（1）如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故錯誤.（3）如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故錯誤⑷由于a不平行于平面a且a?a，則a與平面a相交，故平面a內(nèi)有與a相交的直線，故錯誤.答案⑴X⑵V⑶x⑷x（必修2P52B1（2）改編）如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為（）A.30°B.45°D.90C.60D.90解析連接B1D1，D1C，貝UB1D1//EF，故/D1B1C為所求的角.又B1D1=B1C=D1C，???/D1B1S60°.答案C在下列命題中，不是公理的是（）平行于同一個平面的兩個平面相互平行過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析選項A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的答案A（2016山東卷）已知直線a，b分別在兩個不同的平面a，B內(nèi)，貝廠'直線a和直線b相交”是“平面a和平面B相交”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由題意知a?a，b?B,若a，b相交，則a，b有公共點，從而a,B有公

共點，可得出a,B相交；反之，若a,B相交，則a,b的位置關系可能為平行、相交或異面?因此“直線a和直線b相交”是“平面a和平面B相交”的充分不必要條件.答案A若直線a丄b,且直線a//平面a,則直線b與平面a的位置關系是答案b與a相交或b//a或b?aI考點突破附」PPT宜；i忙*分類匸練.以例求法考點一平面的基本性質(zhì)及應用【例1】如圖所示，在正方體ABCD—AiBiCiDi中，E,F分別是AB,AAi的中點.求證：E,C,Di,F四點共面；CE,DiF,DA三線共點.證明(i)如圖，連接EF,CDi,AiB.???E,F分別是AB,AAi的中點，二EF//AiB.又AiB//CDi,「.EF//CDi,???E,C,Di,F四點共面.(2)tEF//CDi,EF<CDi,???CE與DiF必相交，設交點為P,貝U由P€CE,CE?平面ABCD,得P€平面ABCD.同理P€平面ADDiAi.又平面ABCDG平面ADDiAi=DA,：P€直線DA.???CE,DiF,DA三線共點.規(guī)律方法(i)證明線共面或點共面的常用方法直接法，證明直線平行或相交，從而證明線共面納入平面法，先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(nèi)輔助平面法，先證明有關的點、線確定平面a,再證明其余元素確定平面B,最后證明平面a,B重合.

⑵證明點共線問題的常用方法基本性質(zhì)法，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點都在這兩個平面的交線上.納入直線法，選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上【訓練1】如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC■綉^AD，BE綉2fA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.證明：四邊形BCHG是平行四邊形；BCC,D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？1證明由已知FG=GA，F(xiàn)H=HD，可得GH綉qAD.1又BC綉2AD,.?.GH綉B(tài)C，???四邊形BCHG為平行四邊形.⑵解:BE綉2AF，G為FA的中點，二BE綉FG，???四邊形BEFG為平行四邊形，二EF//BG.由(1)知BG綉CH，二EF/CH，aEF與CH共面.又D€FH，二C，D，F(xiàn)，E四點共面.考點二判斷空間兩直線的位置關系【例2】(1)(2015廣東卷)若直線11和12是異面直線，11在平面a內(nèi)，12在平面B內(nèi)，I是平面a與平面B的交線，貝U下列命題正確的是()1與11,12都不相交I與11,12都相交C」至多與11，12中的一條相交D.I至少與11，12中的一條相交⑵(2017唐山一中月考)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(填上所有正確答案的序號).

解析⑴法一由于I與直線11,12分別共面，故直線I與11,12要么都不相交,要么至少與11，12中的一條相交?若1//11,1//12，則11//12,這與11,12是異面直線矛盾?故1至少與11,12中的一條相交.法二如圖1,11與12是異面直線，11與I平行，12與I相交，故A,B不正確;如圖2,11與12是異面直線，11,12都與1相交，故C不正確.圖I國2（2）在圖①中，直線GH//MN;在圖②中，G,H,N三點共面，但M?面GHN,N?GH，因此直線GH與MN異面；在圖③中，連接QM,GM//HN,因此GH與MN共面；在圖④中，G,M,N共面，但H?面GMN,G?MN,因此GH與MN異面.所以在圖②④中GH與MN異面.答案（1）D⑵②④規(guī)律方法（1）異面直線的判定方法反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面

定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.⑵點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系?【訓練2】⑴如圖，在正方體ABCD—AiBiCiDi中，M,N分別是BCi，CDi的中點，貝U下列判斷錯誤的是（）A.MN與CCi垂直MN與AC垂直MN與BD平行MN與AiBi平行（2）（20i7武漢調(diào)研）a,b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個命題：①若a//M，b//M，貝Ua//b或a，b相交或a，b異面；②若b?M，a//b,貝Ua//M；若a丄c，b丄c,貝Ua//b;④若a丄M，b丄M，貝Ua//b.其中正確的為（）A.①④B.②③C.③④D.①②解析（i）如圖，連接CiD，在厶CiDB中，MN//BD,故C正確；???CCi丄平面ABCD,BD?平面ABCD,「.CCi丄BD,MN_LCCi，故A正確；ACLBD,MN//BD,二MN丄AC,故B正確;AiBi與BD異面，MN//BD,???MN與AiBi不可能平行，故選項D錯誤.⑵對于①，當a//M,b//M時，則a與b平行、相交或異面，①為真命題②中，b?M,a//b,則a//M或a?M，②為假命題.命題③中，a與b相交、平行或異面，③為假命題.由線面垂直的性質(zhì)，命題④為真命題，所以①，④為真命題.

答案⑴D（2）A考點三異面直線所成的角【例3】（1）（2017佛山模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點，AA1:AB=2:1，則異面直線AB1與BD所成的角為.A⑵（2016全國I卷）平面a過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，a//平面CB1D1,AA#B乎C#aG平面ABCD=m，aG平面ABB1A=n,則m,n所成角的正弦值為A#B乎C#AA解析⑴取A1C1的中點E，連接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，/AB1E為異面直線AB1與BD所成的角.3設AB=1，貝UA〔A=2，AB1=3，B〔E=，故/AB〔E=60°⑵根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m,n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角?設平面CB1D1G平面ABCD=m1.平面all平面CB1D1，二m1//m.又平面ABCD//平面A1B1C1D1，且平面CB1D1G平面A1B1C1D1=B1D1,二B1D1//m1,二B1D1//m.???平面ABB1A1//平面DCC1D1,且平面CB1D1G平面DCC1D1=CD1,同理可證CD1//n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形,

故直線BiDi與CDi所成角為60°其正弦值為乎.答案(1)60°(2)A規(guī)律方法(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移?(2)求異面直線所成角的三個步驟作：通過作平行線，得到相交直線的夾角.證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角.求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，貝U它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角【訓練3】如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，AAi=2AB=2,則異面直線AiB與ADi所成2角的余弦值為()23434解析連接解析連接BCi，易證BCi//ADi，則/AiBCi即為異面直線AiB與ADi所成的角.連接AiCi，由AB=i,AAi=2,貝UAiCi=2,AiB=BCi在厶A在厶AiBCi中，由余弦定理得5+5—24cos/AiBC仔2門5X：5二5.i答案D課堂總結［思想方法］主要題型的解題方法⑴要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)（即“納入法”）.（2）要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上.2?判定空間兩條直線是異面直線的方法（1）判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.（2）反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想.［易錯防范］異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交直線與平面的位置關系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.I課時柞業(yè)丨分層訓導*提升能丸基礎鞏固題組（建議用時：40分鐘）一、選擇題1.（2015湖北卷）11，12表示空間中的兩條直線，若p：li，12是異面直線；q：11，12不相交，則（）p是q的充分條件，但不是q的必要條件p是q的必要條件，但不是q的充分條件p是q的充分必要條件p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件解析直線11，12是異面直線，一定有11與12不相交，因此p是q的充分條件；

若li與12不相交，那么li與12可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件.故選A.答案A2.（2017鄭州聯(lián)考）已知直線a和平面a,B,aGB=丨,a?a,a?B,且a在a,B內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關系是（）A.相交或平行B.相交或異面平行或異面D.相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面，選D.答案D3.給出下列說法3.給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；點的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交,序號是（）A.①B.①④解析顯然命題①正確.由于三棱柱的三條平行棱不共面,②錯.命題③中，兩個平面重合或相交，③錯.②三條平行直線共面；③有三個公共可以確定1個或3個平面.其中正確的C.②③D.③④三條直線兩兩相交,可確定1個或3個平面,則命題④正確.答案B（2017濟南模擬）a,b,c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是（）若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面若直線a,b相交，b,c相交，則a,c相交若a//b,則a,b與c所成的角相等若a丄b,b±c,貝Ua//c解析若直線a,b異面，b,c異面，則a,c相交、平行或異面；若a,b相交,b,c相交，則a,c相交、平行或異面；若a丄b,b丄c,則a,c相交、平行或異

面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.答案C5.已知正方5.已知正方體ABCD—AiBiCiDi中,E,F分別為BBi,CCi的中點，那么異面直線AE與DiF所成角的余弦值為（435435解析連接DF，貝UAE//解析連接DF，貝UAE//DF,???/DiFD為異面直線AE與DiF所成的角?設正方體棱長為a,Di貝UDiD=a貝UDiD=a,DFa,DiF=-25a???cos/DiFD=Ta—a2尋尋=5答案B二、填空題6.如圖，在正方體ABCD—AiBiCiDi中，M,N分別為棱CiDi,CiC的中點，有以下四個結論：直線AM與CCi是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MBi是異面直線；直線MN與AC所成的角為60°其中正確的結論為填序號）.解析A,M,Ci三點共面，且在平面ADiCiB中，但C?平面ADiCiB,Ci?AM,因此直線AM與CCi是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，①②錯；M,Bi三點共面，且在平面MBBi中，但N?平面MBBi,B?MBi，因此直線BN與MBi是異面直線，③正確；連接DiC，因為DiC/MN，所以直線MN與AC所成

的角就是DiC與AC所成的角，且角為60°答案③④7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB/CD，貝U直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為解析如圖所示，取BC中點D，連接MN解析如圖所示，取BC中點D，連接MN，ND,AD.???M,N分別是AiBi,AiCi的中點,ii???MN綉尹iCi.又BD綉2BiCi,解析取CD的中點H，連接EH,FH.在正四面體CDEF中，由于CD丄EH,CD丄HF，且EHAFH=H，所以CD丄平面EFH，所以AB丄平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側面平行，則EF也與之平行，與其余四個平面相交.答案4（20i4全國U卷改編）直三棱柱ABC—AiBiCi中，/BCA=90°,M,N分別是AiBi，AiCi的中點，BC=CA=CCi,貝UAiBi，???MN綉B(tài)D，則四邊形BDNM為平行四邊形，因此ND//BM,???/AND為異面直線BM與AN所成的角（或其補角）.設BC=2,貝UBM=ND=6,AN=5,在厶ADN中，由余弦定理得cos/and-ND2+AN2—AD-姮cos/AND-2NDAN_10.故異面直線BM故異面直線BM與AN所成角的余弦值為.30io.答案130ABAB、解答題如圖所示，正方體ABCD—AiBiCiDi中，M,N分別是A1B1,B1C1的中點?問：AM和CN是否是異面直線？說明理由；DiB和CCi是否是異面直線？說明理由?解(1)AM，CN不是異面直線.理由：連接MN，A1C1，AC.因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MN//A1C1.又因為AiA綉CiC，所以四邊形AiACCi為平行四邊形，所以AiCi//AC，所以MN//AC,所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.⑵直線DiB和CCi是異面直線?理由：因為ABCD—AiBiCiDi是正方體，所以B，C，Ci，Di不共面.假設DiB與CCi不是異面直線，則存在平面a，使DiB?平面a，CCi?平面a,所以Di，B，C，Ci€a,這與B，C，Ci，Di不共面矛盾.所以假設不成立，即DiB和CCi是異面直線?i0.(20i7成都月考)如圖所示，在三棱錐P—ABC中，PA丄底面ABC，D是PC的中點.n已知/BAC=2，AB=2，AC=23，PA=2.求：三棱錐P—ABC的體積；異面直線BC與AD所成角的余弦值.i解(10abc=2x2X2,3=23，三棱錐P—ABC的體積為

114V=3壓abcPA=3X23X2=33.⑵如圖，取PB的中點E,連接DE,AE,貝UED//BC,所以/ADE是異面直線BC與AD所成的角（或其補角）.cos/ADE22+22_2_2X2X2—3cos/ADE22+22_2_2X2X2—34.3故異面直線BC與AD所成角的余弦值為4.能力提升題組（建議用時：20分鐘）以下四個命題中，不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面;若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.TOC\o"1-5"\h\z正確命題的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3解析①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C,但是若A，B，C共線，則結論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形?答案B若空間中四條兩兩不同的直線11,12,13,14,滿足11丄12,12丄13,13丄14,則下列結論一定正確的是（）I1丄1411//I4I1與I4既不垂直也不平行I1與I4的位置關系不確定

解析如圖，在長方體ABCD—AiBiCiDi中，記li=DDi,12=DC,l3=DA.若l4=AAl，滿足1l丄l2,12丄l3,13丄l4，此時li//l4，可以排除選項A和C.若取CiD為14,貝Uli與l4相交；若取BA為14,貝Uli與l4異面；取CiDi為14,則li與l4相交且垂直.因此li與l4的位置關系不能確定答案Di3.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2,ZACB=90°F,G分別是線段AE,BC的中點，貝UAD與GF所成的角的余弦值為.i解析取DE的中點H，連接HF,GH.由題設，HF綉qAD.???/GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補角).在厶GHF中，可求HF=2,GF=GH=,6,二cos/HFG_2+6二cos/HFG2X?,2X,；6—6答案-6i4.如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA丄底面ABCD,OA=2,M為OA的中點.求四棱錐O—ABCD的體積；求異面直線OC與MD所成角的正切值.解⑴由已知可求得正方形ABCD的面積S=4,18所以四棱錐O—ABCD的體積V=3X4X2=§.O⑵如圖，連接AC,設線段AC的中點為E,連接ME,DE，又M為OA中點，二ME//OC,O則/EMD(或其補角)為異面直線0C與M