湖北省荊州市荊州區(qū)2022-2023學年高三上學期期末模擬數(shù)學試題（解析版）

荊州市荊州區(qū)2022-2023學年高三年級（上）期末模擬測試數(shù)學一、單項選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分.下列各題，每小題只有一個選項符合題意.）1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出和，再求即可解題.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以．故選：C.【點睛】本題考查求解一元二次不等式，集合的交集運算，是基礎題.2.已知復數(shù)的實部與虛部的和為12，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先把已知化簡，整理出復數(shù)的實部與虛部，接下來去求即可解決.【詳解】，則有，，解得，則，，故．故選：C3.已知△ABC中，，，點O是△ABC的外心，則（）A.－ B.－ C. D.【答案】C【解析】【分析】由△ABC為等腰直角三角形，得出，結合數(shù)量積公式計算即可.【詳解】，即△ABC為等腰直角三角形，即點O是△ABC的外心，點O是的中點故選：C4.小明上學可以乘坐公共汽車，也可以乘坐地鐵．已知小明上學乘坐公共汽車的概率為0.4，乘坐地鐵的概率為0.6，而且乘坐公共汽車與地鐵時，小明遲到的概率分別為0.05和0.04，則小明準時到校的概率為（）A.0.954 B.0.956 C.0.958 D.0.959【答案】B【解析】【分析】分別求出小明上學可以乘坐公共汽車和地鐵準時到校的概率，然后求和可得答案.【詳解】小明上學可以乘坐公共汽車準時到校的概率為小明上學可以乘坐地鐵準時到校的概率為所以小明準時到校的概率為故選：B5.已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2，當圓錐母線的長度取最小值時，圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設圓錐的底半徑為，母線為，高為，則，則由條件可得，由勾股定理可得，從而得出的最小值，得出答案.【詳解】設圓錐的底半徑為，母線為，高為，則由圓錐的底面圓心到母線的距離為2，則，即又，所以，解得由，則當，即時，最小值則圓錐的側面積為故選：C6.已知點，，，，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合向量坐標運算的余弦夾角公式即可求解.【詳解】設與的夾角為，因為，，所以．故選：B7.已知正項等比數(shù)列的前項和為，，且數(shù)列的前項和為，若對于一切正整數(shù)都有，則數(shù)列的公比的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題首先可設，通過排除這種情況，再然后設，通過等比數(shù)列的求和公式即可得出、，最后根據(jù)、、即可得出結果.【詳解】因為等比數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以，，若，則，，，不滿足題意；若，則，，，，因為，，所以若，則，，，故數(shù)列的公比的取值范圍為，故選：B.8.已知三棱錐的所有頂點都在表面積為64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是邊BC上一動點，則直線SM與平面ABC所成的最大角的正切值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三棱錐外接球的表面積以及三棱錐的幾何特點，求得的長，再根據(jù)線面角的定義，求得其正切值的表達式，求其最大值即可.【詳解】根據(jù)題意，將三棱錐放入直三棱柱，則兩者外接球相同，且取底面的外心為，連接，且取其中點為，連接如下所示：因為三棱錐外接球的表面積為，設外接球半徑為，則，解得；對直三棱柱，其外接球球心在的中點處，也即，故在中，因為，設外接圓半徑為，則，解得；在中，因為，且，故可得，即，再由正弦定理可得，則，又為銳角，故；則，即是以為頂角的等腰三角形；因為平面，故與平面的夾角即為，則，又的最小值即為邊上的高線，設其長度為，則.故當最大時，為，即直線SM與平面ABC所成的最大角的正切值為.故選：B.【點睛】本題綜合考查棱錐外接球問題、解三角形問題以及線面角的求解，處理問題的關鍵是對每種問題都能熟練的掌握，從而可以靈活的轉化，屬綜合困難題.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，給出下列四個命題，其中正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于點中心對稱C.在區(qū)間上單調遞增 D.的值域為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)的周期性、對稱性、單調性、值域等知識確定正確選項.【詳解】，所以A選項錯誤.，，，所以的圖象關于點中心對稱，B選項正確.，，所以C選項錯誤.，所以的值域為，D選項正確.故選：BD10.三角形中，角的對邊分別為，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用正余弦定理逐一判斷即可【詳解】A：由可知，且，所以是銳角，故A不能判斷；B：由,得，則為鈍角，故B能判斷；C：由正弦定理，得，則，，故C能判斷；D：由正弦定理，條件等價于=，則，即，故，則，故D不能判斷.故選：BC11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，P為雙曲線的左支上一點，且直線與的斜率之積等于3，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的離心率為2B.若，且，則C.以線段，為直徑的兩個圓外切D.若點P在第二象限，則【答案】ACD【解析】【分析】通過求得，從而求得雙曲線的離心率，由此判斷A選項的正確性.結合三角形的面積以及雙曲線的定義求得，由此判斷B選項的正確性.通過圓心距和兩個圓半徑間的關系判斷C選項的正確性.結合二倍角的正切公式來判斷D選項的正確性.【詳解】對于A，設，則，因，，所以，由，得，故A正確.對于B，因為，所以，根據(jù)雙曲線的定義可得，又因為，所以，整理得.由，可得，即，解得，故B錯誤，對于C，設的中點為，O為原點.因為為的中位線，所以，則可知以線段，為直徑的兩個圓外切，故C正確.對于D，設，則，.因為，所以，，則漸近線方程為，所以，.又，，所以，因為，所以，故D正確.故選：ACD【點睛】求解雙曲線離心率有關問題，可考慮直接法計算出，從而求得雙曲線的離心率；也可以考慮建立或的關系式，通過整體求出或來求得雙曲線的離心率.12.如圖所示，在長方體中，，點是棱上的一個動點，給出下列命題，其中真命題的是（）A.三棱錐的體積恒為定值B.存在唯一的點，使得截面的周長取得最小值C.不存在點，使得平面D.若點滿足，則在棱上存在相應的點，使得平面【答案】ABD【解析】【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項；將側面翻折到與底面同一平面，利用、、三點共線可判斷B選項；利用線面垂直的判定定理可判斷C選項；利用線面平行的判定定理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，平面，平面，則點到平面的距離為定值，又底面的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，由等體積法可判斷三棱錐的體積為定值，則選項A正確；對于B選項，將側面翻折到與底面同一平面，得矩形，連接，與交于點，即為周長最小時的點，則選項B正確；對于C選項，連接，在底面內過點作，交于點，又由長方體可知平面，平面，，因為，平面，平面，，連接，因為且，則四邊形為菱形，所以，，因，則平面，選項C錯誤；對于D選項，當時，設平面交棱于點，連接、，因為平面平面，平面平面，平面平面，，同理可證，所以，四邊形為平行四邊形，則，又因為，，所以，，所以，，又因為，所以，，過點在平面內作，交棱于點，因為，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，又過點在平面內作，交于點，連接，再過點在平面內作，交于點，因為，，所以，四邊形也為平行四邊形，所以，且，則且，連接，則四邊形平行四邊形，所以，.因平面，平面，所以，平面，選項D正確.故選：ABD.三、填空題（共4題，總計16分）13.等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則______．【答案】4【解析】【分析】由題意可以得到，進而將式子化為基本量解出答案即可.【詳解】由題意，.故答案為：4.14.定義一個同學數(shù)學成績優(yōu)秀的標準為“連續(xù)5次數(shù)學考試成績均不低于120分（滿分150分）”.現(xiàn)有甲?乙?丙三位同學連續(xù)5次數(shù)學考試成績的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）的描述：①甲同學的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為128；②乙同學的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為121；③丙同學的5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)為125，極差為10，總體均值為125.則數(shù)學成績一定優(yōu)秀的同學是___________.【答案】乙【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)、均值、眾數(shù)、極差等概念，找出滿足條件的5個數(shù)，看最小的能否小于120即可判斷．【詳解】在①中，甲同學的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同學的數(shù)學成績不一定優(yōu)秀；在②中，乙同學的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為121，所以前三個數(shù)為121，121，127，則后兩個數(shù)肯定大于127，故乙同學的數(shù)學成績一定優(yōu)秀；在③中，丙同學的5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)為125，極差為10，總體均值為125，最大值與最小值的差為10，若最大值為129，則最小值為119.即119，125，125，127，129，故丙同學的數(shù)學成績不一定優(yōu)秀.綜上，數(shù)學成績一定優(yōu)秀的同學只有乙.故答案：乙．15.設A1，A2，B1分別是橢圓的左、右、上頂點，O為坐標原點，D為線段OB1的中點，過A2作直線A1D的垂線，垂足為H．若H到x軸的距離為，則C的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】表示出直線A1D和直線A2H的方程，聯(lián)立表示出，即可求出離心率.【詳解】直線A1D的方程為，直線A2H的方程為，聯(lián)立得．∵，∴，∴，．故答案為：.16.九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)，決定解開圓環(huán)的個數(shù)在某種玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝，則解下n（n為奇數(shù)）個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為___.（用含n的式子表示）【答案】（，n為奇數(shù)）【解析】【分析】可得為奇數(shù)時，即數(shù)列的奇數(shù)項形成以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，即可求解.【詳解】當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為奇數(shù)，則，故數(shù)列的奇數(shù)項形成以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，（，n為奇數(shù)），故解下n（n為奇數(shù)）個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（，n為奇數(shù)）.故答案為：（，n為奇數(shù)）.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是判斷出數(shù)列的奇數(shù)項形成以1為首項，4為公比的等比數(shù)列.四、解答題（共6題，總計74分）17.已知數(shù)列{an}滿足，且．（1）請你在①，②中選擇一個證明：①若，則{bn}是等比數(shù)列；②若，則{bn}是等差數(shù)列．注：如果選擇多個分別解答，按第一個解答計分．（2）求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn．【答案】（1）詳見解析；（2），.【解析】【分析】（1）選擇①，利用條件可得，即證；選擇②，利用條件可得，即證；（2）由題可得，利用累加法可求，再利用由分組求和法即求.小問1詳解】選擇①，由，可得，∴，又，∴數(shù)列{bn}是以2為首項，以為公比的等比數(shù)列；選擇②，∵，，∴，又∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【小問2詳解】由上可知，即，∴，∴.18.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角A；（2）如圖，若，點D是外一點，，設，求平面四邊形面積的最大值及相應的值．【答案】（1）（2）最大值為，此時【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得進而求得.（2）求得平面四邊形面積的表達式，結合三角函數(shù)最值的求法求得平面四邊形面積的最大值及相應的值.【小問1詳解】∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.【小問2詳解】由（1）以及，得是等邊三角形．設，則．余弦定理可得：，則．故四邊形面積．∵，∴，∴當時，S取得最大值為，故平面四邊形面積的最大值為，此時．19.長江是我國第一大河，永葆長江生機活力是事關中華民族偉大復興和永續(xù)發(fā)展的千秋大計.2020年1月1日起實施的10年全年禁漁令，是我國保護長江的百年大計，是保護后代子孫生活環(huán)境的重大舉措.某科研機構發(fā)現(xiàn)：在理想狀態(tài)下，魚群數(shù)量隨時間的增長滿足指數(shù)模型：，其中表示初始時刻的魚群數(shù)量，表示魚群的增長率.該科研機構在某個監(jiān)測站從2021年1月到2021年7月每個月測一次數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)整理如下：時間（單位：月）1234567魚群數(shù)量（單位：千克）8101424417693（1）根據(jù)上表與參考數(shù)據(jù)，建立理相狀態(tài)下魚群的數(shù)量關于時間的回歸方程；（2）科研機構認為在實際狀態(tài)下魚群的增長率與某個環(huán)境指標滿足關系：（其中與每年禁漁的總時間（單位：月）有關，.）（i）在2020年起實施全年禁漁令以后，若希望魚群數(shù)量增加，如何控制環(huán)境指標的取值范圍？（ii）在2020年之前，長江每年的禁漁時長為3個月，請說明我國在2020年起實施全年禁漁令的科學性.參考數(shù)據(jù)381478其中參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為【答案】（1）（2）（i）；（ii）答案見解析【解析】【分析】（1）由，兩邊取自然對數(shù)得到，得出，結合公式求得的值，即可求解.（2）（i）當實施禁漁令以后，要使得魚群數(shù)量增加，得到，即可求解；（ii）設函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，即可求解.【小問1詳解】解：由，兩邊同時取自然對數(shù)得，設，可得，因為，所以，又由，解得，即關于的回歸方程為.【小問2詳解】解：（i）當實施禁漁令以后，，要使得魚群數(shù)量增加，則，解得，（ii）根據(jù)題意知，設函數(shù)，則，令，可得，當時，；當時，，所以當時，取得最大值.此時說明魚群數(shù)量隨時間會逐漸減少，因此我國在2020年起實施全年禁漁令是科學的.20.在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．（1）求證：AD⊥PC；（2）求二面角P-AB-C的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）面面垂直得線面垂直，進而得到線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量求解二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD?平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，

∴AD⊥PC；【小問2詳解】在平面PCD內過點D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH?平面PDC，

∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH兩兩垂直，

以D為原點，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，∵DH⊥平面ABCD，

∴平面ABCD的一個法向量為，又，，設平面PAB的一個法向量為，

由，取，則，

∴，由題意可知，二面角P﹣AB﹣C為銳角，

∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值為；21.已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點、是雙曲線的兩個實軸頂點，點是雙曲線上異于、的任意一點，直線交于，直線交于，證明：直線的傾斜角為定值．【答