小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的策略

本文格式為Word版，下載可任意編輯——小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的策略小學(xué)生幾何直觀才能培養(yǎng)的策略摘

要幾何直觀才能是指借助于見(jiàn)到的或想象出來(lái)的幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，即空間形式和數(shù)量關(guān)系，舉行直接感知、整體把握的才能。借助幾何直觀可以把繁雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)料結(jié)果。幾何直觀可以扶助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。本文在把握幾何直觀內(nèi)涵的根基上，分析幾何直觀才能的培養(yǎng)對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，結(jié)合實(shí)踐探索培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀才能的有效策略。

關(guān)鍵詞

幾何直觀

幾何直觀才能

培養(yǎng)策略“幾何直觀”一詞在以往的教學(xué)中一向是隱形于教師心中的，自從的《義務(wù)教導(dǎo)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022版》發(fā)布以后，“幾何直觀”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心概念之一，被正式提到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)上來(lái)。培養(yǎng)學(xué)生從幾何直觀上分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的才能，已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)小學(xué)生的幾何直觀才能？成為宏大一線數(shù)學(xué)教師重新掃視與斟酌的問(wèn)題。

一、培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀才能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義幾何直觀才能是指借助于見(jiàn)到的或想象出來(lái)的幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，即空間形式和數(shù)量關(guān)系，舉行直接感知、整體把握的才能。既有深刻的形象思維特點(diǎn)，又有猛烈的抽象思維特點(diǎn)。幾何直觀才能由低到高應(yīng)包括：空間想像才能，直觀洞察才能，用“圖形語(yǔ)言”來(lái)斟酌問(wèn)題才能。它對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種從動(dòng)手操作中，或從圖形中，借查看或想象等方式所形成的一種閱歷，當(dāng)這種閱歷在確定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中醞釀、發(fā)酵之后，便實(shí)現(xiàn)了一個(gè)從“形”到“數(shù)”的思維騰躍過(guò)程，由此悄然形成了一種關(guān)于解決此方面問(wèn)題的直覺(jué)。借助于這種閱歷與直覺(jué)，能夠運(yùn)用圖形舉行斟酌與表達(dá)。幾何直觀才能的形成具有以下幾個(gè)意義：

1.借助于圖形，直觀地感知，可以使一些繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)樸化，便于描述與交流。

譬如，在教學(xué)有余數(shù)除法時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生理解“余數(shù)要比除數(shù)小”這一規(guī)律，采用讓學(xué)生用不同根數(shù)的小棒（13～20根）搭正方形的方法，通過(guò)查看搭正方形后剩余的小棒數(shù)量，學(xué)生便可以從余數(shù)中察覺(jué)都比正方形所需要的4根這個(gè)數(shù)要小的規(guī)律。假設(shè)展現(xiàn)≧4時(shí)，引導(dǎo)：“還能再搭出一個(gè)正方形嗎”？從而引導(dǎo)學(xué)生察覺(jué)余數(shù)要比除數(shù)小的規(guī)律，理解余數(shù)為什么比除數(shù)小的理由。

2.利用幾何直觀，直觀的感知使抽象變得概括。

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的需要從閱歷入手，通過(guò)查看對(duì)比，或通過(guò)動(dòng)手操作，從而獲得對(duì)圖形的熟悉，并進(jìn)展空間觀念。如在推導(dǎo)平行四邊形面積公式時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)查看，想象把平行四邊形轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，即沿著平行四邊形的高剪下一個(gè)三角形拼到另一側(cè)就可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，在這樣的揣摩、嘗試與操作比較的過(guò)程中，學(xué)生能夠察覺(jué)并找到兩者之間的聯(lián)系，從而推導(dǎo)面積公式并體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想，為后面其它圖形面積公式的推導(dǎo)作以斟酌導(dǎo)向。

3.利用幾何直觀，扶助學(xué)生有效尋求解題策略。

心理學(xué)家皮亞杰根據(jù)兒童的認(rèn)知理論將兒童化為四個(gè)階段，而小學(xué)生正處于概括運(yùn)算水平階段，很難理解繁雜的數(shù)量關(guān)系，我們只有借助圖形使之直觀化，形象化，簡(jiǎn)樸化，才能扶助學(xué)生有效尋求解題策略。例如：在教學(xué)《數(shù)的奇偶性》一課時(shí)，“（1）小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再?gòu)谋卑恶偦啬习?，不斷往?fù)。擺渡過(guò)11次后，船在南岸還是北岸？為什么？”問(wèn)題出示后，學(xué)生自然而然地把手當(dāng)作小船來(lái)回?fù)u擺，或是如課本上圖示，來(lái)解決問(wèn)題。這就是把問(wèn)題的呈現(xiàn)舉行直觀化，幾何化的一個(gè)過(guò)程。

“（2）有人說(shuō)擺渡100次后，小船在北岸，他的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？”一片面學(xué)生產(chǎn)生困擾：“要這樣來(lái)回?cái)[100次嗎？”于是，單純地依靠操作便難以很快解決問(wèn)題，此時(shí)，若是引導(dǎo)學(xué)生以表格的形式呈現(xiàn)出擺渡次數(shù)與船所在的位置關(guān)系表達(dá)出來(lái)，學(xué)生便可以找到規(guī)律急速而正確地解決有關(guān)此類問(wèn)題。

三、小學(xué)生幾何直觀才能培養(yǎng)的策略華羅庚先生有一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非；

切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分開(kāi)！”[6]這首詞形象生動(dòng)、深刻地指領(lǐng)略“數(shù)形結(jié)合”思想的價(jià)值。東北師大的史寧中教授曾提到，小學(xué)階段培養(yǎng)的重點(diǎn)在于會(huì)借形來(lái)斟酌與表達(dá)。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多地關(guān)注的是測(cè)驗(yàn)幾何、閱歷幾何和直觀幾何，讓學(xué)生感受幾何直觀的作用，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀才能。

1.教師要具有猛烈的數(shù)形結(jié)合意識(shí)。

教師的數(shù)形結(jié)合意識(shí)對(duì)學(xué)生的思維起著導(dǎo)向性的作用，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)的形成，有利于學(xué)生直觀斟酌習(xí)慣的形成。

譬如，列表法是思維的一種直觀呈現(xiàn)方法。關(guān)于列表法的使用，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)《旅游費(fèi)用》中提到的關(guān)于租車的問(wèn)題，可以說(shuō)列表法解決問(wèn)題的作用對(duì)比突出，有利于學(xué)生舉行有序地、不遺漏地斟酌。

此節(jié)教學(xué)中，筆者對(duì)比提防列表法呈現(xiàn)斟酌的結(jié)果。結(jié)果，在后續(xù)的教學(xué)中，筆者察覺(jué)，有關(guān)此類問(wèn)題的解決大片面學(xué)生不僅采用列表法呈現(xiàn)，而且連一些后進(jìn)生在列表法應(yīng)用的過(guò)程中，也能正確地解決問(wèn)題。不僅如此，在解決本冊(cè)后面的“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生還能自然地借助于表格形式舉行呈現(xiàn)。當(dāng)又借助于列表在教學(xué)“雞兔同籠”問(wèn)題舉行思維呈現(xiàn)之后的一兩年中，筆者察覺(jué)，原來(lái)一向不被學(xué)生采納的列表法已成為學(xué)生自然而然的思維呈現(xiàn)方式。

2.增加學(xué)生體驗(yàn)的機(jī)遇，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合起來(lái)的妙處與樂(lè)趣。

在以概括形象思維為主要特征的小學(xué)階段，教材中有大量的引導(dǎo)學(xué)生舉行直觀斟酌的機(jī)遇，或是動(dòng)手操作，或是借助于圖形來(lái)斟酌等等，把握這樣的機(jī)遇，并適時(shí)創(chuàng)造這樣的機(jī)遇使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中感受到數(shù)與圖形結(jié)合起來(lái)的樂(lè)趣，增加學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信仰。

譬如，解決問(wèn)題：2022年第4屆世界杯女子足球賽，中國(guó)隊(duì)所在的小組共有4支球隊(duì)，每2支球隊(duì)之間都舉行一場(chǎng)比賽。（1）中國(guó)隊(duì)在小組賽中要舉行幾場(chǎng)比賽？（2）整個(gè)小組共賽多少場(chǎng)？通過(guò)課堂上對(duì)學(xué)生的查看察覺(jué)，學(xué)生的斟酌有四種方式，除了線段式，交錯(cuò)連線式，還有表格式與表達(dá)式，可是書(shū)上卻呈現(xiàn)出四邊形式，如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于四邊形這一圖形呈現(xiàn)方法的理解與掌管呢？筆者在教學(xué)時(shí)從三個(gè)隊(duì)之間的比賽入手舉行引導(dǎo)，用A、B、C三個(gè)字母代表不同隊(duì)，然后借助于不同顏色的粉筆結(jié)合圖示引導(dǎo)并列出了一共需要比賽多少場(chǎng)的算式，然后，舉行比賽隊(duì)伍數(shù)的增加，逐步形成了上面的四邊形、五邊形與六邊形。當(dāng)在五邊形里形成了一個(gè)美觀的五角星圖案時(shí)，全班學(xué)生不由地發(fā)出詫異的稱贊聲。當(dāng)六隊(duì)之間的比賽場(chǎng)次處境那么形成了一個(gè)美觀的六邊形時(shí)，學(xué)生想到了不僅是彈子跳棋的設(shè)計(jì)，還想到了那從天空中飄落的雪花。

以A隊(duì)為第一隊(duì)，斟酌其共要舉行多少場(chǎng)比賽，然后在不重復(fù)的前提下，斟酌B、C隊(duì)分別還需要舉行多少場(chǎng)比賽，以此類推，在對(duì)圖形的查看中不僅找到了算式產(chǎn)生的來(lái)源，學(xué)生還體會(huì)到的數(shù)字的神秘，數(shù)學(xué)的奇異，數(shù)與形結(jié)合的微妙與美！3.解決問(wèn)題方式多樣化，使數(shù)形結(jié)合相伴成為一種自然。

在使用數(shù)學(xué)教材的過(guò)程中我們察覺(jué)，教材中有大量的問(wèn)題呈現(xiàn)方式借助于圖來(lái)呈現(xiàn)，有大量的解決問(wèn)題的方法，不僅有著傳統(tǒng)的數(shù)與式的運(yùn)算，更有著圖與形的引導(dǎo)與呈現(xiàn)。

（1）教材中數(shù)形結(jié)合的呈現(xiàn)：譬如以新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材第四版二年級(jí)下冊(cè)的“十年變化”為例，關(guān)于兩位數(shù)加法的計(jì)算，教材中不僅有代表著形的數(shù)線的方法呈現(xiàn)，也有計(jì)數(shù)器的方法呈現(xiàn)，同時(shí)還有代表著數(shù)的橫式的計(jì)算與豎式的計(jì)算方法呈現(xiàn)。在計(jì)算方法的學(xué)習(xí)中，有數(shù)、有形的多種方法呈現(xiàn)已成為教材的特點(diǎn)之一。

這就提示我們一線教師，在教學(xué)中，不要只把幾何直觀才能的培養(yǎng)只局限于有于圖形的面積或體積等圖形的教學(xué)之中，還可以在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域舉行。

（2）在解決問(wèn)題時(shí)，可以把問(wèn)題或題目中的關(guān)鍵句借助于圖形舉行多樣化呈現(xiàn)來(lái)扶助理解題目意思。

譬如“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）”一節(jié)的教學(xué)，在出示題目后，學(xué)生可以借助于圖來(lái)理解題意。在引導(dǎo)學(xué)生理解“其次天比第一天多1/5時(shí)，可以借助于不同的方式來(lái)表達(dá)。

上面的8幅圖是在老師出示題目之后，讓學(xué)生自己理解題意后的圖示，反映出學(xué)生正確的理解與多樣的表達(dá)。學(xué)生不同的表達(dá)方式在班級(jí)舉行交流與共享后，便給學(xué)生留下數(shù)形結(jié)合猛烈而直觀的印象，直接促進(jìn)學(xué)生幾何直觀才能的形成。

（3）還可以把解決問(wèn)題的方法舉行借助圖形舉行多樣化呈現(xiàn)，使學(xué)生不僅有選擇斟酌自己熱愛(ài)方法的機(jī)遇，還在題目與解決問(wèn)題方法的不同呈現(xiàn)方式中形成多樣化的斟酌及數(shù)形結(jié)合斟酌習(xí)慣的形成。

譬如在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)“住新屋”一課計(jì)算12×14時(shí)，除了教材中呈現(xiàn)的方法之外，把住房中的每戶用一個(gè)圓來(lái)表示，便成為扶助學(xué)生理解的點(diǎn)子圖

在這樣的圖示是住房圖的一種抽象后直觀地表達(dá)，學(xué)生不僅可以直觀看到每一步算出的是哪一片面，理解兩位數(shù)算法的算理，每當(dāng)學(xué)生舉行乘法的計(jì)算時(shí)，便能自然地想到點(diǎn)子圖，并借助于圖來(lái)斟酌與表達(dá)，這也為后續(xù)的乘法調(diào)配律的學(xué)習(xí)及直角坐標(biāo)系的熟悉等學(xué)識(shí)作以鋪墊。

4.探索問(wèn)題中數(shù)形結(jié)合的思維點(diǎn)，舉行數(shù)形結(jié)合的有效溝通。

我們的生活的世界五彩繽紛，當(dāng)把我們的眼光聚焦于“數(shù)量關(guān)系與空間形式”時(shí)，便成為我們的數(shù)學(xué)研究。數(shù)與形的存在并不是孤立的，它們是彼此聯(lián)系的，但在我們教學(xué)中，更加是在教學(xué)中往往為了學(xué)習(xí)與研究的便當(dāng)把它們單獨(dú)羅列出來(lái)，這便造成了數(shù)與形的分家，找準(zhǔn)數(shù)形結(jié)合的思維點(diǎn)，使數(shù)形之間舉行有效地溝通，便成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，幾何直觀思維才能的關(guān)鍵點(diǎn)，直接影響著學(xué)生幾何直觀思維習(xí)慣的形成。

譬如筆者在對(duì)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“找因數(shù)”一課的研究中，曾在四年級(jí)舉行“借助于圖形的直觀理解找因數(shù)”方法的告成嘗試，教學(xué)主要流程如下：

（1）用12個(gè)小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，有哪幾種拼法？請(qǐng)你試著想一想、拼一拼或畫(huà)一畫(huà)。（沒(méi)有五數(shù)上教材，也沒(méi)有方格紙）（2）集體交流拼法（老師讓學(xué)生把自己不同的拼法用小正方形帖在白紙上，然后老師帖在黑板上）（3）用乘法算式來(lái)表達(dá)自己的拼法（4）根據(jù)乘法算式中數(shù)的特點(diǎn)把拼法排序（5）查看乘法算式中的數(shù)與12有著怎樣的關(guān)系。

（6）引出“找因數(shù)”(7)去掉重復(fù)的拼法（把有著一致數(shù)的拼法之一去掉）找因數(shù)練習(xí)：

（1）找出9和15的因數(shù)；

（2）找出24的全部因數(shù)。（沒(méi)有五數(shù)上教材中的填空引導(dǎo)）在引導(dǎo)學(xué)生把“用12個(gè)小正方形可以拼成哪幾種長(zhǎng)方形”的教學(xué)之后，讓學(xué)生找9和15的因數(shù)，老師不做任何提示，全班學(xué)生沒(méi)有動(dòng)手操作的，而是直接用乘法算式說(shuō)出了9和15的因數(shù)，即使在找24的因數(shù)時(shí)有五分之一的學(xué)生用小正形畫(huà)出拼的圖，也沒(méi)有學(xué)生再動(dòng)手拼。

從學(xué)生的這種表現(xiàn)可以看到操作所產(chǎn)生的直觀對(duì)于找因數(shù)的作用，對(duì)學(xué)生已產(chǎn)生了深刻的印象，在學(xué)生的頭腦中找把找因數(shù)與用小正方形拼的方法自覺(jué)地聯(lián)系地一起，初步運(yùn)用了幾何直觀，從拼小正方形的方法理解到用乘法算式即可解決找因數(shù)的問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)了一個(gè)從“形”到“數(shù)”的思維騰躍過(guò)程，由此悄然形成了一種關(guān)于解決此方面問(wèn)題的直覺(jué)。

5.探索從形到數(shù)的思維彈跳點(diǎn)，適時(shí)抽象。

任何一種方法都其局限性，每一種方法都有其確定的適用范圍。要想突破范圍的限制，達(dá)成解決問(wèn)題的最正確效果，就要把各種方法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，生動(dòng)地加以應(yīng)用，以促進(jìn)學(xué)生幾何直觀思維的生動(dòng)性。

譬如教學(xué)五數(shù)下“分?jǐn)?shù)除法（二）一課，教材中借用圓餅圖引導(dǎo)學(xué)生理解4張大餅，每幾分之幾張一份可以分成多少份？的列式方法和算理，在餅圖之后，又借助于線段圖，從另外一種角度來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解，旨在舉行一個(gè)數(shù)除以分法方法的歸納與察覺(jué)。

在教學(xué)中我們察覺(jué)，在上面的餅圖與及（1）（2）題的線段圖中，學(xué)生能借助圖的理解，從中直接察覺(jué)“除以一個(gè)數(shù)就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的規(guī)律。但是到了下面的（3）題時(shí)，學(xué)生很難以理解2÷2/3為什么等于2×3/2。為什么會(huì)展現(xiàn)這種處境？莫非是“除以一個(gè)數(shù)就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的規(guī)律在下圖中不適用？在教材編寫老師的啟發(fā)下，使我們理解到，到此時(shí)，不必要非得讓學(xué)生從圖中察覺(jué)2÷2/3為什么等于2×3/2的答案。對(duì)此點(diǎn)我們舉行了教學(xué)嘗試與議論，察覺(jué)，此圖正是學(xué)生從圖向分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法的一個(gè)騰躍點(diǎn)。假設(shè)讓學(xué)生自己去察覺(jué)，一個(gè)班很難有幾個(gè)學(xué)生察覺(jué)，假設(shè)老師借圖引導(dǎo)2÷2/3為什么等于2×3/2這一問(wèn)題，還是會(huì)有相當(dāng)一片面學(xué)生難以理解。這豈不印證了“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”這一說(shuō)法？此處的教學(xué)使我們充分感受到，作為易懂的圖形會(huì)帶給我們的不僅有著直觀的熟悉，還有著一些干擾