初中數(shù)學(xué)人教九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓三角形的內(nèi)切圓PPT

【自主“學(xué)”習(xí)】

李明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。下圖是他的幾種設(shè)計(jì)，請(qǐng)同學(xué)們幫他確定一下定義：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的

，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。這個(gè)三角形叫做的

。內(nèi)切圓外切三角形思考下列問(wèn)題：1．如圖1，若⊙O與∠ABC的兩邊相切，那么圓心O的位置有什么特點(diǎn)？圓心0在∠ABC的平分線上。

2．如圖2，如果⊙O與△ABC的∠ABC的兩邊相切，且與∠ACB的兩邊也相切，那么此⊙O的圓心在什么位置？OMABCNO圖2ABC探究：三角形內(nèi)切圓的作法圓心0在∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)上。3．如何確定一個(gè)與三角形的三邊都相切的圓心的位置與半徑的長(zhǎng)？

4．你能作出幾個(gè)與一個(gè)三角形的三邊都相切的圓？

只能作一個(gè)，因?yàn)槿切蔚娜龡l內(nèi)角平分線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。

IFCABED作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為I。

I2．過(guò)點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為D。3．以I為圓心，ID為半徑作⊙I.⊙I就是所求的圓。

DMN探究：三角形內(nèi)切圓的作法

外心（三角形外接圓的圓心）

名稱確定方法圖形性質(zhì)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)

(1)OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心）三角形三條角平分線的交點(diǎn)

（1）到三邊的距離相等；（2）OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）內(nèi)心在三角形內(nèi)部．OACDB圖（1）圖（2）說(shuō)出下列圖形中圓與四邊形的名稱四邊形ABCD叫做⊙O的外切四邊形四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形辨析：（1）三角形的內(nèi)心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

（

）（2）三角形的外心到三角形各邊的距離相等

（

）（3）等邊三角形的內(nèi)心和外心重合

（

）（4）三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部

（

）（5）菱形一定有內(nèi)切圓

（

）（6）矩形一定有內(nèi)切圓

（

）解：

∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心∴∠1＝∠2＝∴∠BOC=1800-(∠1+∠2)=1800-(250+37.50)=117.50∴∠BOC=117.50C1O243BA例題1：如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，點(diǎn)O是內(nèi)心，求∠BOC的度數(shù)。變式1：在△ABC中，點(diǎn)O是內(nèi)心，∠BAC=50°，求∠BOC的度數(shù)。變式2：在△ABC中，點(diǎn)O是外心，∠BOC=100°，求∠BAC的度數(shù)。變式：如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=_______度．·ABCEDFO如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓.求：Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑r.設(shè)AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O與Rt△ABC的三邊都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD則有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2結(jié)論設(shè)Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑

r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c例2：(可作為三角形內(nèi)切圓半徑公式)（4）類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓，如圖(二))且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；變式：已知：如圖，邊長(zhǎng)為a的正△ABC內(nèi)有一邊長(zhǎng)為b的內(nèi)接正△DEF，求△AEF的內(nèi)切圓半徑

．例3：【視野拓展】如圖，△ABC為⊙O點(diǎn)內(nèi)接三角形，I為內(nèi)心。（1）求證：BD=CD=ID；（2）若外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，求證：AI·ID=2Rr例2、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓⊙O分別相切于點(diǎn)L、M、N、P，求證：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長(zhǎng)定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，

DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等．例題2練習(xí).如圖，△ABC中,∠C=90o,它的內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半徑r.OEBDCAF·ABCEDFO如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓.（1）求Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑.（2）若移動(dòng)點(diǎn)O的位置，使⊙O保持與△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r的取值范圍。設(shè)AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O與Rt△ABC的三邊都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD則有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四邊形ODCE為正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為1。（2）如圖所示，設(shè)與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點(diǎn)分別為B、D,連結(jié)OB、OD,則四邊形BODC為正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半徑r的取值范圍為0＜r≤3點(diǎn)評(píng)幾何問(wèn)題代數(shù)化是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法。

1.本節(jié)課從實(shí)際問(wèn)題入手，探索得出三角形內(nèi)切圓的作法